7.1.1 数系的扩充和复数的概念-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(人教A版)

该教案聚焦复数的概念、分类及相等条件，通过回顾数系从自然数到实数的扩充历史，以方程解的需求为线索，自然引出复数，搭建新旧知识的学习支架。 资料以数学抽象引导学生理解复数引入的必要性，通过例题与跟踪训练强化逻辑推理，结构涵盖知识点、题型及练习，助力教师系统教学，提升学生对复数的理解与应用能力。

第七章　复数 7.1　复数的概念 7.1.1　数系的扩充和复数的概念 新课程标准解读 核心素养 1.通过方程的解，了解引进复数的必要性 数学抽象 2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件 逻辑推理 　　数的扩充过程，也可以从方程是否有解的角度来理解： 　　因为类似x＋4＝3的方程在自然数范围内无解，所以人们引入了负数并将自然数扩充成整数，使得类似x＋4＝3的方程在整数范围内有解； 　　因为类似2x＝5的方程在整数范围内无解，所以人们引入了分数并将整数扩充成有理数，使得类似2x＝5的方程在有理数范围内有解； 　　因为类似x2＝7的方程在有理数范围内无解，所以人们引入了无理数并将有理数扩充成实数，使得类似x2＝7的方程在实数范围内有解. 【问题】　我们已经知道，类似x2＝－1的方程在实数范围内无解.那么，能否像前面一样，将数的范围再扩充到一个更新的领域，使得这个方程有解并将实数进行扩充呢？ 　 　 　 　 　 　 知识点一　复数的有关概念 1.复数 （1）定义：形如　a＋bi　（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做　虚数单位　，满足i2＝　－1　.复数a＋bi的实部是　a　，虚部是　b　； （2）表示：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi（a，b∈R）. 2.复数集 （1）定义：　全体复数　构成的集合C＝{a＋bi｜a，b∈R}叫做复数集； （2）表示：用符号　C　表示. 【想一想】 　复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以是实数吗？满足什么条件？ 提示：b＝0时，复数为实数. 知识点二　复数的分类 1.复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以分类如下： 复数 2.集合表示： 知识点三　复数相等 　设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔　a＝c且b＝d　. 提醒　在两个复数相等的条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不能成立. 1.已知复数z满足z＝2－i，则复数z的虚部是（　　） A.－2　　　　　　　　　B.－1 C.1 D.2 解析：B　由题意，复数z满足z＝2－i，根据复数的概念，可得复数z的虚部为－1.故选B. 2.在2＋，i，8＋5i，（1－）i，0.618这几个数中，纯虚数的个数为（　　） A.0　　　　B.1 C.2　　　　D.3 解析：C　i，（1－）i是纯虚数，2＋，0.618是实数，8＋5i是虚数.故纯虚数的个数为2. 3.（2024·东营月考）若复数（x－i）i＝y＋2i，x，y∈R，则x＋y＝（　　） A.－1 B.3 C.1 D.－3 解析：B　因为复数（x－i）i＝y＋2i，x，y∈R，即1＋xi＝y＋2i，所以x＝2，y＝1，故x＋y＝3，故选B. 题型一 复数的概念 【例1】　（1）说出下列复数的实部和虚部：－2＋i，＋i，，－i，i，0； 解：－2＋i，＋i，，－i，i，0的实部分别为－2，，，0，0，0；虚部分别为，1，0，－，1，0. （2）判断N*，N，Z，Q，R，C的关系. 解：根据各数集的含义可知，N*⫋N⫋Z⫋Q⫋R⫋C. 通性通法 复数概念的几个关注点 （1）复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b； （2）不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分； （3）如果两个复数都是实数可以比较大小，否则不能比较大小. 【跟踪训练】 1.设集合A＝{虚数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，则A，B，C间的关系为（　　） A.A⫋B⫋C B.B⫋A⫋C C.B⫋C⫋A D.A⫋C⫋B 解析：B　根据复数的定义，复数包含虚数和实数，虚数包含纯虚数和非纯虚数.因此只有B正确.故选B. 2.若复数z＝（2a－1）＋（3＋a）i（a∈R）的实部与虚部相等，则a＝4. 解析：由题意知2a－1＝3＋a，解得a＝4. 题型二 复数的分类 【例2】　当m为何实数时，复数z＝＋（m2－2m－15）i是下列数？ （1）虚数； 解：当即m≠5且m≠－3时，复数z是虚数. （2）纯虚数. 解：当即m＝3或－2时，复数z是纯虚数. 【母题探究】 1.（变设问）本例中条件不变，当m为何值时，复数z为实数？ 解：当即m＝5时，复数z是实数. 2.（变设问）本例中条件不变，当m为何值时，z＞0. 解：因为z＞0，所以z为实数，需满足解得m＝5. 通性通法 解决复数分类问题的方法（步骤） （1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi（a，b∈R）的形式，以确定实部和虚部； （2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可； （3）下结论：设所给复数为z＝a＋bi（a，b∈R）：①z为实数⇔b＝0；②z为虚数⇔b≠0；③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0. 【跟踪训练】 1.若复数z＝（x2－100）＋（x－10）i为纯虚数，则实数x＝（　　） A.－10 B.10 C.100 D.－10或10 解析：A　∵z为纯虚数，∴x2－100＝0同时x－10≠0，∴x＝－10，故选A. 2.（2024·新乡月考）若复数z＝（m＋1）＋（m2－9）i＜0，则实数m的值为－3. 解析：因为z＜0，所以解得m＝－3. 题型三 两个复数相等 【例3】　（1）已知（m2＋7m＋10）＋（m2－5m－14）i＝0，求实数m的值； 解：由已知得 解得m＝－2. （2）已知x＋y－xyi＝24i－5，其中x，y∈R，求x，y的值. 解：因为x，y∈R，所以x＋y∈R，xy∈R， 依题意，得 解得或 通性通法 复数相等问题的解题技巧 （1）必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解； （2）根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现. 【跟踪训练】 1.设a，b为实数，若复数a＋1＋bi＝1＋i，则（　　） A.a＝1，b＝1 B.a＝3，b＝1 C.a＝0，b＝1 D.a＝1，b＝3 解析：C　由a＋1＋bi＝1＋i可得解得故选C. 2.若实数x，y满足（x＋y）＋（x－y）i＝2，则xy＝1. 解析：由（x＋y）＋（x－y）i＝2（x，y∈R）得解得所以xy＝1. 1.设复数z＝3－4i，则z的实部与虚部的和为（　　） A.－1 B.1 C.5 D.7 解析：A　由z＝3－4i知实部为3，虚部为－4，故实部与虚部的和为－1.故选A. 2.设a∈R，1＋a2i＝a＋i（i为虚数单位），则a＝（　　） A.－1 B.0 C.1 D.1或－1 解析：C　因为a∈R，1＋a2i＝a＋i，所以有1＝a，a2＝1，即a＝1，故选C. 3.下列命题中，真命题的个数是（　　） ①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i；③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0. A.0 B.1 C.2 D.3 解析：A　①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以①是假命题；②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题；③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，所以③是假命题.故选A. 4.（2024·龙岩月考）若复数z＝m2－1＋（m2－m－2）i为纯虚数，则实数m的值为（　　） A.－1 B.±1 C.1 D.－2 解析：C　因为复数z＝m2－1＋（m2－m－2）i为纯虚数，所以m2－m－2≠0，且m2－1＝0，解得m＝1. 1.已知复数z＝－＋i（i为虚数单位），则z的虚部为（　　） A.－　　　B.i C.　　　D. 解析：C　z＝－＋i的虚部为，故选C. 2.已知复数z＝m2－9＋（m－3）i，其中i为虚数单位，若复数z为纯虚数，则实数m＝（　　） A.－3 B.3 C.±3 D.0 解析：A　复数z＝m2－9＋（m－3）i为纯虚数，则解得m＝－3，故选A. 3.（2024·金华月考）实数x，y满足条件：（x＋y）＋（y－1）i＝y＋（2y＋1）i（其中i为虚数单位），则x＋y＝（　　） A.－2 B.2 C.3 D.－3 解析：A　因为（x＋y）＋（y－1）i＝y＋（2y＋1）i，所以解得所以x＋y＝－2，故选A. 4.设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：B　若复数a－bi为纯虚数，则a＝0且b≠0，故ab＝0.而由ab＝0不一定能得到复数a－bi是纯虚数，故“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的必要不充分条件. 5.（多选）下列命题正确的是（　　） A.（a2＋1）i（a∈R）是纯虚数 B.－i2＝1 C.1＋4i＞3i D.若z∈C，则z2≥0 解析：AB　对于A：因为a2＋1≥1，所以（a2＋1）i（a∈R）是纯虚数，故正确；对于B：i2＝－1，所以－i2＝1，故正确；对于C：复数不能比较大小，故错误；对于D：当z＝i时，z2＝i2＝－1＜0，故错误.故选A、B. 6.（多选）下列命题为真命题的是（　　） A.复数集是实数集与纯虚数集的并集 B.x＝i是方程x2＋2＝0的解 C.已知复数z1，z2，若z1＞z2，则z1－z2＞0 D.i是－1的一个平方根 解析：BCD　复数集是实数集和虚数集的并集，A为假命题；当x＝i时，x2＋2＝0，B为真命题；两个复数z1，z2满足z1＞z2，说明z1，z2都是实数，显然有z1－z2＞0，C为真命题；根据虚数单位i的定义，D为真命题.故选B、C、D. 7.已知复数z的实部为－1，虚部为－3，则z＝－1－3i. 解析：由已知可得z＝－1－3i. 8.（2024·佛山月考）若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝　2＋i 解析：由xi－i2＝y＋2i可得1＋xi＝y＋2i，则所以x＋yi＝2＋i. 9.若复数z＝sin 2α－（1－cos 2α）i是纯虚数，则α＝kπ＋（k∈Z）. 解析：由题意知sin 2α＝0，1－cos 2α≠0，∴2α＝2kπ＋π（k∈Z），∴α＝kπ＋（k∈Z）. 10.当实数m取什么值时，复数z＝（m2＋5m＋6）＋（m2－2m－8）i是下列数？ （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）0. 解：由m2＋5m＋6＝0，得m＝－2或m＝－3，由m2－2m－8＝0，得m＝4或m＝－2. （1）当m2－2m－8＝0时，复数z为实数，∴m＝4或m＝－2. （2）当m2－2m－8≠0时，复数z为虚数，∴m≠4且m≠－2. （3）当时，复数z是纯虚数，∴m＝－3. （4）当时，复数z＝0，∴m＝－2. 11.如果C，R，I分别表示复数集、实数集和纯虚数集，则（　　） A.C＝R∪I B.R∪I＝{0} C.R＝C∩I D.R∩I＝⌀ 解析：D　复数包括实数与虚数，所以实数集与纯虚数集无交集，所以R∩I＝⌀. 12.已知关于x的方程（x2＋mx）＋2xi＝－2－2i（m∈R）有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z＝（　　） A.3＋i B.3－i C.－3－i D.－3＋i 解析：B　由题意知（n2＋mn）＋2ni＝－2－2i，即解得∴z＝3－i. 13.（2024·宁德月考）使不等式m2－（m2－3m）i＜（m2－4m＋3）i＋10成立的实数m的取值集合是{3} 解析：由已知，得解得m＝3，所以所求实数m的取值集合是{3}. 14.分别求满足下列条件的实数x，y的值. （1）2x－1＋（y＋1）i＝x－y＋（－x－y）i； （2）＋（x2－2x－3）i＝0. 解：（1）因为x，y∈R，所以由复数相等的充要条件得解得 （2）因为x∈R，所以由复数相等的充要条件得即所以x＝3. 15.（2024·丽水质检）若复数a2－a－2＋（｜a－1｜－1）i（a∈R）不是纯虚数，则（　　） A.a＝－1 B.a≠－1且a≠2 C.a≠－1 D.a≠2 解析：C　复数a2－a－2＋（｜a－1｜－1）i（a∈R）不是纯虚数，则有a2－a－2≠0或｜a－1｜－1＝0，解得a≠－1. 16.已知复数z1＝4－m2＋（m－2）i，z2＝λ＋2sin θ＋（cos θ－2）i（其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R）. （1）若z1为纯虚数，求实数m的值； （2）若z1＝z2，求实数λ的取值范围. 解：（1）∵z1为纯虚数，∴解得m＝－2. （2）由z1＝z2，得 ∴λ＝4－cos2θ－2sin θ＝sin2θ－2sin θ＋3＝（sin θ－1）2＋2. ∵－1≤sin θ≤1， ∴当sin θ＝1时，λmin＝2， 当sin θ＝－1时，λmax＝6， ∴实数λ的取值范围是[2，6]. 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $