6.2.4 第1课时 向量数量积的概念、运算及投影向量-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦向量数量积的概念、运算及投影向量，以物理中“功”的实例导入，通过力与位移的关系引出数量积定义，衔接向量线性运算知识，搭建从具体问题到数学抽象的学习支架。 其亮点在于结合数学抽象与数学运算核心素养，通过情境导入建立现实联系，典型例题分层讲解夹角计算、数量积应用及投影向量求解，辅以自我诊断和分层练习。学生能深化理解，教师可高效落实课标，提升教学效果。

6.2.4　向量的数量积 新课程标准解读 核心素养 1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概 念及其物理意义，会计算平面向量的数量积 数学抽象 2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影 向量的意义 数学运算 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 逻辑推理 目录 数学·必修第二册 第1课时　向量数量积的概念、运算及投影向量 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　我们在物理课中学过，力与在力的方向上移动的距离的乘积 称为力对物体所做的功.如图所示，如果作用在小车上的力F的大 小为｜F｜ N，小车在水平面上位移s的大小为｜s｜ m，力的方向 与小车位移的方向所成夹角为θ，那么这个力所做的功为W＝｜ F｜｜s｜ cos θ. 目录 数学·必修第二册 【问题】　（1）显然，功W与力向量F及位移向量s有关，这三者之 间有什么关系？ （2）给定任意两个向量a，b，能确定出一个类似功的标量吗？ 目录 数学·必修第二册 知识点一　向量的夹角 1. 夹角： 已知两个 a，b（如图），O是平面上的任意一点， 作 ＝a， ＝b，则 叫做向量a与b的夹角，夹 角θ的取值范围是 ⁠. 当θ＝0时，a与b ；当θ＝π时，a与b ⁠. 非零向量　 ∠AOB＝θ　 0≤θ≤π　 同向　 反向　 目录 数学·必修第二册 2. 垂直：如果a与b的夹角是 ，则称a与b垂直，记 作 ⁠. 提醒　两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角的范围 是[0，π]，而两直线夹角的范围为 . 　 a⊥b　 目录 数学·必修第二册 知识点二　两个向量的数量积 1. 定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数 量 叫做向量a与b的数量积（或内积），记 作 ，即 ⁠. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 提醒　（1）数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省 略不写；（2）向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可 正、可负、可为0. ｜a｜｜b｜ cos θ　 a·b　 a·b＝｜a｜｜b｜ cos θ　 目录 数学·必修第二册 2. 性质：设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的 单位向量，则： （1）a·e＝e·a＝｜a｜ cos θ； （2）a⊥b⇔ ⁠； （3）当a∥b时，a·b＝特别地，a2＝a·a ＝｜a｜2或｜a｜＝ ； （4）a·b ｜a｜｜b｜； （5） cos θ＝ . a·b＝0　 ≤　 目录 数学·必修第二册 知识点三　投影向量 1. 如图，设a，b是两个非零向量， ＝a， ＝b，我们考虑如 下的变换：过 的起点A和终点B，分别作 所在直线的垂线， 垂足分别为A1，B1，得到 ，我们称上述变换为向量a向向量 b ， 叫做向量a在向量b上的 向量. 投影　 投影　 目录 数学·必修第二册 2. 如图，在平面内任取一点O，作 ＝a， ＝b.过点M作直线 ON的垂线，垂足为M1，则 就是向量a在向量b 上的投影向量.设与b方向相同的单位向量为e，a与 b的夹角为θ，则 与e，a，θ之间的关系为 ＝｜a｜ cos θ e. 提醒　（1）向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量； （2）如果向量a与向量b平行，向量a在向量b上的投影向量等于 a或－a，当a与b垂直时，a在b上的投影向量为0；（3）向量a在向量b上的投影向量与向量b在向量a上的投影向量不是同一个向量. 目录 数学·必修第二册 1. 向量a，b的夹角为60°，且｜a｜＝1，｜b｜＝2，则a·b＝（　） A. 4 B. 2 C. －2 D. 1 解析：　因为向量a，b的夹角为60°，｜a｜＝1，｜b｜＝2， 所以a·b＝｜a｜｜b｜ cos 60°＝1×2× ＝1.故选D. 目录 数学·必修第二册 2. 两个向量的夹角的取值范围是 .当a与b同向时，夹角 为 .当a与b反向时，夹角为 ⁠. 解析：根据向量夹角的定义可知，两个向量的夹角的取值范围是 [0，π]，当a与b同向时，夹角为0，当a与b反向时，夹角为π. 3. 已知平面上两单位向量a，b，a与b的夹角为 ，则a在b上的投 影向量为 ⁠. 解析：根据题意，a，b为两单位向量，且a与b的夹角为 ，所 以a在b上的投影向量为｜a｜ cos ·b＝－ b. [0，π] 0 π － b 目录 数学·必修第二册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 两向量的夹角 【例1】　已知｜a｜＝｜b｜＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b 与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？ 解：如图所示，作 ＝a， ＝b，且∠AOB＝60°. 目录 数学·必修第二册 以 ， 为邻边作平行四边形OACB， 则 ＝a＋b， ＝a－b. 因为｜a｜＝｜b｜＝2， 所以平行四边形OACB是菱形， 又∠AOB＝60°， 所以 与 的夹角为30°， 与 的夹角为60°.即a＋b与a的 夹角是30°，a－b与a的夹角是60°. 目录 数学·必修第二册 通性通法 求两个向量夹角的方法 （1）求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重 合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出； （2）特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b（λ1，λ2是非零常数）的夹 角为θ0，当λ1λ2＜0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2＞0时，θ0＝θ. 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 在△ABC中，C＝90°，BC＝ AB，则 与 的夹角是（　　） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 解析：　如图，作向量 ＝ ，则∠BAD是 与 的夹角，在△ABC中，因为∠ACB＝90°，BC＝ AB， 所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°，即 与 的 夹角是120°. 目录 数学·必修第二册 题型二 直接用数量积公式求数量积 【例2】　（1）已知向量a与b的夹角为120°，且｜a｜＝4，｜b｜ ＝2，求：①a·b；②a·a－a·b－2b·b； 解：①由已知得a·b＝｜a｜｜b｜· cos θ＝4×2× cos 120°＝－4. ②a·a－a· b－2b·b＝｜a｜2－a·b－2｜b｜2＝16－（－4）－2×4 ＝12. 目录 数学·必修第二册 （2）已知正三角形ABC的边长为1，求：① · ；② · ；③ · . 解：①∵ 与 的夹角为60°，∴ · ＝｜ ｜｜ ｜ cos 60°＝1×1× ＝ . ②∵ 与 的夹角为120°，∴ · ＝｜ ｜·｜ ｜ cos 120°＝1×1×（－ ）＝－ . ③∵ 与 的夹角为60°，∴ · ＝｜ ｜｜ ｜· cos 60°＝1×1× ＝ . 目录 数学·必修第二册 通性通法 定义法求平面向量的数量积 　　若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝｜a｜｜ b｜ cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条 件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以 上条件. 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 1. 设｜a｜＝1，｜b｜＝2，a·b＝1，则a与b的夹角为（　　） A. B. C. D. π 解析：　设a，b的夹角为θ，则 cos θ＝ ＝ ，∵θ∈[0， π]，∴θ＝ . 目录 数学·必修第二册 2. （2024·焦作月考）已知平面上三点A，B，C满足｜ ｜＝ 3，｜ ｜＝4，｜ ｜＝5，则 · ＋ · ＋ · ＝ （　　） A. －7 B. 7 C. 25 D. －25 解析：　由题得｜ ｜2＝｜ ｜2＋｜ ｜2，所以∠ABC＝ 90°，所以原式＝0＋4×5 cos （180°－C）＋5×3 cos （180° －A）＝－20 cos C－15 cos A＝－20× －15× ＝－16－9＝－ 25.故选D. 目录 数学·必修第二册 题型三 投影向量 【例3】　已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，a与b的夹角θ＝120°，与b同 向的单位向量为e. （1）求a·b； 解： a·b＝｜a｜｜b｜ cos θ ＝5×4× cos 120°＝－10. （2）求a在b上的投影向量. 解：a在b上的投影向量为｜a｜ cos θe＝－ e. 目录 数学·必修第二册 通性通法 投影向量的求解方法 　　任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于｜a｜ cos θ e（θ为向量a，b的夹角，e为与b同向的单位向量），其中｜a｜ cos θ也称为a在b上投影向量的数量，即当0≤θ≤ 时，｜a｜ cos θ 为a在b上投影向量的模，当 ＜θ≤π时，｜a｜ cos θ为a在b上投影 向量模的相反数. 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 1. 已知向量a，b满足｜b｜＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的 投影向量的模是 ⁠. 解析：已知向量a，b的夹角θ＝60°，故b在a上的投影向量的模 为｜b｜ cos θ＝2 cos 60°＝2× ＝1. 1 目录 数学·必修第二册 2. 已知｜a｜＝3，｜b｜＝5，a·b＝12，b方向上的单位向量为e， 则向量a在向量b上的投影向量为 ⁠. 解析：∵ cos θ＝ ＝ （θ为a与b的夹角），∴向量a在向 量b上的投影向量为｜a｜ cos θ e＝ e. e 目录 数学·必修第二册 1. 已知在▱ABCD中，∠DAB＝60°，则 与 的夹角为（　　） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 解析：如图，∠DAB＝60°，则 与 的夹角为∠ABC＝120°. 目录 数学·必修第二册 2. 已知｜a｜＝ ，｜b｜＝2 ，a与b的夹角是120°，则a·b＝ （　　） A. 3 B. －3 C. －3 D. 3 解析：　由数量积的定义，得a·b＝｜a｜｜b｜ cos 120°＝ ×2 ×（－ ）＝－3. 目录 数学·必修第二册 3. 在等腰直角三角形ABC中，若C＝90°，AC＝ ，则 · ＝ （　　） A. －2 B. 2 C. －2 D. 2 解析：　由题意得 · ＝｜ ｜｜ ｜ cos ∠ABC＝2× × cos 45°＝2. 目录 数学·必修第二册 4. 已知｜a｜＝6，e为单位向量，当向量a，e的夹角等于45°时， 向量a在向量e上的投影向量是 ⁠. 解析：因为向量a，e的夹角等于45°，所以向量a在向量e上的投 影向量是｜a｜· cos 45°·e＝3 e. 3 e 目录 数学·必修第二册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 等边△ABC中， 与 的夹角为（　　） A. 60° B. －60° C. 120° D. 150° 解析：　延长AC到D，延长BC到E，则 与 的夹角为∠DCE，又因∠ACB＝∠DCE，所以 与 的夹角为60°.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 2. 如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水 平面成60°角.则当小车向前运动10 m时，力F做的功为（　　） A. 100 J B. 50 J C. 50 J D. 200 J 解析：　由题意，根据向量的数量积的定义，可得力F做的功W ＝F·s＝10×10× cos 60°＝50（J）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 3. 对于非零向量a与b，下列不等式中恒成立的是（　　） A. a·b≥｜a｜·｜b｜ B. a·b≤｜a｜·｜b｜ C. a·b＞｜a｜·｜b｜ D. a·b＜｜a｜·｜b｜ 解析：　设非零向量a与b的夹角为θ，则θ∈[0，π]， cos θ∈[－ 1，1]，则a·b＝｜a｜·｜b｜· cos θ≤｜a｜·｜b｜，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 4. 若｜a｜＝2，｜b｜＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量 a在向量b上的投影向量为（　　） A. － b B. － b C. b D. － b 解析：　向量a在向量b上的投影向量是｜a｜ cos ＜a，b＞ ＝2× cos 120°× ＝－ b.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 5. （2024·惠州月考）在边长为1的等边△ABC中，设 ＝a， ＝ b， ＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝（　　） A. － B. C. － D. 解析：a·b＝ · ＝－ · ＝－｜ ｜·｜ ｜ cos 60°＝－ .同理b·c＝－ ，c·a＝－ ，∴a·b＋b·c＋c·a＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 6. （多选）对于任意向量a，b，c，下列命题中正确的是（　　） A. 若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0 B. 非零向量a，b共线时其夹角为0 C. 若a⊥b，则a·b＝0 D. ｜a｜＝ 解析：　a·b＝0⇒a⊥b或a＝0或b＝0，所以A错误；非零向量a，b共线时其夹角为0或π，所以B错误；由数量积的定义知，C正确；因为a·a＝｜a｜｜a｜ cos 0＝｜a｜2，所以｜a｜＝ ，所以D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 7. 在四边形ABCD中， · ＝0， ＝ ，则四边形ABCD的形 状是 （填“平行四边形”“矩形”“菱形”或“正方 形”）. 解析：由 · ＝0，知AB⊥BC. 由 ＝ ，知BC􀰿AD， 所以四边形ABCD是矩形. 矩形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 8. 已知a·b＝16，e为b方向上的单位向量.若a在b上的投影向量为 4e，则｜b｜＝ ⁠. 解析：设a与b的夹角为θ，且a·b＝16，∴｜a｜·｜b｜· cos θ＝ 16，又∵a在b上的投影向量为4e，∴｜a｜· cos θ e＝4e，∴｜ a｜ cos θ＝4，∴｜b｜＝4. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 9. 如图所示，在Rt△ABC中，A＝90°，AB＝1，则 · ＝ ⁠ ⁠. 解析： · ＝｜ ｜·｜ ｜ cos （180°－B）＝－｜ ｜·｜ ｜· cos B＝－｜ ｜·｜ ｜· ＝－｜ ｜2＝－1. －1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 10. 已知｜a｜＝3，｜b｜＝2，a·b＝－3，e为与b同向的单位向 量. （1）求a与b的夹角θ； 解：由a·b＝｜a｜｜b｜ cos θ， 得 cos θ＝ ＝ ＝－ . ∴θ＝120°. （2）求a在b上的投影向量. 解：a在b上的投影向量为｜a｜ cos θe＝－ e. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 11. （2024·丽水月考）定义：｜a×b｜＝｜a｜｜b｜ sin θ，其中θ 为向量a与b的夹角，若｜a｜＝2，｜b｜＝5，a·b＝－6，则｜ a×b｜＝（　　） A. 8 B. －8 C. 8或－8 D. 6 解析：　 cos θ＝ ＝ ＝－ ，∵θ∈[0，π]，∴ sin θ ＝ .∴｜a×b｜＝2×5× ＝8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 12. （多选）下列说法正确的是（　　） A. 向量a在向量b上的投影向量可表示为 · B. 若a·b＜0，则a与b的夹角θ的范围是（ ，π］ C. 已知｜a｜＝6，e为单位向量，当向量a，e的夹角为 时，向量a 在向量e上的投影向量为0 D. 若两非零向量a与b的夹角为θ，当a·b＝｜a｜｜b｜｜ cos θ｜ 时，θ必为锐角 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 解析：　对于选项A，根据投影向量的定义，知A正确；对于选项B，∵a·b＝｜a｜｜b｜ cos θ＜0，则 cos θ＜0，又∵0≤θ≤π，∴θ∈（ ，π］，故B正确；对于选项C，a在e上 的投影向量为｜a｜ cos e＝6×0e＝0，故C正确；对于选项 D，由题意知，a·b＝｜a｜｜b｜ cos θ＝｜a｜｜b｜｜ cos θ｜，所以 cos θ＝｜ cos θ｜，则θ可能为锐角，也可能θ＝ 或θ＝0，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 13. （2024·安阳月考）已知在△ABC中，AB＝AC＝4， · ＝ 8，则△ABC的形状是 ， · ＝ ⁠. 解析： · ＝｜ ｜｜ ｜ cos ∠BAC，即8＝4×4 cos ∠BAC，于是 cos ∠BAC＝ ，因为0°＜∠BAC＜180°，所以 ∠BAC＝60°.又AB＝AC，故△ABC是等边三角形.此时 · ＝｜ ｜｜ ｜ cos 120°＝－8. 等边三角形 －8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 14. 如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且 ＝x ＋y . （1）若 ＝ ，求x，y的值； 解：若 ＝ ，则 ＝ ＋ ， 故x＝y＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 （2）若 ＝3 ，｜ ｜＝4，｜ ｜＝2，且 与 的夹 角为60°，求 · 的值. 解：因为｜ ｜＝4，｜ ｜＝2， ∠BOA＝60°， 所以∠OBA＝90°，所以｜ ｜＝2 . 又因为 ＝3 ，所以｜ ｜＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 所以｜ ｜＝ ＝ ， cos ∠OPB＝ . 设 与 的夹角为θ，所以 与 的夹角θ的余弦值为－ . 所以 · ＝｜ ｜｜ ｜ cos θ＝－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 15. 如图所示，已知AB是圆O的直径，且AB＝4，点C，D是 的 两个三等分点，则 · ＝（　　） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 解析：　连接BD，BC（图略）.∵C，D是 的两个三等分 点.∴∠DBA＝60°，∠ABC＝30°，∠DAC＝30°.在Rt△ABD 中，AD＝AB· sin 60°＝4× ＝2 .在Rt△ABC中，AC＝ AB· sin 30°＝4× ＝2，∴ · ＝｜ ｜｜ ｜· cos 30° ＝2 ×2× ＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 16. 如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB 上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°. （1）若点D是线段OB靠近点O的四等分点，用 ， 表示向 量 ； 解：由已知可得 ＝ ，连接 AM，BM（图略），则四边形OAMB是菱 形，则 ＝ ＋ ， 所以 ＝ － ＝ －（ ＋ ）＝－ － . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 （2）求 · 的取值范围. 解：易知∠DMC＝60°，且｜ ｜ ＝｜ ｜，那么只需求MC的最大值与最小值即可. 当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝ ， 则 · ＝ × × cos 60°＝ . 当MC与MO重合时，MC最大，此时MC＝1， 则 · ＝ cos 60°＝ . 所以 · 的取值范围为［ ， ］. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 $