6.4.3 第1课时 余弦定理-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦余弦定理及解三角形，通过山峰距离测量的情境导入，衔接向量运算基础，构建从实际问题到定理推导的学习支架，帮助学生理解定理来源及应用脉络。 其亮点在于“母题探究”与“通性通法”总结，结合逻辑推理（如定理推导）、数学运算（如例题求解）、数学建模（如实际测量问题），例题分层且跟踪训练到位，助力学生掌握方法，教师可高效落实核心素养教学。

6.4.3　余弦定理、正弦定理 新课程标准解读 核心素养 1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系 逻辑推理 2.掌握余弦定理、正弦定理 数学运算 3.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题 数学建模 目录 数学·必修第二册 第1课时　余弦定理 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　利用现代测量工具，可以方便地测出三点之间的一些距离和角， 从而可得到未知的距离与角. 【问题】　如图所示，A，B分别是两个山峰的顶点，在山脚下任意选择一点C，然后使用测量仪得出AC，BC以及∠ACB的大小.你能根据这三个量求出AB的距离吗？ 目录 数学·必修第二册 知识点一　余弦定理 文字 表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边 ⁠减去 这两边与它们夹角的余弦的 ⁠ 公式 表达 a2＝ ，b2＝ ，c2 ＝ ⁠ 推论 cos A＝ ， cos B＝ ， cos C＝ 平方的和　 积的两倍　 b2＋c2－2bc cos A　 c2＋a2－2ca cos B　 a2＋b2－2ab cos C　 目录 数学·必修第二册 知识点二　解三角形 一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角 形的 .已知三角形的几个元素求 ⁠的过程叫做解 三角形. 元素　 其他元素　 目录 数学·必修第二册 1. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝ 9，b＝2 ，C＝150°，则c＝（　　 ） A. B. 8 C. 10 D. 7 解析：　由余弦定理得：c＝ ＝ ＝7 .故选D. 目录 数学·必修第二册 2. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2＜ c2，则△ABC是（　　） A. 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 解析：　因为a2＋b2＜c2，由余弦定理可得 cos C＝ ＜ 0，又由C∈（0，π），所以C∈（ ，π），所以△ABC是钝角三 角形.故选D. 目录 数学·必修第二册 3. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＋ c2＝b2＋ac，则B＝ ⁠. 解析：在△ABC中，由余弦定理知 cos B＝ ，又a2＋c2＝ b2＋ac，所以 cos B＝ ，又0＜B＜π，所以B＝ . ​ 目录 数学·必修第二册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 已知两边及一角解三角形 【例1】　（1）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b， c，已知b＝3，c＝2 ，A＝30°，则a＝ 　​ 　； 解析：由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝32＋（2 ）2－ 2×3×2 cos 30°＝3，所以a＝ . ​ 目录 数学·必修第二册 （2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝ ，c＝2， cos A＝ ，则b＝ ⁠. 解析：由余弦定理得5＝22＋b2－2×2b cos A，因为 cos A＝ ， 所以3b2－8b－3＝0，所以b＝3（b＝－ 舍去）. 3 目录 数学·必修第二册 【母题探究】 （变条件）将本例（2）中的条件a＝ ，c＝2， cos A＝ 改为a＝ 2，c＝2 ， cos A＝ ，则b＝ ⁠. 解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，所以22＝b2＋（2 ）2 －2×b×2 × ，即b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4.所以b的 值为2或4. 2或4 目录 数学·必修第二册 通性通法 已知两边及一角解三角形的两种情况 （1）若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边， 再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角； （2）若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的 一元二次方程求解. 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 1. （2024·济宁月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a， b，c，若a＝3，b＝2， cos （A＋B）＝ ，则c＝（　　） A. 4 B. C. 3 D. 解析：　 cos C＝－ cos （A＋B）＝－ .又由余弦定理得c2＝a2 ＋b2－2ab cos C＝9＋4－2×3×2×（－ ）＝17，所以c＝ . 故选D. 目录 数学·必修第二册 2. 已知△ABC中，AB＝ ，BC＝1，A＝30°，则AC＝ ⁠. 解析：在△ABC中，令角A，B，C的对边分别为a，b，c，则 AB＝c＝ ，BC＝a＝1， cos A＝ ，所以由余弦定理a2＝b2＋ c2－2bc cos A，得1＝b2＋3－3b，解得b＝1或b＝2，则AC＝1或 AC＝2. 1或2 目录 数学·必修第二册 题型二 已知三角形的三边解三角形 【例2】　（1）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b， c.若a＝2，b＝3，c＝ ，则C＝（　C　） A. B. C. D. 解析：因为a＝2，b＝3，c＝ ，所以 cos C＝ ＝ ＝ .因为C∈（0，π），所以C＝ .故选C. C 目录 数学·必修第二册 （2）（2024·洛阳月考）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为 a，b，c.若a∶b∶c＝4∶5∶6，则其最大内角的余弦值为 （　A　） A. B. C. D. 解析：根据题意，设a＝4k，b＝5k，c＝6k，k＞0，且最大 角为C，所以 cos C＝ ＝ ＝ .故选A. A 目录 数学·必修第二册 通性通法 已知三角形三边解三角形的方法 　　先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦值，从而求出第一个 角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和 定理求出第三个角. 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 1. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a2－b2＝c2 － bc，则A＝（　　） A. 135° B. 60°或120° C. 45° D. 135°或45° 解析：　a2－b2＝c2－ bc，由余弦定理的推论得 cos A＝ ＝ ，故A＝45°.故选C. 目录 数学·必修第二册 2. 在△ABC中，已知a＝2 ，b＝6＋2 ，c＝4 ，求A，B， C的大小. 解：由余弦定理的推论，得 cos A＝ ＝ ＝ . ∵A∈（0，π），∴A＝ ， cos C＝ 目录 数学·必修第二册 ＝ ＝ ， ∵C∈（0，π），∴C＝ . ∴B＝π－A－C＝π－ － ＝ ， ∴A＝ ，B＝ ，C＝ . 目录 数学·必修第二册 题型三 判断三角形的形状 【例3】　（1）在△ABC中，（a＋b＋c）（a＋b－c）＝3ab且2 cos A sin B＝ sin C，试判断△ABC的形状； 解：∵A＋B＋C＝180°，∴ sin C＝ sin （A＋B）. ∵2 cos A sin B＝ sin C， ∴2 cos A sin B＝ sin A cos B＋ cos A sin B， ∴ sin A cos B－ cos A sin B＝0，∴ sin （A－B）＝0. 目录 数学·必修第二册 ∵0°＜A＜180°，0°＜B＜180°， ∴－180°＜A－B＜180°，∴A－B＝0°，即A＝B. 又（a＋b＋c）（a＋b－c）＝3ab， ∴a2＋b2－c2＝ab，∴ cos C＝ . ∵0°＜C＜180°，∴C＝60°，∴△ABC为等边三角形. 目录 数学·必修第二册 （2）在△ABC中，若a cos B＋a cos C＝b＋c，试判断△ABC的形 状. 解：由a cos B＋a cos C＝b＋c，结合余弦定理得a· ＋a· ＝b＋c，即 ＋ ＝b＋c，整 理，得（b＋c）（a2－b2－c2）＝0. ∵b＋c≠0，∴a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形. 目录 数学·必修第二册 通性通法 判断三角形形状的方法 （1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一” 入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线： ①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量 关系； ②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量 关系. 目录 数学·必修第二册 （2）判断三角形的形状时，经常用到以下结论： ①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2； ②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2＞c2，且b2＋c2＞a2，且c2＋a2 ＞b2； ③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2＜c2或b2＋c2＜a2或c2＋a2＜b2； ④若 sin 2A＝ sin 2B，则A＝B或A＋B＝ . 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 （2024·温州月考）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a， b，c，若A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是（　　） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 解析：　在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc，所以由余弦定理可 得，a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc，所以bc＝b2＋c2－bc，即 （b－c）2＝0，所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC一定是等边三 角形. 目录 数学·必修第二册 1. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，b ＝2，C＝60°，则c＝（　　） A. 3 B. C. D. 解析：　因为a＝1，b＝2，C＝60°，所以c＝ ＝ ＝ . 目录 数学·必修第二册 2. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝ ，b＝1，c＝2，则A＝（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 解析：　由余弦定理的推论得 cos A＝ ＝ ＝ ，又 A为△ABC的内角，所以A＝60°. 目录 数学·必修第二册 3. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝ 3 ，b＝3，B＝30°，解这个三角形. 解：由余弦定理得b2＝c2＋a2－2ca cos B， 即c2－9c＋18＝0，解得c＝3或c＝6. 当c＝3时， cos A＝ ＝－ ， 因为0°＜A＜180°， 所以A＝120°， 故C＝180°－120°－30°＝30°； 目录 数学·必修第二册 当c＝6时， cos A＝ ＝ ， 因为0°＜A＜180°， 所以A＝60°，故C＝180°－60°－30°＝90°. 综上所述，A＝60°，C＝90°，c＝6或A＝120°，C＝30°，c ＝3. 目录 数学·必修第二册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， cos A＝ ，b＝3，c＝5，则a＝（　　） A. 3 B. 4 C. D. 2 解析：由余弦定理，得a＝ ＝ ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 2. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a＝2，b ＝3，c＝ ，则C＝（　　） A. B. C. D. 解析：　∵a＝2，b＝3，c＝ ，∴由余弦定理的推论可得 cos C＝ ＝ ＝ .∵C∈（0，π），∴C＝ .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 3. 在△ABC中， cos B＝ （a，b，c分别为角A，B，C的对边）， 则△ABC的形状为（　　） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 解析： cos B＝ ，由余弦定理得 ＝ ，整理得b2＋a2 ＝c2，即C为直角，则△ABC为直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 4. （2024·湖州月考）在△ABC中，若AB＝5，BC＝7，AC＝8，则 · ＝（　　） A. 79 B. 69 C. 5 D. －5 解析：　由AB＝5，BC＝7，AC＝8，得 cos B＝ ＝ ，∴ · ＝｜ ｜｜ ｜ cos （π－B）＝5×7×（－ ）＝ －5.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 5. （多选）（2024·漳州月考）设△ABC的内角A，B，C的对边分别 为a，b，c.若a＝2，c＝2 ， cos A＝ ，且b＜c，则（　　） A. b＝2 B. b＝4 C. B＝60° D. B＝30° 解析：　由a2＝b2＋c2－2bc cos A，得4＝b2＋12－6b⇒b2－6b ＋8＝0⇒（b－2）（b－4）＝0，由b＜c，得b＝2，又a＝2， cos A＝ ，所以B＝A＝30°.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 6. （多选）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于 △ABC，有如下结论，其中正确的有（　　） A. sin （B＋C）＝ sin A B. cos （B＋C）＝ cos A C. 若a2＋b2＝c2，则△ABC为直角三角形 D. 若a2＋b2＜c2，则△ABC为锐角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 解析：　依题意，在△ABC中，B＋C＝π－A， sin （B＋C） ＝ sin （π－A）＝ sin A，A正确； cos （B＋C）＝ cos （π－A） ＝－ cos A，B不正确；因为a2＋b2＝c2，则由余弦定理的推论得 cos C＝ ＝0，而0＜C＜π，即有C＝ ，则△ABC为直角 三角形，C正确；因为a2＋b2＜c2，则 cos C＝ ＜0，而0 ＜C＜π，即有 ＜C＜π，则△ABC为钝角三角形，D不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 7. 在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝ ，则AB＝ ⁠. 解析：在△ABC中，因为A＝60°，AC＝2，BC＝ ，设AB＝ x，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A，化简得x2－ 2x＋1＝0，所以x＝1，即AB＝1. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 8. （2024·漯河月考）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a， b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则 cos B＝ ⁠. 解析：因为b2＝ac，且c＝2a，得b2＝2a2，由余弦定理的推论， cos B＝ ＝ ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 9. 在△ABC中，AB＝3，BC＝ ，AC＝4，则A＝ 　​ 　，AC边 上的高为 ⁠. 解析：由余弦定理的推论，可得 cos A＝ ＝ ＝ ，又0＜A＜π，所以A＝ ，所以 sin A＝ .则 AC边上的高为h＝AB sin A＝3× ＝ . ​ ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 解：因为 sin C＝ ，且0＜C＜π，所以C＝ 或C＝ . 当C＝ 时， cos C＝ ，此时c2＝a2＋b2－2ab cos C＝4，所以c ＝2. 当C＝ 时， cos C＝－ ，此时c2＝a2＋b2－2ab cos C＝28，所 以c＝2 . 综上所述，c的值为2或2 . 10. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 sin C ＝ ，a＝2 ，b＝2，求c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 11. （2024·青岛月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a， b，c，已知 cos 2A＝ cos （B＋C），且b＝2，c＝6，则a＝ （　　） A. B. 2 C. D. 2 解析：　 cos 2A＝－ cos A＝2 cos 2A－1，即2 cos 2A＋ cos A－ 1＝0，解得 cos A＝－1（舍去）或 cos A＝ ，在△ABC中，根据 余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A＝28，得a＝2 .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 12. 在不等边三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b， c，且a为最大边，若a2＜b2＋c2，则角A的取值范围 为 ⁠. 解析：∵a2＜b2＋c2，∴b2＋c2－a2＞0，则 cos A＝ ＞ 0.∴A＜90°.又∵a为最大边，∴A＞60°.故A的取值范围是 （60°，90°）. （60°，90°） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 13. （2024·广州质检）已知△ABC的三边a，b，c满足 ＋ ＝ ，则B＝ 　​ 　. 解析：∵ ＋ ＝ ，∴ ＋ ＝3， ∴ ＋ ＝1.∴c（b＋c）＋a（a＋b）＝（a＋b）（b ＋c），即ac＝a2＋c2－b2.∴ cos B＝ ＝ ，∴B＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 14. 已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b， c，且2 cos 2 ＋ cos A＝0. （1）求角A的大小； 解：因为 cos A＝2 cos 2 －1，2 cos 2 ＋ cos A＝0， 所以2 cos A＋1＝0，所以 cos A＝－ ， 又0°＜A＜180°，所以A＝120°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 （2）若a＝2 ，b＝2，求c的值. 解：由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bc cos A. 又a＝2 ，b＝2， cos A＝－ ， 所以（2 ）2＝22＋c2－2×2×c×（－ ）， 化简，得c2＋2c－8＝0，解得c＝2或c＝－4（舍去）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 15. （多选）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， A＝ ，a＝m，b＝4.若满足条件的△ABC有两个，则m的值可 以是（　　） A. 2 B. 2 C. 3 D. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 解析：　在△ABC中，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得 m2＝42＋c2－2·4c cos ，即c2－4 c＋16－m2＝0.依题意，关 于c的一元二次方程有两个不相等的正根，所以Δ＝（－4 ）2 －4×1×（16－m2）＝4m2－32＞0，且16－m2＞0.又m＞0，所 以2 ＜m＜4.选项B、C符合条件.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 16. 已知2a＋1，a，2a－1是钝角三角形的三边，求实数a的取值 范围. 解：∵2a＋1，a，2a－1是三角形的三边， ∴∴a＞ . 要使2a＋1，a，2a－1构成三角形，还需满足 即a＞2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 由题意知2a＋1是三角形的最大边，设其对应的角为θ（钝角）， 则 cos θ＝ ＜0， ∴a2＋（2a－1）2－（2a＋1）2＜0，即a2－8a＜0，解得0＜a ＜8. 又∵a＞2，∴a的取值范围是（2，8）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 $