6.2.1 向量的加法运算-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(人教A版)

该教案聚焦高中数学“平面向量的加法运算”，通过李敏同学位移的生活实例导入，衔接向量几何表示，梳理加法定义、三角形法则、平行四边形法则及运算律，为后续向量运算奠定基础。 以新课标核心素养为导向，情境导入培养数学眼光观察现实世界，作图与图示强化直观想象，运算律应用与实际问题（如船航行、物体受力）发展数学思维，题型丰富含变式训练，助力学生抽象与建模能力提升，为教师提供结构化教学方案。

6.2　平面向量的运算 6.2.1　向量的加法运算 新课程标准解读 核心素养 借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法运算，理解其几何意义 数学抽象、直观想象 如图所示，李敏同学上午从家（点A）到达了公园（点B），下午从公园（点B）到达了舅舅家（点C）. 【问题】　（1）分别用向量表示出李敏上午的位移、下午的位移以及这一天的位移； （2）这一天的位移与上、下午的位移有什么关系？ 　 　 　 　 　 　 知识点一　向量加法的定义及三角形法则 1.向量加法的定义 求两个向量　和　的运算，叫做向量的加法. 2.三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.这种求向量和的方法，称为向量加法的　三角形　法则. 提醒　运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接，再首尾相连”. 知识点二　向量加法的平行四边形法则 1.以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量（OC是▱OACB的对角线）就是向量a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的　平行四边形　法则. 2.对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a. 提醒　（1）运用向量加法的平行四边形法则作图时，要强调两个向量起点相同；（2）从平行四边形的性质可知三角形法则和平行四边形法则是一致的. 知识点三　向量加法的运算律及模之间的关系 1.向量加法的运算律 （1）加法交换律：a＋b＝　b＋a　； （2）加法结合律：（a＋b）＋c＝　a＋（b＋c）　. 2.｜a＋b｜与｜a｜，｜b｜之间的关系 一般地，我们有｜a＋b｜≤　｜a｜＋｜b｜　，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是方向相同的非零向量时，等号成立. 提醒　（1）已知几个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为这几个向量的和；（2）首尾顺次相接的若干个向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）＋＝.（　√　） （2）＋＝0.（　√　） （3）＋＞.（　×　） 2.如图，在平行四边形ABCD中，＋＝（　　） A.　　　　　　　　B. C. D. 解析：B　因为ABCD为平行四边形，所以＋＝，故选B. 3.化简＋＋＝0. 解析：＋＋＝＋＋＝＋＝0. 题型一 向量的加法运算法则 【例1】　（1）如图①所示，求作向量a＋b； （2）如图②所示，求作向量a＋b＋c. 解：（1）首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b.如图③所示. （2）法一（三角形法则）　如图④所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝（a＋b）＋c＝a＋b＋c即为所求. 法二（平行四边形法则）　如图⑤所示， 首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c， 以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD， 则＝＋＝a＋b. 再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE， 则＝＋＝a＋b＋c即为所求. 通性通法 求作和向量的方法 （1）利用三角形法则：在平面内任取一点，以该点为始点，将两向量平移到首尾相接，从该始点到另外一个终点的向量就是这两个向量的和.一定要注意首尾相接； （2）利用平行四边形法则：在平面内任取一点，从此点出发分别作两个向量等于已知向量，以这两个向量所在线段为邻边作平行四边形，以所取的点为始点的对角线所对应的向量就是这两个向量的和. 【跟踪训练】 1.（2024·东营月考）如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝（　　） A.　　　B. C.　　　D. 解析：C　以OP，OQ为邻边作平行四边形，如图所示，则＋＝，由和的模相等，方向相同，得＝，即＋＝. 2.已知菱形ABCD中，∠BAD＝60°，｜｜＝1，则｜＋｜＝1. 解析：因为在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，所以△ABD为等边三角形，所以｜＋｜＝｜｜＝｜｜＝1. 题型二 向量加法运算律的应用 【例2】　化简：（1）＋； 解：＋＝＋＝. （2）＋＋； 解：＋＋＝＋＋＝（＋）＋＝＋＝0. （3）＋＋＋＋. 解：＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0. 通性通法 1.当两个向量共线时，向量加法的交换律和结合律也成立. 2.多个向量的加法运算可以按照任意的次序与任意的组合进行，如（a＋b）＋（c＋d）＝（b＋d）＋（a＋c）；a＋b＋c＋d＋e＝[d＋（a＋c）]＋（b＋e）. 3.向量求和的多边形法则：＋＋＋…＋＝.特别地，当An和A1重合时，＋＋＋…＋＝0. 【跟踪训练】 1.（2024·新乡月考）已知正方形ABCD的边长为1，则｜＋＋＋｜＝2. 解析：｜＋＋＋｜＝｜＋＋＋｜＝｜＋｜＝2｜｜＝2. 2.根据图示填空，其中a＝，b＝，c＝，d＝. （1）a＋b＋c＝； 解析：a＋b＋c＝＋＋＝. （2）b＋d＋c＝. 解析：b＋d＋c＝＋＋＝＋＋＝＋＝. 题型三 向量加法的实际应用 【例3】　在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向. 解：作出图形，如图.船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形. 在Rt△ACD中，｜｜＝｜｜＝｜v水｜＝10 m/min，｜｜＝｜v船｜＝20 m/min， ∴cos α＝＝＝，∴α＝60°. 故船行进的方向是与水流的方向成120°角的方向. 【母题探究】 1.（变条件、变设问）本例中条件变为“船沿垂直于水流的方向航行”，其他条件不变，求船实际行进的方向的正切值（相当于与河岸的夹角）. 解：如图所示，｜｜＝｜｜＝｜v船｜＝20 m/min，｜｜＝｜v水｜＝10 m/min， 则tan∠BAC＝＝2，即为所求. 2.（变设问）若本例条件不变，求经过3小时，该船的实际航程是多少km？ 解：由题意可知｜｜＝｜｜＝×20＝10（m/min）＝（km/h）， 则经过3小时，该船的实际航程是3×＝（km）. 通性通法 应用向量解决实际问题的基本步骤 （1）表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题； （2）运算：应用向量加法的平行四边形法则或三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题； （3）还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题. 【跟踪训练】 如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平木杆AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A处和B处所受力的大小（绳子的质量忽略不计）. 解：如图，设，分别表示A，B处所受的力， 10 N的重力用表示， 则＋＝. 易得∠ECG＝180°－150°＝30°， ∠FCG＝180°－120°＝60°， ｜｜＝｜｜×cos 30°＝10×＝5. ｜｜＝｜｜×cos 60°＝10×＝5. 故A处所受的力的大小为5 N，B处所受的力的大小为5 N. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $