8.6.1 直线与直线垂直-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦“空间直线与直线垂直”，涵盖异面直线所成角的定义、计算及线线垂直证明，通过正方体情境导入，衔接空间直线位置关系旧知，搭建从直观感知到逻辑定义的学习支架。 其亮点在于以正方体模型直观呈现异面直线差异，分层设计A/B/C级训练题，结合“中位线平移”等通性通法口诀，培养直观想象与逻辑推理素养。例题详解角的构造与计算，助力学生掌握解题方法，教师可借此提升课堂效率与学生核心素养。

8.6.1　直线与直线垂直 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 新课程标准解读 核心素养 1.借助长方体，通过直观感知，了解空间 中直线与直线垂直的关系 逻辑推理 2.会求两异面直线所成的角 直观想象 目录 数学·必修第二册 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB与B1C1异面，AB 与B1D1也异面. 【问题】　（1）直观上，你认为这两种异面有 什么区别？ （2）如果要利用角的大小来区分这两种异面， 你认为应该怎样做？ 目录 数学·必修第二册 知识点一　异面直线所成的角 1. 已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a， b'∥b，我们把直线 所成的角α叫做异面直线a与b所成的 角（或夹角）. 2. 当两条直线a，b相互平行时，规定它们所成的角为0°，所以空间 两条直线所成角α的取值范围是 ⁠. a'与b'　 提醒　（1）两条异面直线所成的角的大小，是由这两条异面直线 的相互位置决定的，与点O的位置选取无关；（2）找出两条异面 直线所成的角，要作平行移动（作平行线），把两条异面直线所成 的角转化为两条相交直线所成的角. 0°≤α≤90°　 目录 数学·必修第二册 知识点二　直线与直线垂直 　如果两条异面直线所成的角是 ，那么我们就说这两条异面 直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记作a b. 提醒　两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相 交的，即有共面垂直和异面垂直两种情形. 直角　 ⊥　 目录 数学·必修第二册 1. 设a，b，c是三条直线，且c⊥a，c⊥b，则a和b（　　） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 以上都有可能 解析：　如图，若DD1＝c，D1C1＝a，A1D1 ＝b，则a和b相交；若DD1＝c，D1C1＝a，AD ＝b，则a和b异面；若DD1＝c，D1C1＝a，DC ＝b，则a和b平行，所以空间中垂直于同一条直 线的两条直线可能平行、相交或异面.故选D. 目录 数学·必修第二册 2. 设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线（　　） A. 有无数条 B. 有两条 C. 至多有两条 D. 有一条 解析：　过点P且与l成30°角的异面直线有无数条，并且异面 直线在以P为顶点的圆锥的侧面上.故选A. 3. 若∠AOB＝120°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB 所成的角的大小为 ⁠. 解析：因为a∥OA，根据等角定理，又因为异面直线所成的角为 锐角或直角，所以a与OB所成的角为60°. 60° 目录 数学·必修第二册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 求异面直线所成的角 【例1】　在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成角为 30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小. 解：如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG， 则EG∥AB且EG＝ AB，GF∥CD且GF＝ CD. 由AB＝CD知EG＝FG，从而可知∠GEF为EF与 AB所成的角，∠EGF或其补角为AB与CD所成的角. 目录 数学·必修第二册 ∵AB与CD所成角为30°， ∴∠EGF＝30°或150°， 由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°， 当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°， 故EF与AB所成角的大小为15°或75°. 目录 数学·必修第二册 通性通法 求两异面直线所成角的一般步骤 （1）构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线， 作出异面直线夹角的相关角； （2）计算角：求角度，常利用三角形； 目录 数学·必修第二册 （3）确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线 所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线 所成的角. 提醒　找异面直线所成的角，可以从如下“口诀”入手： 中点、端点定顶点，平移常用中位线； 平行四边形中见，指出成角很关键； 求角构造三角形，锐角、钝角要明辨； 平行直线若在外，补上原体在外边. 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 1. （2024·龙岩月考）如图，在三棱锥P-ABC中，PA＝PB＝CA＝ CB＝5，AB＝PC＝2，点D，E分别为AB，PC的中点，则异面 直线PD，BE所成角的余弦值为（　　） A. B. C. D. 目录 数学·必修第二册 解析：　如图，连接CD，取CD的中点F，连接EF，BF，则EF∥PD，∠BEF为异面直线PD，BE所成的角.由题意可知PD＝CD＝BE＝2 ，EF＝ ，BF＝ ＝ ，所以 cos ∠BEF＝ ＝ .故选B. 目录 数学·必修第二册 2. 如图，在正方体ABCD-EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求： （1）BE与CG所成的角； 解：∵CG∥FB， ∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角. 在Rt△EFB中，EF＝FB， ∴∠EBF＝45°， ∴BE与CG所成的角为45°. 目录 数学·必修第二册 （2）FO与BD所成的角. 解：如图，连接FH， 易知FB＝HD，FB∥HD， ∴四边形FBDH是平行四边形， ∴BD∥FH， ∴∠HFO或其补角是FO与BD所成的角， 连接HA，AF， 则△AFH是等边三角形， 又O是AH的中点，∴∠HFO＝30°， ∴FO与BD所成的角为30°. 目录 数学·必修第二册 题型二 证明直线与直线垂直 【例2】　在正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求 证：DB1⊥EF. 证明：如图，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点 O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G. 则OG∥B1D，EF∥A1C1. ∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角. ∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点， ∴GO⊥A1C1. ∴异面直线DB1与EF所成的角为90°，即DB1⊥EF. 目录 数学·必修第二册 通性通法 证明空间中两条直线垂直的方法 （1）定义法：利用两条直线所成的角为90°证明两直线垂直； （2）平面几何图形性质法：利用勾股定理、菱形的对角线相互垂 直、等腰三角形（等边三角形）底边的中线和底边垂直等. 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，求证：AC⊥BC1. 证明：如图，连接A1B，设A1C1＝a，B1C1＝b，AA1 ＝h，则AB2＝a2＋b2. 因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱， 所以∠BB1C1＝∠A1AB＝90°， 所以B ＝b2＋h2，A1B2＝a2＋b2＋h2， 所以A1B2＝A1 ＋B ， 则A1C1⊥BC1，即∠A1C1B＝90°. 又因为AC∥A1C1，所以∠A1C1B就是直线AC与BC1所成的角， 所以AC⊥BC1. 目录 数学·必修第二册 1. 已知直线a，b，c，则（　　） A. 若a⊥b，c⊥b，则a∥c B. 若a⊥b，c⊥b，则a⊥c C. 若a∥b，则a与c，b与c所成的角相等 D. 若a与c所成的角等于c与b所成的角，则a∥b 解析：　由异面直线所成角的定义可知C正确. 目录 数学·必修第二册 2. 在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有（　　） A. 2条 B. 4条 C. 6条 D. 8条 解析：在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有 BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8条.故选D. 目录 数学·必修第二册 3. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所 成的角大小为 ⁠. 60° 解析：连接BC1，A1C1（图略），∵BC1∥AD1，∴异面直线A1B 与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角.在△A1BC1中，A1B ＝BC1＝A1C1，∴∠A1BC1＝60°，故异面直线A1B与AD1所成的 角为60°. 目录 数学·必修第二册 4. （2024·开封月考）如图，AB是圆O的直径，C是弧 的中点， D，E分别是VB，VC的中点，则异面直线DE与AB所成的角 为 ⁠. 45° 解析：因为AB是圆O的直径，所以BC⊥AC. 因为点C是弧 的 中点，所以BC＝AC，所以∠ABC＝45°.在△VBC中，因为D， E分别为VB，VC的中点，所以DE∥BC，所以∠ABC即为异面直 线DE与AB所成的角.所以异面直线DE与AB所成的角为45°. 目录 数学·必修第二册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c（　　） A. 一定平行 B. 一定垂直 C. 一定是异面直线 D. 一定相交 解析：　∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 2. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列直线与B1D1垂直的 是（　　） A. BC1 B. A1D C. AC D. BC 解析：　连接BD（图略），∵四边形ABCD为正方形， ∴AC⊥BD，∵B1D1∥BD，∴AC⊥B1D1.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 3. 已知空间四边形的两条对角线相互垂直，则顺次连接四边中点的四 边形一定是（　　） A. 空间四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 解析：　如图，易知四边形EFGH为平行四边形. 因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC. 同理FG∥BD，所以∠EFG或其补角为AC与BD所 成的角.因为AC与BD所成的角为90°，所以 ∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 4. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝ 2，BB1＝1，AC＝2 ，则异面直线BD与AC所成的角为（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 解析：　如图，取B1C1的中点E，连接BE， DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE（或其补角） 即为异面直线BD与AC所成的角.由条件可知BD＝ DE＝EB＝ ，所以∠BDE＝60°，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 5. （多选）如图是一个正方体的平面展开图，在原正方体中，给出下 列四个结论，其中正确的是（　　） A. AB与CD所在直线垂直 B. CD与EF所在直线平行 C. AB与MN所在直线成60°角 D. MN与EF所在直线异面 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 解析：　画出原正方体如图所示，连接DN，DM，由图可知A、B错误；AB∥DN，MN＝DN＝DM，所以△DMN为等边三角形，所以C中，AB与MN所在直线成60°角是正确的；显然D中，MN与EF所在直线异面是正确的.故选C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 6. （多选）如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则下列 结论正确的是（　　） A. AC⊥BD B. AC∥截面PQMN C. AC＝CD D. 异面直线PM与BD所成的角为45° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 解析：　因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN，PN∥QM，又MN⊂平面DAC，PQ⊄平面DAC，所以PQ∥平面DAC，又PQ⊂平面BAC，平面BAC∩平面DAC＝AC，所以PQ∥AC∥MN，因为AC⊄截面PQMN，MN⊂截面PQMN，所以AC∥截面PQMN，故B正确；同理可证PN∥BD∥MQ，因为PN⊥NM，所以AC⊥BD，故A正确；又∠PMQ＝45°，所以异面直线PM与BD所成的角为45°，故D正确；AC和CD不一定相等，故C错误.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 7. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是A1D1和BC的中点， 则在长方体所有的棱中和EF垂直且异面的有 条. 解析：长方体所有的棱中和EF垂直且异面的有AD，B1C1，共2条. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 8. 已知a，b是一对异面直线，而且a平行于△ABC的边AB所在的直 线，b平行于边AC所在的直线，若∠BAC＝120°，则直线a与b 所成的角为 ⁠. 解析：由a∥AB，b∥AC，∠BAC＝120°，知异面直线a与b所 成的角为∠BAC的补角.所以直线a与b所成的角为60°. 60° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 9. 如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝ ∶1，则异面直线AB1与BD所成角的正弦值为 ⁠. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 解析：连接B1C，取B1C的中点E，连接DE，BE， ∵D是AC的中点，∴DE是△ACB1的中位线， ∴AB1∥DE，∴∠EDB（或其补角）为异面直线 AB1与BD所成的角.设AB＝m（m＞0），则BD＝ m，BB1＝ m，由勾股定理得AB1＝B1C＝ m，∴DE＝BE＝ m，∴△BDE为等边三角形， ∴∠EDB＝ ，∴ sin ∠EDB＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 10. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝B1B＝1，M，N分别是AD，DC的中点. （1）求证：MN∥A1C1； 解：证明：连接AC，∵M，N分 别为AD，DC的中点，∴MN∥AC且 AC∥A1C1，∴MN∥ A1C1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 （2）求异面直线MN与BC1所成角的余弦值. 解：连接A1B，由（1）知 ∠A1C1B或其补角为所求角， ∵A1B＝A1C1＝ ，BC1＝ ， ∴由余弦定理得 cos ∠A1C1B＝ ＝ . 故异面直线MN与BC1所成角的余弦值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 11. （2024·湛江月考）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，P为边 AB的中点，现将△DAP绕直线DP翻转至△DA'P处，如图所示， 若M为线段A'C的中点，则异面直线BM与PA'所成角的正切值为 （　　） A. B. 2 C. D. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 解析：　取A'D的中点N，连接PN，MN（图略）.因为M是A'C的中点，所以MN∥CD∥PB，且MN＝PB，所以四边形PBMN为平行四边形，所以MB∥PN，所以∠A'PN为异面直线BM与PA'所成的角.在Rt△NA'P中，tan∠A'PN＝ ＝ ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 12. （多选）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是 AB，A1D1的中点，O为正方形A1B1C1D1的中心，则下列说法正 确的是（　　） A. 直线EF，AO共面 B. 直线EF，BB1是相交直线 C. 直线EF与BC1所成的角为30° D. 直线EF与BB1所成角的余弦值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 解析：　连接OF（图略），∵O为正方形A1B1C1D1的中心， F是A1D1的中点，∴OF∥A1B1∥AB，即OF，AE共面，从而 EF，AO共面，A中说法正确；连接B1E，∵F∉平面BEB1， BB1⊂平面BEB1，E∉BB1，E∈平面BEB1，∴EF，BB1是异面直 线，B中说法错误；连接OB，易得FO∥EB，且FO＝EB，∴四 边形EFOB是平行四边形，∴EF∥BO，∴∠OBC1（或其补角） 是异面直线EF与BC1所成的角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 连接OC1，设正方体的棱长为1，在△BC1O中，BC1＝ ，OC1＝ ， BO＝EF＝ ＝ ，∴ cos ∠OBC1＝ ＝ ，∴∠OBC1＝30°，C中说法正确；同理得 ∠OBB1（或其补角）是EF与BB1所成的角，连接OB1，在Rt△OBB1 中，易得 cos ∠OBB1＝ ＝ ＝ ，D中说法错误.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 13. （2024·珠海质检）在四面体A-BCD中，E，F分别是AB，CD 的中点.若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1，则EF的 长度为 ⁠. 或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 解析：如图，取BC中点O，连接OE，OF. ∴OE∥AC，OF∥BD，∴∠EOF（或其补 角）即为AC与BD所成的角.而AC，BD所成的 角为60°，∴∠EOF＝60°或∠EOF＝120°. 当∠EOF＝60°时，EF＝OE＝OF＝ ；当 ∠EOF＝120°时，取EF的中点M，连接OM， 则OM⊥EF，EF＝2EM＝2× ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 14. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是 BD1和AD的中点.求证：CD1⊥EF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 证明：如图，取CD1的中点G，连接EG，DG. ∵E是BD1的中点， ∴EG∥BC，EG＝ BC， ∵F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC， ∴DF∥BC，DF＝ BC， ∴EG∥DF，EG＝DF，∴四边形EFDG是平行四边形， ∴EF∥DG， ∴∠DGD1（或其补角）是异面直线CD1与EF所成的角. 又∵A1A＝AB， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 ∴四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形， 又G为CD1的中点， ∴DG⊥CD1，∴∠D1GD＝90°， ∴异面直线CD1与EF所成的角为90°， ∴CD1⊥EF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 15. 当动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DC上运动时，异面直线 D1P与BC1所成角的取值范围为 ⁠. 解析：设正方体棱长为1，DP＝x，则x∈[0，1]，连接AD1，AP，由正方体的性质可知AD1∥BC1，∴∠AD1P即为异面直线 D1P与BC1所成角， ［ ， ］ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 在△AD1P中，AD1＝ ，AP＝D1P＝ ，故 cos ∠AD1P＝ ，又∵x∈[0，1]，∴ cos ∠AD1P＝ ∈［ ， ］，又y＝ cos x在（0，π）为减函数，∴∠AD1P∈［ ， ］. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 16. 如图，已知点P在圆柱OO1的底面☉O上，AA1⊥AB， BP⊥A1P，AB，A1B1分别为☉O，☉O1的直径，且AB∥A1B1. 若圆柱OO1的体积V＝12π，OA＝2，∠AOP＝120°. （1）求三棱锥A1-APB的体积； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 解：由题意，得V＝π·OA2·AA1＝4π·AA1＝12π，解得AA1＝3. 由OA＝2，∠AOP＝120°，得∠BAP＝30°，BP＝2，AP＝2 ， ∴S△PAB＝ ×2×2 ＝2 ， ∴ ＝ S△PAB·AA1＝ ×2 ×3＝2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 （2）在线段AP上是否存在一点M，使异面直线OM与A1B所成 角的余弦值为 ？若存在，请指出点M的位置，并证明；若 不存在，请说明理由. 解：当点M为AP的中点时，异面 直线OM与A1B所成角的余弦值为 . 证明如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 ∵O，M分别为AB，AP的中点， ∴OM∥BP， ∴∠A1BP就是异面直线OM与A1B所成的角. ∵AA1＝3，AB＝4，AA1⊥AB，∴A1B＝5. 又BP⊥A1P，∴ cos ∠A1BP＝ ＝ ， ∴当点M为AP的中点时，异面直线OM与A1B所成角的余弦值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 $