第8章 立体几何初步 章末复习与总结-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦空间几何，涵盖空间几何体结构、点线面位置关系、平行垂直转化及表面积体积、空间角等核心知识，从现实物体抽象引入，通过知识体系梳理与关系转化图搭建支架，衔接知识梳理与能力应用。 其亮点在于以数学眼光构建空间观念，用数学思维梳理平行垂直转化逻辑，结合高考真题例题，如圆锥体积计算用转化法、正四棱台体积用补形法，培养学生逻辑推理与运算素养，助力学生提升空间想象与解题能力，为教师提供系统复习框架与实用教学资源。

章末复习与总结 数学·必修第二册 数学·必修第二册 一、几何体的表面积与体积 　主要考查多面体、旋转体的表面积，柱体、锥体、台体的体积及球 的表面积和体积等，对于不规则几何体常用转换法、分割法、补形法 等进行求解. 数学·必修第二册 【例1】　（1）（2023·全国乙卷8题）已知圆锥PO的底面半径为 ，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB＝ ，若△PAB 的面积等于 ，则该圆锥的体积为（　B　） A. π B. π C. 3π D. 3 π B 数学·必修第二册 解析：如图所示，在△AOB中，AO＝BO＝ ， ∠AOB＝ ，由余弦定理得AB＝ ＝3，设等腰 △PAB底边AB上的高为h，则S△PAB＝ ×3h＝ ，解得h＝ ，由勾股定理得母线PA＝ ＝3，则该圆锥的高PO＝ ＝ ，所以该圆锥的体积为 ×3π× ＝ π，故选B. 数学·必修第二册 （2）（2023·新高考Ⅰ卷14题）在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝ 2，A1B1＝1，AA1＝ ，则该棱台的体积为 　​ 　. 解析：法一　如图所示，设点O1，O 分别为正四棱台ABCD-A1B1C1D1上、 下底面的中心，连接B1D1，BD，则点 O1，O分别为B1D1，BD的中点，连接 O1O，则O1O即为正四棱台ABCD- A1B1C1D1的高，过点B1作B1E⊥BD， 垂足为E，则B1E＝O1O. ​ 数学·必修第二册 因为AB＝2，A1B1＝1，所以OB＝ ，O1B1＝ ，所以BE＝OB－OE＝OB－O1B1＝ ，又AA1＝ ，所以BB1＝ ， B1E＝ ＝ ＝ ，所以O1O＝ ，所以 ＝ ×（22＋12＋ ）× ＝ . 数学·必修第二册 法二　如图，将正四棱台ABCD-A1B1C1D1补 形成正四棱锥P-ABCD，因为AB＝2，A1B1＝ 1，AB∥A1B1，所以A1，B1，C1，D1分别为 PA，PB，PC，PD的中点，又A1A＝ ，所 以PA＝2 ，即PB＝2 .连接BD，取BD 的中点为O，连接PO，则PO⊥平面ABCD，易知BO＝ ，所以PO＝ ＝ ，所以正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高为 ，所以 ＝ ×（22＋12＋ ）× ＝ . 数学·必修第二册 反思感悟 关于空间几何体的体积、表面积 　　首先要准确确定几何体的基本量，如球的半径，几何体的高、棱 长等，其次是准确代入相关的公式计算. 数学·必修第二册 【跟踪训练】 在一个如图所示的直角梯形ABCD内挖去一个扇形，E恰好是梯形的 下底边的中点，将所得平面图形绕直线DE旋转一圈.求所得几何体的 表面积和体积. 数学·必修第二册 解：根据题意知，将所得平面图形绕直线DE旋转一圈后所得几何体的上部是圆锥，下部是圆柱挖去一个半径等于圆柱体高的半球 的组合体. 该组合体的表面积为S几何体＝S圆锥侧＋S圆柱侧＋S半球＝π×2×2 ＋ 2π×2×2＋ ×4π×22＝（4 ＋16）π， 组合体的体积为V几何体＝V圆锥＋V圆柱－V半球＝ ×π×22×2＋π×22×2 － × ×π×23＝ . 数学·必修第二册 二、空间中的平行关系 　空间中的平行主要有线线平行、线面平行、面面平行，主要考查在 空间几何体中证明线面平行、面面平行以及线线平行. 【例2】　已知M，N分别是底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD的 棱AB，PC的中点，平面CMN与平面PAD交于PE，求证： （1）MN∥平面PAD； 数学·必修第二册 证明：如图，取DC的中点Q，连接MQ，NQ. ∵NQ是△PCD的中位线， ∴NQ∥PD. ∵NQ⊄平面PAD，PD⊂平面PAD， ∴NQ∥平面PAD. ∵M是AB的中点，四边形ABCD是平行四边形， ∴MQ∥AD. ∵MQ⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， ∴MQ∥平面PAD. ∵MQ∩NQ＝Q，∴平面MNQ∥平面PAD. ∵MN⊂平面MNQ，∴MN∥平面PAD. 数学·必修第二册 （2）MN∥PE. 证明：∵平面MNQ∥平面PAD，平面PEC∩平面MNQ＝ MN，平面PEC∩平面PAD＝PE， ∴MN∥PE. 数学·必修第二册 反思感悟 线线平行、线面平行、面面平行间的关系 　　线线平行、线面平行、面面平行这三种关系是紧密相连的，可以 进行任意转化，相互间的转化关系如图. 数学·必修第二册 【跟踪训练】 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD， MA∥PB，PB＝2MA. 在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥ 平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由. 解：当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD， 数学·必修第二册 证明如下：如图，连接BD与AC交于点O，连接FO， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴O是BD的中点，∴OF∥PD. 又OF⊄平面PMD，PD⊂平面PMD， ∴OF∥平面PMD. 又MA∥PB且MA＝ PB，PF＝ PB， ∴PF∥MA且PF＝MA， ∴四边形AFPM是平行四边形，∴AF∥PM. 又AF⊄平面PMD，PM⊂平面PMD， ∴AF∥平面PMD. 又AF∩OF＝F，AF⊂平面AFC，OF⊂平面AFC， ∴平面AFC∥平面PMD. 数学·必修第二册 三、空间中的垂直关系 　主要考查空间中线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理，以及 线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的联系与转化. 【例3】　如图所示，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形， 四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝ 2，AB＝4. 数学·必修第二册 （1）求证：AC⊥平面BCE； 证明：在直角梯形ABCD中，AD＝CD＝2，AB＝4， 所以AC＝BC＝2 ， 所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC. 因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE， 所以BE⊥平面ABCD， 又AC⊂平面ABCD， 所以BE⊥AC. 又BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BE∩BC＝B， 所以AC⊥平面BCE. 数学·必修第二册 （2）求证：AD⊥AE. 证明：因为AF⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD， 所以AF⊥AD. 又∠DAB＝90°，所以AB⊥AD. 又AF⊂平面ABEF，AB⊂平面ABEF，AF∩AB＝A， 所以AD⊥平面ABEF， 又AE⊂平面ABEF，所以AD⊥AE. 数学·必修第二册 反思感悟 线线垂直、线面垂直、面面垂直相互间的转化 数学·必修第二册 【跟踪训练】 （2023·全国甲卷18题）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面 ABC，∠ACB＝90°. 数学·必修第二册 （1）证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C； 解：证明：因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以 A1C⊥BC. 因为∠ACB＝90°，所以AC⊥BC. 因为AC∩A1C＝C，AC，A1C⊂平面ACC1A1， 所以BC⊥平面ACC1A1. 因为BC⊂平面BB1C1C， 所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C. 数学·必修第二册 （2）设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1-BB1C1C的高. 解：如图，取棱AA1的中点D，连接BD，CD. 因为AB＝A1B，所以AA1⊥BD. 因为BC⊥平面ACC1A1，AA1⊂平面 ACC1A1，所以BC⊥AA1. 因为BC∩BD＝B，BC，BD⊂平面BCD， 所以AA1⊥平面BCD. 因为CD⊂平面BCD，所以AA1⊥CD. 因为AA1∥CC1，所以CD⊥CC1. 数学·必修第二册 又因为CD⊥BC，BC∩CC1＝C，BC， CC1⊂平面BB1C1C，所以CD⊥平面BB1C1C. 因为AA1＝2，所以CD＝1. 易知AA1∥平面BB1C1C， 所以四棱锥A1-BB1C1C的高为CD＝1. 数学·必修第二册 四、空间角 1. 空间角包括异面直线所成的角、线面角及二面角，主要考查空间角 的定义及求法，求角时要先找角，再证角，最后在三角形中求角. 2. 通过找角、证角、求角，提升逻辑推理与数学运算素养. 【例4】　如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，B'C∩BC'＝ O，求： 数学·必修第二册 （1）AO与A'C'所成角的大小； 解：∵A'C'∥AC， ∴AO与A'C'所成的角就是∠OAC（或其补角）. ∵AB⊥平面BC'，OC⊂平面BC'， ∴OC⊥AB， 又OC⊥BO，AB∩BO＝B，AB，BO⊂平面ABO， ∴OC⊥平面ABO. 又OA⊂平面ABO，∴OC⊥OA. 在Rt△AOC中，OC＝ ，AC＝ ， sin ∠OAC＝ ＝ ，∴∠OAC＝30°. 即AO与A'C'所成的角为30°. 数学·必修第二册 （2）AO与平面ABCD所成角的正切值； 解：如图，作OE⊥BC于点E，连接AE. ∵平面BC'⊥平面ABCD，平面BC'∩平面ABCD ＝BC，OE⊂平面BC'， ∴OE⊥平面ABCD， ∴∠OAE为AO与平面ABCD所成的角. 在Rt△OAE中，OE＝ ，AE＝ ＝ ， ∴tan∠OAE＝ ＝ . 即AO与平面ABCD所成角的正切值为 . 数学·必修第二册 （3）二面角B-AO-C的大小. 解：由（1）可知OC⊥平面AOB. 又∵OC⊂平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC. 即二面角B-AO-C的大小为90°. 数学·必修第二册 反思感悟 1. 求异面直线所成的角常用平移转化法（转化为相交直线的夹角）. 2. 求直线与平面所成的角常用射影转化法（即作垂线、找射影）. 3. 二面角的平面角的作法常有三种：定义法、三垂线法、垂面法. 数学·必修第二册 【跟踪训练】 如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧 的中点，E 为劣弧 的中点，且AB＝2PO＝2 . 数学·必修第二册 （1）求异面直线PC与OE所成的角的大小； 解：∵PO是圆锥的高，∴PO⊥底面圆O， 根据中点条件可以证明OE∥AC， ∠PCA或其补角是异面直线PC与OE所成的角， AC＝ ＝ ＝2，PC＝PA＝ ＝ ＝2， ∴∠PCA＝ ，故异面直线PC与OE所成的角是 . 数学·必修第二册 （2）求二面角P-AC-E的余弦值. 解：如图，取AC中点为D，连接PD，OD， 由（1）知，PA＝AC＝PC， ∴PD⊥AC， ∵OA＝OC，∴OD⊥AC， 数学·必修第二册 又E为劣弧 的中点，即有E∈底面圆O， ∴二面角P-AC-E的平面角即为∠PDO， ∵C为半圆弧 的中点，∴∠AOC＝ ， ∴OD＝ AC＝1， ∵PO⊥底面圆O且OD⊂底面圆O，∴PO⊥OD， 又PO＝ ，∴在Rt△PDO中，PD＝ ， ∴ cos ∠PDO＝ ＝ ，∴二面角P-AC-E的余弦值是 . 数学·必修第二册 $