6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(人教A版)

该教案聚焦平面向量数乘运算的坐标表示，通过“向量共线坐标关系”“数乘向量坐标关系”问题驱动导入，衔接向量线性运算知识，构建从数乘坐标运算到共线条件、中点公式的知识支架。 资料以问题链激发探究，提炼通性通法培养数学运算与逻辑推理，分层训练（例题、跟踪训练、母题探究）落实核心素养，助力学生形成知识体系，为教师提供清晰教学路径，提升课堂效率与学生思维能力。

6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 新课程标准解读 核心素养 1.掌握数乘向量的坐标运算 数学运算 2.能用坐标表示平面向量共线的条件 逻辑推理 　　已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）. 【问题】　（1）若a∥b，则它们的坐标之间有什么关系？ （2）λa（λ∈R）的坐标与a的坐标之间有什么关系？ 　 　 　 　 　 　 知识点一　平面向量数乘运算的坐标表示 已知a＝（x，y），则λa＝　（λx，λy）　，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数　乘原来向量的相应坐标　. 知识点二　平面向量共线的坐标表示 设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），其中b≠0.向量a，b共线的充要条件是　x1y2－x2y1＝0　. 提醒　（1）a∥b（b≠0）⇔a＝λb.这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系；（2）a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）.这是代数运算，由于不需引进参数λ，从而简化了代数运算；（3）a∥b⇔＝，其中a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）且y1≠0，y2≠0.即两向量的对应坐标成比例.通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误. 【想一想】 两向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）共线的坐标条件能表示成＝吗？ 提示：不能，当x2，y2有一者为零时，比例式没有意义. 知识点三　中点坐标公式 若点P1，P2的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段P1P2的中点P的坐标为（x，y），则此公式为线段P1P2的中点坐标公式. 1.向量a＝（－1，3），b＝（2，－1），则a－2b＝（　　） A.（－5，5） B.（5，－5） C.（－3，1） D.（1，－1） 解析：A　a－2b＝（－1，3）－（4，－2）＝（－5，5）.故选A. 2.设x为实数，若向量a＝（2，3），b＝（x，－6），且a∥b，则x的值为（　　） A.－ B.－4 C. D.4 解析：B　因为a∥b，所以存在实数λ，使得b＝λa，又a＝（2，3），b＝（x，－6），所以解得所以x的值为－4.故选B. 3.已知P（2，6），Q（－4，0），则PQ的中点坐标为（－1，3）. 解析：根据中点坐标公式可得，PQ的中点坐标为（－1，3）. 题型一 平面向量数乘的坐标运算 【例1】　已知a＝（－1，2），b＝（2，1），求：（1）2a＋3b；（2）a－3b；（3）a－b. 解：（1）2a＋3b＝2（－1，2）＋3（2，1）＝（－2，4）＋（6，3）＝（4，7）. （2）a－3b＝（－1，2）－3（2，1）＝（－1，2）－（6，3）＝（－7，－1）. （3）a－b＝（－1，2）－（2，1）＝（－，1）－（，）＝（－，）. 通性通法 平面向量坐标运算的技巧 （1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的坐标运算进行运算； （2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算； （3）向量的线性运算可完全类比数的运算进行. 【跟踪训练】 1.（2024·日照月考）已知向量a＝（5，2），b＝（－4，－3），若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝（　　） A.（－23，－12） B.（23，12） C.（7，0） D.（－7，0） 解析：A　∵a＝（5，2），b＝（－4，－3），且c满足3a－2b＋c＝0，∴c＝2b－3a＝2（－4，－3）－3（5，2）＝（－8－15，－6－6）＝（－23，－12）. 2.已知A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4），且＝3，＝2，求M，N及的坐标. 解：由A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4），可得＝（－2，4）－（－3，－4）＝（1，8），＝（3，－1）－（－3，－4）＝（6，3）， 所以＝3＝3（1，8）＝（3，24），＝2＝2（6，3）＝（12，6）. 设M（x1，y1），N（x2，y2），则＝（x1＋3，y1＋4）＝（3，24），解得x1＝0，y1＝20； ＝（x2＋3，y2＋4）＝（12，6），解得x2＝9，y2＝2， 所以M（0，20），N（9，2），＝（9，2）－（0，20）＝（9，－18）. 题型二 向量平行（共线）的判定 【例2】　（1）下列各组向量共线的是（　　） A.a1＝（－2，3），b1＝（4，6） B.a2＝（2，3），b2＝（3，2） C.a3＝（1，2），b3＝（7，14） D.a4＝（－3，2），b4＝（6，4） 解析：C　对于A，∵a1＝（－2，3），b1＝（4，6），则（－2）×6－3×4≠0，即a1与b1不共线；对于B，∵a2＝（2，3），b2＝（3，2），则2×2－3×3≠0，即a2与b2不共线；对于C，∵a3＝（1，2），b3＝（7，14），则1×14－2×7＝0，即a3与b3共线；对于D，∵a4＝（－3，2），b4＝（6，4），则（－3）×4－2×6≠0，即a4与b4不共线.故选C. （2）已知A（2，1），B（0，4），C（1，3），D（5，－3），判断与是否共线？如果共线，它们的方向是相同还是相反？ 解：＝（0，4）－（2，1）＝（－2，3），＝（5，－3）－（1，3）＝（4，－6）. 法一　∵（－2）×（－6）－3×4＝0，∴与共线，通过观察可知，和方向相反. 法二　∵＝－2，∴与共线且方向相反. 通性通法 向量共线的判定方法 【跟踪训练】 已知A，B，C三点的坐标分别为（－1，0），（3，－1），（1，2），且＝，＝，求证：∥. 证明：设E（x1，y1），F（x2，y2）. 由题意知＝（2，2），＝（－2，3），＝（4，－1）， ∴＝＝（，），＝＝（－，1）， ∴＝（x1，y1）－（－1，0）＝（，）， ＝（x2，y2）－（3，－1）＝（－，1）， ∴（x1，y1）＝（－，），（x2，y2）＝（，0）， ∴＝（x2，y2）－（x1，y1）＝（，－）. ∵4×（－）－（－1）×＝0，∴∥. 题型三 利用向量共线的坐标表示求参数 【例3】　（1）已知向量a＝（2，6），b＝（－1，λ），若a∥b，则λ＝－3； 解析：由题意知－6＝2λ，所以λ＝－3. （2）（2024·郑州月考）已知点P（－1，2），线段PQ的中点M的坐标为（1，－1）.若向量与向量a＝（λ，1）共线，则λ＝－. 解析：点P（－1，2），线段PQ的中点M的坐标为（1，－1），所以向量＝2（1－（－1），－1－2）＝（4，－6），又因为与向量a＝（λ，1）共线，所以4×1＋6λ＝0，解得λ＝－. 通性通法 利用向量共线的坐标表示求参数的思路 （1）利用共线向量定理a＝λb（b≠0）列方程（组）求参数； （2）利用向量共线的坐标表示直接求参数. 提醒　当两向量中存在零向量时，无法利用坐标表示求解. 【跟踪训练】 1.已知非零向量a＝（m2－1，m＋1）与向量b＝（1，－2）平行，则实数m的值为（　　） A.－1或 B.1或－ C.－1 D. 解析：D　非零向量a＝（m2－1，m＋1）与向量b＝（1，－2）平行，∴－2（m2－1）－1×（m＋1）＝0，且m≠－1，∴m＝. 2.（2024·绍兴月考）已知＝（k，2），＝（1，2k），＝（1－k，－1），且相异三点A，B，C共线，则实数k＝－. 解析：＝－＝（1－k，2k－2），＝－＝（1－2k，－3），由题意可知∥，所以（－3）×（1－k）－（2k－2）（1－2k）＝0，解得k＝－（k＝1不合题意舍去）. 题型四 有向线段的定比分点坐标公式及应用 【例4】　已知点A（3，－4）与点B（－1，2），点P在直线AB上，且｜｜＝2｜｜，求点P的坐标. 解：设点P的坐标为（x，y）， 因为｜｜＝2｜｜， 所以当P在线段AB上时，＝2， 所以（x－3，y＋4）＝2（－1－x，2－y）， 所以解得 所以点P的坐标为（，0）； 当P在线段AB的延长线上时，＝－2， 所以（x－3，y＋4）＝－2（－1－x，2－y）， 所以解得 所以点P的坐标为（－5，8）， 综上所述，点P的坐标为（，0）或（－5，8）. 【母题探究】 （变条件、变设问）若将本例条件改为“经过点P（－2，3）的直线分别交x轴、y轴于点A，B，且｜｜＝3｜｜”，求点A，B的坐标. 解：由题设知，A，B，P三点共线，且｜｜＝3｜｜. 设A（x，0），B（0，y）. ①点P在A，B之间，则有＝3， 所以（－x，y）＝3（－2－x，3）， 所以解得 点A，B的坐标分别为（－3，0），（0，9）. ②点P不在A，B之间，则有＝－3， 易得点A，B的坐标分别为（－，0），（0，－9）. 综上，点A，B的坐标分别为（－3，0），（0，9）或（－，0），（0，－9）. 通性通法 点P分线段P1P2的比为λ，点P坐标的求法 （1）设P1（x1，y1），P2（x2，y2）.若＝λ时，则P点的坐标为（，）（其中λ称为定比，此公式为定比分点坐标公式，λ≠－1）. ①当λ＜0时，点P为外分点（点P在线段P1P2的延长线上）； ②当λ＞0时，点P为内分点（点P在线段P1P2上）. （2）当λ＝1时，即点P是P1P2的中点（＝）时，则P点坐标为（，）. 【跟踪训练】 1. （2024·泉州月考）在△ABC中，A（2，3），B（8，－4），点G（2，－1）在中线AD上，且＝2，则点C的坐标是（　　） A.（－4，2） B.（－4，－2） C.（4，－2） D.（4，2） 解析：B　设点C的坐标为（x，y），则点D的坐标为（，）.由＝2可得4＋x＝0，－2＋y＝－4，解得x＝－4，y＝－2，故点C的坐标为（－4，－2）. 2.如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D是边AB的中点，G是CD上的一点，且＝2，则点G的坐标为（，）. 解析：∵D是AB的中点，∴点D的坐标为（，），∵＝2，∴＝2，设G点坐标为（x，y），由定比分点坐标公式可得x＝＝，y＝＝，即点G的坐标为（，）. 1.下列各组向量中，共线的是（　　） A.a＝（－1，2），b＝（，1） B.a＝（3，），b＝（2，） C.a＝（2，3），b＝（2，－3） D.a＝（－3，2），b＝（3，－2） 解析：D　选项A中，2×－（－1）×1≠0，则a与b不共线；同理，B，C中的两向量不共线；选项D中，2×3－（－3）×（－2）＝0，则有a∥b. 2.已知向量e1＝（－1，2），e2＝（2，1），若向量a＝2e1－e2，则向量a的坐标为（　　） A.（4，3） B.（－4，3） C.（－4，－3） D.（0，5） 解析：B　a＝2e1－e2＝（－2，4）－（2，1）＝（－4，3）. 3.已知平面向量a＝（1，2），b＝（－2，m＋1），a∥b，则2a＋3b＝（　　） A.（－5，－10） B.（－4，－8） C.（－3，－6） D.（－2，－4） 解析：B　依题意a＝（1，2），b＝（－2，m＋1），a∥b， 所以1×（m＋1）＝－2×2，m＝－5，即b＝（－2，－4），所以2a＋3b＝（2，4）＋（－6，－12）＝（－4，－8）.故选B. 4.已知A（1，－3），B（8，），C（9，λ），且A，B，C三点共线，则λ＝1. 解析：由A（1，－3），B（8，），C（9，λ），可得＝（7，），＝（8，λ＋3），由A，B，C三点共线，得∥，则7（λ＋3）－8×＝0，解得λ＝1. 1.已知向量＝（2，4），＝（0，2），则＝（　　） A.（－2，－2） B.（2，2） C.（1，1） D.（－1，－1） 解析：D　∵＝（2，4），＝（0，2），∴＝－＝（－2，－2），∴＝（－1，－1）. 2.下列向量组中，能作为基底的是（　　） A.e1＝（0，0），e2＝（1，－2） B.e1＝（－1，2），e2＝（5，7） C.e1＝（3，5），e2＝（6，10） D.e1＝（2，－3），e2＝（，－） 解析：B　对于A，因e1＝0，则有e1∥e2，e1与e2不能作为基底；对于B，因e1＝（－1，2），e2＝（5，7），（－1）×7－2×5≠0，则有e1与e2不共线，e1与e2可作基底；对于C，因e1＝（3，5），e2＝（6，10），则有e2＝2e1，e1与e2不能作为基底；对于D，因e1＝（2，－3），e2＝（，－），则有e1＝4e2，e1与e2不能作为基底.故选B. 3.已知A（3，－2），B（－1，4），若＝，则P点的坐标为（　　） A.（0，） B.（0，） C.（，0） D.（，0） 解析：B　设P点的坐标为（x，y），则＝（－1－x，4－y），＝（－4，6），由＝，得解得所以P点的坐标为（0，）. 4.已知向量＝（7，6），＝（－3，m），＝（－1，2m），若A，C，D三点共线，则m＝（　　） A.　　　　B. C.－　　　　D.－ 解析：D　＝＋＝（4，m＋6），因为A，C，D三点共线，所以与共线，所以4×2m＝－（m＋6），解得m＝－.故选D. 5.（多选）已知a＝（5，4），b＝（3，2），则下列向量中与2a－3b平行的向量有（　　） A.（，） B.（，－） C.（－2，1） D.（1，2） 解析：AD　∵a＝（5，4），b＝（3，2），∴2a－3b＝（1，2），则与2a－3b平行的向量c＝（x，y）需满足y－2x＝0，即y＝2x.选项A，D中向量满足，故选A、D. 6.（多选）已知向量＝（1，－3），＝（2，－1），＝（m＋1，m－2），若A，B，C为三角形的顶点，则实数m可以是（　　） A.－2 B. C.1 D.－1 解析：ABD　若A，B，C三点不共线即可作为三角形的顶点.因为＝－＝（2，－1）－（1，－3）＝（1，2），＝－＝（m＋1，m－2）－（1，－3）＝（m，m＋1），假设A，B，C三点共线，则1×（m＋1）－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，A，B，C三点即可作为三角形的顶点.故选A、B、D. 7.已知向量a＝（2，－3），b＝（1，2），p＝（9，4），若p＝ma＋nb，则m＋n＝7. 解析：由于p＝ma＋nb，即（9，4）＝（2m，－3m）＋（n，2n）＝（2m＋n，－3m＋2n），所以解得所以m＋n＝7. 8.如果向量a＝（k，1），b＝（4，k）共线且方向相反，则k＝－2. 解析：∵a与b共线且方向相反，∴存在实数λ（λ＜0），使得b＝λa，即（4，k）＝λ（k，1）＝（λk，λ），∴解得或（舍去）. 9.已知点A（2，3），B（4，－3），点P在线段AB的延长线上，且｜AP｜＝2｜BP｜，则点P的坐标为（6，－9）. 解析：设点P的坐标为（x，y），由条件可知＝－2，由定比分点坐标公式可知即点P的坐标为（6，－9）. 10.已知向量＝（4，3），＝（－3，－1），点A（－1，－2）. （1）求线段BD的中点M的坐标； （2）若点P（2，y）满足＝λ（λ∈R），求实数λ与y的值. 解：（1）设B（x1，y1）， 因为＝（4，3），A（－1，－2）， 所以（x1＋1，y1＋2）＝（4，3）， 所以解得 所以B（3，1）. 同理可得D（－4，－3），设BD的中点M（x2，y2）， 则x2＝＝－，y2＝＝－1， 所以M（－，－1）. （2）因为＝（3，1）－（2，y）＝（1，1－y）， ＝（－4，－3）－（3，1）＝（－7，－4）， 又＝λ（λ∈R）， 所以（1，1－y）＝λ（－7，－4）＝（－7λ，－4λ）， 所以解得 11.（2024·南平质检）已知A（－3，0），B（0，－2），O为坐标原点，点C在∠AOB内，｜｜＝2，且∠AOC＝，设＝λ＋（λ∈R），则λ＝（　　） A.1 B. C. D. 解析：D　由题设知，C在第三象限内，又｜｜＝2且∠AOC＝，所以C（－2，－2），所以＝（－2，－2），而＝（－3，0），＝（0，－2），则＝λ＋，即（－2，－2）＝λ（－3，0）＋（0，－2）＝（－3λ，－2），可得λ＝.故选D. 12.（多选）（2024·韶关月考）已知λ，μ∈R，＝（λ，1），＝（－1，1），＝（1，μ），则（　　） A.＋＝（λ－1，1－μ） B.若∥，则λ＝2，μ＝ C.若A是BD的中点，则B，C两点重合 D.若点B，C，D共线，则μ＝1 解析：AC　A选项，＋＝－＋－＝－＝（λ，1）－（1，μ）＝（λ－1，1－μ），A选项正确；B选项，若∥，则λ·μ＝1，故也可取λ＝3，μ＝，B选项错误；C选项，若A是BD的中点，则＝－，即（λ，1）＝（－1，－μ）⇒λ＝μ＝－1，所以＝＝（－1，1），所以B，C两点重合，C选项正确；D选项，由于B，C，D三点共线，所以∥，＝－＝（－1，1）－（λ，1）＝（－1－λ，0），＝－＝（1，μ）－（λ，1）＝（1－λ，μ－1），则（－1－λ）×（μ－1）＝0×（1－λ）⇒λ＝－1或μ＝1，所以D选项错误. 13.已知A（0，5），B（－1，0），C（3，4），D是BC上一点且△ACD的面积是△ABC面积的，则△ABC的重心G的坐标是（，3），D的坐标是（2，3）. 解析：由题可得△ABC的重心G的坐标为（，），即（，3）.由题意得＝3.设D（x，y），则＝（x＋1，y），＝（3－x，4－y），所以x＋1＝3（3－x），y＝3（4－y），解得x＝2，y＝3，即D（2，3）. 14.已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5），且＝＋t，试问： （1）当t为何值时，点P分别在x轴上、y轴上、第二象限？ （2）四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由. 解：由题意得＝（1，2），＝（3，3）， ∴＝＋t＝（1，2）＋t（3，3）＝（1＋3t，2＋3t）. （1）若点P在x轴上，则有2＋3t＝0，解得t＝－； 若点P在y轴上，则有1＋3t＝0，解得t＝－； 若点P在第二象限，则有解得－＜t＜－. （2）不能.理由：＝－＝（3－3t，3－3t），若四边形OABP是平行四边形，则有＝，即有3－3t＝1且3－3t＝2，这显然是不可能的.因此，四边形OABP不能成为平行四边形. 15.如图所示，已知点A（4，0），B（4，4），C（2，6），则直线AC和OB的交点P的坐标为（3，3）. 解析：设P（x，y），则＝（x，y），因为＝（4，4），且与共线，所以4x＝4y，即x＝y.又＝（x－4，y），＝（－2，6），且与共线，则得（x－4）×6－y×（－2）＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为（3，3）. 16.设向量a＝（λ＋2，λ2－cos2α），b＝（m，＋sin α），其中λ，m，α为实数，若a＝2b，求的取值范围. 解：由a＝2b，知 ∴ ∴＝＝2－， ∵cos2α＋2sin α＝－sin2α＋2sin α＋1 ＝－（sin α－1）2＋2，－1≤sin α≤1， ∴－2≤cos2α＋2sin α≤2， ∴－2≤λ2－m＝（2m－2）2－m≤2， ∴≤m≤2， ∴－6≤2－≤1， 即－6≤≤1， ∴的取值范围为[－6，1]. 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $