6.4.3 第2课时 正弦定理-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦正弦定理，通过“测量河对岸距离”的情境导入，引导学生从现实问题抽象出定理，结合“想一想”（直角三角形特例）和自我诊断题，搭建从具体到抽象的学习支架，夯实基础知识。 其亮点在于以核心素养为导向，通过情境导入培养数学眼光，例题中“已知两边及对角”的分类讨论（如例2多解问题）发展数学思维，变形形式及符号语言强化数学语言表达。通性通法总结帮助学生掌握解题规律，跟踪训练和随堂检测助力分层教学，既提升学生逻辑推理与运算能力，也为教师提供系统教学资源。

第2课时　正弦定理 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　如图所示，若想知道河对岸的一点A与岸边一点B之间的距 离，而且已经测量出了BC的长度，也想办法得到了∠ABC与∠ACB 的大小. 【问题】　你能借助这三个量，求出AB的长度吗？ 目录 数学·必修第二册 知识点　正弦定理 文字 语言 在一个三角形中，各边和它所对角的 ⁠的比相等 符号 语言 ＝ ＝ （△ABC中角A，B，C的对边分别为a， b，c） 正弦　 目录 数学·必修第二册 提醒　正弦定理的变形形式：若R为△ABC外接圆的半径，则①a＝ 2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；② sin A＝ ， sin B＝ ， sin C＝ ；③ ＝2R；④ sin A∶ sin B∶ sin C＝ a∶b∶c. 目录 数学·必修第二册 提示： ＝ ＝ ＝c. 【想一想】 如图，在Rt△ABC中， ， ， 各自等于什么？ 目录 数学·必修第二册 1. 在△ABC中，下列等式总能成立的是（　　） A. a cos C＝c cos A B. b sin C＝c sin A C. ab sin C＝bc sin B D. a sin C＝c sin A 解析：由正弦定理易知，选项D正确. 目录 数学·必修第二册 2. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝30°， B＝45°，a＝2 ，则b＝（　　） A. B. C. D. 2 解析：　 ＝ ⇒b＝ ＝ ＝2 .故选D. 目录 数学·必修第二册 3. 在△ABC中，已知A＝30°，BC＝4，则△ABC的外接圆半径 为 ⁠. 解析：设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理可得2R＝ ＝ ＝8，解得R＝4. 4 目录 数学·必修第二册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 已知两角及一边解三角形 【例1】　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a ＝8，B＝60°，C＝75°，求A，c. 解：A＝180°－（B＋C）＝180°－（60°＋75°）＝45°. 由 ＝ 得，c＝ ＝ ＝ ＝4（ ＋1）. 所以A＝45°，c＝4（ ＋1）. 目录 数学·必修第二册 通性通法 已知两角及一边解三角形的一般步骤 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 （2024·东营月考）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝ ，C＝ ，a＝5，则此三角形的最大边长为 ⁠. 解析：∵B＝ ，C＝ ，∴A＝ ，∴B所对的边最大，∵ ＝ ，∴b＝ ＝ ＝5 . 5 目录 数学·必修第二册 题型二 已知两边及一边的对角解三角形 【例2】　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a ＝ ，b＝ ，B＝45°，解此三角形. 目录 数学·必修第二册 解：由正弦定理 ＝ ，知 sin A＝ ＝ ， ∵b＜a，∴A＝60°或120°， 当A＝60°时，C＝180°－A－B＝75°， ∴c＝ ＝ ＝ ； 当A＝120°时，C＝180°－A－B＝15°， ∴c＝ ＝ ＝ . 故当A＝60°时，C＝75°，c＝ ； 当A＝120°时，C＝15°，c＝ . 目录 数学·必修第二册 【母题探究】 （变条件）若本例中“B＝45°”变为“A＝60°”，其他条件不 变，解此三角形. 解：由正弦定理 ＝ ，知 sin B＝ ＝ ， ∵b＜a，∴B＝45°，∴C＝75°， ∴c＝ ＝ ＝ . 目录 数学·必修第二册 通性通法 已知两边及一边的对角解三角形的步骤 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 1. （2024·鹤壁月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a， b，c，若a＝4，b＝3， sin A＝ ，则B＝（　　） A. B. C. 或 D. 或 解析：　由题意可得 sin B＝ ＝ ＝ ，则B＝ 或B＝ . 因为b＜a，所以B＜A，所以B＝ .故选A. 目录 数学·必修第二册 2. 在△ABC中，若a＝6，b＝6 ，A＝30°，则B＝（　　） A. 60° B. 60°或120° C. 60°或150° D. 120° 解析：　a＜b⇒A＜B⇒B＞30°，由正弦定理可知 ＝ ，∴ sin B＝ ＝ ＝ ，∵B∈（30°，180°），∴B ＝60°或120°.故选B. 目录 数学·必修第二册 题型三 判断三角形的形状 【例3】　（2024·金华月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分 别是a，b，c，若a cos B＝b cos A，则△ABC一定是（　　） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 目录 数学·必修第二册 解析：法一　由正弦定理得a cos B＝b cos A⇒ sin A cos B＝ sin B cos A⇒ sin （A－B）＝0.由于－π＜A－B＜π，故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC为等腰三角形. 法二　由余弦定理得a· ＝b· ，整理得2a2＝2b2， 因为a＞0，b＞0，得a＝b，所以△ABC为等腰三角形. 目录 数学·必修第二册 通性通法 利用正弦定理判断三角形形状的方法 （1）化边为角：将题目中的所给条件，利用正弦定理化边为角，再 根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角 形的形状； （2）化角为边：将题目中的所给条件，利用正弦定理化角为边，再 根据代数恒等变换得到边的关系（如a＝b，a2＋b2＝c2），进 而确定三角形的形状. 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 已知在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若 ＝ ＝ ，则△ABC是（　　） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 有一个内角是30°的直角三角形 解析：已知 ＝ ＝ ，由正弦定理可得 cos A＝ sin A， cos B＝ sin B，故A＝B＝ ，C＝ ，则△ABC是等腰直角三角形.故选C. 目录 数学·必修第二册 1. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，b＝ 3，则 ＝（　　） A. B. C. D. 3 解析：由正弦定理，得 ＝ ，故 ＝ ＝ . 目录 数学·必修第二册 2. （2024·佛山月考）一个三角形中的两个角分别等于120°和45°， 若45°角所对的边长是4 ，那么120°角所对的边长是（　　） A. 4 B. 12 C. 4 D. 12 解析：　设120°角所对的边长为x，则由正弦定理，可得 ＝ ，得x＝ ＝ ＝12，故选D. 目录 数学·必修第二册 3. 在△ABC中，已知 sin A＝2 sin B cos C，则该三角形的形状 为 　 　. 等腰三角形 解析：∵ sin A＝2 sin B cos C，且 sin A＝ sin （B＋C），∴2 sin B cos C＝ sin B cos C＋ cos B sin C，即 sin B cos C－ cos B sin C＝0，即 sin （B－C）＝0，∵－π＜B－C＜π，∴B－C＝0，即B＝C， 故该三角形的形状为等腰三角形. 目录 数学·必修第二册 4. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝ 6 ，c＝6，C＝30°，求a. 解：由正弦定理，得 ＝ ， 得 sin B＝ ＝ . 因为b＞c，所以B＞C＝30°， 所以B＝60°或B＝120°. 当B＝60°时，A＝90°，a＝ ＝ ＝12. 当B＝120°时，A＝30°，a＝ ＝ ＝6. 所以a＝6或a＝12. 目录 数学·必修第二册 $