章末检测（6）平面向量及其应用-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(人教A版)

该教案聚焦平面向量的线性运算、数量积及解三角形等核心知识，通过从向量基本概念到几何应用再到实际问题的脉络设计，搭建从基础到综合的学习支架，帮助学生梳理知识体系。 资料特色在于融入航海测量、剪纸艺术等实际情境，以问题链驱动数学思维，通过向量坐标运算、正弦余弦定理推理培养数学眼光与表达能力，助力学生提升综合应用能力，也为教师提供精准的教学效果评估工具。

章末检测（六）　平面向量及其应用 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.若平面向量a与b＝（1，－1）方向相同，且｜a｜＝2，则a＝（　　） A.（－，） B.（，－） C.（－2，2） D.（2，－2） 解析：D　因为向量a与b方向相同，且｜a｜＝2，所以a＝λb＝（λ，－λ），λ＞0，所以a＝（2，－2）.故选D. 2.在矩形ABCD中，E是BC的中点，F是AE上靠近E的三等分点，则向量＝（　　） A.＋ B.－ C.＋ D.－ 解析：B　由题可得＝＋＝＋＝－＋×（＋）＝－＋＋＝－.故选B. 3.设x，y∈R，向量a＝（x，1），b＝（1，y），c＝（2，－4）且a⊥c，b∥c，则｜a＋b｜＝（　　） A. B.2 C. D.10 解析：C　因为向量a＝（x，1），b＝（1，y），c＝（2，－4）且a⊥c，b∥c，所以2x－4＝0⇒x＝2，1×（－4）－2y＝0⇒y＝－2，从而a＋b＝（2，1）＋（1，－2）＝（3，－1），因此｜a＋b｜＝＝，故选C. 4.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，a＝2，c＝b，则△ABC的面积为（　　） A.2　　　　B. C.　　　　D.2 解析：C　由余弦定理的推论得cos ＝＝－，因为c＝b，所以b＝2（负值舍去），c＝2，所以S△ABC＝bcsin A＝×2×2×＝.故选C. 5.一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（　　） A.10 海里 B.10 海里 C.20 海里 D.20 海里 解析：B　根据已知条件可知，在△ABC中，AB＝20，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，所以C＝45°，由正弦定理，得＝，所以BC＝＝10.故选B. 6.在△ABC中，a＝x，b＝，A＝，若该三角形有两个解，则x的取值范围是（　　） A.（，6） B.（2，2） C. D. 解析：D　∵三角形有两个解，∴bsin A＜x＜b，即＜x＜.故选D. 7.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ccos B＝b（a－cos C），且△ABC的面积为S＝ccos A，则A＝（　　） A. B. C. D. 解析：C　因为ccos B＝b（a－cos C），所以由正弦定理可得sin Ccos B＝asin B－sin Bcos C，可得sin Ccos B＋sin Bcos C＝sin（B＋C）＝sin A＝asin B，可得a＝ab，可得b＝，因为△ABC的面积为S＝ccos A＝bcsin A＝××c×sin A，可得tan A＝，又A∈（0，π），所以A＝，故选C. 8.剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，图①是人们设计的一套由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸.已知正方形ABCD的边长为2，中心为O，四个半圆的圆心均为正方形ABCD各边的中点（如图②），若P为的中点，则·（＋）＝（　　） A.4 B.6 C.8 D.10 解析：C　依题意得｜｜＝｜｜＝，｜｜＝2，∠AOP＝，∠BOP＝，所以·＝｜｜·｜｜cos＝×2×（－）＝－2，·＝｜｜·｜｜cos＝×2×＝2，所以·（＋）＝－·（－＋－）＝－·－·＋2｜｜2＝2－2＋2×22＝8.故选C. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，（a－c）·（b－c）≤0，则｜a＋b－c｜的值可能为（　　） A.－1　　 　B.1 C.　　 　D.2 解析：AB　因为a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，（a－c）·（b－c）≤0，所以a·b－c·（a＋b）＋c2≤0，所以c·（a＋b）≥1，而｜a＋b－c｜＝＝＝≤＝1，所以C、D不符合要求.故选A、B. 10.已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，c＝且cos2A－cos2B－cos2C＝cos Acos B＋cos C－cos 2B，则下列结论中正确的是（　　） A.C＝ B.C＝ C.△ABC面积的最大值为 D.△ABC面积的最大值为 解析：BC　∵cos2A－cos2B－cos2C＝cos Acos B＋cos C－cos 2B，∴（1－sin2A）－（1－sin2B）－（1－sin2C）＝cos Acos B－cos（A＋B）－（1－2sin2B），∴sin Asin B＋sin2B＋sin2A－sin2C＝0，由正弦定理可得ab＋b2＋a2－c2＝0，∴cos C＝＝－，∵0＜C＜π，∴C＝，c2＝3＝a2＋b2－2abcos ＝a2＋b2＋ab≥2ab＋ab＝3ab，当且仅当a＝b＝1时取等号，∴ab≤1，∴S＝absin C≤.故选B、C. 11.若M是△ABC所在平面内一点，则下列说法中正确的是（　　） A.若＝＋，则M是边BC的中点 B.若＝2－，则M是边BC的中点 C.若＝－－，则点M是△ABC的重心 D.若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的 解析：ACD　对于A，由＝＋，得－＝－，即＝，因此点M是边BC的中点，故A正确；对于B，＝2－，－＝－，∴＝，则点M在边CB的延长线上，∴B不正确；对于C，设BC的中点为D，则＝－－＝＋＝2，由重心性质可知C正确； 对于D，＝x＋y，且x＋y＝，∴＝x＋（－x）·（＋），∴－＝（－x），分别取AB，AC的中点为N，F，则－＝－＝，即点M在过AB中点且平行BC的直线上，即M在上，∴M在△ABC的中位线上，∴△MBC的面积是△ABC面积的，选项D正确.故选A、C、D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.已知向量a＝（1，k），b＝（2，2），且a＋b与a共线，那么a·b＝　4 解析：依题意得a＋b＝（3，k＋2），由a＋b与a共线，得3×k－1×（k＋2）＝0，解得k＝1，所以a·b＝2＋2k＝4. 13.在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，B＝45°，AB＝2CD＝2，M为腰BC的中点，则·＝2. 解析：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立直角坐标系（图略），则由题意得A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（1，1），M（，），所以＝（－，－），＝（－，），所以·＝－＝2. 14.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C＝60°，a＝3，S△ABC＝，则AB边上的中线长为. 解析：因为S△ABC＝absin C＝×3×b×＝，可得b＝5，根据余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C＝19，故c＝，不妨取AB的中点为M，故＝（＋），故｜｜＝ ＝＝.即AB边上的中线长为. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）已知＝（－1，3），＝（3，m），＝（1，n），且∥. （1）求实数n的值； （2）若⊥，求实数m的值. 解：（1）因为＝（－1，3），＝（3，m），＝（1，n）， 所以＝＋＋＝（3，3＋m＋n）， 因为∥，设＝λ， 即 解得n＝－3. （2）因为＝＋＝（2，3＋m）， ＝＋＝（4，m－3）， 又⊥，所以·＝0， 即8＋（3＋m）（m－3）＝0， 解得m＝±1. 16.（本小题满分15分）如图，四边形ABCD内接于一个圆中，其中BD为直径，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝. （1）求BD的长； （2）求△ACD的面积. 解：（1）在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝25－24cos ＝13，解得AC＝，设R为△ABC外接圆半径，由正弦定理得2R＝＝＝＝，即BD＝. （2）∵BD为直径，∴∠DAB＝∠DCB＝， ∴AD＝＝，CD＝＝，又∠ADC＝π－＝， ∴S△ACD＝AD·CDsin∠ADC＝×××＝. 17.（本小题满分15分）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量.A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如图）.飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离.请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间距离的步骤. 解：①需要测量的数据有：A观测M，N的俯角α1，β1，B观测M，N的俯角α2，β2；A，B间的距离d（如图所示）. ②法一　第一步：计算AM.在△ABM中，由正弦定理得，AM＝； 第二步：计算AN.在△ABN中，由正弦定理得， AN＝； 第三步：计算MN.在△AMN中，由余弦定理得， MN＝. 法二　第一步：计算BM.在△ABM中，由正弦定理得，BM＝； 第二步：计算BN.在△ABN中，由正弦定理得， BN＝； 第三步：计算MN.在△BMN中，由余弦定理得， MN＝. 18.（本小题满分17分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.向量m＝（cos B，cos A），n＝（b－2c，－a），且m∥n. （1）求角A； （2）若a＝2，①求的值； ②求△ABC周长的范围. 解：（1）因为m∥n， 所以（b－2c）cos A＋acos B＝0， 即bcos A＋acos B＝2ccos A， 由余弦定理得b·＋a·＝2ccos A， 即c＝2ccos A，所以cos A＝， 又A∈（0，π），所以A＝. （2）①由正弦定理得＝＝＝＝. 所以＝. ②由①知4＝b2＋c2－bc＝（b＋c）2－3bc， 所以bc＝. 又b＋c≥2， 所以（b＋c）2≥4·， 即（b＋c）2≤16， 所以－4≤b＋c≤4. 又b＋c＞a＝2， 所以2＜b＋c≤4. 故4＜a＋b＋c≤6， 即△ABC周长的范围为（4，6]. 19.（本小题满分17分）n个有次序的实数a1，a2，…，an所组成的有序数组（a1，a2，…，an）称为一个n维向量，其中ai（i＝1，2，…，n）称为该向量的第i分量，特别地，对一个n维向量a＝（a1，a2，…，an），若｜ai｜＝1，i＝1，2，…，n，称a为n维信号向量.设a＝（a1，a2，…，an），b＝（b1，b2，…，bn），则a和b的内积定义为a·b＝aibi，且a⊥b⇔a·b＝0. （1）直接写出4个两两垂直的4维信号向量； （2）证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量； （3）已知k个两两垂直的2 024维信号向量x1，x2，…，xk满足它们的前m个分量都是相同时，求证：＜45. 解：（1）根据题意，两两垂直的4维信号向量可以为：（1，1，1，1），（－1，－1，1，1），（－1，1，－1，1），（－1，1，1，－1）. （2）证明：假设存在14个两两垂直的14维信号向量y1，y2，…，y14， 因为将这14个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的内积不变， 所以不妨设y1＝（1，1，…，1），y2＝（1，1，1，1，1，1，1，－1，－1，－1，－1，－1，－1，－1）， 因为y1·y3＝0，所以y3有7个分量为－1， 设y3的前7个分量中有r个－1，则后7个分量中有7－r个－1， 所以y2·y3＝r·（－1）＋（7－r）＋（7－r）＋r·（－1）＝0，可得r＝，矛盾， 所以不存在14个两两垂直的14维信号向量. （3）证明：任取i，j∈{1，2，…，k}，计算内积xi·xj，将所有这些内积求和得到S， 则S＝＋＋…＋＝2 024k，设x1，x2，…，xk的第k个分量之和为ci， 则从每个分量的角度考虑，每个分量为S的贡献为， 所以S＝＋＋…＋≥＋＋…＋＝k2m， 令2 024k≥k2m，所以km≤2 024＜2 025，所以＜45. 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $