7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(人教A版)

该教案聚焦复数的加、减运算及其几何意义，通过“复数加法是否满足交换律与结合律”的问题导入，关联实数加减运算律，搭建从实数到复数的学习支架，梳理运算法则与几何意义的知识脉络。 资料以数学抽象为基础，类比实数运算明确复数加减法则，结合向量运算阐释几何意义，如通过平行四边形顶点复数求对应向量，将模的最值转化为距离问题。题型分层训练提升数学运算能力，助力学生形成逻辑思维，为教师提供系统教学资源，高效落实核心素养。

7.2　复数的四则运算 7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义 新课程标准解读 核心素养 1.通过实例，结合实数的加、减运算法则理解复数代数形式的加、减运算法则 数学抽象 2.结合向量的加、减运算明确复数代数形式的加、减运算的几何意义 数学运算 　　我们知道，任意两个实数都可以相加，而且实数中的加法运算还满足交换律与结合律. 【问题】　复数中的加法满足交换律与结合律吗？ 　 　 　 　 　 　 知识点一　复数的加、减法运算 1.运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，则 （1）z1＋z2＝　（a＋c）＋（b＋d）i　； （2）z1－z2＝　（a－c）＋（b－d）i　. 2.加法运算律：对任意z1，z2，z3∈C，有 （1）z1＋z2＝　z2＋z1　； （2）（z1＋z2）＋z3＝　z1＋（z2＋z3）　. 知识点二　复数加、减法的几何意义 　如图，设在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为，，以，为邻边作平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是　　，与z1－z2对应的向量是　　. 提醒　（1）把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的加、减法类似于多项式的加、减法，只需“合并同类项”即可；（2）复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则. 1.若复数z1＝2＋3i，z2＝－4－5i，则z1＋z2＝（　　） A.－2－2i　　　　　　B.6＋8i C.2－2i D.－6－8i 解析：A　由复数z1＝2＋3i，z2＝－4－5i，则z1＋z2＝（2＋3i）＋（－4－5i）＝－2－2i，故选A. 2.（2024·泰安月考）i为虚数单位，若1＋z＝2＋3i，则复数z的虚部为（　　） A.1 B.3 C.i D.3i 解析：B　因为1＋z＝2＋3i，则z＝2－1＋3i＝1＋3i，故复数z的虚部为3，故选B. 3.（2＋i）－（6－2i）＋（5＋6i）＝1＋9i. 解析：（2＋i）－（6－2i）＋（5＋6i）＝（2－6＋5）＋（1＋2＋6）i＝1＋9i. 题型一 复数的加、减运算 【例1】　（1）计算：（8－2i）－（－7＋5i）＋（3＋7i）； 解：（8－2i）－（－7＋5i）＋（3＋7i）＝[8－（－7）＋3]＋（－2－5＋7）i＝15＋3. （2）设z1＝x＋2i，z2＝3－yi（x，y∈R），且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2. 解：∵z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i， ∴（3＋x）＋（2－y）i＝5－6i， ∴∴ ∴z1－z2＝（2＋2i）－（3－8i）＝（2－3）＋[2－（－8）]i＝－1＋10i. 通性通法 复数加、减法运算的法则 （1）复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部； （2）复数的运算可以类比多项式的运算（类似于合并同类项）：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算. 【跟踪训练】 1.若（1－i）＋（2＋3i）＝a＋bi（a，b∈R，i是虚数单位），则a－b＝（　　） A.5　　　　　　　　　　B.1 C.0 D.－3 解析：B　因为（1－i）＋（2＋3i）＝a＋bi，即3＋2i＝a＋bi，所以a＝3，b＝2，所以a－b＝1.故选B. 2.（2024·信阳月考）已知i为虚数单位，复数z满足则z＝（　　） A.2－i B.2＋i C.1－2i D.1＋2i 解析：A　因为所以两个等式相加得，2z＝4－2i，所以z＝2－i.故选A. 题型二 复数加、减法几何意义的应用 【例2】　如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i.求： （1）对应的复数； 解：因为＝－，所以对应的复数为－3－2i. （2）对应的复数； 解：因为＝－，所以对应的复数为（3＋2i）－（－2＋4i）＝5－2i. （3）对应的复数及｜｜的大小. 解：因为＝＋，所以对应的复数为（3＋2i）＋（－2＋4i）＝1＋6i， 所以｜｜＝＝. 【母题探究】 （变设问）若本例条件不变，求对角线AC，BO的交点M对应的复数. 解：由题意知，点M为OB的中点， 则＝.由例题知点B的坐标为（1，6），得点M的坐标为（ ，3），所以点M对应的复数为＋3i. 通性通法 复数与向量的对应关系的三个关注点 （1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）与以原点为起点，Z（a，b）为终点的向量一一对应； （2）一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数发生改变； （3）复数加、减运算可转化为向量的加、减运算. 【跟踪训练】 1.已知复平面内的向量，对应的复数分别是－2＋i，3＋2i，则｜｜＝. 解析：∵＝＋，∴对应的复数为（－2＋i）＋（3＋2i）＝1＋3i，∴｜｜＝＝. 2.若z1＝1＋2i，z2＝2＋ai，复数z2－z1所对应的点在第四象限内，则实数a的取值范围是（－∞，2）. 解析：z2－z1＝1＋（a－2）i，由题意知a－2＜0，即a＜2. 题型三 复数模的最值问题 【例3】　（1）已知复数z满足｜z＋i｜＝｜z－i｜，则｜z＋1＋2i｜的最小值为（　B　） A.1 B.2 C. D. 解析：设复数z在复平面内对应的点为Z，因为复数z满足｜z＋i｜＝｜z－i｜，所以由复数的几何意义可知，点Z到点（0，－1）和（0，1）的距离相等，所以在复平面内点Z的轨迹为x轴，又｜z＋1＋2i｜表示点Z到点（－1，－2）的距离，所以问题转化为x轴上的动点Z到定点（－1，－2）距离的最小值，所以｜z＋1＋2i｜的最小值为2，故选B. （2）（2024·湖州质检）已知复数z满足｜z＋i｜＝1，则｜z＋1｜的最大值为（　C　） A. B.2 C.＋1 D.3 （2）设z＝a＋bi，a，b∈R.因为｜z＋i｜＝｜a＋（b＋1）i｜＝1，所以a2＋（b＋1）2＝1，因为｜z＋1｜＝｜a＋1＋bi｜＝，所以｜z＋1｜相当于圆a2＋（b＋1）2＝1上的点到点（－1，0）的距离，所以｜z＋1｜的最大值为圆心（0，－1）到点（－1，0）的距离与圆的半径1的和，即＋1，故选C. 通性通法 两个复数差的模的几何意义 （1）｜z－z0｜表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式； （2）｜z－z0｜＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆； （3）涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解. 【跟踪训练】 已知复数z满足｜z｜＝1，求｜z－2i｜的取值范围. 解：｜z｜＝1表示z在复平面上对应的点是单位圆上的点.｜z－2i｜表示单位圆上的点与（0，2）之间的距离，所以最小距离为2－1＝1，最大距离为2＋1＝3.所以｜z－2i｜的取值范围为[1，3]. 1.复数（－3＋i）－（5－i）＋（2＋5i）的模为（　　） A.－6＋7i B.6＋7i C. D.85 解析：C　（－3＋i）－（5－i）＋（2＋5i）＝－6＋7i，复数－6＋7i的模为＝，故选C. 2.（2024·泉州月考）若（－3a＋bi）－（2b＋ai）＝3－5i，a，b∈R，则a＋b＝（　　） A. B.－ C.－ D.5 解析：B　（－3a＋bi）－（2b＋ai）＝（－3a－2b）＋（b－a）i＝3－5i，所以解得a＝，b＝－，故有a＋b＝－. 3.若复数z满足｜z－i｜＝3，则复数z对应的点Z的轨迹所围成的图形的面积为9π. 解析：由条件知｜z－i｜＝3，所以点Z的轨迹是以点（0，1）为圆心，以3为半径的圆，故其面积为S＝9π. 4.已知复数z1＝－2＋i，z2＝－1＋2i. （1）求z1－z2； （2）在复平面内作出复数z1－z2所对应的向量. 解：（1）由复数减法的运算法则得z1－z2＝（－2＋i）－（－1＋2i）＝－1－i. （2）在复平面内作复数z1－z2所对应的向量，如图中. 1.若复数z满足z＋（3－4i）＝1，则z的虚部是（　　） A.－2 B.4 C.3 D.－4 解析：B　z＝1－（3－4i）＝－2＋4i，所以z的虚部是4. 2.（2024·日照月考）若实数x，y满足（x＋i）＋（1－yi）＝2，则xy的值为（　　） A.1 B.2 C.－2 D.－1 解析：A　依题意，得x＋1＝2且1－y＝0，所以x＝y＝1，所以xy＝1. 3.设复数z满足z＋1－2i＝－3＋i，则｜z｜＝（　　） A.6 B.6 C.5 D.5 解析：D　因为z＋1－2i＝－3＋i，所以z＝－4＋3i，所以｜z｜＝＝5.故选D. 4.在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为－2＋i，3＋2i，1＋5i，则表示的复数为（　　） A.2＋8i B.－6－6i C.4－4i D.－4＋i 解析：C　因为＝－＝－（＋），所以表示的复数为3＋2i－（1＋5i－2＋i）＝4－4i. 5.（多选）下面关于｜（3＋2i）－（1＋i）｜的表述正确的是（　　） A.表示点（3，2）与点（1，1）之间的距离 B.表示点（3，2）与点（－1，－1）之间的距离 C.表示点（2，1）到原点的距离 D.表示坐标为（－2，－1）的向量的模 解析：ACD　由复数的几何意义，知复数3＋2i，1＋i分别对应复平面内的点（3，2）与点（1，1），所以｜（3＋2i）－（1＋i）｜表示点（3，2）与点（1，1）之间的距离，故A正确，B错误；｜（3＋2i）－（1＋i）｜＝｜2＋i｜表示点（2，1）到原点的距离，｜（1＋i）－（3＋2i）｜＝｜－2－i｜表示坐标为（－2，－1）的向量的模，故C、D正确.故选A、C、D. 6.（多选）在复平面内有一个平行四边形OABC，点O为坐标原点，点A对应的复数为z1＝1＋i，点B对应的复数为z2＝1＋2i，点C对应的复数为z3，则下列结论正确的是（　　） A.点C位于第二象限 B.z1＋z3＝z2 C.｜z1－z3｜＝｜｜ D.｜z2＋z3｜＝ 解析：BC　如图，由题意，O（0，0），A（1，1），B（1，2），＝（0，1），∵OABC为平行四边形，∴＝（0，1），则C（0，1），∴z3＝i，点C位于虚轴上，故A错误；z1＋z3＝（1＋i）＋i＝1＋2i＝z2，故B正确；｜z1－z3｜＝｜1＋i－i｜＝1＝｜｜，故C正确；｜z2＋z3｜＝｜（1＋2i）＋i｜＝｜1＋3i｜＝，故D错误.故选B、C. 7.若复数z1＋z2＝3＋4i，z1－z2＝5－2i，则z1＝4＋i. 解析：两式相加得2z1＝8＋2i，所以z1＝4＋i. 8.（2024·周口月考）设f（z）＝z－3i＋｜z｜，若z1＝－2＋4i，z2＝5－i，则f（z1＋z2）＝3＋3. 解析：z1＋z2＝3＋3i，故f（z1＋z2）＝f（3＋3i）＝3＋｜3＋3i｜＝3＋3. 9.若复数z＝a＋bi（a，b∈R，i为虚数单位）满足｜z－2i｜＝｜z｜，写出一个满足条件的复数z＝1＋i（答案不唯一）. 解析：z＝a＋bi，故z－2i＝a＋（b－2）i.由｜z－2i｜＝｜z｜知，＝，化简得b＝1，故只要b＝1，即z＝a＋i（a可为任意实数）均满足题意，可取z＝1＋i. 10.计算： （1）（2－i）＋（－2i）； （2）（3＋2i）＋（－2）i； （3）（1＋2i）＋（i＋i2）＋｜3＋4i｜； （4）（6－3i）＋（3＋2i）－（3－4i）－（－2＋i）. 解：（1）原式＝（2＋）－（＋2）i＝－i. （2）原式＝3＋（2＋－2）i＝3＋i. （3）原式＝1＋2i＋i－1＋5＝5＋3i. （4）原式＝[6＋3－3－（－2）]＋[－3＋2－（－4）－1]i＝8＋2i. 11.（2024·温州月考）复数z1＝1＋icos θ，z2＝sin θ－i，则｜z1－z2｜的最大值为（　　） A.3－2 B.－1 C.3＋2 D.＋1 解析：D　｜z1－z2｜＝｜（1－sin θ）＋（cos θ＋1）i｜＝＝＝，∵－1≤cos（ θ＋）≤1，∴｜z1－z2｜max＝＝＋1. 12.（多选）设复数z的共轭复数为，i为虚数单位，则下列命题为真命题的是（　　） A.z＋∈R B.z－是纯虚数 C.若z＝cos＋isin，则｜z｜＝1 D.若｜z－i｜＝1，则｜z｜的最大值为2 解析：AD　因为复数z与其共轭复数的实部相等，虚部互为相反数，所以z＋∈R，A为真命题；当z为实数时，也为实数，则z－是实数，B为假命题；若z＝cos＋isin，则｜z｜＝≠1，C为假命题；｜z－i｜＝1表示以点（0，1）为圆心，1为半径的圆，结合图形（图略）知，｜z｜的最大值为圆心到原点的距离与半径之和，即为1＋1＝2，D为真命题. 13.如图，在复平面内，向量对应的复数z1＝2＋i，绕点O逆时针旋转90°后对应的复数为z2，则｜z1＋z2｜＝. 解析：由题意可设z2＝a＋bi（a＜0，b＞0），则解得∴z2＝－1＋2i，∴z1＋z2＝（2＋i）＋（－1＋2i）＝1＋3i，∴｜z1＋z2｜＝. 14.已知复数z1＝1＋（10－a2）i，z2＝（2a－5）i（a＞0），＋z2∈R. （1）求实数a的值； （2）若z∈C，｜z－z2｜＝2，求｜z｜的取值范围. 解：（1）由题意得＝1－（10－a2）i， 所以＋z2＝1－（10－a2）i＋（2a－5）i＝1＋（a2＋2a－15）i， 因为＋z2∈R，所以a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3，因为a＞0，所以a＝3. （2）由（1）知z2＝i，所以满足条件｜z－z2｜＝2的点的集合是以（0，1）为圆心，2为半径的圆，设为圆A，所以｜z｜的取值范围即圆A上的点到坐标原点的距离的范围，所以2－1≤｜z｜≤2＋1，即1≤｜z｜≤3. 故｜z｜的取值范围为[1，3]. 15.著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.”费马问题中所求的点称为费马点.已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°的点P即费马点.根据以上材料，若z∈C，则｜z－2｜＋｜z＋2｜＋｜z＋2i｜的最小值为（　　） A.2－2 B.2＋2 C.－1 D.＋1 解析：B　设z＝x＋yi（x，y∈R），则｜z－2｜＋｜z＋2｜＋｜z＋2i｜表示点Z（x，y）到△ABC三个顶点A（2，0），B（－2，0），C（0，－2）的距离之和.依题意结合对称性可知△ABC的费马点P位于虚轴的负半轴上，且∠APB＝120°，则∠PAO＝∠PBO＝30°，此时｜PA｜＋｜PB｜＋｜PC｜＝×2＋（2－2tan 30°）＝2＋2.故选B. 16.已知复平面内的平行四边形ABCD中，A点对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求： （1）点C，D对应的复数； （2）平行四边形ABCD的面积. 解：（1）∵向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i， ∴向量对应的复数为（3－i）－（1＋2i）＝2－3i. 又∵＝＋， ∴点C对应的复数为（2＋i）＋（2－3i）＝4－2i. ∵＝， ∴向量对应的复数为3－i. 即＝（3，－1）.设D（x，y）， 则＝（x－2，y－1）＝（3，－1）， ∴解得 ∴点D对应的复数为5. （2）∵·＝｜｜｜｜cos B， ∴cos B＝＝＝. ∵0＜B＜π，∴sin B＝. ∴S平行四边形ABCD＝｜｜｜｜sin B＝××＝7. ∴平行四边形ABCD的面积为7. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $