8.5.3 第1课时 平面与平面平行的判定-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦“平面与平面平行的判定”，以世博会中国国家馆为情境导入，引导学生观察平面位置关系，通过新知初探、自我诊断、例题精析等环节，构建从直观感知到定理应用的学习支架，衔接线面平行与面面平行的知识脉络。 其亮点在于融合逻辑推理与直观想象核心素养，通过正方体、三棱柱等模型解析判定定理，如例2利用线线平行推导面面平行，总结通性通法。学生能提升空间观念与推理能力，教师可依托分层训练实现核心素养落地。

第1课时　平面与平面平行的判定 新课程标准解读 核心素养 1.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面平 行的判定定理，并加以证明 逻辑推理 2.会应用平面与平面平行的判定定理证明平面与平面 平行 直观想象 目录 数学·必修第二册 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 上海世界博览会的中国国家馆被永久保留.中国国家馆表达了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化的精神与气 质，展馆共分三层. 【问题】　展馆的每两层所在的平面有什么位置关系？你是依据什么 判断的？ 目录 数学·必修第二册 知识点　平面与平面平行的判定定理 文字语言 如果一个平面内的 与另一个平面平行， 那么这两个平面平行 符号语言 a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α 图形语言 两条相交直线　 提醒　判定平面α与平面β平行时，必须具备两个条件：①平面β内两 条相交直线a，b，即a⊂β，b⊂β，a∩b＝P；②两条相交直线a， b都与平面α平行，即a∥α，b∥α. 目录 数学·必修第二册 1. （2024·济南月考）在正方体中，相互平行的面不会是（　　） A. 前后相对侧面 B. 上下相对底面 C. 左右相对侧面 D. 相邻的侧面 解析：　由正方体的模型知前后面、上下面、左右面都相互平 行，故选D. 目录 数学·必修第二册 2. （2024·青岛月考）已知a，b，c，d是四条直线，α，β是两个不 重合的平面，若a∥b∥c∥d，a⊂α，b⊂α，c⊂β，d⊂β，则α 与β的位置关系是（　　） A. 平行 B. 相交 C. 平行或相交 D. 以上都不对 目录 数学·必修第二册 解析：　由图①和图②可知，α与β平行或相交. 目录 数学·必修第二册 3. 六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的 面中互相平行的对数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析：　相对的两个侧面以及上下两底面相互平行，所以六棱柱 的面中互相平行的有4对. 目录 数学·必修第二册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 平面与平面平行判定定理的理解 【例1】　已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出 平面α与平面β平行的是（　　） A. 平面α内有一条直线与平面β平行 B. 平面α内有两条直线与平面β平行 C. 平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行 D. 平面α与平面β不相交 目录 数学·必修第二册 解析：　选项A、C不正确，因为两个平面可能相交；选项B不正 确，因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平 行；选项D正确，因为两个平面（不重合）的位置关系只有相交与平 行两种，又因为两个平面不相交，所以这两个平面必定平行.故选D. 目录 数学·必修第二册 通性通法 平面与平面平行的判定方法 （1）定义法：两个平面没有公共点； （2）判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平 面； （3）利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 （2024·南平月考）下列命题正确的是（　　） A. 一个平面内两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么 这两个平面平行 B. 如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个 平面平行 C. 平行于同一直线的两个平面一定相互平行 D. 如果一个平面内的无数条直线都平行于另一个平面，那么这两个 平面平行 目录 数学·必修第二册 解析：　对于A、C、D选项，两个平面均有可能相交，而对于B选 项，如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个 平面平行，故A、C、D错误，B正确. 目录 数学·必修第二册 题型二 平面与平面平行的证明 【例2】　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱 DD1，CC1的中点，求证：平面AEC∥平面BFD1. 目录 数学·必修第二册 证明：连接EF， ∵ABCD-A1B1C1D1为正方体，E，F分别为DD1， CC1的中点， ∴AB∥DC∥EF，AB＝DC＝EF，ED1∥CF， ED1＝CF， ∴四边形ABFE，ED1FC为平行四边形， 则AE∥BF，EC∥D1F， ∵AE⊄平面BFD1，EC⊄平面BFD1，BF⊂平面 BFD1，D1F⊂平面BFD1， ∴AE∥平面BFD1，EC∥平面BFD1， ∵AE⊂平面AEC，EC⊂平面AEC，AE∩EC＝E， ∴平面AEC∥平面BFD1. 目录 数学·必修第二册 通性通法 1. 利用判定定理证明两个平面平行的一般步骤 2. 转化思想 转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直 线分别平行，则α∥β. 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB， AC，A1B1，A1C1的中点. 求证：（1）B，C，H，G四点共面； 证明：∵G，H分别是A1B1，A1C1的中 点，∴GH是△A1B1C1的中位线， ∴GH∥B1C1. 又B1C1∥BC，∴GH∥BC， ∴B，C，H，G四点共面. 目录 数学·必修第二册 （2）平面EFA1∥平面BCHG. 证明：∵E，F分别为AB，AC的中点， ∴EF∥BC. ∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG. ∵A1G∥EB且A1G＝EB， ∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB. ∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG. ∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1， ∴平面EFA1∥平面BCHG. 目录 数学·必修第二册 1. 已知α，β是两个不重合的平面，直线a⊂α，命题p：a∥β，命题 q：α∥β，则p是q的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：　a⊂α，a∥β ，α，β可能相交，也可能平行；由面面平 行的定义可知，若α∥β且a⊂α，则a∥β. 故p是q的必要不充分条 件.故选B. 目录 数学·必修第二册 2. （2024·周口月考）如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在 B1D1上，F在A1B1上，且 ＝ ，过E作EH∥B1B交BD于 H，则平面EFH与平面BB1C1C的位置关系是（　　） A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 以上都有可能 目录 数学·必修第二册 解析：　在平面A1B1C1D1中，因为 ＝ ，所以 EF∥A1D1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C1∥A1D1，所以 EF∥B1C1，又因为EH∥B1B，EH⊂平面EFH，EF⊂平面 EFH，BB1⊂平面BB1C1C，B1C1⊂平面BB1C1C，EH∩EF＝ E，BB1∩B1C1＝B1，所以平面EFH∥平面BB1C1C. 故选A. 目录 数学·必修第二册 3. 如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是平行四边形，点G和点 H分别是CE和CF的中点.证明：平面BDGH∥平面AEF. 目录 数学·必修第二册 证明：在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点， 所以GH∥EF， 又因为GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF， 所以GH∥平面AEF. 设AC∩BD＝O，连接OH，在△ACF中，因为 OA＝OC，CH＝HF，所以OH∥AF， 又因为OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF， 所以OH∥平面AEF. 又因为OH∩GH＝H，OH，GH⊂平面BDGH， 所以平面BDGH∥平面AEF. 目录 数学·必修第二册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，m∥β，若使α∥β成 立，则需增加的条件是（　　） A. n是直线且n⊂α，n∥β B. n，m是异面直线且n∥β C. n，m是相交直线且n⊂α，n∥β D. n，m是平行直线且n⊂α，n∥β 解析：　要使α∥β成立，需要其中一个平面内的两条相交直线与 另一个平面平行，n，m是相交直线且n⊂α，n∥β，m⊂α， m∥β，由平面与平面平行的判定定理可得α∥β.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 2. 经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作（　） A. 1个或2个 B. 0个或1个 C. 1个 D. 0个 解析：　①当经过两点的直线与平面α平行时，可作出一个平面β 使β∥α.②当经过两点的直线与平面α相交时，由于作出的平面与平 面α至少有一个公共点，故经过两点的平面都与平面α相交，不能作 出与平面α平行的平面.故满足条件的平面有0个或1个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 3. 对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件中，不能够判定α与β平 行的为（　　） A. 存在平面γ，使得α，β都平行于γ B. 平面α内的任意一条直线都平行于β C. α内有不共线的三点到β的距离相等 D. 存在异面直线l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 解析：　对于A，存在平面γ，使得α，β都平行于γ，∴两个平面 平行，∴A正确；对于B，平面α内的任意一条直线都平行于β，当 然α内的两条相交直线也都平行于β，∴α∥β，∴B正确；对于C， 不能判定α与β平行，如α内不共线的三点不在β的同一侧时，α与β 相交，∴C不正确；对于D，可以判定α与β平行，可在平面α内作 l'∥l，m'∥m，则l'与m'必相交.又∵l∥β，m∥β，∴l'∥β， m'∥β，∴α∥β，∴D正确.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 4. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F，G，H分别是棱 A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则必有（　　） A. BD1∥GH B. BD∥EF C. 平面EFGH∥平面ABCD D. 平面EFGH∥平面A1BCD1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 解析：　易知GH∥D1C，因为过直线外一点 有且只有一条直线与已知直线平行，所以BD1， GH不可能互相平行，故选项A错误；易知EF ∥A1B，与选项A同理，可判断选项B错误； 因为EF∥A1B，而直线A1B与平面ABCD相交，故直线EF与平面 ABCD也相交，所以平面EFGH与平面ABCD相交，选项C错误；对于D，由E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，得出EF∥A1B，EH∥A1D1，所以EF∥平面A1BCD1，EH∥平面A1BCD1，又EF∩EH＝E，所以平面EFGH∥平面A1BCD1.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 5. （2024·广州月考）在三棱台A1B1C1-ABC中，点D在A1B1上，且 AA1∥BD，点M是△A1B1C1内（含边界）的一个动点，且有平面 BDM∥平面A1ACC1，则动点M的轨迹是（　　） A. △A1B1C1边界的一部分 B. 一个点 C. 线段的一部分 D. 圆的一部分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 解析：　如图，过D作DE∥A1C1交B1C1于E， 连接BE，因为BD∥AA1，BD⊄平面AA1C1C， AA1⊂平面AA1C1C，所以BD∥平面AA1C1C，同 理DE∥平面AA1C1C，又BD∩DE＝D，BD， DE⊂平面BDE，所以平面BDE∥平面AA1C1C， 所以M∈DE（M不与D重合，否则没有平面 BDM），故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 6. 如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H为所在 棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与PRQ所在平面平行 的是（　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 解析：　由题意可知经过P，Q，R三点的平 面即为平面PSRHNQ，如图所示，对图B、C， 可知N在经过P，Q，R三点的平面上，所以 图B、C中的阴影平面与平面PRQ不平行；对 图A，MC1与QN是相交直线，所以图A中的阴 影平面与平面PRQ不平行；对图D，因为A1C1∥RH，BC1∥QN，A1C1∩BC1＝C1，又易知RH，QN也相交，A1C1，BC1⊂平面A1C1B，RH，QN⊂平面PSRHNQ，故平面A1C1B∥平面PSRHNQ，图D中的阴影平面与平面PRQ平行. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 7. 如图，在三棱锥P-ABC中，点D，E，F分别是棱PA，PB，PC 的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是 ⁠. 平行 解析：在△PAB中，因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB. 又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以DE∥平面ABC. 同理，可证EF∥平面ABC. 又DE∩EF＝E，DE，EF⊂平面DEF，所以平面DEF∥平面ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 8. 已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线 b∥a，则α与β的位置关系是 （填“平行”或“相交”）. 解析：若α∩β＝l，则在平面α内，取与l相交的直线a，设a∩l＝ A，对于β内的任意直线b，若b过点A，则a与b相交，若b不过点 A，则a与b异面，即β内不存在直线b∥a，矛盾.故α∥β. 平行 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 9. 如图，三条直线AA1、BB1、CC1不共面，但交于一点O，若AO＝ A1O，BO＝B1O，CO＝C1O，那么平面ABC和平面A1B1C1的位 置关系是 ⁠. 平行 解析：由AO＝A1O，BO＝B1O，且∠AOB＝∠A1OB1，故△AOB≌△A1OB1，因此∠A1B1O＝∠ABO，故A1B1∥AB，A1B1⊂平面A1B1C1，AB⊄平面A1B1C1，故AB∥平面A1B1C1，同 理可得BC∥平面A1B1C1，AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，故平面ABC∥平面A1B1C1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 10. 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点 M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝ PQ∶QD. 求证：平面MNQ∥平面PBC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 证明：因为PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD， 所以MQ∥AD，NQ∥BP. 又因为BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC， 所以NQ∥平面PBC. 因为四边形ABCD为平行四边形. 所以BC∥AD，所以MQ∥BC. 又因为BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC， 所以MQ∥平面PBC. 又因为MQ∩NQ＝Q，MQ，NQ⊂平面MNQ， 所以平面MNQ∥平面PBC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 11. （2024·宁波月考）已知m，n，l1，l2表示直线，α，β表示平面. 若m⊂α，n⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分 条件是（　　） A. m∥β且l1∥α B. m∥β且n∥β C. m∥β且n∥l2 D. m∥l1且n∥l2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 解析：　对于A，若m∥β且l1∥α，则α，β可能相交，故A错 误；对于B，若m∥β且n∥β，要得出α∥β，必须满足m，n相 交，故B错误；对于C，若m∥β且n∥l2，要得出α∥β，必须满足 m，n相交，故C错误；对于D，由定理“如果一个平面内的两条 相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行”，由选项D 可以推出α∥β，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 12. （多选）如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说 法正确的有（　　） A. BM∥平面DE B. CN∥平面AF C. 平面BDM∥平面AFN D. 平面BDE∥平面NCM 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 解析：展开图可以折成如图①所示的正方体. 在正方体中，连接AN，如图②所示.∵AB∥MN，且AB＝MN， ∴四边形ABMN是平行四边形.∴BM∥AN. ∴BM∥平面DE. 同 理可证CN∥平面AF，∴选项A、B正确；如图③所示，连接 NF，BE，BD，DM，CF，易证BM∥平面AFN，BD∥平面 AFN，则平面BDM∥平面AFN，∴选项C正确；易得平面BDE与 平面NCM相交，∴D不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 13. 如图，P是△ABC所在平面外一点，A'，B'，C'分别是△PBC， △PAC，△PAB的重心，则平面A'B'C'与平面ABC的位置关系 为 ⁠. 平行 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 解析：如图，连接PA'，PC'并延长，分别交BC， AB于点M，N，连接MN. ∵A'，C'分别是 △PBC，△PAB的重心，∴PA'＝ PM，PC'＝ PN，∴A'C'∥MN. ∵MN⊂平面ABC，A'C'⊄平 面ABC，∴A'C'∥平面ABC. 同理，A'B'∥平面 ABC. 又A'C'∩A'B'＝A'，A'C'，A'B'⊂平面 A'B'C'，∴平面A'B'C'∥平面ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 14. 如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，点M是线段B1D1上的一个 动点，E，F分别是BC，CM的中点. （1）求证：EF∥平面BDD1B1； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 证明：在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，连接BM，如图. 因为E，F分别是BC，CM的中点， 所以EF∥BM. 又EF⊄平面BDD1B1，BM⊂平面 BDD1B1， 所以EF∥平面BDD1B1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 （2）设G为棱CD的中点，求证：平面GEF∥平面BDD1B1. 证明：因为G是CD的中点，E是BC的中点，所以EG∥BD. 而EG⊄平面BDD1B1，BD⊂平面 BDD1B1， 从而得EG∥平面BDD1B1. 由（1）知EF∥平面BDD1B1，又 EF∩EG＝E，EF，EG⊂平面GEF， 因此平面GEF∥平面BDD1B1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 15. 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是 棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面 AEF，则线段A1P长度的取值范围是（　　） A. [2， ] B. C. [，2 ] D. [2 ，2 ] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 解析：　如图，取B1C1的中点G，BB1的中点 H，连接GH，A1G，A1H，则A1G∥AE，又 A1G⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，所以A1G∥ 平面AEF，同理GH∥EF，GH⊄平面AEF， EF⊂平面AEF，所以GH∥平面AEF，因为 A1G∩GH＝G，所以平面A1GH∥平面AEF， 因为P是侧面BCC1B1内一点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 当P点在线段GH上时，能够满足A1P∥平面AEF，因为正方 体棱长为2，由勾股定理得：A1G＝A1H＝ ，GH＝ ，故点P落在GH中点时，A1P长度最小，此时A1P＝ ＝ ，当点P与G或H重合时，长度最大，此时A1P＝ ，综 上：线段A1P长度的取值范围是 .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 16. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1 上的点，且 ＝ ＝ . （1）在图①中作出平面PQC和平面AA1D1D的交线（保留作图痕 迹），并求证：PQ∥平面A1D1DA； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 解：连接CP并延长与DA的延长线交于M点，连接D1M，则平面PQC和平面AA1D1D的交线为D1M. 证明：因为四边形ABCD为正方形，所 以BC∥AD， 故△PBC∽△PDM，所以 ＝ ＝ ， 又因为 ＝ ＝ ，所以 ＝ ＝ ，所以PQ∥MD1. 又MD1⊂平面A1D1DA，PQ⊄平面 A1D1DA，故PQ∥平面A1D1DA. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 （2）如图②，若R是AB上的点，当 的值为多少时，能使平面 PQR∥平面A1D1DA？请给出证明. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 解：当 ＝ 时，能使平面PQR∥平面A1D1DA. 证明：因为 ＝ ，即 ＝ ，故 ＝ ，所以PR∥DA. 又DA⊂平面A1D1DA，PR⊄平面A1D1DA， 所以PR∥平面A1D1DA，由（1）知，PQ∥平面 A1D1DA，又PQ∩PR＝P， 所以平面PQR∥平面A1D1DA. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 $