6.2.3 向量的数乘运算-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦向量的数乘运算，通过蚂蚁运动情境导入，类比实数运算引出向量数乘定义，衔接向量加减法，为共线向量定理学习搭建支架，系统呈现运算律及几何意义。 其亮点在于情境生活化激发兴趣，“想一想”等深度解析强化理解，典型例题分题型并总结通性通法，分层检测题覆盖基础与综合。结合数学运算和逻辑推理，助力学生提升运算能力与推理意识，教师可高效开展教学。

6.2.3　向量的数乘运算 新课程标准解读 核心素养 1.通过实例分析、掌握平面向量数乘运算及运算法 则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义 数学运算 2.了解平面向量线性运算的性质及其几何意义 逻辑推理 目录 数学·必修第二册 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如 果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a，那么它在同一方向上运 动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？蚂蚁向西运动3秒钟的 位移对应的向量又怎样表示？是－3a吗？你能用图形表示吗？ 【问题】　类比实数的运算“a＋a＋a＝3a”你能猜想a＋a＋a的 结果吗？ 目录 数学·必修第二册 知识点一　向量的数乘运算及运算律 1. 向量的数乘 （1）定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个 ⁠ ，这种运算叫做向量的数乘，记作 ⁠； （2）规定：①｜λa｜＝ ⁠； ②当λ＞0时，λa的方向与a的方向 ；当λ＜0时，λa 的方向与a的方向 ；当λ＝0时，λa＝ ⁠；（－ 1）a＝ ⁠. 向 量　 λa　 ｜λ｜｜a｜　 相同　 相反　 0　 －a　 目录 数学·必修第二册 2. 向量数乘的运算律 设λ，μ为实数，那么 （1）λ（μa）＝ ⁠； （2）（λ＋μ）a＝ ⁠； （λμ）a　 λa＋μa　 （3）λ（a＋b）＝ ⁠. 特别地，我们有（－λ）a＝－（λa）＝λ（－a），λ（a－ b）＝λa－λb. 提醒　（1）向量的数乘仍是向量；（2）实数λ与向量不能相 加；（3）若λa＝0，则λ＝0或a＝0；（4）当a≠0时，向量 是与向量a同向的单位向量. λa＋λb　 目录 数学·必修第二册 知识点二　共线向量定理 向量a（a≠0）与b共线的充要条件是：存在 实数λ， 使 ⁠. 唯一一个　 b＝λa　 目录 数学·必修第二册 【想一想】 共线向量定理中为什么规定a≠0？ 提示：（1）若将条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线； （2）当a＝0时，若b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa，但此时向量a 与b共线； （3）当a＝0时，若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa，与存在唯 一一个实数λ矛盾. 目录 数学·必修第二册 1. 已知非零向量a，b满足a＝－4b，则（　　） A. ｜a｜＝｜b｜ B. 4｜a｜＝｜b｜ C. a与b的方向相同 D. a与b的方向相反 解析：∵a＝－4b，－4＜0，∴｜a｜＝4｜b｜且a与b方向相反. 目录 数学·必修第二册 2. 已知λ∈R，则下列命题正确的是（　　） A. ｜λa｜＝λ｜a｜ B. ｜λa｜＝｜λ｜a C. ｜λa｜＝｜λ｜｜a｜ D. ｜λa｜＞0 解析：　由数乘向量的模的意义可知｜λa｜＝｜λ｜｜a｜，故 A、B错误，C正确，当λ＝0或｜a｜＝0时，｜λa｜＝0，故D错 误，故选C. 3.4（a－b）－3（a＋b）－b＝ ⁠. 解析：4（a－b）－3（a＋b）－b＝4a－4b－3a－3b－b＝a－ 8b. a－8b 目录 数学·必修第二册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 向量的线性运算 【例1】　（1）化简： [2（2a＋4b）－4（5a－2b）]； 解： [2（2a＋4b）－4（5a－2b）]＝ （4a＋8b－20a＋8b）＝ （－16a＋16b）＝－4a＋4b. （2）已知3（2a－b＋c）＋x＝2（－a＋3b），求x. 解：因为3（2a－b＋c）＋x＝2（－a＋3b），所以6a－3b ＋3c＋x＝－2a＋6b，即x＝－8a＋9b－3c. 目录 数学·必修第二册 通性通法 向量线性运算的方法 （1）向量的线性运算是向量的加、减、数乘三种运算的通称，类似 于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因 式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数是向量的 系数； （2）向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用移 项，合并同类项，系数化为1等步骤求解. 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 1. （2024·济南月考）已知e1，e2是两个不共线的向量，向量a＝e1＋ 2e2，b＝3e1－5e2，则4a－3b＝ （用e1，e2表示）. 解析：∵a＝e1＋2e2，b＝3e1－5e2，∴4a－3b＝4（e1＋2e2）－ 3（3e1－5e2）＝－5e1＋23e2. －5e1＋23e2 目录 数学·必修第二册 2. 已知向量a，b，未知向量x，y，向量a，b，x，y满足关系式 3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，则向量x＝ ，y＝ ⁠ ⁠. 解析：由3x－2y＝a①，－4x＋3y＝b②，①×3＋②×2，得x ＝3a＋2b，代入①得3×（3a＋2b）－2y＝a，即y＝4a＋ 3b.∴x＝3a＋2b，y＝4a＋3b. 3a＋2b 4a ＋3b 目录 数学·必修第二册 题型二 向量共线的判定及应用 【例2】　设a，b是不共线的两个非零向量. （1）若 ＝2a－b， ＝3a＋b， ＝a－3b，求证：A，B， C三点共线； 解：证明：∵ ＝ － ＝（3a＋b）－（2a－b）＝a＋ 2b， ＝ － ＝（a－3b）－（3a＋b）＝－（2a＋ 4b）＝－2 ， ∴ 与 共线，且有公共点B，∴A，B，C三点共线. 目录 数学·必修第二册 （2）若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值. 解：∵8a＋kb与ka＋2b共线， ∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ（ka＋2b）， 即（8－λk）a＋（k－2λ）b＝0. ∵a与b不共线，∴ 解得λ＝±2，∴k＝2λ＝±4. 目录 数学·必修第二册 通性通法 1. 证明或判断三点共线的方法 （1）一般来说，要判断A，B，C三点是否共线，只需看是否存 在实数λ，使得 ＝λ （或 ＝λ 等）即可； （2）利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔存在 实数x，y，使 ＝x ＋y 且x＋y＝1. 目录 数学·必修第二册 2. 利用向量共线求参数的方法 判断、证明向量共线问题的思路是根据共线向量定理寻求唯一的实 数λ，使得b＝λa（a≠0）.而已知向量共线求λ，常根据向量共线 的条件转化为相应向量系数相等求解，利用待定系数法建立方程， 从而解方程求得λ的值.若两向量不共线，必有向量的系数为零. 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 1. 设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2（k∈R）与 向量n＝e2－2e1共线，则（　　） A. k＝0 B. k＝1 C. k＝2 D. k＝ 解析：　由共线向量定理可知存在实数λ，使m＝λn，即－e1＋ ke2＝λ（e2－2e1）＝λe2－2λe1，又e1与e2是不共线向量， ∴解得 目录 数学·必修第二册 2. （2024·周口月考）若A，B，C三点共线，O为直线外一点，且 ＝x ＋y ，则x＋y＝ ⁠. 解析：∵A，B，C三点共线，∴存在实数λ，使得 ＝λ ，即 － ＝λ（ － ），∴ ＝（1＋λ） －λ ，则x＝1 ＋λ，y＝－λ，∴x＋y＝1. 1 目录 数学·必修第二册 题型三 用已知向量表示未知向量 【例3】　如图，已知ABCD是一个梯形， ∥ 且｜ ｜＝2｜ ｜，M，N分别是DC，AB的中点，已知 ＝e1， ＝e2，分 别用e1，e2表示 ， . 目录 数学·必修第二册 解：因为 ∥ ，｜ ｜＝2｜ ｜， 所以 ＝2 ， ＝ . 则 ＝ ＋ ＝e2＋ e1. 因为M，N分别为DC，AB的中点， 所以｜ ｜＝2｜ ｜，｜ ｜＝2｜ ｜， 则 ＝ ＋ ＋ ＝－ － ＋ ＝－ e1－e2＋ e1＝ e1－e2. 目录 数学·必修第二册 通性通法 用已知向量表示未知向量的两种方法 （1）直接法 （2）方程法：当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则或 平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然 后解关于所求向量的方程. 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 1. 如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，若 ＝a， ＝b，则 ＝（　　） A. a－b B. a＋b C. a＋ b D. a－ b 解析：　因为E是BC的中点，所以 ＝ ＝－ ＝－ b，所以 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝a－ b. 目录 数学·必修第二册 2. （2024·莆田月考）如图，在△ABC中，BD＝2DC. 若 ＝a， ＝b，则 ＝（　　） A. a＋ b B. a－ b C. a＋ b D. a－ b 解析：　由题意可得， ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）＝ ＋ ＝ a＋ b. 目录 数学·必修第二册 1. 已知a＝4d，b＝5d，c＝－3d，则2a－3b＋c＝（　　） A. 10d B. －10d C. 20d D. －20d 解析：　2a－3b＋c＝2（4d）－3（5d）－3d＝8d－15d－3d ＝－10d. 目录 数学·必修第二册 2. 如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，则 ＋ ＝（　　） A. B. C. D. 解析：　在矩形ABCD中，AB􀰿CD，故 ＝ ，又∵E为 CD的中点，∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ . 目录 数学·必修第二册 3. （多选）下列运算正确的是（　　） A. （－3）·2a＝－6a B. 2（a＋b）－（2b－a）＝3a C. （a＋2b）－（2b＋a）＝0 D. 2（3a－b）＝6a－2b 解析：　根据向量数乘运算和加、减运算律知A、B、D正确；C中，（a＋2b）－（2b＋a）＝a＋2b－2b－a＝0，而不是0，所以该运算错误. 目录 数学·必修第二册 4. 已知a，b为两个不共线的向量，向量－ta＋b（t∈R）与 a－ b共线，则实数t＝ ⁠. 解析：因为向量－ta＋b与 a－ b共线，则存在实数λ，使－ta＋ b＝λ（ a－ b），即有－t2＝－ ，解得t＝± . ± 目录 数学·必修第二册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的有（　　） ①m（a－b）＝ma－mb；②（m－n）a＝ma－na； ③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na，则m＝n. A. ①④ B. ①② C. ①③ D. ③④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第二册 解析：　对于①，m（a－b）＝ma－mb，故①中命题正确； 对于②，（m－n）a＝ma－na，故②中命题正确；对于③，当 m＝0时，由0·a＝0·b，不能得到a＝b，故③中命题错误；对于 ④，当a＝0时，由ma＝na，不能得到m＝n，故④中命题错误. 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第二册 2. 设D为△ABC所在平面内一点， ＝2 ，E为BC的中点，则 ＝（　　） A. ＋ B. ＋ C. － D. － 解析：　因为 ＝2 ，E为BC的中点，所以 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）＝ ＋ ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第二册 3. （2024·广州月考）在梯形ABCD中， ＝4 ， ＋ ＝x ＋y ，则x－y＝（　　） A. 5 B. 6 C. －5 D. －6 解析：　因为 ＝4 ，所以 ＋ ＝（ ＋ ）＋4 ＝ －5 .所以x－y＝1－（－5）＝6，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第二册 4. （2024·温州月考）设e1与e2是两个不共线向量， ＝3e1＋2e2， ＝ke1＋e2， ＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k＝ （　　） A. － B. － C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第二册 解析：　因为A，B，D三点共线，故存在一个实数λ，使得 ＝λ ，又 ＝3e1＋2e2， ＝ke1＋e2， ＝3e1－2ke2，所 以 ＝ － ＝3e1－2ke2－（ke1＋e2）＝（3－k）e1－（2k ＋1）e2，所以3e1＋2e2＝λ（3－k）e1－λ（2k＋1）e2，所以 解得k＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第二册 5. （多选）下列说法正确的有（　　） A. λa与a的方向不是相同就是相反（λ∈R且λ≠0，a≠0） B. 若a∥b，则b＝λa，其中λ∈R且唯一 C. 若｜b｜＝2｜a｜，则b＝±2a D. 若b＝±2a，则｜b｜＝2｜a｜ 解析：　当λ＞0时，a与λa方向相同，当λ＜0时，a与λa方向 相反，故A正确；当a≠0时，结论才成立，故B错误；当｜b｜＝ 2｜a｜时，b与2a不一定共线，C错误；显然当b＝±2a时，｜ b｜＝2｜a｜，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第二册 6. （多选）已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一 定可以使a，b共线的是（　　） A. 2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e B. 存在相异的实数λ，μ，使λa＋μb＝0 C. 已知正五边形ABCDE，其中 ＝a， ＝b D. 已知梯形ABCD，其中 ＝a， ＝b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第二册 解析：　选项A，由2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e，可得a＝ e，b＝－ e，则b＝－4a，故a，b共线；选项B，不妨设λ≠0， 则有a＝－ b，故a，b共线；选项C，a，b显然不共线；选项 D，当AB，CD分别为梯形的两腰时，直线AB，CD是相交直线， 则向量a，b不共线，故选A、B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第二册 7. 已知向量a，b满足｜a｜＝3，｜b｜＝5，且a＝λb，则实数λ ＝ ⁠. 解析：由a＝λb，得｜a｜＝｜λb｜＝｜λ｜｜b｜.∵｜a｜＝ 3，｜b｜＝5，∴｜λ｜＝ ，即λ＝± . ± 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第二册 8. （2024·厦门月考）已知a，b是平面内两个不共线向量， ＝2a ＋mb， ＝3a－b，且A，B，C三点共线，则实数m的值 为 ⁠. 解析：因为 ＝2a＋mb， ＝3a－b，且A，B，C三点共 线，所以存在唯一的实数λ，使得 ＝λ ，即2a＋mb＝3λa－ λb.解得λ＝ ，m＝－ . － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第二册 9. 如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则 ＝ .（用 ， 表示） － 解析：利用向量的三角形法则，可得 ＝ － ， ＝ ＋ ，∵E为BC的中点，F为AE的中点，∴ ＝ ， ＝ ，∴ ＝ － ＝ － ＝ （ ＋ ）－ ＝ ＋ － .又∵ ＝ ，∴ ＝ － . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第二册 10. 化简：（1）5（3a－2b）＋4（2b－3a）； 解：5（3a－2b）＋4（2b－3a）＝（15a－12a）＋ （－10b＋8b）＝3a－2b. （2） （a－2b）－ （3a－2b）－ （a－b）； 解： （a－2b）－ （3a－2b）－ （a－b）＝ （ a－ a－ a）＋（－ b＋ b＋ b）＝－ a＋ b. （3）（x＋y）a－（x－y）a. 解：（x＋y）a－（x－y）a＝（xa－xa）＋（ya ＋ya）＝2ya. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第二册 11. 已知a，b为不共线的非零向量， ＝a＋5b， ＝－2a＋ 8b， ＝3a－3b，则（　　） A. A，B，C三点共线 B. A，B，D三点共线 C. B，C，D三点共线 D. A，C，D三点共线 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第二册 解析：　由于a，b为不共线的非零向量，向量 和 ，向量 和 显然没有倍数关系，根据共线向量定理，它们不共线， A、C选项错误； ＝ ＋ ＝a＋5b＝ ，于是A，B，D 三点共线，B选项正确； ＝ ＋ ＝－a＋13b，显然和 没有倍数关系，D选项错误.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第二册 12. 如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC的中点， ＝2 ， 若 ＝x ＋y ，则x＋y＝（　　） A. B. － C. －6 D. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第二册 解析：　 ＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋ ）＝ ＋ ＋ ＝ ＋ － ＝ ＋ .∵ ＝x ＋ y ，∴x ＋y ＝ ＋ ，∴（x－ ） ＝（ － y） ，又 与 不共线，∴x－ ＝0且 －y＝0，故x＝ ，y＝ .∴x＋y＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第二册 13. 在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中 点，AE的延长线与CD交于点F，若 ＝a， ＝b，则 用 a，b可表示为 ⁠. 解析：∵△DEF∽△BEA，∴ ＝ ＝ ，∴DF＝ DC＝ AB，∴ ＝ ＋ ＝ ＋ .∵ ＝ ＋ ＝a， ＝ － ＝b，联立得， ＝ （a－b）， ＝ （a＋ b），∴ ＝ （a＋b）＋ （a－b）＝ a＋ b. a＋ b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第二册 14. 设两个非零向量a与b不共线. （1）若 ＝a＋b， ＝2a＋8b， ＝3（a－b）.求证： A，B，D三点共线； 解：证明：∵ ＝a＋b， ＝2a＋8b， ＝3（a－b）. ∴ ＝ ＋ ＝2a＋8b＋3（a－b）＝2a＋8b＋3a－ 3b＝5（a＋b）＝5 . ∴ ， 共线，且有公共点B， ∴A，B，D三点共线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第二册 （2）试确定实数k，使ka＋b和a＋kb反向共线. 解：∵ka＋b与a＋kb反向共线， ∴存在实数λ（λ＜0），使ka＋b＝λ（a＋kb）， 即ka＋b＝λa＋λkb， ∴（k－λ）a＝（λk－1）b. ∵a，b是不共线的两个非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0， ∴（舍去）或∴k＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 目录 数学·必修第二册 $