6.2.3 向量的数乘运算-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(人教A版)

该教案聚焦向量的数乘运算及共线向量定理，通过蚂蚁运动实例导入，类比实数运算猜想向量和的结果，衔接向量加减法，构建线性运算知识脉络。 以情境化问题培养数学眼光，通过共线定理推导与应用发展逻辑推理，分层题型训练提升数学思维，助力学生掌握运算规律与推理方法，为教师提供清晰教学框架，提升课堂效率。

6.2.3　向量的数乘运算 新课程标准解读 核心素养 1.通过实例分析、掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义 数学运算 2.了解平面向量线性运算的性质及其几何意义 逻辑推理 　　一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a，那么它在同一方向上运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？蚂蚁向西运动3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是－3a吗？你能用图形表示吗？ 【问题】　类比实数的运算“a＋a＋a＝3a”你能猜想a＋a＋a的结果吗？ 　 　 　 　 　 　 知识点一　向量的数乘运算及运算律 1.向量的数乘 （1）定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个　向量　，这种运算叫做向量的数乘，记作　λa　； （2）规定：①｜λa｜＝　｜λ｜｜a｜　； ②当λ＞0时，λa的方向与a的方向　相同　；当λ＜0时，λa的方向与a的方向　相反　；当λ＝0时，λa＝　0　；（－1）a＝　－a　. 2.向量数乘的运算律 设λ，μ为实数，那么 （1）λ（μa）＝　（λμ）a　； （2）（λ＋μ）a＝　λa＋μa　； （3）λ（a＋b）＝　λa＋λb　. 特别地，我们有（－λ）a＝－（λa）＝λ（－a），λ（a－b）＝λa－λb. 提醒　（1）向量的数乘仍是向量；（2）实数λ与向量不能相加；（3）若λa＝0，则λ＝0或a＝0；（4）当a≠0时，向量是与向量a同向的单位向量. 知识点二　共线向量定理 　向量a（a≠0）与b共线的充要条件是：存在　唯一一个　实数λ，使　b＝λa　. 【想一想】 共线向量定理中为什么规定a≠0？ 提示：（1）若将条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线； （2）当a＝0时，若b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa，但此时向量a与b共线； （3）当a＝0时，若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa，与存在唯一一个实数λ矛盾. 1.已知非零向量a，b满足a＝－4b，则（　　） A.｜a｜＝｜b｜ B.4｜a｜＝｜b｜ C.a与b的方向相同 D.a与b的方向相反 解析：D　∵a＝－4b，－4＜0，∴｜a｜＝4｜b｜且a与b方向相反. 2.已知λ∈R，则下列命题正确的是（　　） A.｜λa｜＝λ｜a｜ B.｜λa｜＝｜λ｜a C.｜λa｜＝｜λ｜｜a｜ D.｜λa｜＞0 解析：C　由数乘向量的模的意义可知｜λa｜＝｜λ｜｜a｜，故A、B错误，C正确，当λ＝0或｜a｜＝0时，｜λa｜＝0，故D错误，故选C. 3.4（a－b）－3（a＋b）－b＝a－8b. 解析：4（a－b）－3（a＋b）－b＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b. 题型一 向量的线性运算 【例1】　（1）化简：[2（2a＋4b）－4（5a－2b）]； 解：[2（2a＋4b）－4（5a－2b）]＝（4a＋8b－20a＋8b）＝（－16a＋16b）＝－4a＋4b. （2）已知3（2a－b＋c）＋x＝2（－a＋3b），求x. 解：因为3（2a－b＋c）＋x＝2（－a＋3b），所以6a－3b＋3c＋x＝－2a＋6b，即x＝－8a＋9b－3c. 通性通法 向量线性运算的方法 （1）向量的线性运算是向量的加、减、数乘三种运算的通称，类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数是向量的系数； （2）向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用移项，合并同类项，系数化为1等步骤求解. 【跟踪训练】 1.（2024·济南月考）已知e1，e2是两个不共线的向量，向量a＝e1＋2e2，b＝3e1－5e2，则4a－3b＝－5e1＋23e2（用e1，e2表示）. 解析：∵a＝e1＋2e2，b＝3e1－5e2，∴4a－3b＝4（e1＋2e2）－3（3e1－5e2）＝－5e1＋23e2. 2.已知向量a，b，未知向量x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，则向量x＝3a＋2b，y＝　4a＋3b. 解析：由3x－2y＝a①，－4x＋3y＝b②，①×3＋②×2，得x＝3a＋2b，代入①得3×（3a＋2b）－2y＝a，即y＝4a＋3b.∴x＝3a＋2b，y＝4a＋3b. 题型二 向量共线的判定及应用 【例2】　设a，b是不共线的两个非零向量. （1）若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求证：A，B，C三点共线； 解：证明：∵＝－＝（3a＋b）－（2a－b）＝a＋2b，＝－＝（a－3b）－（3a＋b）＝－（2a＋4b）＝－2， ∴与共线，且有公共点B，∴A，B，C三点共线. （2）若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值. 解：∵8a＋kb与ka＋2b共线， ∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ（ka＋2b）， 即（8－λk）a＋（k－2λ）b＝0. ∵a与b不共线，∴ 解得λ＝±2，∴k＝2λ＝±4. 通性通法 1.证明或判断三点共线的方法 （1）一般来说，要判断A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ（或＝λ等）即可； （2）利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔存在实数x，y，使＝x＋y且x＋y＝1. 2.利用向量共线求参数的方法 判断、证明向量共线问题的思路是根据共线向量定理寻求唯一的实数λ，使得b＝λa（a≠0）.而已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得λ的值.若两向量不共线，必有向量的系数为零. 【跟踪训练】 1.设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2（k∈R）与向量n＝e2－2e1共线，则（　　） A.k＝0　　B.k＝1 C.k＝2　　D.k＝ 解析：D　由共线向量定理可知存在实数λ，使m＝λn，即－e1＋ke2＝λ（e2－2e1）＝λe2－2λe1，又e1与e2是不共线向量，∴解得 2.（2024·周口月考）若A，B，C三点共线，O为直线外一点，且＝x＋y，则x＋y＝1. 解析：∵A，B，C三点共线，∴存在实数λ，使得＝λ，即－＝λ（－），∴＝（1＋λ）－λ，则x＝1＋λ，y＝－λ，∴x＋y＝1. 题型三 用已知向量表示未知向量 【例3】　如图，已知ABCD是一个梯形，∥且｜｜＝2｜｜，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝e1，＝e2，分别用e1，e2表示，. 解：因为∥，｜｜＝2｜｜， 所以＝2，＝. 则＝＋＝e2＋e1. 因为M，N分别为DC，AB的中点， 所以｜｜＝2｜｜，｜｜＝2｜｜， 则＝＋＋ ＝－－＋ ＝－e1－e2＋e1＝e1－e2. 通性通法 用已知向量表示未知向量的两种方法 （1）直接法 （2）方程法：当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则或平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程. 【跟踪训练】 1.如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则＝（　　） A.a－b B.a＋b C.a＋b D.a－b 解析：D　因为E是BC的中点，所以＝＝－＝－b，所以＝＋＝＋＝a－b. 2.（2024·莆田月考）如图，在△ABC中，BD＝2DC.若＝a，＝b，则＝（　　） A.a＋b B.a－b C.a＋b D.a－b 解析：C　由题意可得，＝＋＝＋＝＋（－）＝＋＝a＋b. 1.已知a＝4d，b＝5d，c＝－3d，则2a－3b＋c＝（　　） A.10d B.－10d C.20d D.－20d 解析：B　2a－3b＋c＝2（4d）－3（5d）－3d＝8d－15d－3d＝－10d. 2.如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，则＋＝（　　） A. B. C. D. 解析：A　在矩形ABCD中，AB􀰿CD，故＝，又∵E为CD的中点，∴＋＝＋＝＋＝. 3.（多选）下列运算正确的是（　　） A.（－3）·2a＝－6a B.2（a＋b）－（2b－a）＝3a C.（a＋2b）－（2b＋a）＝0 D.2（3a－b）＝6a－2b 解析：ABD　根据向量数乘运算和加、减运算律知A、B、D正确；C中，（a＋2b）－（2b＋a）＝a＋2b－2b－a＝0，而不是0，所以该运算错误. 4.已知a，b为两个不共线的向量，向量－ta＋b（t∈R）与a－b共线，则实数t＝±. 解析：因为向量－ta＋b与a－b共线，则存在实数λ，使－ta＋b＝λ（a－b），即有－t2＝－，解得t＝±. 1.已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的有（　　） ①m（a－b）＝ma－mb；②（m－n）a＝ma－na； ③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na，则m＝n. A.①④　　　B.①② C.①③　　　D.③④ 解析：B　对于①，m（a－b）＝ma－mb，故①中命题正确；对于②，（m－n）a＝ma－na，故②中命题正确；对于③，当m＝0时，由0·a＝0·b，不能得到a＝b，故③中命题错误；对于④，当a＝0时，由ma＝na，不能得到m＝n，故④中命题错误.故选B. 2.设D为△ABC所在平面内一点，＝2，E为BC的中点，则＝（　　） A.＋ B.＋ C.－ D.－ 解析：A　因为＝2，E为BC的中点，所以＝＋＝＋＝＋（－）＝＋，故选A. 3.（2024·广州月考）在梯形ABCD中，＝4，＋＝x＋y，则x－y＝（　　） A.5 B.6 C.－5 D.－6 解析：B　因为＝4，所以＋＝（＋）＋4＝－5.所以x－y＝1－（－5）＝6，故选B. 4.（2024·温州月考）设e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k＝（　　） A.－ B.－ C. D. 解析：B　因为A，B，D三点共线，故存在一个实数λ，使得＝λ，又＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，所以＝－＝3e1－2ke2－（ke1＋e2）＝（3－k）e1－（2k＋1）e2，所以3e1＋2e2＝λ（3－k）e1－λ（2k＋1）e2，所以解得k＝－. 5.（多选）下列说法正确的有（　　） A.λa与a的方向不是相同就是相反（λ∈R且λ≠0，a≠0） B.若a∥b，则b＝λa，其中λ∈R且唯一 C.若｜b｜＝2｜a｜，则b＝±2a D.若b＝±2a，则｜b｜＝2｜a｜ 解析：AD　当λ＞0时，a与λa方向相同，当λ＜0时，a与λa方向相反，故A正确；当a≠0时，结论才成立，故B错误；当｜b｜＝2｜a｜时，b与2a不一定共线，C错误；显然当b＝±2a时，｜b｜＝2｜a｜，故D正确. 6.（多选）已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可以使a，b共线的是（　　） A.2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e B.存在相异的实数λ，μ，使λa＋μb＝0 C.已知正五边形ABCDE，其中＝a，＝b D.已知梯形ABCD，其中＝a，＝b 解析：AB　选项A，由2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e，可得a＝e，b＝－e，则b＝－4a，故a，b共线；选项B，不妨设λ≠0，则有a＝－b，故a，b共线；选项C，a，b显然不共线；选项D，当AB，CD分别为梯形的两腰时，直线AB，CD是相交直线，则向量a，b不共线，故选A、B. 7.已知向量a，b满足｜a｜＝3，｜b｜＝5，且a＝λb，则实数λ＝±. 解析：由a＝λb，得｜a｜＝｜λb｜＝｜λ｜｜b｜.∵｜a｜＝3，｜b｜＝5，∴｜λ｜＝，即λ＝±. 8.（2024·厦门月考）已知a，b是平面内两个不共线向量，＝2a＋mb，＝3a－b，且A，B，C三点共线，则实数m的值为－. 解析：因为＝2a＋mb，＝3a－b，且A，B，C三点共线，所以存在唯一的实数λ，使得＝λ，即2a＋mb＝3λa－λb.解得λ＝，m＝－. 9.如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则＝－.（用，表示） 解析：利用向量的三角形法则，可得＝－，＝＋，∵E为BC的中点，F为AE的中点，∴＝，＝，∴＝－＝－＝（＋）－＝＋－.又∵＝，∴＝－. 10.化简：（1）5（3a－2b）＋4（2b－3a）； （2）（a－2b）－（3a－2b）－（a－b）； （3）（x＋y）a－（x－y）a. 解：（1）5（3a－2b）＋4（2b－3a）＝（15a－12a）＋（－10b＋8b）＝3a－2b. （2）（a－2b）－（3a－2b）－（a－b）＝（a－a－a）＋（－b＋b＋b）＝－a＋b. （3）（x＋y）a－（x－y）a＝（xa－xa）＋（ya＋ya）＝2ya. 11.已知a，b为不共线的非零向量，＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3a－3b，则（　　） A.A，B，C三点共线 B.A，B，D三点共线 C.B，C，D三点共线 D.A，C，D三点共线 解析：B　由于a，b为不共线的非零向量，向量和，向量和显然没有倍数关系，根据共线向量定理，它们不共线，A、C选项错误；＝＋＝a＋5b＝，于是A，B，D三点共线，B选项正确；＝＋＝－a＋13b，显然和没有倍数关系，D选项错误.故选B. 12.如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC的中点，＝2，若＝x＋y，则x＋y＝（　　） A. B.－ C.－6 D.6 解析：A　＝＋＝＋（＋）＝＋＋＝＋－＝＋.∵＝x＋y，∴x＋y＝＋，∴（x－）＝（－y），又与不共线，∴x－＝0且－y＝0，故x＝，y＝.∴x＋y＝. 13.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则用a，b可表示为a＋b. 解析：∵△DEF∽△BEA，∴＝＝，∴DF＝DC＝AB，∴＝＋＝＋.∵＝＋＝a，＝－＝b，联立得，＝（a－b），＝（a＋b），∴＝（a＋b）＋（a－b）＝a＋b. 14.设两个非零向量a与b不共线. （1）若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b）.求证：A，B，D三点共线； （2）试确定实数k，使ka＋b和a＋kb反向共线. 解：（1）证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b）. ∴＝＋＝2a＋8b＋3（a－b）＝2a＋8b＋3a－3b＝5（a＋b）＝5. ∴，共线，且有公共点B， ∴A，B，D三点共线. （2）∵ka＋b与a＋kb反向共线， ∴存在实数λ（λ＜0），使ka＋b＝λ（a＋kb）， 即ka＋b＝λa＋λkb， ∴（k－λ）a＝（λk－1）b. ∵a，b是不共线的两个非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0， ∴（舍去）或∴k＝－1. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $