6.2.4 第2课时 向量数量积的运算-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦向量数量积的运算，涵盖运算律、常用结论及模、夹角、垂直的计算。课堂导入通过回顾向量加法与数乘运算律，提出数量积运算律的探究问题，搭建新旧知识桥梁，形成学习支架。 其亮点是分层设计例题与练习，题型化讲解附“通性通法”总结，培养数学思维中的推理与运算能力。问题驱动的情境导入发展数学眼光，知能演练强化应用，助力学生巩固知识，教师可高效实施分层教学。

第2课时　向量数量积的运算 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　通过前面的学习，我们知道向量的加法运算满足交换律、结合 律，向量的数乘运算满足结合律即λ（μa）＝（λμ）a，分配律即 （λ＋μ）a＝λa＋μa（λ，μ∈R）. 【问题】　（1）向量的数量积是否也满足交换律，数乘结合律及数 量积对向量加法分配律？ （2）平方差公式、完全平方公式在向量运算中是否成立？ （3）向量的模、两向量的夹角如何计算？ 目录 数学·必修第二册 知识点　向量数量积的运算律 1. 向量数量积的运算律 （1）a·b＝ （交换律）； （2）（λa）·b＝ ＝ （结合律）； （3）（a＋b）·c＝ （分配律）. b·a　 λ（a·b）　 a· （λb）　 a·c＋b·c　 目录 数学·必修第二册 2. 向量数量积的常用结论 （1）（a±b）2＝｜a±b｜2＝｜a｜2±2a·b＋｜b｜2＝ a2±2a·b＋b2； （2）a2－b2＝（a＋b）·（a－b）＝｜a｜2－｜b｜2； （3）（a＋b）2＋（a－b）2＝2（｜a｜2＋｜b｜2）； （4）a2＋b2＝0⇔a＝b＝0. 目录 数学·必修第二册 提醒　（1）向量的数量积不满足消除律：若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b；（2）a·b）·c≠a·（b·c），因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以（a·b）·c与向量c共线，a·（b·c）与向量a共线，因此，（a·b）·c＝a·（b·c）在一般情况下不成立. 目录 数学·必修第二册 1. 向量的数量积与向量的数乘运算结果相同吗？ 提示：不相同，向量的数量积运算结果是一个实数，向量的数乘运 算结果是向量. 2. 已知非零向量a，b，a与b的夹角为θ，若a·b＜0，则θ是钝角对 吗？ 提示：不对.若θ＝π时，a·b＜0. 【想一想】 目录 数学·必修第二册 1. 已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，则（2a－3b）·（2a＋3b）＝ ⁠. ⁠ 解析：（2a－3b）·（2a＋3b）＝4a2－9b2＝4×4－9×9＝－65. －65 目录 数学·必修第二册 2. 已知｜a｜＝1，｜b｜＝ ，且（a＋b）与a 垂直，则a与b的 夹角是 ⁠. 解析：∵（a＋b）·a＝a2＋a·b＝0.∴a·b＝－a2＝－1.设a与b 的夹角为θ，∴ cos θ＝ ＝ ＝－ ，又θ∈[0，π]，∴θ ＝ . ​ 目录 数学·必修第二册 3. 已知两个单位向量a，b的夹角为60°，则｜a＋2b｜＝ ⁠. 解析：因为两个单位向量a，b的夹角是60°，所以｜a＋2b｜＝ ＝ ＝ ＝ . ​ 目录 数学·必修第二册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 向量数量积的计算 角度1　求两个或两个以上向量线性表达式的数量积 【例1】　已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，｜c｜＝5，向量a，b的夹角 是120°，a，c的夹角是45°.求： （1）（a－2b）·（3a＋b）； 解：（a－2b）·（3a＋b）＝3a2＋a·b－6a·b－2b2＝3｜a｜ 2－5a·b－2｜b｜2＝3×32－5×3×4× cos 120°－2×42＝25. 目录 数学·必修第二册 （2）a·（a－4b＋ c）. 解：a·（a－4b＋ c）＝a2－4a·b＋ a·c＝｜a｜2－4｜ a｜｜b｜ cos 120°＋ ｜a｜｜c｜ cos 45°＝32－4×3×4× （－ ）＋ ×3×5× ＝48. 目录 数学·必修第二册 通性通法 求向量的数量积的一般思路 　　求向量的数量积时，需明确两个关键量：相关向量的模和夹角. 若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量 积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简. 目录 数学·必修第二册 角度2　求与几何图形有关的向量的数量积 【例2】　在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2 ，AD＝5，∠A ＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则 · ＝ ⁠ ⁠. －1 解析：如图，由AD∥BC，AE＝BE，得∠BAD＝∠ABE＝∠EAB＝ 30°.又AB＝2 ，所以AE＝BE＝2.因为 ＝ － ，所以 · ＝ ·（ － ）＝ · － · ＝2×5× cos 60°－ 2×2 × cos 30°＝－1. 目录 数学·必修第二册 通性通法 求与几何图形有关向量数量积的一般思路 （1）可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律，将所求数量积 转化为已知模和夹角的向量的数量积后再运算； （2）充分利用图形特点，观察向量的夹角与平面几何图形中的角的 关系是相等还是互补. 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 1. 已知｜a｜＝6，｜b｜＝4，a与b的夹角为60°，则（a＋ 2b）·（a＋3b）＝ ⁠. 解析：（a＋2b）·（a＋3b）＝a·a＋5a·b＋6b·b＝｜a｜2＋ 5a·b＋6｜b｜2＝｜a｜2＋5｜a｜｜b｜ cos 60°＋6｜b｜2＝62 ＋5×6×4× ＋6×42＝192. 192 目录 数学·必修第二册 2. （2024·青岛月考）如图，在▱ABCD中，｜ ｜＝4，｜ ｜＝ 3，∠DAB＝60°，则 · ＝ ⁠. 解析：因为 ＝ ＋ ， ＝ － ，所以 · ＝ （ ＋ ）·（ － ）＝ － ＝9－16＝－7. －7 目录 数学·必修第二册 题型二 向量模的计算 【例3】　（1）（2024·新乡月考）已知平面向量a与b的夹角为 60°，｜a｜＝2，｜b｜＝1，则｜a＋2b｜＝（　B　） A. B. 2 C. 4 D. 12 B 目录 数学·必修第二册 解析：法一　｜a＋2b｜＝ ＝ ＝ ＝ ＝2 . 法二（数形结合法）　由｜a｜＝｜2b｜＝2知， 以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如 图，则｜a＋2b｜＝｜ ｜.又∠AOB＝60°，所 以｜a＋2b｜＝2 . 目录 数学·必修第二册 （2）向量a，b满足｜a｜＝1，｜a－b｜＝ ，a与b的夹角为 60°，则｜b｜＝（　B　） A. B. C. D. 解析：由题意得｜a－b｜2＝｜a｜2＋｜b｜2－2｜a｜｜b｜ cos 60°＝ ，即1＋｜b｜2－｜b｜＝ ，解得｜b｜＝ . B 目录 数学·必修第二册 通性通法 求向量的模的基本思路 　　a·a＝a2＝｜a｜2或｜a｜＝ 是求向量的模及用向量求解图 形中线段长度的依据.这种通过求自身的数量积从而求模的思想是解 决向量的模的问题的主要方法.此外，根据平面图形求向量的模时， 要注意利用图形的性质对向量的数量积或夹角等进行转化. 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝2，a·（a－2b）＝0，则｜ a＋b｜＝（　　） A. 6 B. 4 C. D. 解析：　∵a·（a－2b）＝0，∴a2－2a·b＝0.∵｜a｜＝1，｜ b｜＝2，∴a·b＝ ，∴｜a＋b｜＝ ＝ ＝ . 目录 数学·必修第二册 题型三 向量的夹角与垂直 角度1　求两向量的夹角 【例4】　已知向量a，b满足｜a｜＝｜b｜＝1及｜3a－2b｜＝ ，求a，b的夹角. 解：设a与b的夹角为θ，由题意得（3a－2b）2＝7， ∴9｜a｜2＋4｜b｜2－12a·b＝7， 又｜a｜＝｜b｜＝1，∴a·b＝ ， ∴｜a｜｜b｜ cos θ＝ ， 即 cos θ＝ . 又θ∈[0，π]，∴a，b的夹角为 . 目录 数学·必修第二册 通性通法 求向量夹角θ的基本步骤 目录 数学·必修第二册 角度2　利用数量积解决向量的垂直问题 【例5】　已知｜a｜＝2，｜b｜＝1，向量a，b的夹角为60°，c ＝a＋5b，d＝ma－2b.求实数m为何值时，c与d垂直. 解：由已知得a·b＝2×1× cos 60°＝1. 若c⊥d，则c·d＝0. ∴c·d＝（a＋5b）·（ma－2b）＝ma2＋（5m－2）a·b－10b2＝ 4m＋5m－2－10＝9m－12＝0， ∴m＝ . 故当m＝ 时，c与d垂直. 目录 数学·必修第二册 通性通法 求解向量垂直问题的一般思路 　　对于非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0是向量中非常重要的性 质，其作用主要有：（1）证明两向量垂直；（2）利用a·b＝0列方 程求未知数的值；（3）解决平面几何图形中有关垂直的问题. 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 1. （2024·龙岩月考）已知向量a，b满足｜a｜＝5，｜b｜＝6， a·b＝－6，则 cos ＜a，a＋b＞＝（　　） A. － B. － C. D. 解析：　a·（a＋b）＝｜a｜2＋a·b＝25－6＝19，｜a＋b｜ ＝ ＝ ＝ ＝7， 故 cos ＜a，a＋b＞＝ ＝ ＝ .故选D. 目录 数学·必修第二册 2. （2024·金华质检）已知a⊥b，｜a｜＝2，｜b｜＝3且向量3a＋ 2b与ka－b互相垂直，则k的值为（　　） A. － B. C. ± D. 1 解析：　因为向量3a＋2b与ka－b互相垂直，所以（3a＋ 2b）·（ka－b）＝0.所以3ka2＋（2k－3）a·b－2b2＝0，因为 a⊥b，｜a｜＝2，｜b｜＝3，所以a·b＝0，所以12k－18＝0， 解得k＝ ，故选B. 目录 数学·必修第二册 1. 已知向量a，b满足｜a｜＝1，a·b＝－1，则a·（2a－b）＝ （　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 解析：　a·（2a－b）＝2a2－a·b＝2－（－1）＝3. 目录 数学·必修第二册 2. 若两个单位向量a，b的夹角为 ，则｜4a＋5b｜＝（　　） A. 1 B. C. D. 7 解析：　因为（4a＋5b）2＝16a2＋40a·b＋25b2＝16×12＋ 40×1×1× cos ＋25×12＝21，所以｜4a＋5b｜＝ .故选C. 目录 数学·必修第二册 3. 已知非零向量m，n满足4｜m｜＝3｜n｜，m与n夹角的余弦值 为 ，若n⊥（t m＋n），则实数t＝ ⁠. 解析：由题意知， ＝ ＝ ，所以m·n＝ ｜n｜2 ＝ n2，因为n·（tm＋n）＝0，所以t m·n＋n2＝0，即 t n2＋n2 ＝0，所以t＝－4. －4 目录 数学·必修第二册 4. 已知｜a｜＝1，｜b｜＝ . （1）若a，b的夹角为60°，求｜a＋b｜； 解：因为｜a＋b｜2＝｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＝3＋ ， 所以｜a＋b｜＝ . （2）若a－b与a垂直，求a与b的夹角. 解：（2）由（a－b）·a＝0，得a2＝a·b， 设a与b的夹角为θ， 所以 cos θ＝ ＝ ，又0°≤θ≤180°，故θ＝45°. 目录 数学·必修第二册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 已知单位向量a，b，则（2a＋b）·（2a－b）＝（　　） A. B. C. 3 D. 5 解析：　由题意得（2a＋b）·（2a－b）＝4a2－b2＝4－1＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 2. 已知a，b是非零向量，且a，b不共线，｜a｜＝3，｜b｜＝4， 若向量a＋kb与a－kb互相垂直，则实数k的值为（　　） A. ±2 B. ± C. ± D. ± 解析：因为向量a＋kb与a－kb互相垂直，所以有（a＋kb）·（a－kb）＝0⇒a2－k2b2＝0⇒9－16k2＝0⇒k＝± ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 3. 若向量a，b满足｜a｜＝ ，｜b｜＝2，且（a－b）⊥a， 则｜a＋b｜＝（　　） A. 3 B. 2 C. 10 D. 解析：　∵（a－b）⊥a，∴（a－b）·a＝｜a｜2－a·b＝0， ∴a·b＝｜a｜2＝2，∴｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝10，∴｜a ＋b｜＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 4. 设非零向量a，b，c满足｜a｜＝｜b｜＝｜c｜，a＋b＝c，则 a与b的夹角θ＝（　　） A. 150° B. 120° C. 60° D. 30° 解析：　由｜a｜＝｜b｜＝｜c｜且a＋b＝c，得｜a＋b｜ ＝｜b｜，两边平方得｜a｜2＋｜b｜2＋2a·b＝｜b｜2，∴2a·b ＝－｜a｜2，则2｜a｜｜b｜ cos θ＝－｜a｜2，∴ cos θ＝－ .又 0°≤θ≤180°，∴θ＝120°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 5. （多选）设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给 出下列结论中正确的有（　　） A. a·c－b·c＝（a－b）·c B. （b·c）·a－（c·a）·b不与c垂直 C. ｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜ D. （3a＋2b）·（3a－2b）＝9｜a｜2－4｜b｜2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 解析：　根据数量积的分配律知A正确；∵[（b·c）·a－（c·a）·b]·c＝（b·c）·（a·c）－（c·a）·（b·c）＝0， ∴（b·c）·a－（c·a）·b与c垂直，B错误；∵a，b不共线， ∴｜a｜，｜b｜，｜a－b｜组成三角形，∴｜a｜－｜b｜＜｜ a－b｜成立，C正确；显然D正确.故正确结论的选项是A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 6. （多选）已知正三角形ABC的边长为2，设 ＝2a， ＝b，则 下列结论正确的是（　　） A. ｜a＋b｜＝1 B. a⊥b C. （4a＋b）⊥b D. a·b＝－1 解析：　分析知｜a｜＝1，｜b｜＝2，a与b的夹角是120°， 故B错误；∵（a＋b）2＝｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＝3，∴｜a＋ b｜＝ ，故A错误；∵（4a＋b）·b＝4a·b＋b2＝4×1×2× cos 120°＋4＝0，∴（4a＋b）⊥b，故C正确；a·b＝1×2× cos 120°＝－1，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 7. 设单位向量a，b的夹角的余弦值为－ ，则（2a－b）·（a＋b） ＝ ⁠ 解析：因为 cos ＜a，b＞＝－ ，所以a·b＝｜a｜｜b｜· cos ＜ a，b＞＝－ ，则（2a－b）·（a＋b）＝2a2＋a·b－b2＝2－ －1＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 8. （2024·聊城月考）已知向量a，b的夹角为 ，且｜a｜＝2，｜ b｜＝1，则｜a＋ b｜＝ 　​ 　. 解析：｜a＋ b｜＝ ＝ ＝ ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 9. 已知两个单位向量a，b满足｜4a＋b｜＝ ，则a，b的夹角 为 ⁠. 解析：｜4a＋b｜＝ 两边平方得16a2＋8a·b＋b2＝13，设 a，b的夹角为θ，即16｜a｜2＋8｜a｜·｜b｜ cos θ＋｜b｜2＝ 13，因为a，b为单位向量，所以16＋8 cos θ＋1＝13，解得 cos θ ＝－ ，因为θ∈[0，π]，所以θ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 10. 已知平面向量a，b，若｜a｜＝1，｜b｜＝2，且｜a－b｜＝ . （1）求a与b的夹角θ； 解：由｜a－b｜＝ ，得a2－2a·b＋b2＝7， ∴1－2×1×2× cos θ＋4＝7， ∴ cos θ＝－ . 又θ∈[0，π]，∴θ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 （2）若c＝ta＋b，且a⊥c，求t的值及｜c｜. 解：∵a⊥c，∴a·（ta＋b）＝0， ∴ta2＋a·b＝0，∴t＋1×2×（－ ）＝0， ∴t＝1， ∴c＝a＋b，c2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×1×2×（－ ）＋ 4＝3，∴｜c｜＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 11. （2024·宁德月考）若O为△ABC所在平面内任一点，且满足 （ － ）·（ ＋ －2 ）＝0，则△ABC的形状为（　） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 正三角形 D. 等腰直角三角形 解析：　因为（ － ）·（ ＋ －2 ）＝0，即 ·（ ＋ ）＝0，又因为 － ＝ ，所以（ － ）·（ ＋ ）＝0，即｜ ｜＝｜ ｜，所以△ABC是等 腰三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 12. 已知向量a≠b，｜b｜≠0，若对任意的t∈R，｜a－tb｜≥｜a －b｜恒成立，则必有（　　） A. a⊥b B. a⊥（a－b） C. b⊥（a－b） D. （a＋b）⊥（a－b） 解析：　因为｜a－tb｜≥｜a－b｜恒成立，两边平方，化简 得b2t2－2a·bt＋2a·b－b2≥0对任意的t∈R恒成立，又｜b｜ ≠0，则Δ＝4（a·b）2－4b2（2a·b－b2）≤0，即（a·b－b2） 2≤0，所以a·b－b2＝0，所以b·（a－b）＝0，即b⊥（a－b）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 13. （2024·绍兴质检）已知向量a，b满足｜a｜＝5，｜b｜＝3，且 b⊥（a－b），则a，b夹角的余弦值为 ，设a在b方向上 的投影向量为λb，则λ＝ ⁠. 解析：∵b⊥（a－b），∴b·（a－b）＝0⇒b·a－b2＝0⇒b·a ＝b2，∴ cos ＜a，b＞＝ ＝ ＝ ＝ ，∴a 在b方向上的投影向量为｜a｜· cos ＜a，b＞ ＝ 5× · ＝b，即b＝λb，解得λ＝1. ​ 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 14. 已知向量a，b满足｜a｜＝2，｜b｜＝1，（a－3b）·（a＋ b）＝3. （1）求｜a＋b｜的值； 解：∵（a－3b）·（a＋b）＝3， ∴｜a｜2＋a·b－3a·b－3｜b｜2＝3， ∴4－2a·b－3＝3，即a·b＝－1， 故｜a＋b｜＝ ＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 （2）求向量a与a－2b的夹角. 解：设向量a与a－2b的夹角为θ， 则 cos θ＝ ＝ ， ∵｜a－2b｜＝ ＝ ＝ ＝2 ，∴ cos θ ＝ ＝ ， 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝ ，即a与a－2b的夹角为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 15. 已知a，b是夹角为90°的两个单位向量，若非零向量c满足（c －a）·（c－b）＝0，则｜c｜的最大值为（　　） A. 1 B. 解析：　设a＋b与c的夹角为θ，由题意知，a·b＝0，则（c－ a）·（c－b）＝c2－（a＋b）·c＋a·b＝c2－（a＋b）·c＝｜ c｜2－｜a＋b｜｜c｜ cos θ＝0，因为c为非零向量，所以｜c｜ ＝｜a＋b｜ cos θ≤｜a＋b｜，易得｜a＋b｜＝ ，因此｜ c｜的最大值为 . C. D. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 16. 如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD边上运动 （含C，D点）. （1）若点F是CD上靠近点C的三等分点，设 ＝λ ＋ μ ，求λ＋μ的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 解：∵E是BC的中点，点F是CD上靠近点C的三等分点， ∴ ＝ ＝ ， ＝－ ＝－ ， ∴ ＝ ＋ ＝－ ＋ ， 又 ＝λ ＋μ ， ∴λ＝－ ，μ＝ ，故λ＋μ＝－ ＋ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 （2）若AB＝2，当 · ＝1时，求 cos ∠EAF的值. 解：设 ＝m （0≤m≤1）， 则 ＝ ＋ ＝ －m ， 又 ＝ ＋ ＝ ＋ ， · ＝0， ∴ · ＝（ ＋ ）·（ － m ）＝－m ＋ ＝－4m＋2＝1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 故m＝ . ∴ · ＝（ ＋ ）·（ ＋ ）＝ ＋ ＝3＋2＝5， 易得｜ ｜＝ ，｜ ｜＝ ， ∴ cos ∠EAF＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 $