6.3.5 平面向量数量积的坐标表示-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(人教A版)

该教案聚焦平面向量数量积的坐标表示，通过回顾向量加减与数乘的坐标运算，以“如何用坐标表示数量积”设问，衔接前后知识，构建从已知到未知的学习支架，涵盖数量积公式、模、垂直条件及夹角公式。 资料突出数学运算与逻辑推理核心素养，通过对比垂直与平行的坐标表示并总结口诀，结合分层例题与跟踪训练，如用坐标法解决正方形中点向量数量积问题，培养学生运算能力与推理意识，助力教师系统教学，提升学生知识应用能力。

6.3.5　平面向量数量积的坐标表示 新课程标准解读 核心素养 1.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角 数学运算 2.能用坐标表示平面向量垂直的条件 逻辑推理 　　通过前面的学习，我们知道，已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），我们可以求出a＋b，a－b以及λa（λ≠0）的坐标. 【问题】　那么如何用a与b的坐标来表示a·b呢？ 　　 　　 知识点　平面向量数量积的坐标表示 　若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a与b的夹角为θ.则 （1）a·b＝　x1x2＋y1y2　，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的　乘积的和　； （2）｜a｜2＝　＋　，或｜a｜＝　　； （3）a⊥b⇔　x1x2＋y1y2　＝0（a，b是非零向量）； （4）若a，b都是非零向量，则cos θ＝　　＝　　. 【想一想】 向量垂直与向量平行的坐标表示有什么区别？ 提示：向量垂直与向量平行的条件容易混淆，注意以下特点： 坐标表示 记忆口诀 垂直 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0 对应相乘和为0 平行 a∥b⇔x1y2－x2y1＝0 交叉相乘差为0 1.若a＝（2，－3），b＝（x，2x），且3a·b＝4，则x＝（　　） A.3 B. C.－ D.－3 解析：C　由3a·b＝4，得（6，－9）·（x，2x）＝－12x＝4，∴x＝－. 2.已知向量a＝（1，n），b＝（－1，n），若2a－b 与b垂直，则｜a｜＝（　　） A.1 B. C.2 D.4 解析：C　∵（2a－b）·b＝2a·b－｜b｜2＝2（－1＋n2）－（1＋n2）＝n2－3＝0，∴n2＝3，∴｜a｜＝＝2. 3.已知a＝（3，4），b＝（5，12），则a与b夹角的余弦值为（　　） A.　　　B. C.　　　D. 解析：A　｜a｜＝＝5，｜b｜＝＝13.a·b＝3×5＋4×12＝63.设a与b的夹角为θ，所以cos θ＝＝. 题型一 平面向量数量积的坐标表示 【例1】　（2024·江门月考）已知向量a＝（－1，2），b＝（3，2）. （1）求a·（a－b）； 解：法一　因为a＝（－1，2），b＝（3，2）， 所以a－b＝（－4，0）. 所以a·（a－b）＝（－1，2）·（－4，0）＝（－1）×（－4）＋2×0＝4. 法二　a·（a－b）＝a2－a·b＝（－1）2＋22－[（－1）×3＋2×2]＝4. （2）求（a＋b）·（2a－b）. 解：因为a＋b＝（－1，2）＋（3，2）＝（2，4）， 2a－b＝2（－1，2）－（3，2）＝（－2，4）－（3，2）＝（－5，2）， 所以（a＋b）·（2a－b）＝（2，4）·（－5，2）＝2×（－5）＋4×2＝－2. 通性通法 向量数量积坐标运算的方法 　　进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有三种途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算；三是若题中涉及图形，则要充分利用向量终点坐标与起点坐标之差求出向量的坐标，再由向量坐标求得数量积. 【跟踪训练】 1.（2024·三明月考）已知a＝（1，1），b＝（2，5），c＝（3，x），若（8a－b）·c＝30，则x＝（　　） A.6 B.5 C.4 D.3 解析：C　由题意可得，8a－b＝（6，3），又（8a－b）·c＝30，c＝（3，x），所以18＋3x＝30，解得x＝4. 2.已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，＝2，求·的值. 解：建立平面直角坐标系如图所示，则A（0，2），E（2，1），D（2，2），B（0，0），C（2，0），因为＝2，所以F（，2）.所以＝（2，1），＝（，2）－（2，0）＝（－，2）， 所以·＝（2，1）·（－，2）＝2×（－）＋1×2＝. 题型二 平面向量的模 【例2】　（1）（2022·全国乙卷3题）已知向量a＝（2，1），b＝（－2，4），则｜a－b｜＝（　D　） A.2　　　　B.3 C.4　　　　D.5 解析：由题意知a－b＝（2，1）－（－2，4）＝（4，－3），所以｜a－b｜＝＝5，故选D. （2）（2024·商丘月考）已知向量a＝（x，y），b＝（－1，2），且a＋b＝（1，3），则｜a－2b｜＝5. 解析：∵a＋b＝（x－1，y＋2）＝（1，3），则x＝2，且y＝1.∴a＝（2，1），则a－2b＝（4，－3），故｜a－2b｜＝＝5. 通性通法 求向量的模的两种基本策略 （1）字母表示下的运算：利用｜a｜2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题； （2）坐标表示下的运算：若a＝（x，y），则a·a＝a2＝｜a｜2＝x2＋y2，于是有｜a｜＝ . 【跟踪训练】 1.已知向量a＝（2，1），a·b＝10，｜a＋b｜＝5，则｜b｜＝（　　） A. B. C.5 D.25 解析：C　∵a＝（2，1），∴a2＝5，又｜a＋b｜＝5，∴（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2＝50，∴5＋2×10＋b2＝50，∴b2＝25，∴｜b｜＝5.故选C. 2.已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A（1，2），B（4，1），C（0，－1），则△ABC的形状为（　　） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.以上均不正确 解析：C　｜｜＝＝，｜｜＝＝.又｜｜＝＝，∴｜｜＝｜｜，且｜｜2＋｜｜2＝｜｜2，因此△ABC为等腰直角三角形. 题型三 向量的夹角与垂直 【例3】　已知a＝（4，3），b＝（－1，2）. （1）求a与b夹角的余弦值； 解：因为a·b＝4×（－1）＋3×2＝2， ｜a｜＝＝5，｜b｜＝＝， 设a与b的夹角为θ， 所以cos θ＝＝＝. （2）若（a－λb）⊥（2a＋b），求实数λ的值. 解：因为a－λb＝（4＋λ，3－2λ），2a＋b＝（7，8）， 又（a－λb）⊥（2a＋b）， 所以7（4＋λ）＋8（3－2λ）＝0，解得λ＝. 通性通法 解决向量夹角问题的方法及注意事项 （1）求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ； （2）注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意cos θ＜0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ＞0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. 【跟踪训练】 1.已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝（1，0），e2＝（0，1），则向量a与b夹角的余弦值为. 解析：∵a＝e1－e2＝（1，0）－（0，1）＝（1，－1），b＝4e1＋3e2＝4（1，0）＋3（0，1）＝（4，3），∴｜a｜＝，｜b｜＝5，a·b＝4×1＋3×（－1）＝1，设a，b的夹角为θ，∴cos θ＝＝＝. 2.（2024·济宁月考）已知向量a＝（1，3），b＝（3，4），若（a－λb）⊥b，则λ＝. 解析：法一　a－λb＝（1－3λ，3－4λ），∵（a－λb）⊥b，∴（a－λb）·b＝0，即（1－3λ，3－4λ）·（3，4）＝0，∴3－9λ＋12－16λ＝0，解得λ＝. 法二　由（a－λb）⊥b可知，（a－λb）·b＝0，即a·b－λb2＝0，从而 λ＝＝＝＝. 1.已知向量a＝（2，1），b＝（1，－2），则a与b的夹角为（　　） A.0° B.45° C.60° D.90° 解析：D　a·b＝2－2＝0，所以a⊥b，所以a与b的夹角为90°.故选D. 2.（2024·丽水月考）已知向量a＝（2，1），b＝（－1，k），a·（2a－b）＝0，则k＝（　　） A.－12 B.－6 C.6 D.12 解析：D　2a－b＝（4，2）－（－1，k）＝（5，2－k），由a·（2a－b）＝0，得（2，1）·（5，2－k）＝0，所以10＋2－k＝0，解得k＝12. 3.设平面向量a＝（1，2），b＝（－2，y），若a∥b，则｜3a＋b｜＝. 解析：∵a∥b，∴1×y－2×（－2）＝0，解得y＝－4，从而3a＋b＝（1，2），｜3a＋b｜＝. 4.已知点A（0，1），B（1，－2），向量＝（4，－1），求·及｜｜. 解：因为＝（1，－3），所以·＝1×4＋（－3）×（－1）＝7， ＝－＝（4，－1）－（1，－3）＝（3，2）， 所以｜｜＝＝. 1.向量a＝（1，－2），b＝（－1，2），则（2a＋b）·a＝（　　） A.－1 B.0 C.2 D.5 解析：D　由题意得，2a＋b＝（2，－4）＋（－1，2）＝（1，－2），所以（2a＋b）·a＝1×1＋（－2）×（－2）＝5.故选D. 2.已知a＝（1，－2），b＝（x，2），且a∥b，则｜b｜＝（　　） A.2 B. C.10 D.5 解析：B　因为a＝（1，－2），b＝（x，2），且a∥b，所以2x＋2＝0，解得x＝－1，所以b＝（－1，2），则｜b｜＝＝. 3.已知A（－2，1），B（6，－3），C（0，5），则△ABC的形状是（　　） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 解析：A　由题设知＝（8，－4），＝（2，4），＝（－6，8），所以·＝8×2＋（－4）×4＝0，即⊥.所以∠BAC＝90°，故△ABC是直角三角形. 4.设点A（4，2），B（a，8），C（2，a），O为坐标原点，若四边形OABC是平行四边形，则向量与的夹角为（　　） A. B. C. D. 解析：B　∵四边形OABC是平行四边形，∴＝，即（4－0，2－0）＝（a－2，8－a），∴a＝6，∴＝（4，2），＝（2，6），设向量与的夹角为θ，∴cos θ＝＝＝，又θ∈（0，π），∴与的夹角为. 5.（多选）已知向量a＝（2，－1），b＝（－3，2），c＝（1，1），则（　　） A.a∥b B.（a＋b）⊥c C.a＋b＝c D.c＝5a＋3b 解析：BD　由2×2－（－3）×（－1）≠0知，A错误；由题意得a＋b＝（－1，1），所以（a＋b）·c＝－1＋1＝0，所以B正确，C错误；由题意得5a＋3b＝5（2，－1）＋3（－3，2）＝（1，1）＝c，所以D正确.故选B、D. 6.（多选）（2024·平顶山月考）已知向量a＝（2，1），b＝（－3，1），则（　　） A.a与a－b夹角的余弦值为 B.（a＋b）∥a C.向量a在向量b上的投影向量的模为 D.若c＝（，－），则a⊥c 解析：ACD　对于A：由题意得，a－b＝（5，0），所以a与a－b夹角的余弦值为＝，故A正确；对于B：由题意得，a＋b＝（－1，2），所以（a＋b）·a＝－1×2＋1×2＝0，所以（a＋b）⊥a，故B不正确；对于C：易知＝＝＝－，所以向量a在向量b上的投影向量的模为，故C正确；对于D：因为a＝（2，1），c＝（，－），所以a·c＝2×＋1×（－）＝0，所以a⊥c，故D正确.故选A、C、D. 7.设向量a＝（1，0），b＝（－1，m）.若a⊥（ma－b），则m＝－1. 解析：由题意得ma－b＝（m＋1，－m），根据向量垂直的充要条件可得1×（m＋1）＋0×（－m）＝0，所以m＝－1. 8.已知a＝（1，2），b＝（－2，n），且a⊥b，则｜3a＋b｜＝5. 解析：因为a⊥b，所以－2＋2n＝0，于是n＝1，因此a＝（1，2），b＝（－2，1），所以3a＋b＝（1，7），故｜3a＋b｜＝5. 9.（2024·湖州质检）设向量a＝（2，3），b＝（6，t），若a与b的夹角为锐角，则实数t的取值范围为（－4，9）∪（9，＋∞）. 解析：因为a与b的夹角为锐角，所以a·b＞0，且a与b不共线，所以解得t＞－4且t≠9，所以实数t的取值范围为（－4，9）∪（9，＋∞）. 10.已知向量a＝（－1，2），b＝（3，－1）. （1）求a＋2b的坐标与｜a－b｜； （2）求向量a与a－b的夹角的余弦值. 解：（1）a＋2b＝（5，0）， a－b＝（－4，3）， ｜a－b｜＝＝5. （2）a·（a－b）＝10， ｜a｜＝＝， cos＜a，a－b＞＝＝＝. 11.若向量＝（3，－1），n＝（2，1），且n·＝7，则n·＝（　　） A.－2 B.2 C.－2或2 D.0 解析：B　∵＋＝，∴n·（＋）＝n·，即n·＋n·＝n·，∴n·＝n·－n·＝7－5＝2. 12.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E在边CD上，且＝2，则·＝（　　） A. B. C. D. 解析：C　以A为原点，AB所在直线为x轴、AD所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.∵AB＝，BC＝2，∴A（0，0），B（，0），C（，2），D（0，2），∵点E在边CD上，且＝2， ∴E（，2）.∴＝（，2），＝（－，2），∴·＝－＋4＝. 13.（2024·宁德质检）已知O为坐标原点，向量＝（2，2），＝（4，1），在x轴上有一点P使得·有最小值，则点P的坐标为（3，0）. 解析：设点P的坐标为（x，0），则＝（x－2，－2），＝（x－4，－1）.所以·＝（x－2）（x－4）＋（－2）×（－1）＝x2－6x＋10＝（x－3）2＋1，所以当x＝3时，·有最小值1.此时点P的坐标为（3，0）. 14.已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝（1，2）. （1）若｜c｜＝2，且c与a 方向相反，求c的坐标； （2）若｜b｜＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ. 解：（1）设c＝（x，y），由c∥a及｜c｜＝2. 可得 所以或 因为c与a方向相反，所以c＝（－2，－4）. （2）因为（a＋2b）⊥（2a－b）， 所以（a＋2b）·（2a－b）＝0， 即2｜a｜2＋3a·b－2｜b｜2＝0， 所以2×5＋3a·b－2×＝0， 所以a·b＝－， 所以cos θ＝＝－1. 又因为 θ∈[0，π]，所以θ＝π. 15.已知A，B，C是锐角三角形ABC的三个内角，向量p＝（sin A，1），q＝（1，－cos B），则p与q的夹角是（　　） A.锐角　　　B.钝角 C.直角　　　D.不确定 解析：A　因为△ABC是锐角三角形，所以A＋B＞，即＞A＞－B＞0，又因为函数y＝sin x在（0，）上单调递增，所以sin A＞sin（－B）＝cos B，所以p·q＝sin A－cos B＞0，设p与q的夹角为θ，所以cos θ＝＞0，又因为p与q不共线，所以p与q的夹角是锐角. 16.（2024·云浮月考）已知向量＝（6，1），＝（x，y），＝（－2，－3）. （1）若∥，求x与y之间的关系式； （2）在（1）的条件下，若⊥，求x，y的值及四边形ABCD的面积. 解：（1）∵＝＋＋＝（x＋4，y－2）， ∴＝－＝（－x－4，2－y）. 又∥，且＝（x，y）， ∴x（2－y）－y（－x－4）＝0， 即x＋2y＝0. （2）＝＋＝（x＋6，y＋1）， ＝＋＝（x－2，y－3）. ∵⊥，∴·＝0， 即（x＋6）（x－2）＋（y＋1）（y－3）＝0. 由（1）知x＋2y＝0，与上式联立， 化简得y2－2y－3＝0， 解得y＝3或y＝－1. 当y＝3时，x＝－6， 此时＝（0，4），＝（－8，0）； 当y＝－1时，x＝2， 此时＝（8，0），＝（0，－4）； ∴S四边形ABCD＝｜｜｜｜＝16. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $