6.4.3 第3课时 用余弦定理、正弦定理解三角形-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦“用余弦定理、正弦定理解三角形”，涵盖面积计算、平面几何问题及综合应用等核心知识点。通过典型例题导入，衔接已学定理，搭建从单一公式应用到复杂几何问题的学习支架，逐步提升解题难度。 其亮点在于分层例题设计与通性通法提炼，如面积计算强调公式选择，几何问题通过公共边构建方程，体现数学思维的推理能力和数学语言的模型应用。采用例题精析+跟踪训练+分层检测的教学方法，帮助学生形成系统解题思路，教师可直接用于课堂，提升教学效率。

第3课时　用余弦定理、正弦定理解三角形 目录 典型例题·精研析 01 知能演练·扣课标 02 典型例题·精研析 01 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 有关三角形面积的计算 【例1】　（1）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知a＝5，b＝7，B＝120°，则△ABC的面积为 ⁠； ​ 解析：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B，即c2＋5c－24＝0， 解得c＝3或c＝－8（舍去）.所以S△ABC＝ ac sin B＝ ×5×3 sin 120°＝ . 目录 数学·必修第二册 （2）（2024·日照月考）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是 a，b，c，若 sin B＝2 sin A，且△ABC的面积为a2 sin B，求 cos B的值. 解：由 sin B＝2 sin A，得b＝2a，由△ABC的面积为a2 sin B， 得 ac sin B＝a2 sin B， 由 sin B≠0，知c＝2a，所以 cos B＝ ＝ ＝ . 目录 数学·必修第二册 通性通法 求三角形面积的解题思路 　　在应用三角形面积公式S＝ ab sin C＝ bc sin A＝ ac sin B求解 时，一般是已知哪个角就使用哪一个公式. 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 1. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝1，c ＝2且△ABC的面积为 ，则B＝（　　） A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120° 解析：　由面积公式S△ABC＝ ac sin B＝ ×1×2× sin B＝ ， 解得 sin B＝ ，所以B＝60°或120°.故选D. 目录 数学·必修第二册 2. （2024·聊城月考）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的 对边，若a＝2，b＝3， sin A＝2 sin B cos C，则△ABC的面积 为 ⁠. 解析：依题意 sin A＝2 sin B cos C，由正弦定理得a＝2b cos C，2 ＝2×3× cos C， cos C＝ ＞0，所以0＜C＜ ，所以 sin C＝ ＝ ，所以△ABC的面积为 ab sin C＝ ×2×3× ＝2 . 2 目录 数学·必修第二册 题型二 求解平面几何问题 【例2】　（2024·平顶山月考）如图所示，在平面四边形ABCD中，AB＝ ，BC＝ ，AB⊥AD，AC⊥CD. （1）若 sin ∠BAC＝ ，求 sin ∠BCA； 解：在△ABC中，由正弦定理得 ＝ ，即 ＝ ，解得 sin ∠BCA＝ . 目录 数学·必修第二册 （2）若AD＝3AC，求AC. 解：设AC＝x，则AD＝3x，在Rt△ACD中，CD＝ ＝2 x， sin ∠CAD＝ ＝ . 在△ABC中，由余弦定理的推论得 cos ∠BAC＝ ＝ . 又∠BAC＋∠CAD＝ ， 所以 cos ∠BAC＝ sin ∠CAD，即 ＝ ， 整理得3x2－8x－3＝0，解得x＝3或x＝－ （舍去），即AC＝3. 目录 数学·必修第二册 通性通法 　　正、余弦定理本身是研究几何图形计算的工具，因此在面对几何 图形时，关键是寻找相应的三角形，并在三角形中运用正、余弦定 理，特别是涉及公共边时，要利用公共边来进行过渡，即利用公共边 创造互补或互余关系列式，其本质是构建关于角的关系的方程. 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 如图，在△ABC中，B＝ ，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2， cos ∠ADC＝ . 目录 数学·必修第二册 （1）求 sin ∠BAD； 解：在△ADC中，因为 cos ∠ADC＝ ，所以 sin ∠ADC＝ ， 所以 sin ∠BAD＝ sin （∠ADC－B）＝ sin ∠ADC cos B－ cos ∠ADC sin B＝ × － × ＝ . 目录 数学·必修第二册 （2）求 的值. 解：在△ABD中，由正弦定理得BD＝ ＝ ＝3. 在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC· cos B＝ 82＋52－2×8×5× ＝49， 所以AC＝7，所以 ＝ . 目录 数学·必修第二册 题型三 正、余弦定理的综合应用 【例3】　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设（ sin B－ sin C）2＝ sin 2A－ sin B sin C，则角A的大小为 ⁠. 解析：由已知得 sin 2B＋ sin 2C－ sin 2A＝ sin B sin C，故由正弦定理 得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得 cos A＝ ＝ .因为0°＜A ＜180°，所以A＝60°. 60° 目录 数学·必修第二册 通性通法 利用正、余弦定理解与三角形有关问题的一般思路 （1）抓住两定理的特点，在涉及求三角形边角时，合理选择定理， 可有效减少运算量及不必要的分类讨论； （2）根据已知条件及几何图形的特点构建含待求元素的三角形，对 综合性较强的问题应认真梳理，挖掘隐含条件，结合三角函数 的性质、三角恒等变换等知识合理转化； （3）注意三角形的几何性质在解题中的运用. 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin A＝ a cos B. （1）求B的大小； 解：∵b sin A＝ a cos B， ∴由正弦定理，得 sin B sin A＝ sin A cos B. 在△ABC中， sin A≠0， 即得tan B＝ ，∴B＝ . 目录 数学·必修第二册 （2）若b＝3， sin C＝2 sin A，求a，c的值. 解：∵ sin C＝2 sin A，∴由正弦定理，得c＝2a， 由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B， 即9＝a2＋4a2－2a·2a cos ， 解得a＝ ，∴c＝2a＝2 . 目录 数学·必修第二册 1. △ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝ ，b＝ 4，C＝ ，则△ABC的面积为（　　） A. 2 B. C. D. 解析：　由题意可知，a＝ ，b＝4，C＝ ，所以S△ABC＝ ab sin C＝ × ×4× ＝ . 目录 数学·必修第二册 2. 在△ABC中， sin 2A＝ sin B sin C，若A＝ ，则B＝（　　） A. B. C. D. 解析：　因为 sin 2A＝ sin B sin C，所以a2＝bc，由余弦定理可 知a2＝b2＋c2－2bc cos ＝b2＋c2－bc＝bc，即（b－c）2＝0， 得b＝c，所以△ABC是等边三角形，B＝ .故选C. 目录 数学·必修第二册 3. 已知锐角△ABC的面积为3 ，BC＝4，CA＝3，则角C的大小 为 ⁠. 解析：由三角形的面积公式及题设可得，3 ＝ ×4×3× sin C， 所以 sin C＝ ，因为△ABC为锐角三角形，所以C＝60°. 60° 目录 数学·必修第二册 4. （2024·揭阳月考）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠ADC＝ 60°，CD＝AD＝2，BD＝4，则 sin B＝ ⁠. ​ 解析：由题意，得△ADC为等边三角形，则∠ADB＝120°，AC＝ 2，由余弦定理，得AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD cos ∠ADB，即AB ＝2 ，由正弦定理，得 ＝ ，则 sin B＝ ＝ . 目录 数学·必修第二册 知能演练·扣课标 02 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，c＝2，A＝ ， sin B＝2 sin C，则△ABC的面积为（　　） A. B. 2 C. 2 D. 4 解析：　由题中条件及正弦定理得b＝2c＝4，由面积公式得， △ABC的面积为 bc sin A＝ ×4×2× ＝2 .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 2. △ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若△ABC的面积 为 ，则C＝（　　） A. B. C. D. 解析：　由余弦定理及题中条件可得△ABC的面积S△ABC＝ ab sin C＝ ＝ ab cos C，可得 sin C＝ cos C，∵C∈（0， π），∴C＝ .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 3. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A－b sin B＝4c sin C， cos A＝－ ，则 ＝（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 解析：　∵a sin A－b sin B＝4c sin C，∴由正弦定理，得a2－b2 ＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理的推论，得 cos A＝ ＝ ＝ ＝－ ，∴ ＝6.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 4. （2024·济南月考）如图，在四边形ABCD中，B＝C＝120°，AB ＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于（　　） A. B. 5 C. 6 D. 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 解析：　连接BD（图略）.在△BCD中，由已知条件，知∠DBC ＝ ＝30°，所以∠ABD＝90°.在△BCD中，由余弦定 理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos C，知BD2＝22＋22－2×2×2 cos 120°＝12.所以BD＝2 ，所以S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD ＝ ×4×2 ＋ ×2×2× sin 120°＝5 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 5. （多选）（2024·周口月考）在△ABC中，AB＝ ，AC＝1，B ＝ ，则△ABC的面积可以是（　　） A. B. 1 C. D. 解析：　∵AB＝ ，AC＝1，B＝ ，又由余弦定理，得AC2 ＝AB2＋BC2－2AB·BC· cos B，∴BC2－3BC＋2＝0，∴BC＝1或 BC＝2，∵S△ABC＝ ·AB·BC· sin B，∴S△ABC＝ 或S△ABC＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 6. （多选）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则 下列等式恒成立的是（　　） A. a2＝b2＋c2－2bc cos A B. a sin B＝b sin A C. a＝b cos C＋c cos B D. a cos B＋b cos C＝c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 解析：　对于A，根据余弦定理，可得a2＝b2＋c2－2bc cos A，故A正确；对于B，根据正弦定理 ＝ ，可得a sin B＝b sin A，故B正确；对于C，根据正弦定理，得a＝b cos C＋c cos B⇒ sin A＝ sin B cos C＋ sin C cos B＝ sin （B＋C）＝ sin A，故C正确；对于D，根据正弦定理可得， sin A cos B＋ sin B cos C＝ sin C＝ sin （A＋B）＝ sin A cos B＋ cos A sin B，即 sin B cos C＝ cos A sin B，又 sin B≠0，所以 cos C＝ cos A，当A＝C时，等式成立，故D不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 7. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a sin A sin B ＋b cos 2A＝2 a，则 ＝ 　2 　. 解析：由已知及正弦定理，得 sin 2A· sin B＋ sin B cos 2A＝2 sin A，即 sin B（ sin 2A＋ cos 2A）＝2 sin A，所以 sin B＝2 sin A，所以b＝2 a，即 ＝2 . 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 8. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝5，C ＝60°，且△ABC的面积为5 ，则△ABC的周长为 　9＋ 　. 解析：由题意及三角形的面积公式，得 ab sin C＝5 ，即 a×5× ＝5 ，解得a＝4，根据余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C，即c2＝16＋25－2×4×5× ＝21，c＝ ，所以△ABC的 周长为9＋ . 9＋ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 9. （2024·焦作月考）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a， b，c，若a＝2，c＝3，B＝ ，则AC边上的高为 　​ 　. 解析：在△ABC中，a＝2，c＝3，B＝ ，由余弦定理得b2＝a2 ＋c2－2ac cos B＝4＋9－2×2×3× ＝7，解得b＝ （负值舍 去），设AC边上的高为h，则S△ABC＝ ac sin B＝ h·b，即 ×2×3× sin ＝ h× ，解得h＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 10. 已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 （c－b）（ sin B＋ sin C）＝（ sin C－ sin A）a. （1）求角B； 解：因为（c－b）（ sin B＋ sin C）＝（ sin C－ sin A）a， 所以由正弦定理得c2－b2＝ac－a2，即a2＋c2－b2＝ac， 由余弦定理的推论得 cos B＝ ＝ ＝ . 因为0＜B＜π，所以B＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 （2）若c＝4，△ABC的面积为3 ，求 cos C的值. 解：因为c＝4，△ABC的面积为3 ， 所以 ac sin B＝3 ， 即 ×4a× ＝3 ，解得a＝3. 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝9＋16－2×3×4× ＝13，所以b＝ （负值舍去）， 所以 cos C＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 11. 已知向量a＝（2，－1），b＝（2，2），则以a，b为邻边的平 行四边形的面积为（　　） A. 6 B. 3 C. 4 D. 8 解析：　设向量a与b的夹角为θ，则由题意得， cos θ＝ ＝ ＝ ，则 sin θ＝ ，所以平行四边形的面积为S＝2× ×｜a｜·｜b｜ sin θ＝ ×2 × ＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 12. （多选）在△ABC中，D在线段AB上，且AD＝5，BD＝3，若 CB＝2CD， cos ∠CDB＝－ ，则下列说法正确的是（　　） A. △ABC的面积为8 B. △ABC的周长为8＋4 C. △ABC为钝角三角形 D. sin ∠CDB＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 解析：如图，在△BCD中，CB＝2CD， cos ∠CDB＝－ ，由余弦定理BC2＝BD2＋CD2－2BD·CD cos ∠CDB，得4CD2＝9＋CD2＋ CD，即CD2－ CD－3＝0，解得CD＝ ，BC＝2 ，又由余弦定理的推论得 cos B＝ ＝ ，则 sin B＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 在△ABC中，由余弦定理，得AC＝ ＝ ＝2 ， 所以△ABC的面积S△ABC＝ AB·BC sin B＝8，A正确；△ABC的周长为AB＋BC＋AC＝8＋4 ，B正确；显然AB是最大边， cos ∠ACB＝ ＝－ ＜0，所以∠ACB为钝角，C正确； sin ∠CDB＝ ＝ ，D不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 13. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a sin A＋c sin C － a sin C＝b sin B. （1）求B的大小； 解：由正弦定理，得a2＋c2－ ac＝b2. 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B. 故 cos B＝ ，又0°＜B＜180°，因此B＝45°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 （2）若A＝75°，b＝2，求a，c的值. 解： sin A＝ sin （30°＋45°）＝ sin 30° cos 45°＋ cos 30° sin 45°＝ . 故由正弦定理，得a＝b· ＝1＋ . 由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°， 故c＝b· ＝2× ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 14. 在锐角三角形ABC中，边BC＝2，B＝2A，则边AC的取值范围 是 ⁠. 解析：因为B＝2A，故 sin B＝ sin 2A＝2 sin A cos A，所以AC＝ 2BC cos A＝4 cos A，而△ABC为锐角三角形，故 故 ＜A＜ ，故4 cos ＜AC＜4 cos 即2 ＜AC＜2 . （2 ，2 ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 15. 从①A＋C＝2B；②a＋c＝2b.这两个条件中任选一个，补充在 下面问题中，并求解. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝ 2， 　　，试求 sin A· sin B· sin C的取值范围. 注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分. 解：选①A＋C＝2B. 易知B＝ ，A∈（0， ）， sin A sin B sin C＝ － cos （2A＋ ）∈（0， ］. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 选②a＋c＝2b.可知ac≤（ ）2＝4， cos B＝ ＝ －1≥ ， 从而B∈（0， ］， sin B∈（0， ］， 而 sin A sin B sin C＝ sin 3B≤ ，当且仅当a＝b＝c＝2时取 等号，从而 sin A sin B sin C∈（0， ］. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 $