6.2.2 向量的减法运算-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(人教A版)

该教案聚焦向量的减法运算，涵盖相反向量的定义、性质及向量减法的几何意义。通过“已知向量和与向量x的和，作出向量x”的问题导入，衔接向量加法，构建从加法到减法的学习支架。 资料以数学抽象和直观想象为核心素养，通过“共起点，连终点，指向被减”等几何直观方法，结合多解法例题与分层题型，培养学生空间观念与推理意识。助力学生深化理解，为教师提供系统教学参考，提升课堂效率。

6.2.2　向量的减法运算 新课程标准解读 核心素养 借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量减法运算，理解其几何意义 数学抽象、直观想象 　　如图，向量是向量与向量x的和. 【问题】　你能作出向量x吗？ 　 　 　 　 　 　 知识点一　相反向量 1.定义：与向量a长度　相等　，方向　相反　的向量，叫做a的相反向量，记作－a. 2.性质：（1）零向量的相反向量仍是零向量； （2）对于相反向量有：a＋（－a）＝（－a）＋a＝0； （3）如果a，b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. 提醒　相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量. 知识点二　向量的减法运算 1.向量减法的定义 向量a加上b的　相反向量　，叫做a与b的差，即a－b＝a＋（－b）.求两个向量差的运算叫做向量的减法. 提醒　减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. 2.向量减法的几何意义 已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b.即a－b 可以表示为从　向量b　的终点指向　向量a　的终点的向量，这就是向量减法的几何意义. 提醒　（1）作非零向量a，b的差向量a－b，可以简记为“共起点，连终点，指向被减”；（2）在向量减法的定义中，如果从a的终点指向b的终点作向量，所得向量是b－a. 1.如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，下列互为相反向量的是（　　） A.与 B.与 C.与 D.与 解析：C　向量与的模相等，方向相反，互为相反向量. 2.在△ABC中，O为BC的中点，记＝m，＝n，则＝（　　） A.－m－n B.－m＋n C.m－n D.m＋n 解析：A　＝＋＝－－＝－m－n，故选A. 3.化简＋－－. 解：＋－－＝＋－（＋）＝－＝0. 题型一 向量减法的几何意义 【例1】　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. 解：法一　如图①所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c. 法二　如图②所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c. 通性通法 求作差向量的方法 （1）作两向量的差向量的步骤： （2）可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后用加法a＋（－b）即可. 【跟踪训练】 如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c. 解：由向量减法的三角形法则， 令a＝，b＝，则a－b＝－＝， 令c＝，所以a－b－c＝－＝.如图中即为a－b－c. 题型二 向量的减法运算 【例2】　化简：（1）－－； 解：法一　－－＝－＝. 法二　－－＝－（＋）＝－＝. 法三　－－＝＋（＋）＝＋（＋）＝＋＝＋＝. （2）（－）－（－）. 解：法一　（－）－（－）＝－－＋＝＋＋＋＝（＋）＋（＋）＝＋＝0. 法二　（－）－（－）＝－－＋＝（－）－（－）－（－）＋（－）＝－－＋－＋＋－＝0. 法三　（－）－（－）＝－－＋＝（－）＋（－）＝＋＝0. 通性通法 向量减法运算的常用方法 【跟踪训练】 1.－－＝（　　） A.0 B. C. D. 解析：D　－－＝－－＝－＝. 2.（多选）在平行四边形ABCD中，M为DC上任一点，则－－＝（　　） A. B. C. D. 解析：AB　－－＝＋＋＝＝. 题型三 向量加、减运算的综合应用 角度1　向量加、减的混合运算 【例3】　化简：（1）＋－－； 解：＋－－＝（－）＋（－）＝＋＝. （2）（＋＋）－（－－）. 解：（＋＋）－（－－） ＝＋－＋ ＝＋＋＋ ＝＋＝0. 通性通法 1.向量加、减的混合运算主要应用向量加、减法的运算法则、几何意义及向量加法的结合律、交换律等求解. 2.向量加、减法化简的两种形式 （1）首尾相连且为和； （2）起点相同且为差. 提醒　做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用. 角度2　用已知向量表示其他向量 【例4】　如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，. 解：由平行四边形的性质可知＝＝c， 由向量的减法可知＝－＝b－a， 由向量的加法可知＝＋＝b－a＋c. 【母题探究】 （变条件）若本例中的条件“点B是该平行四边形外一点”变为“点B是该平行四边形内一点”，其他条件不变，试用向量a，b，c 表示向量，，. 解：如图，因为四边形ACDE是平行四边形， 所以＝＝c，＝－＝b－a，＝＋＝b－a＋c. 通性通法 用已知向量表示其他向量的一般步骤 （1）先观察各个向量在图形中的位置； （2）寻找（或作出）相应的平行四边形或三角形； （3）运用法则找关系； （4）化简结果. 【跟踪训练】 1.（2024·滨州月考）如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且＝，则化简＋－－＝（　　） A.0 B. C. D. 解析：A　＋－－＝（－）＋（－）＝＋＝－＝0. 2.如图，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝f，试用a，b，c，d，f表示以下向量： （1）； （2）； （3）－； （4）＋； （5）－. 解：（1）＝－＝c－a. （2）＝－＝d－a. （3）－＝＝－＝d－b. （4）＋＝－＋－＝b－a＋f－c. （5）－＝－－（－）＝f－b－d＋b＝f－d. 1.－＋＋＝（　　） A. B. C. D. 解析：B　原式＝（＋）＋（＋）＝＋0＝. 2.如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a，＝b，则可以表示为（　　） A.a＋b B.a－b C.b－a D.－a－b 解析：D　在平行四边形ABCD中，依题意，＝－＝－a，而＝b，所以＝－＝－a－b.故选D. 3.（多选）设b是a的相反向量，则下列说法正确的是（　　） A.a与b的长度相等 B.a∥b C.a与b一定不相等 D.a是b的相反向量 解析：ABD　方向相反、长度相等的两个向量互为相反向量，故A、B、D正确，C错误，∵0与0互为相反向量，但0与0相等.故选A、B、D. 4.若菱形ABCD的边长为2，则｜－＋｜＝2. 解析：｜－＋｜＝｜＋＋｜＝｜｜＝2. 1.下列向量关系式中，正确的是（　　） A.＝　　　　B.＋＝ C.－＝ D.＋＋＝ 解析：D　根据向量的概念可得A、B错误；对于C，－＝，故错误；对于D，＋＋＝，故正确.故选D. 2.（2024·南平月考）如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中＝a，＝b，＝c，则＝（　　） A.a＋b B.b－a C.c－b D.b－c 解析：D　由题可得＝＝＝－＝b－c，故选D. 3.在平行四边形ABCD中，｜＋｜＝｜－｜，则必有（　　） A.四边形ABCD是矩形 B.＝0或＝0 C.＝0 D.四边形ABCD是正方形 解析：A　由四边形可知，B、C错误；在平行四边形ABCD中，＋＝，－＝，由题知｜｜＝｜｜，即平行四边形的对角线相等，所以四边形ABCD是矩形，A正确；易知四边形ABCD不一定是正方形，故D错误. 4.在边长为1的正三角形ABC中，｜－｜＝（　　） A.1 B.2 C. D. 解析：D　如图，作菱形ABCD，则｜－｜＝｜－｜＝｜｜＝ . 5.（多选）下列各式化简结果为零向量的有（　　） A.＋＋ B.－＋－ C.－－ D.＋＋－ 解析：ABD　对于A，＋＋＝＋＝0，故A符合题意；对于B，－＋－＝＋－＝－＝0，故B符合题意；对于C，－－＝－＝＋＝2，故C不符合题意；对于D，＋＋－＝＋（－）＝＋＝0，故D符合题意.故选A、B、D. 6.（多选）对于菱形ABCD，下列各式正确的是（　　） A.＝ B.｜｜＝｜｜ C.｜－｜＝｜＋｜ D.｜＋｜＝｜－｜ 解析：BCD　向量与的方向不同，但它们的模相等，所以B正确，A错误；因为｜－｜＝｜＋｜＝2｜｜，｜＋｜＝2｜｜，且｜｜＝｜｜，所以｜－｜＝｜＋｜，所以C正确；因为｜＋｜＝｜＋｜＝｜｜，｜－｜＝｜｜，所以D正确.故选B、C、D. 7.如图，在梯形ABCD中，AC与BD交于点O，则－＋－＋＝0. 解析：－＋－＋＝＋＋＋＋＝0. 8.（2024·丽水月考）若a，b为相反向量，且｜a｜＝1，｜b｜＝1，则｜a＋b｜＝0，｜a－b｜＝2. 解析：若a，b为相反向量，则a＋b＝0，所以｜a＋b｜＝0，又a＝－b，所以｜a｜＝｜－b｜＝1，因为a与－b共线，所以｜a－b｜＝2. 9.已知四边形ABCD和点O，若＋＝＋，则四边形ABCD的形状是平行四边形. 解析：∵＋＝＋，∴－＝－⇒＝，∴BA＝CD，BA∥CD，则四边形ABCD的是平行四边形. 10.向量a，b，c，d，e如图所示，据图解答下列各题： （1）用a，d，e表示； （2）用b，c表示； （3）用a，b，e表示； （4）用d，c表示. 解：由题图知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e. （1）＝＋＋＝d＋e＋a. （2）＝－＝－－＝－b－c. （3）＝＋＋＝e＋a＋b. （4）＝－＝－（＋）＝－c－d. 11.（2024·济源月考）已知A，B，C为三个不共线的点，P为△ABC所在平面内一点，若＋＝＋，则下列结论正确的是（　　） A.点P在△ABC内部 B.点P在直线BC上 C.点P在直线AB上 D.点P在直线AC上 解析：D　∵＋＝＋，∴－＝－，∴＝＋，－＝，即＝.故点P在边AC所在的直线上. 12.（多选）已知a，b为非零向量，则下列命题中正确的有（　　） A.若｜a｜＋｜b｜＝｜a＋b｜，则a与b方向相同 B.若｜a｜＋｜b｜＝｜a－b｜，则a与b方向相反 C.若｜a｜＋｜b｜＝｜a－b｜，则a与b的模相等 D.若｜｜a｜－｜b｜｜＝｜a－b｜，则a与b方向相同 解析：ABD　当a，b不共线时，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边有｜｜a｜－｜b｜｜＜｜a±b｜＜｜a｜＋｜b｜.当a，b同向时，有｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜，｜｜a｜－｜b｜｜＝｜a－b｜.当a，b反向时，有｜a＋b｜＝｜｜a｜－｜b｜｜，｜a｜＋｜b｜＝｜a－b｜.故选A、B、D. 13.已知菱形ABCD的边长为2，则向量－＋的模为2；｜｜的取值范围是（0，4）. 解析：易知－＋＝＋＋＝，因为菱形ABCD的边长为2，所以向量－＋的模为2.易知＝＋，且｜｜－｜｜＜｜＋｜＜｜｜＋｜｜，所以｜｜的取值范围为（0，4）. 14.如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，求： （1）｜a＋b＋c｜； （2）｜a－b＋c｜. 解：（1）由已知得a＋b＝＋＝， ∵＝c，∴延长AC到E，使｜｜＝｜｜，如图所示， 则a＋b＋c＝且｜｜＝2. ∴｜a＋b＋c｜＝2. （2）作＝，连接CF，则＋＝， 而＝－＝－＝a－b， ∴｜a－b＋c｜＝｜＋｜＝｜｜且｜｜＝2. ∴｜a－b＋c｜＝2. 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $