6.4.1 平面几何中的向量方法-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(人教A版)

该教案聚焦平面几何中的向量方法，通过“三步曲”将几何问题转化为向量问题。以向量“数形结合”特点设问导入，衔接向量线性运算与数量积知识，搭建代数运算到几何关系的学习支架。 资料亮点在于双解法（基底法、坐标法）与通性通法总结，如例1证明垂直体现逻辑推理，跟踪训练结合直角梯形培养数学建模。分层练习覆盖证明、长度、角度，提升学生数学运算能力，助力教师高效教学。

6.4　平面向量的应用 6.4.1　平面几何中的向量方法 新课程标准解读 核心素养 1.会用向量方法解决简单的平面几何问题 数学建模 2.体会向量在解决数学问题中的作用 数学运算、逻辑推理 　　向量集“数”与“形”于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，用它研究问题可以实现形象思维与抽象思维的有机结合，因而向量是几何研究的一个有效工具. 【问题】　怎样用向量方法研究几何问题？ 　 　 　 　 　 　 知识点　用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” 1.建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. 2.通过向量运算，研究几何元素之间的关系. 3.把运算结果“翻译”成几何关系. 【想一想】 用向量法如何证明平面几何中AB⊥CD？ 提示：证明或计算·＝0，从而得出AB⊥CD. 1.若＝3a，＝－5a，且｜｜＝｜｜，则四边形ABCD是（　　） A.平行四边形　　　　　　B.菱形 C.等腰梯形 D.非等腰梯形 解析：C　∵＝3a，＝－5a，∴∥，｜｜≠｜｜，∵｜｜＝｜｜，∴四边形ABCD是等腰梯形.故选C. 2.（2024·中山月考）在△ABC中，已知A（4，1），B（7，5），C（－4，7），则BC边的中线AD的长为. 解析：BC的中点为D（，6），＝（－，5），∴｜｜＝＝. 题型一 利用向量证明平面几何问题 【例1】　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 证明：法一　设＝a，＝b， 则｜a｜＝｜b｜，a·b＝0. 又＝＋＝－a＋， ＝＋＝b＋， 所以·＝（b＋）·（－a＋） ＝－－a·b＋＝－｜a｜2＋｜b｜2＝0. 故⊥，即AF⊥DE. 法二　如图所示，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系， 设正方形的边长为2，则A（0，0），D（0，2），E（1，0），F（2，1）， 则＝（2，1），＝（1，－2）. 因为·＝（2，1）·（1，－2）＝2－2＝0， 所以⊥，即AF⊥DE. 通性通法 用向量证明平面几何问题的两种基本思路 （1）利用向量基底法求解：①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；④把计算所得结果转化为几何问题. （2）利用向量坐标法求解：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③利用向量的坐标运算找到相应关系；④利用向量关系回答几何问题. 【跟踪训练】 如图，已知在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于点E，M为CE的中点，用向量的方法证明： （1）DE∥BC； 证明：如图，以E为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系. 令｜｜＝1，则｜｜＝1，｜｜＝2. ∵CE⊥AB，AD⊥AB，且AD＝DC， ∴四边形AECD为正方形. ∴可求得各点坐标分别为E（0，0），B（1，0），C（0，1），D（－1，1），A（－1，0）. （1）∵＝（－1，1）－（0，0）＝（－1，1）， ＝（0，1）－（1，0）＝（－1，1）， ∴＝，∴∥，即DE∥BC. （2）D，M，B三点共线. 证明：如图，连接MB，MD. ∵M为EC的中点，∴M（ 0，）， ∴＝（－1，1）－（ 0，）＝（ －1，）， ＝（1，0）－（ 0，）＝（ 1，－）， ∴＝－，∴∥. 又∵MD与MB有公共点M，∴D，M，B三点共线. 题型二 利用平面向量求几何中的长度 【例2】　在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长. 解：设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b， ∵｜｜＝｜a－b｜＝＝＝＝2， ∴5－2a·b＝4，∴a·b＝， 又｜｜2＝｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2 ＝1＋4＋2a·b＝6， ∴｜｜＝，即AC＝. 通性通法 利用向量法解决长度问题的策略 　　向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用公式｜a｜2＝a2求解；二是建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝（x，y），则｜a｜＝ . 【跟踪训练】 （2024·惠州质检）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB的中点，且⊥，则｜｜＝（　　） A. B.2 C.3 D.2 解析：B　以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系.设｜｜＝a（a＞0），则A（0，0），C（4，a），D（0，a），E（2，0），所以＝（2，－a），＝（4，a）.因为⊥，所以·＝0，所以2×4＋（－a）·a＝0，即a2＝8.所以a＝2，所以＝（2，－2），所以｜｜＝ ＝2. 题型三 利用平面向量求几何中的角度 【例3】　如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝DC. 求：（1）AD的长； 解：设＝a，＝b， 则＝＋ ＝＋＝＋（－） ＝＋＝a＋b. ∴｜｜2＝＝（a＋b）2 ＝a2＋2×a·b＋b2 ＝×9＋2××3×3×cos 120°＋×9＝3. ∴AD＝. （2）∠DAC的大小. 解：设∠DAC＝θ（0°＜θ＜120°）， 则θ为与的夹角. ∴cos θ＝＝ ＝＝＝0. ∴θ＝90°，即∠DAC＝90°. 通性通法 平面几何中夹角问题的求解策略 　　利用平面向量解决几何中的夹角问题时，本质是将平面图形中的角视为两个向量的夹角，借助夹角公式进行求解，这类问题也有两种方法，一是利用基底法，二是利用坐标运算.在求解过程中，务必注意向量的方向. 【跟踪训练】 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为AC的中点，则cos∠BDC＝（　　） A.－ B. C.0 D. 解析：B　如图建立平面直角坐标系，则B（0，0），A（0，8），C（6，0），D（3，4），∴＝（－3，－4），＝（3，－4）.又∠BDC为，的夹角，∴cos∠BDC＝＝＝. 1.在△ABC中，若·＋＝0，则△ABC的形状是（　　） A.角C为钝角的三角形 B.角B为直角的直角三角形 C.锐角三角形 D.角A为直角的直角三角形 解析：D　在△ABC中，·＋＝·（＋）＝·＝0，∴⊥，∴A＝，则△ABC为直角三角形，故选D. 2.在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形ABCD为（　　） A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 解析：D　由＋＝0，得＝－＝，∴四边形ABCD为平行四边形.由·＝0知，平行四边形ABCD对角线互相垂直，故四边形ABCD为菱形. 3.（2024·舟山月考）在Rt△ABC中，斜边BC的长为2，O是平面ABC内一点，点P满足＝＋（＋），则｜｜＝1. 解析：∵＝＋（＋），∴－＝（＋），＝（＋），∴AP为Rt△ABC斜边BC的中线.∴｜｜＝1. 4.已知长方形AOCD中，OA＝3，OC＝2，E为OC中点，P为AO上一点，利用向量知识判断当点P在什么位置时，∠PED＝45°. 解：如图，建立平面直角坐标系，则E（1，0），D（2，3）， 设P（0，b）（0≤b≤3）， 则＝（1，3），＝（－1，b）， ∴cos∠PED＝ ＝＝. 整理得2b2－3b－2＝0， 解得b＝2，b＝－（舍去）， ∴当点P为OA上靠近点A的三等分点时，∠PED＝45°. 1.在△ABC中，若（＋）·（－）＝0，则△ABC（　　） A.是正三角形 B.是直角三角形 C.是等腰三角形 D.形状无法确定 解析：C　（＋）·（－）＝－＝0，即｜｜＝｜｜，∴CA＝CB，则△ABC是等腰三角形. 2.已知A，B，C，D四点的坐标分别为（1，0），（4，3），（2，4），（0，2），则此四边形为（　　） A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 解析：A　∵＝（3，3），＝（－2，－2），∴＝－，∴与共线.又｜｜≠｜｜，∴该四边形为梯形. 3.在四边形ABCD中，若＝（1，3），＝（－6，2），则该四边形的面积为（　　） A. B.2 C.5 D.10 解析：D　∵·＝－6＋6＝0，∴AC⊥BD.∴四边形ABCD的面积S＝｜｜｜｜＝××2＝10. 4.（2024·新乡月考）正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，则cos∠DOE＝（　　） A. B. C. D. 解析：D　以O为原点，以OA，OC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示.由题意知，＝（1，），＝（，1），故cos∠DOE＝＝＝. 5.在△ABC中，AB＝AC＝2，点M满足＋2＝0，若·＝，则BC的长为（　　） A.1 B. C.2 D.3 解析：C　取BC的中点O，连接AO，如图所示.∵＋2＝0，即＝2，∴M为BC边上靠近C的三等分点，∵AB＝AC，∴AO⊥BC，∴·＝0，又＝，∴·＝·（＋）＝·＋·＝·＝｜｜2＝，解得｜｜＝2，即BC＝2. 6.（多选）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD＝2，∠BAD＝，＝2，延长DP交BC于点M，则（　　） A.＝－ B.＝4 C.·＝1 D.·＝ 解析：ACD　依题意，因为在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠BAD＝，＝2，所以＝＝＝2，即M为BC的中点，所以＝＝（＋）＝－，故A正确；因为，不共线，所以＝4错误，故B错误；·＝2×1×cos＝1，故C正确；·＝（－）·（＋）＝＋·－＝，故D正确.故选A、C、D. 7.已知G为△ABC的重心，且＝λ（＋），则λ＝. 解析：如图所示，取BC中点M，连接AM，则三角形中由向量公式得＋＝2，又因为G为△ABC的重心，故＝，因此＝（＋），故λ＝. 8.已知在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E，F分别为BC，CD的中点，则（＋）·＝－. 解析：如图，以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），D（0，1），∴C（2，1）.∵E，F分别为BC，CD的中点，∴E（2，），F（1，1），∴＝（2，），＝（1，1），∴＋＝（3，），＝（－2，1），∴（＋）·＝3×（－2）＋×1＝－. 9.（2024·泰安月考）已知S△ABC＝3，点M是△ABC内一点且＋2＝，则△MBC的面积为. 解析：取AC的中点D，因为＋2＝，所以＋＝－2，故2＝－2，所以＝，因为S△ABC＝3，因此S△MBC＝S△DBC＝S△ABC＝. 10.如图，已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，延长CD到M使DM＝CD，延长BE到N使BE＝EN，求证：M，A，N三点共线. 证明：∵D为MC的中点，且D为AB的中点， ∴＝＋. ∴＝－＝. 同理可证明＝－＝. ∴＝－， ∴，共线. 又与有公共点A， ∴M，A，N三点共线. 11.已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且＝，则（　　） A.点P在线段AB上 B.点P在线段AB的反向延长线上 C.点P在线段AB的延长线上 D.点P不在直线AB上 解析：B　∵＝＝－，∴－＝（－），∴＝，故选B. 12.在△ABC中，设－＝2·，那么动点M形成的图形必经过△ABC的（　　） A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心 解析：C　假设BC的中点是O，则－＝（＋）·（－）＝2·＝2·，即（－）·＝·＝0，所以⊥，所以动点M在线段BC的垂直平分线上，所以动点M形成的图形必经过△ABC的外心. 13.如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·＝－. 解析：＝＋，＝＋，且＝－，所以·＝（＋）·（＋）＝－＝－1＝－. 14.如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的中点，点F在边CD上. （1）若AB＝BC＝2，点F是边CD上靠近点C的三等分点，求·的值； （2）若AB＝，BC＝2，当·＝0时，求CF的长. 解：以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系. （1）因为AB＝BC＝2，点F是边CD上靠近点C的三等分点，点E是BC边上的中点， 所以A（0，0），B（2，0），C（2，2），E（2，1），D（0，2），F（，2）， 所以＝（2，1），＝（－，1）， 所以·＝－＋1＝－. （2）因为AB＝，BC＝2， 所以A（0，0），B（，0），E（，1），C（，2），D（0，2）， 设F（a，2）（0≤a≤ ）， 所以＝（，1），＝（a－，2）， 当·＝0时，（a－）＋2＝0， 解得a＝， 所以CF＝－＝. 15.我们把与直线l垂直的向量称为直线l的法向量，当直线l的方程为y＝kx＋b时，直线l的方向向量为e＝（1，k）.设e＝（A，B）是直线l的一个方向向量，那么n＝（－B，A）就是直线l的一个法向量（如图①）.借助直线的法向量，我们可以方便地计算点到直线的距离. 已知P是直线l外一点，n是直线l的一个法向量，在直线l上任取一点Q，那么在法向量n上的投影向量为（｜｜cos θ）（θ为向量n与 的夹角），其模就是点P到直线l的距离d，即d＝（如图②）.已知点A（－4，0），B（2，－1），C（－1，3），则点A到直线BC的距离为. 解析：设点P（x，y）是直线BC上的任意一点，则∥，又＝（x－2，y＋1），＝（－3，4），∴4（x－2）＝－3（y＋1），整理得y＝－x＋， ∴直线BC的一个方向向量为.取e＝（3，－4），则n＝（4，3）为BC的一个法向量，又＝（6，－1），∴点A到直线BC的距离d＝＝＝. 16.在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，点M是AC边上靠近点A的一个三等分点，试问：在线段BM（端点除外）上是否存在点P使得PC⊥BM？ 解：不存在.理由如下： 以点B为坐标原点，BC所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系. ∵AB＝AC＝5，BC＝6， ∴B（0，0），A（3，4），C（6，0），∴＝（3，－4）. ∵点M是AC边上靠近A点的一个三等分点， ∴＝＝（ 1，－），∴M（ 4，）， ∴＝（ 4，）. 假设在BM上存在点P使得PC⊥BM，则设＝λ，且0＜λ＜1，即＝λ（ 4，）＝（ 4λ，λ）， ∴＝＋＝（－6，0）＋（ 4λ，λ）＝（ 4λ－6，λ）. ∵PC⊥BM，∴·＝0， 即4×（4λ－6）＋×λ＝0，解得λ＝. ∵λ＝∉（0，1）， ∴在线段BM（端点除外）上不存在点P使得PC⊥BM. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $