章末检测（6） 平面向量及其应用-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦平面向量及其应用，涵盖向量线性运算、数量积、解三角形等核心知识，通过从基础概念到实际问题的递进设计，搭建从向量性质到三角应用的学习支架，帮助学生衔接前后知识脉络。 其亮点在于结合航海测量、剪纸艺术等真实情境，以数学眼光观察现实问题，通过推理运算培养数学思维，用向量语言表达几何关系，如第5题航海距离计算、第8题剪纸向量数量积。既提升学生应用能力，也为教师提供系统检测资源，助力教学效率提升。

章末检测（六）　平面向量及其应用 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若平面向量a与b＝（1，－1）方向相同，且｜a｜＝2 ，则a＝ （　　） A. （－ ， ） B. （ ，－ ） C. （－2，2） D. （2，－2） 解析：　因为向量a与b方向相同，且｜a｜＝2 ，所以a＝λb ＝（λ，－λ），λ＞0，所以a＝（2，－2）.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 2. 在矩形ABCD中，E是BC的中点，F是AE上靠近E的三等分点， 则向量 ＝（　　） A. ＋ B. － C. ＋ D. － 解析：　由题可得 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ － ＋ × （ ＋ ）＝ － ＋ ＋ ＝ － .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 3. 设x，y∈R，向量a＝（x，1），b＝（1，y），c＝（2，－4） 且a⊥c，b∥c，则｜a＋b｜＝（　　） A. B. 2 C. D. 10 解析：　因为向量a＝（x，1），b＝（1，y），c＝（2，－ 4）且a⊥c，b∥c，所以2x－4＝0⇒x＝2，1×（－4）－2y＝ 0⇒y＝－2，从而a＋b＝（2，1）＋（1，－2）＝（3，－1）， 因此｜a＋b｜＝ ＝ ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 4. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝ ，a＝ 2 ，c＝ b，则△ABC的面积为（　　） A. 2 B. C. D. 2 解析：　由余弦定理的推论得 cos ＝ ＝－ ，因为c ＝ b，所以b＝2（负值舍去），c＝2 ，所以S△ABC＝ bc sin A＝ ×2×2 × ＝ .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 5. 一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直 线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察 灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东 65°，那么B，C两点间的距离是（　　） A. 10 海里 B. 10 海里 C. 20 海里 D. 20 海里 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 解析：　根据已知条件可知，在△ABC中，AB＝20，∠BAC＝ 30°，∠ABC＝105°，所以C＝45°，由正弦定理，得 ＝ ，所以BC＝ ＝10 .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 6. 在△ABC中，a＝x，b＝ ，A＝ ，若该三角形有两个解，则x 的取值范围是（　　） A. （ ，6） B. （2，2 ） C. D. 解析：　∵三角形有两个解，∴b sin A＜x＜b，即 ＜x＜ . 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 7. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c cos B＝ b（ a－ cos C），且△ABC的面积为S＝ c cos A，则A＝（　） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 解析：　因为c cos B＝b（ a－ cos C），所以由正弦定理可得 sin C cos B＝ a sin B－ sin B cos C，可得 sin C cos B＋ sin B cos C＝ sin （B＋C）＝ sin A＝ a sin B，可得a＝ ab，可得b＝ ， 因为△ABC的面积为S＝ c cos A＝ bc sin A＝ × ×c× sin A， 可得tan A＝ ，又A∈（0，π），所以A＝ ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 8. 剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，图①是人们设计的一套由外 围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸.已知正方形 ABCD的边长为2，中心为O，四个半圆的圆心均为正方形ABCD 各边的中点（如图②），若P为 的中点，则 ·（ ＋ ） ＝（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 解析：　依题意得｜ ｜＝｜ ｜＝ ，｜ ｜＝2， ∠AOP＝ ，∠BOP＝ ，所以 · ＝｜ ｜·｜ ｜ cos ＝ ×2×（－ ）＝－2， · ＝｜ ｜·｜ ｜ cos ＝ ×2× ＝2，所以 ·（ ＋ ）＝－ ·（ － ＋ － ）＝－ · － · ＋2｜ ｜2＝2－2＋2×22＝8.故 选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给 出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选 对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，（a－c）·（b－c） ≤0，则｜a＋b－c｜的值可能为（　　） A. －1 B. 1 C. D. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 解析：　因为a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，（a－ c）·（b－c）≤0，所以a·b－c·（a＋b）＋c2≤0，所以c·（a ＋b）≥1，而｜a＋b－c｜＝ ＝ ＝ ≤ ＝1，所以C、D不符合要求.故选A、B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 10. 已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，c＝ 且 cos 2A－ cos 2B－ cos 2C＝ cos A cos B＋ cos C－ cos 2B，则下列 结论中正确的是（　　） A. C＝ B. C＝ C. △ABC面积的最大值为 D. △ABC面积的最大值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 解析：　∵ cos 2A－ cos 2B－ cos 2C＝ cos A cos B＋ cos C－ cos 2B，∴（1－ sin 2A）－（1－ sin 2B）－（1－ sin 2C）＝ cos A cos B－ cos （A＋B）－（1－2 sin 2B），∴ sin A sin B＋ sin 2B ＋ sin 2A－ sin 2C＝0，由正弦定理可得ab＋b2＋a2－c2＝0， ∴ cos C＝ ＝－ ，∵0＜C＜π，∴C＝ ，c2＝3＝a2 ＋b2－2ab cos ＝a2＋b2＋ab≥2ab＋ab＝3ab，当且仅当a＝ b＝1时取等号，∴ab≤1，∴S＝ ab sin C≤ .故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 11. 若M是△ABC所在平面内一点，则下列说法中正确的是（　　） A. 若 ＝ ＋ ，则M是边BC的中点 B. 若 ＝2 － ，则M是边BC的中点 C. 若 ＝－ － ，则点M是△ABC的重心 D. 若 ＝x ＋y ，且x＋y＝ ，则△MBC的面积是△ABC面 积的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 解析：　对于A，由 ＝ ＋ ， 得 － ＝ － ，即 ＝ ， 因此点M是边BC的中点，故A正确；对于B， ＝2 － ， － ＝ － ，∴ ＝ ，则点M在边CB的延长线上，∴B不正确；对于C，设BC的中点为D，则 ＝－ － ＝ ＋ ＝2 ，由重心性质可知C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 对于D， ＝x ＋y ，且x＋y＝ ，∴ ＝x ＋（ － x）·（ ＋ ），∴ － ＝（ －x） ，分别取AB， AC的中点为N，F，则 － ＝ － ＝ ，即点M在 过AB中点且平行BC的直线上，即M在 上，∴M在△ABC的 中位线上，∴△MBC的面积是△ABC面积的 ，选项D正确.故选 A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中 横线上） 12. 已知向量a＝（1，k），b＝（2，2），且a＋b与a共线，那么 a·b＝ ⁠ 解析：依题意得a＋b＝（3，k＋2），由a＋b与a共线，得 3×k－1×（k＋2）＝0，解得k＝1，所以a·b＝2＋2k＝4. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 13. 在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，B＝45°，AB＝ 2CD＝2，M为腰BC的中点，则 · ＝ ⁠. 解析：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建 立直角坐标系（图略），则由题意得A（0，0），B（2，0）， D（0，1），C（1，1），M（ ， ），所以 ＝（－ ，－ ）， ＝（－ ， ），所以 · ＝ － ＝2. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 解析：因为S△ABC＝ ab sin C＝ ×3×b× ＝ ，可得b＝ 5，根据余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝19，故c＝ ， 不妨取AB的中点为M，故 ＝ （ ＋ ），故｜ ｜＝ ＝ ＝ .即AB边上的中线长为 . 14. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C＝ 60°，a＝3，S△ABC＝ ，则AB边上的中线长为 　​ 　. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤） 15. （本小题满分13分）已知 ＝（－1，3）， ＝（3，m）， ＝（1，n），且 ∥ . （1）求实数n的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 解：因为 ＝（－1，3）， ＝（3，m）， ＝（1，n）， 所以 ＝ ＋ ＋ ＝（3，3＋m＋n）， 因为 ∥ ，设 ＝λ ， 即 解得n＝－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 （2）若 ⊥ ，求实数m的值. 解：因为 ＝ ＋ ＝（2，3＋m）， ＝ ＋ ＝（4，m－3）， 又 ⊥ ，所以 · ＝0， 即8＋（3＋m）（m－3）＝0， 解得m＝±1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 解：在△ABC中，由余弦定理得AC2 ＝AB2＋BC2－2AB·BC cos ∠ABC＝25－24 cos ＝13，解得AC＝ ，设R为△ABC外接圆半径，由正弦定理得2R＝ ＝ ＝ ＝ ，即BD＝ . 16. （本小题满分15分）如图，四边形ABCD内接于一个圆中，其中 BD为直径，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝ . （1）求BD的长； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 （2）求△ACD的面积. 解：∵BD为直径，∴∠DAB＝∠DCB＝ ， ∴AD＝ ＝ ，CD＝ ＝ ，又∠ADC＝π－ ＝ ， ∴S△ACD＝ AD·CD sin ∠ADC＝ × × × ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 17. （本小题满分15分）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水 平方向在A，B两点进行测量.A，B，M，N在同一个铅垂平面 内（如图）.飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离.请设 计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在 图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间距离的步骤. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 解：①需要测量的数据有：A观测M，N的俯角α1，β1，B观测M，N的俯角α2，β2；A，B间的距离d（如图所示）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 ②法一　第一步：计算AM. 在△ABM中，由正弦定理得，AM＝ ； 第二步：计算AN. 在△ABN中，由正弦定理得， AN＝ ； 第三步：计算MN. 在△AMN中，由余弦定理得， MN＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 法二　第一步：计算BM. 在△ABM中，由正弦定理得，BM＝ ； 第二步：计算BN. 在△ABN中，由正弦定理得， BN＝ ； 第三步：计算MN. 在△BMN中，由余弦定理得， MN＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 18. （本小题满分17分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为 a，b，c.向量m＝（ cos B， cos A），n＝（b－2c，－a）， 且m∥n. （1）求角A； 解：因为m∥n， 所以（b－2c） cos A＋a cos B＝0， 即b cos A＋a cos B＝2c cos A， 由余弦定理得b· ＋a· ＝2c cos A， 即c＝2c cos A，所以 cos A＝ ， 又A∈（0，π），所以A＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 （2）若a＝2，①求 的值； ②求△ABC周长的范围. 解：①由正弦定理得 ＝ ＝ ＝ ＝ . 所以 ＝ . ②由①知4＝b2＋c2－bc＝（b＋c）2－3bc， 所以bc＝ . 又b＋c≥2 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 所以（b＋c）2≥4· ， 即（b＋c）2≤16， 所以－4≤b＋c≤4. 又b＋c＞a＝2， 所以2＜b＋c≤4. 故4＜a＋b＋c≤6， 即△ABC周长的范围为（4，6]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 19. （本小题满分17分）n个有次序的实数a1，a2，…，an所组成的 有序数组（a1，a2，…，an）称为一个n维向量，其中ai（i＝ 1，2，…，n）称为该向量的第i分量，特别地，对一个n维向量 a＝（a1，a2，…，an），若｜ai｜＝1，i＝1，2，…，n，称a 为n维信号向量.设a＝（a1，a2，…，an），b＝（b1， b2，…，bn），则a和b的内积定义为a·b＝ aibi，且 a⊥b⇔a·b＝0. （1）直接写出4个两两垂直的4维信号向量； 解：根据题意，两两垂直的4维信号向量可以为： （1，1，1，1），（－1，－1，1，1），（－1，1，－1， 1），（－1，1，1，－1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 （2）证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量； 解：证明：假设存在14个两两垂直的14维信号向量y1，y2，…，y14， 因为将这14个向量的某个分量同时变号或将某两个位置 的分量同时互换位置，任意两个向量的内积不变， 所以不妨设y1＝（1，1，…，1），y2＝（1，1，1，1， 1，1，1，－1，－1，－1，－1，－1，－1，－1）， 因为y1·y3＝0，所以y3有7个分量为－1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 设y3的前7个分量中有r个－1，则后7个分量中有7－r个－1， 所以y2·y3＝r·（－1）＋（7－r）＋（7－r）＋r·（－1） ＝0，可得r＝ ，矛盾， 所以不存在14个两两垂直的14维信号向量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 （3）已知k个两两垂直的2 024维信号向量x1，x2，…，xk满足它 们的前m个分量都是相同时，求证： ＜45. 解：证明：任取i，j∈{1，2，…，k}，计算内积xi·xj，将所有这些内积求和得到S， 则S＝ ＋ ＋…＋ ＝2 024k，设x1，x2，…，xk的第 k个分量之和为ci， 则从每个分量的角度考虑，每个分量为S的贡献为 ， 所以S＝ ＋ ＋…＋ ≥ ＋ ＋…＋ ＝k2m， 令2 024k≥k2m，所以km≤2 024＜2 025，所以 ＜45. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 $