6.4.3 第1课时 余弦定理-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(人教A版)

该教案聚焦余弦定理核心知识点，通过测量两山峰距离的实际问题导入，借助向量运算探索三角形边角关系，构建“定义-公式-例题-变式-通性通法”的学习支架，衔接前后知识脉络。 特色在于情境导入培养数学建模，推导过程渗透逻辑推理，分层例题（如已知两边及一角、三边解三角形）提升数学运算，帮助学生从实际到理论理解定理，教师可直接使用结构化内容提升教学效率。

6.4.3　余弦定理、正弦定理 新课程标准解读 核心素养 1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系 逻辑推理 2.掌握余弦定理、正弦定理 数学运算 3.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题 数学建模 第1课时　余弦定理 　　利用现代测量工具，可以方便地测出三点之间的一些距离和角，从而可得到未知的距离与角. 【问题】　如图所示，A，B分别是两个山峰的顶点，在山脚下任意选择一点C，然后使用测量仪得出AC，BC以及∠ACB的大小.你能根据这三个量求出AB的距离吗？ 　　 　　 　　 知识点一　余弦定理 文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边　平方的和　减去这两边与它们夹角的余弦的　积的两倍　 公式表达 a2＝　b2＋c2－2bccos A　，b2＝　c2＋a2－2cacos B　，c2＝　a2＋b2－2abcos C　 推论 cos A＝，cos B＝，cos C＝ 知识点二　解三角形 一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的　元素　.已知三角形的几个元素求　其他元素　的过程叫做解三角形. 1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝9，b＝2，C＝150°，则c＝（　　 ） A.　　　B.8 C.10　　　D.7 解析：D　由余弦定理得：c＝＝＝7.故选D. 2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2＜c2，则△ABC是（　　） A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 解析：D　因为a2＋b2＜c2，由余弦定理可得cos C＝＜0，又由C∈（0，π），所以C∈（，π），所以△ABC是钝角三角形.故选D. 3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＋c2＝b2＋ac，则B＝. 解析：在△ABC中，由余弦定理知cos B＝，又a2＋c2＝b2＋ac，所以cos B＝，又0＜B＜π，所以B＝. 题型一 已知两边及一角解三角形 【例1】　（1）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝3，c＝2，A＝30°，则a＝； 解析：由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋（2）2－2×3×2cos 30°＝3，所以a＝. （2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝，c＝2，cos A＝，则b＝3. 解析：由余弦定理得5＝22＋b2－2×2bcos A，因为cos A＝，所以3b2－8b－3＝0，所以b＝3（b＝－舍去）. 【母题探究】 （变条件）将本例（2）中的条件a＝，c＝2，cos A＝改为a＝2，c＝2，cos A＝，则b＝2或4. 解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，所以22＝b2＋（2）2－2×b×2×，即b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4.所以b的值为2或4. 通性通法 已知两边及一角解三角形的两种情况 （1）若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角； （2）若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解. 【跟踪训练】 1.（2024·济宁月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos（A＋B）＝，则c＝（　　） A.4　　　　　　　　　　B. C.3 D. 解析：D　cos C＝－cos（A＋B）＝－.又由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝9＋4－2×3×2×（－）＝17，所以c＝.故选D. 2.已知△ABC中，AB＝，BC＝1，A＝30°，则AC＝1或2. 解析：在△ABC中，令角A，B，C的对边分别为a，b，c，则AB＝c＝，BC＝a＝1，cos A＝，所以由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得1＝b2＋3－3b，解得b＝1或b＝2，则AC＝1或AC＝2. 题型二 已知三角形的三边解三角形 【例2】　（1）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a＝2，b＝3，c＝，则C＝（　C　） A. B. C. D. 解析：因为a＝2，b＝3，c＝，所以cos C＝＝＝.因为C∈（0，π），所以C＝.故选C. （2）（2024·洛阳月考）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a∶b∶c＝4∶5∶6，则其最大内角的余弦值为（　A　） A. B. C. D. 解析：根据题意，设a＝4k，b＝5k，c＝6k，k＞0，且最大角为C，所以cos C＝＝＝.故选A. 通性通法 已知三角形三边解三角形的方法 　　先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦值，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角. 【跟踪训练】 1.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a2－b2＝c2－bc，则A＝（　　） A.135° B.60°或120° C.45° D.135°或45° 解析：C　a2－b2＝c2－bc，由余弦定理的推论得cos A＝＝，故A＝45°.故选C. 2.在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C的大小. 解：由余弦定理的推论，得cos A＝＝＝. ∵A∈（0，π），∴A＝， cos C＝ ＝＝， ∵C∈（0，π），∴C＝. ∴B＝π－A－C＝π－－＝， ∴A＝，B＝，C＝. 题型三 判断三角形的形状 【例3】　（1）在△ABC中，（a＋b＋c）（a＋b－c）＝3ab且2cos Asin B＝sin C，试判断△ABC的形状； 解：∵A＋B＋C＝180°，∴sin C＝sin（A＋B）. ∵2cos Asin B＝sin C， ∴2cos Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B， ∴sin Acos B－cos Asin B＝0，∴sin（A－B）＝0. ∵0°＜A＜180°，0°＜B＜180°， ∴－180°＜A－B＜180°，∴A－B＝0°，即A＝B. 又（a＋b＋c）（a＋b－c）＝3ab， ∴a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝. ∵0°＜C＜180°，∴C＝60°，∴△ABC为等边三角形. （2）在△ABC中，若acos B＋acos C＝b＋c，试判断△ABC的形状. 解：由acos B＋acos C＝b＋c，结合余弦定理得a·＋a·＝b＋c，即＋＝b＋c，整理，得（b＋c）（a2－b2－c2）＝0. ∵b＋c≠0，∴a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形. 通性通法 判断三角形形状的方法 （1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线： ①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系； ②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系. （2）判断三角形的形状时，经常用到以下结论： ①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2； ②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2＞c2，且b2＋c2＞a2，且c2＋a2＞b2； ③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2＜c2或b2＋c2＜a2或c2＋a2＜b2； ④若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝. 【跟踪训练】 （2024·温州月考）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是（　　） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 解析：D　在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc，所以由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc，所以bc＝b2＋c2－bc，即（b－c）2＝0，所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形. 1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，b＝2，C＝60°，则c＝（　　） A.3 B. C. D. 解析：B　因为a＝1，b＝2，C＝60°，所以c＝＝＝. 2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，b＝1，c＝2，则A＝（　　） A.30° B.45° C.60° D.75° 解析：C　由余弦定理的推论得cos A＝＝＝，又A为△ABC的内角，所以A＝60°. 3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝3，b＝3，B＝30°，解这个三角形. 解：由余弦定理得b2＝c2＋a2－2cacos B， 即c2－9c＋18＝0，解得c＝3或c＝6. 当c＝3时，cos A＝＝－， 因为0°＜A＜180°， 所以A＝120°， 故C＝180°－120°－30°＝30°； 当c＝6时，cos A＝＝， 因为0°＜A＜180°， 所以A＝60°，故C＝180°－60°－30°＝90°. 综上所述，A＝60°，C＝90°，c＝6或A＝120°，C＝30°，c＝3. 1.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos A＝，b＝3，c＝5，则a＝（　　） A.3 B.4 C. D.2 解析：C　由余弦定理，得a＝＝，故选C. 2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a＝2，b＝3，c＝，则C＝（　　） A. B. C. D. 解析：C　∵a＝2，b＝3，c＝，∴由余弦定理的推论可得cos C＝＝＝.∵C∈（0，π），∴C＝.故选C. 3.在△ABC中，cos B＝（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为（　　） A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 解析：A　cos B＝，由余弦定理得＝，整理得b2＋a2＝c2，即C为直角，则△ABC为直角三角形. 4.（2024·湖州月考）在△ABC中，若AB＝5，BC＝7，AC＝8，则·＝（　　） A.79 B.69 C.5 D.－5 解析：D　由AB＝5，BC＝7，AC＝8，得cos B＝＝，∴·＝｜｜｜｜cos（π－B）＝5×7×（－）＝－5.故选D. 5.（多选）（2024·漳州月考）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝，且b＜c，则（　　） A.b＝2 B.b＝4 C.B＝60° D.B＝30° 解析：AD　由a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋12－6b⇒b2－6b＋8＝0⇒（b－2）（b－4）＝0，由b＜c，得b＝2，又a＝2，cos A＝，所以B＝A＝30°.故选A、D. 6.（多选）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于△ABC，有如下结论，其中正确的有（　　） A.sin（B＋C）＝sin A B.cos（B＋C）＝cos A C.若a2＋b2＝c2，则△ABC为直角三角形 D.若a2＋b2＜c2，则△ABC为锐角三角形 解析：AC　依题意，在△ABC中，B＋C＝π－A，sin（B＋C）＝sin（π－A）＝sin A，A正确；cos（B＋C）＝cos（π－A）＝－cos A，B不正确；因为a2＋b2＝c2，则由余弦定理的推论得cos C＝＝0，而0＜C＜π，即有C＝，则△ABC为直角三角形，C正确；因为a2＋b2＜c2，则cos C＝＜0，而0＜C＜π，即有＜C＜π，则△ABC为钝角三角形，D不正确. 7.在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝，则AB＝1. 解析：在△ABC中，因为A＝60°，AC＝2，BC＝，设AB＝x，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A，化简得x2－2x＋1＝0，所以x＝1，即AB＝1. 8.（2024·漯河月考）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cos B＝. 解析：因为b2＝ac，且c＝2a，得b2＝2a2，由余弦定理的推论，cos B＝＝＝. 9.在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则A＝，AC边上的高为. 解析：由余弦定理的推论，可得cos A＝＝＝，又0＜A＜π，所以A＝，所以sin A＝.则AC边上的高为h＝ABsin A＝3×＝. 10.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin C＝，a＝2，b＝2，求c. 解：因为sin C＝，且0＜C＜π，所以C＝或C＝. 当C＝时，cos C＝，此时c2＝a2＋b2－2abcos C＝4，所以c＝2. 当C＝时，cos C＝－，此时c2＝a2＋b2－2abcos C＝28，所以c＝2. 综上所述，c的值为2或2. 11.（2024·青岛月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cos 2A＝cos（B＋C），且b＝2，c＝6，则a＝（　　） A. B.2 C. D.2 解析：D　cos 2A＝－cos A＝2cos2A－1，即2cos2A＋cos A－1＝0，解得cos A＝－1（舍去）或cos A＝，在△ABC中，根据余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A＝28，得a＝2.故选D. 12.在不等边三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a为最大边，若a2＜b2＋c2，则角A的取值范围为（60°，90°）. 解析：∵a2＜b2＋c2，∴b2＋c2－a2＞0，则cos A＝＞0.∴A＜90°.又∵a为最大边，∴A＞60°.故A的取值范围是（60°，90°）. 13.（2024·广州质检）已知△ABC的三边a，b，c满足＋＝，则B＝. 解析：∵＋＝，∴＋＝3，∴＋＝1.∴c（b＋c）＋a（a＋b）＝（a＋b）（b＋c），即ac＝a2＋c2－b2.∴cos B＝＝，∴B＝. 14.已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2＋cos A＝0. （1）求角A的大小； （2）若a＝2，b＝2，求c的值. 解：（1）因为cos A＝2cos2－1，2cos2＋cos A＝0， 所以2cos A＋1＝0，所以cos A＝－， 又0°＜A＜180°，所以A＝120°. （2）由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccos A. 又a＝2，b＝2，cos A＝－， 所以（2）2＝22＋c2－2×2×c×（－）， 化简，得c2＋2c－8＝0，解得c＝2或c＝－4（舍去）. 15.（多选）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝，a＝m，b＝4.若满足条件的△ABC有两个，则m的值可以是（　　） A.2 B.2 C.3 D.4 解析：BC　在△ABC中，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得m2＝42＋c2－2·4ccos，即c2－4c＋16－m2＝0.依题意，关于c的一元二次方程有两个不相等的正根，所以Δ＝（－4）2－4×1×（16－m2）＝4m2－32＞0，且16－m2＞0.又m＞0，所以2＜m＜4.选项B、C符合条件.故选B、C. 16.已知2a＋1，a，2a－1是钝角三角形的三边，求实数a的取值范围. 解：∵2a＋1，a，2a－1是三角形的三边， ∴∴a＞. 要使2a＋1，a，2a－1构成三角形，还需满足即a＞2. 由题意知2a＋1是三角形的最大边，设其对应的角为θ（钝角），则cos θ＝＜0， ∴a2＋（2a－1）2－（2a＋1）2＜0，即a2－8a＜0，解得0＜a＜8. 又∵a＞2，∴a的取值范围是（2，8）. 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $