6.4.2 向量在物理中的应用举例-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(人教A版)

该教案聚焦向量在物理中的应用，通过生活实例如两人提水、引体向上问题导入，衔接向量加减法、数量积等知识，搭建从数学到物理应用的学习支架。 以问题驱动结合实例教学，体现数学建模、数学运算与逻辑推理素养，如力的分解与做功计算、速度合成解决渡河问题，助力学生提升知识应用能力，为教师提供系统教学资源，有效落实核心素养培养。

6.4.2　向量在物理中的应用举例 新课程标准解读 核心素养 1.会用向量方法解决简单的物理问题 数学建模 2.体会向量在解决物理和实际问题中的作用 数学运算、逻辑推理 　　在生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一桶水，两人手臂夹角越小越省力.在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力. 【问题】　你能从数学的角度解释上述现象吗？ 　 　 　 　 　 　 知识点　向量在物理中的应用 1.物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等. 2.向量的加减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解中. 3.动量mv是向量的数乘运算. 4.功是力F与所产生的位移s的数量积. 1.人骑自行车的速度为v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为（　　） A.v1－v2 B.v2－v1 C.v1＋v2 D.｜v1｜－｜v2｜ 解析：C　由题得v1和v2都是向量，根据向量的加法运算得逆风行驶的速度为v1＋v2.故选C. 2.已知力F的大小｜F｜＝10，在F的作用下产生的位移s的大小为｜s｜＝14，F与s的夹角为60°，则F做的功为（　　） A.7　　　　B.10 C.14　　　　D.70 解析：D　F做的功为F·s＝｜F｜｜s｜cos 60°＝10×14×＝70. 3.若向量＝（1，1），＝（－3，－2）分别表示两个力F1，F2，则｜F1＋F2｜＝（　　） A. B.2 C. D. 解析：C　由题意，向量＝（1，1），＝（－3，－2）分别表示两个力F1，F2，可得F1＋F2＝＋＝（1，1）＋（－3，－2）＝（－2，－1），所以｜F1＋F2｜＝＝.故选C. 题型一 利用向量解决力与做功问题 【例1】　已知力F（斜向上）与水平方向的夹角为30°，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上移动了20 m.问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？（g＝10 N/kg） 解：如图所示，设木块的位移为s， 则WF＝F·s＝｜F｜｜s｜cos 30° ＝50×20×＝500（J）. 将力F分解，它在铅垂方向上的分力F1的大小为｜F1｜＝｜F｜sin 30°＝50×＝25（N）， 所以摩擦力f的大小为｜f｜＝｜μ（G－F1）｜＝（80－25）×0.02＝1.1（N）， 因此Wf＝f·s＝｜f｜｜s｜cos 180°＝1.1×20×（－1）＝－22（J）. 即F和f所做的功分别为500 J和－22 J. 通性通法 用向量方法解决物理问题的四个步骤 【跟踪训练】 设作用于同一点的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，若｜F1｜＝1，｜F2｜＝2，且F1与F2的夹角为，如图所示. （1）求F3的大小； 解：由题意知，｜F3｜＝｜F1＋F2｜， 因为｜F1｜＝1，｜F2｜＝2，且F1与F2的夹角为， 所以｜F3｜＝｜F1＋F2｜＝＝. （2）求F2与F3的夹角. 解：设F2与F3的夹角为θ， 因为F3＝－（F1＋F2）， 所以F3·F2＝－F1·F2－F2·F2， 所以×2×cos θ＝－1×2×（－）－4＝－3， 所以cos θ＝－，所以θ＝. 题型二 利用向量解决速度、位移问题 【例2】　一条宽为 km的河，水流速度为2 km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB＝ km，船在水中最大航速为4 km/h，问该船从A码头到B码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼岸B码头？用时多少？ 解：如图所示，设为水流速度，为航行速度，以AC和AD为邻边作▱ACED且当与方向相同时能最快到达彼岸B码头，根据题意AC⊥AE，在Rt△ADE和▱ACED中， ｜｜＝｜｜＝2，｜｜＝4，∠AED＝90°， 因为sin∠EAD＝，∠EAD∈（0°，90°）， 所以∠EAD＝30°，∠DAC＝120°. 所以｜｜＝＝2. 又AB＝，所以用时＝0.5（h）. 所以该船的航行速度为4 km/h，与水流方向成120°角时能最快到达彼岸B码头，用时0.5 h. 通性通法 速度问题的向量解法 　　运用向量解决物理中的速度问题时，一般涉及速度的合成与分解，因此应充分利用三角形法则与平行四边形法则将物理问题转化为数学中的向量问题，正确地作出图形解决问题. 【跟踪训练】 1.（2024·济南月考）一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在地面上的影子冲向猎物的速度大小是40 m/s，则鹰的飞行速度的大小为m/s. 解析：如图，设鹰在地面上的影子冲向猎物的速度＝v1，鹰的飞行速度＝v2，由题可知｜｜＝｜v1｜＝40，且∠CAB＝30°，则｜｜＝｜v2｜＝＝. 2.某人从点O向正东走30 m到达点A，再向正北走30 m到达点B，则此人的位移的大小是60m，方向是北偏东30°. 解析：如图所示，此人的位移是＝＋，且⊥，则｜｜＝＝60（m），tan∠BOA＝＝，所以∠BOA＝60°.所以的方向为北偏东30°. 1.如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行300 km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，则（　　 ） A.s＞｜a｜ B.s＜｜a｜ C.s＝｜a｜ D.s与｜a｜不能比大小 解析：A　s＝200＋300＝500（km），｜a｜＝＝100（km），∴s＞｜a｜.故选A. 2.物体在力F的作用下，由点A（10，5）移动到点B（4，0），已知F＝（4，－5），力F对该物体所做功的大小为（　　） A. B.1 C.2 D.3 解析：B　由题意得＝（－6，－5），所以F对物体做的功W＝F·＝（4，－5）·（－6，－5）＝4×（－6）＋（－5）×（－5）＝1. 3.（2024·驻马店月考）用两条等长的绳子悬挂一个灯具，绳子成120°角，已知灯具的重量为10 N，则每根绳子的拉力大小为10N. 解析：如图，由题意，得∠AOC＝∠COB＝60°，｜｜＝10，则｜｜＝｜｜＝10，即每根绳子的拉力大小为10 N. 4.河水自西向东流动的速度的大小为10 km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度的大小为10 km/h，求小船的实际航行速度. 解：设a，b分别表示水流速度和小船在静水中的速度，过平面内一点O作＝a，＝b， 以，为邻边作矩形OACB，连接，如图， 则＝a＋b，且即为小船的实际航行速度. 所以｜｜＝＝＝20（km/h）. 因为tan∠AOC＝＝， 所以∠AOC＝60°. 所以小船的实际航行速度大小为20 km/h，按北偏东30°的方向航行. 1.共点力F1＝（lg 2，lg 2），F2＝（lg 5，lg 2）作用在物体M上，产生位移s＝（2lg 5，1），则共点力对物体做的功W为（　　） A.lg 2　　　B.lg 5 C.1　　　　D.2 解析：D　因为F1＋F2＝（1，2lg 2），所以W＝（F1＋F2）·s＝（1，2lg 2）·（2lg 5，1）＝2lg 5＋2lg 2＝2. 2.某人在无风条件下骑自行车的速度为v1，风速为v2（｜v1｜＞｜v2｜），则逆风行驶的速度的大小为（　　） A.v1－v2 B.v1＋v2 C.｜v1｜－｜v2｜ D. 解析：C　题目要求的是速度的大小，即向量的大小，而不是求速度，速度是向量，速度的大小是实数.故逆风行驶的速度的大小为｜v1｜－｜v2｜. 3.已知三个力f1＝（－2，－1），f2＝（－3，2），f3＝（4，－3）同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4＝（　　） A.（－1，－2） B.（1，－2） C.（－1，2） D.（1，2） 解析：D　由题意知f4＝－（f1＋f2＋f3）＝－[（－2，－1）＋（－3，2）＋（4，－3）]＝－（－1，－2）＝（1，2）.故选D. 4.如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和竖直方向的夹角均为θ，已知礼物的质量为m kg，每根绳子的拉力大小相同.则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为（重力加速度为g）（　　） A. B. C. D. 解析：C　设降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小｜F｜，则8｜F｜cos θ＝mg，故｜F｜＝，故选C. 5.（2024·江门月考）体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为370 N，则该学生的体重m（单位：kg）约为（参考数据：重力加速度大小g≈10 m/s2，≈1.732）（　　） A.64 B.70 C.76 D.60 解析：A　设两只胳膊的拉力分别为f1，f2，则｜f1｜＝｜f2｜＝370 N，＜f1，f2＞＝60°，∴｜f1＋f2｜＝＝＝＝370（N），∴mg＝370，∴m≈64.故选A. 6.（多选）关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是（　　） A.船垂直到达对岸所用时间最少 B.当船速v的方向与河岸垂直时用时最少 C.沿任意直线航行到达对岸的时间都一样 D.船垂直到达对岸时航行的距离最短 解析：BD　根据向量将船速v分解，当v垂直河岸时，用时最少.船垂直到达对岸时航行的距离最短. 7.河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为2m/s. 解析：由题意知｜v水｜＝2 m/s，｜v船｜＝10 m/s，作出示意图如图.∴｜v｜＝＝＝2（m/s）. 8.两人提起一个旅行包，旅行包所受的重力为G，两人用力大小都为｜F｜，夹角为θ，若｜F｜＝｜G｜，则θ的大小为30°. 解析：设＝F1，＝F2，＝－G，由向量加法法则可得＝＋， 当｜F1｜＝｜F2｜＝｜G｜时，△OAC为正三角形，∴∠AOC＝60°，从而∠AOB＝120°. 9.有一东西方向的河流（假设河流宽度一样），一艘快艇从河南岸出发渡河，快艇航行速度的大小为2 m/s，方向为北偏西30°，河水的速度为向东1 m/s，经过20 s到达北岸，现快艇从北岸返回，速度大小不变，方向为正南，从北岸出发返回南岸的时间是10s. 解析：如图所示，由题意知，｜｜＝2 m/s，｜｜＝1 m/s，所以｜｜＝＝（m/s），所以南北两岸的距离为×20＝20（m）；现快艇从北岸返回，速度大小不变，方向为正南，所以时间为20÷2＝10（s），即从北岸出发返回南岸的时间是10 s. 10.已知两恒力F1＝（3，4），F2＝（6，－5）作用于同一质点，使之由点A（20，15）移动到点B（7，0）. （1）求力F1，F2分别对质点所做的功； （2）求力F1，F2的合力F对质点所做的功. 解：（1）＝（7，0）－（20，15）＝（－13，－15）， 力F1对质点所做的功W1＝F1·＝（3，4）·（－13，－15）＝3×（－13）＋4×（－15）＝－99（J）， 力F2对质点所做的功W2＝F2·＝（6，－5）·（－13，－15）＝6×（－13）＋（－5）×（－15）＝－3（J）. 所以力F1，F2对质点所做的功分别为－99 J和－3 J. （2）合力F对质点所做的功W＝F·＝（F1＋F2）·＝[（3，4）＋（6，－5）]·（－13，－15）＝（9，－1）·（－13，－15）＝9×（－13）＋（－1）×（－15）＝－117＋15＝－102（J）. 所以合力F对质点所做的功为－102 J. 11.两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为（　　） A.40 N B.10 N C.20 N D.10 N 解析：B　设夹角90°时，合力为F，｜F1｜＝｜F2｜＝｜F｜cos 45°＝10 N，当θ＝120°时，由平行四边形法则知：｜F合｜＝｜F1｜＝｜F2｜＝10 N. 12.（多选）一物体受到3个力的作用，其中重力G的大小为4 N，水平拉力F1的大小为3 N，另一力F2未知，则（　　） A.当该物体处于平衡状态时，｜F2｜＝5 N B.当F2与F1方向相反，且｜F2｜＝5 N时，物体所受合力大小为0 C.当物体所受合力为F1时，｜F2｜＝4 N D.当｜F2｜＝2 N时，3 N≤｜F1＋F2＋G｜≤7 N 解析：ACD　对于A，当该物体处于平衡状态时，｜F2｜＝｜F1＋G｜＝＝5（N），选项A正确；对于B，当F2与F1方向相反，且｜F2｜＝5 N时，物体所受合力大小为＝2（N），选项B错误；对于C，当物体所受合力为F1时，｜F2｜＝｜－G｜＝4 （N），选项C正确；对于D，当｜F2｜＝2 N时，因为F1与G的合力大小为｜F1＋G｜＝5 N，所以3 N≤｜F1＋F2＋G｜≤7 N，选项D正确. 13.（2024·莆田月考）一艘船从南岸出发，向北岸横渡.根据测量，这一天水流速度的大小为3 km/h，方向正东，风的方向为北偏西30°，受风力影响，静水中船的漂行速度的大小为3 km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以大小为2 km/h的速度横渡，则船本身的速度大小为 km/h，船航行的方向为北偏西60°. 解析：如图，设水流的速度为v1，风的速度为v2，v1＋v2＝a.可求得a的方向是北偏东30°，a的大小为3 km/h.设船的实际航行速度为v，方向由南向北，大小为2 km/h.船本身的速度为v3，则a＋v3＝v，即v3＝v－a，由数形结合知，v3的方向是北偏西60°，大小是 km/h. 14.一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m.其中｜F1｜＝2 N，方向为北偏东30°；｜F2｜＝4 N，方向为北偏东60°；｜F3｜＝6 N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功. 解：如图所示，以O为原点，正东方向为x轴的正方向、正北方向为y轴的正方向建立平面直角坐标系，则F1＝（1，），F2＝（2，2），F3＝（－3，3），所以F＝F1＋F2＋F3＝（2－2，2＋4）. 因为位移s＝（4，4）， 所以合力F所做的功W＝F·s＝（2－2，2＋4）·（4，4）＝24（J）. 故合力F所做的功为24 J. 15.（多选）如图所示，小船被绳索拉向岸边，设船在水中运动时水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是（　　） A.绳子的拉力不断增大 B.绳子的拉力不断变小 C.船的浮力不断变小 D.船的浮力保持不变 解析：AC　设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向夹角为θ（0＜θ＜）.则｜F｜cos θ＝｜f｜，所以｜F｜＝.因为θ增大，cos θ减小，所以｜F｜增大.因为｜F｜sin θ增大，且｜F｜sin θ加上浮力等于船的重力，所以船的浮力减小. 16.如图所示，在某海滨城市O附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O的东偏南θ（cos θ＝，θ∈（0°，90°））方向，距点O300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？（参考数据：cos（θ－45°）＝） 解：设t h后，台风中心移动到Q处， 此时城市开始受到台风的侵袭，∠OPQ＝θ－45°. ∵＝＋， ∴＝（＋）2 ＝｜｜2＋｜｜2＋2· ＝｜｜2＋｜｜2－2｜｜｜｜cos（θ－45°） ＝3002＋（20t）2－2×300×20t× ＝100（4t2－96t＋900）. 依题意得≤（60＋10t）2， 解得12≤t≤24. 所以12小时后该城市开始受到台风的侵袭. 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $