8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积，通过日常生活实物抽象旋转体引入，以问题引导学生思考，系统梳理公式并对比圆柱、圆锥、圆台公式间关系，构建知识支架帮助学生衔接前后内容。 其亮点在于结合直观想象通过实物抽象几何体，依托数学运算设计例题与训练，如球的半径计算、圆台体积推导，逻辑推理梳理公式内在联系。通性通法总结助学生掌握解题思路，既提升学生数学思维，又为教师提供高效教学资源。

8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 新课程标准解读 核心素养 1.知道圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式 直观想象 2.能用公式解决简单的实际问题 数学运算 目录 数学·必修第二册 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　在日常生活中，我们经常遇到下列各类实物或它们的组合体. 　　这些物体分别可以抽象出圆柱、圆锥、圆台及球，它们均属于立 体几何中的旋转体. 【问题】　你会求上述几何体的表面积及体积吗？ 目录 数学·必修第二册 知识点一　圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 图形 表面积和体积 圆 柱 S圆柱＝ （r是底面半径，l是母线 长）； V圆柱＝ （r是底面半径，h是高） 2πr（r＋l）　 πr2h　 目录 数学·必修第二册 图形 表面积和体积 圆 锥 S圆锥＝ （r是底面半径，l是母线长）； V圆锥＝ （r是底面半径，h是高） 圆 台 S圆台＝ （r'，r分别是上、下底面半径，l是母线长）； V圆台＝ ⁠ （r'，r分别是上、下底面半径，h是高） πr（r＋l）　 πr2h　 π（r'2＋r2＋r'l＋rl）　 πh（r'2＋r'r＋r2）　　 目录 数学·必修第二册 提醒　圆柱、圆锥、圆台的关系： ①侧面积公式间的关系，S圆柱侧＝2πrl S圆台侧＝π（r＋r'）l S圆锥侧＝ πrl； ②体积公式间的关系 V＝Sh V＝ （S'＋ ＋S）h V＝ Sh. 目录 数学·必修第二册 知识点二　球的表面积和体积公式 1. 球的表面积公式S＝ （R为球的半径）. 2. 球的体积公式V＝ ⁠. 4πR2　 πR3　 目录 数学·必修第二册 1. 若圆锥的底面半径为 ，高为1，则圆锥的体积为 ，表面积 为 ⁠. 解析：V＝ Sh＝ ×π×3×1＝π.S＝πr（r＋l）＝ π（ ＋ 2）＝（3＋2 ）π. π （3＋2 ）π 目录 数学·必修第二册 2. 已知两个球的半径之比为2∶3，则它们的表面积之比为 ，体 积之比为 ⁠. 解析：设两个球的半径为R，r，由题意可得R∶r＝2∶3，所以表 面积之比为 ＝ ＝ ＝ ，体积之比为 ＝ ＝ ＝ . ​ ​ 目录 数学·必修第二册 3. 已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为2，则该圆台的侧面 积为 ⁠. 解析：圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为2，则圆台的母线 长l＝ ＝ ，所以该圆台的侧面积S＝π（1＋ 2）l＝3 π. 3 π 目录 数学·必修第二册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 圆柱、圆锥、圆台的表面积 【例1】　（1）若圆锥的高为3，底面半径为4，则此圆锥的表面积为 （　B　） A. 40π B. 36π C. 26π D. 20π 解析：圆锥的母线长l＝ ＝5，所以圆锥的表面积为π×42＋ π×4×5＝36π. B 目录 数学·必修第二册 （2）圆台的上、下底面半径分别为10 cm，20 cm，它的侧面展开图 是扇环，其圆心角为π，则圆台的表面积为 cm2.（结 果中保留π） 1 100π 解析：如图所示，设圆台的上底面周长为l cm，因为扇环的圆心角是π，所以l＝π·SA＝2π×10，所以SA＝20 cm.同理可得SB＝40 cm，所以AB＝SB－SA＝20 cm，所以表面积S＝π（10＋20）×20＋π×102＋π×202＝1 100π（cm2）. 目录 数学·必修第二册 通性通法 　　解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面 及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式 求解即可，基本步骤如下： （1）得到空间几何体的平面展开图； （2）依次求出各个平面图形的面积； （3）将各平面图形的面积相加. 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 1. （多选）如图，四边形BCC1B1是圆柱的轴截面，AA1是圆柱的一 条母线，已知AB＝4，AC＝2 ，AA1＝3，则下列说法正确的是 （　　） A. 圆柱的侧面积为2 π B. 圆柱的侧面积为6 π C. 圆柱的表面积为6 π＋12π D. 圆柱的表面积为2 π＋6π 目录 数学·必修第二册 解析：　因为AB＝4，AC＝2 ，所以BC＝ ＝ 2 ，即r＝ ，又因为AA1＝3，所以圆柱的侧面积是2πrl＝ 2π× ×3＝6 π，圆柱的表面积是2πrl＋2πr2＝6 π＋12π.故 选B、C. 目录 数学·必修第二册 2. （2024·枣庄质检）若圆台的上、下底面半径分别为2，6，且侧面 面积等于两底面面积之和，则圆台的母线长为 ，表面积 为 ⁠. 解析：设圆台的母线长为l，则由题意得π（2＋6）l＝π×22＋ π×62，所以8πl＝40π，所以l＝5，所以该圆台的母线长为5.圆台 的表面积为S＝π×（2＋6）×5＋π×22＋π×62＝40π＋4π＋36π＝ 80π. 5 80π 目录 数学·必修第二册 题型二 圆柱、圆锥、圆台的体积 【例2】　（1）已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是 16 π，则圆锥的体积是（　A　） A. B. C. 64π D. 128 π A 目录 数学·必修第二册 解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，∵圆锥的轴截面是等腰直 角三角形，∴2r＝ ，即l＝ r，由题意得，侧面积S侧＝ πr·l＝ πr2＝16 π，∴r＝4.∴l＝4 ，高h＝ ＝4. ∴圆锥的体积V＝ Sh＝ π×42×4＝ π，故选A. 目录 数学·必修第二册 （2）已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10， 则圆台的体积为 ⁠. 解析：设上底面半径为r，则下底面半径为4r，高为4r，如 图.∵母线长为10，∴102＝（4r）2＋（4r－r）2，解得r＝ 2.∴下底面半径R＝8，高h＝8，∴V圆台＝ π（r2＋rR＋R2）h ＝224π. 224π 目录 数学·必修第二册 通性通法 圆柱、圆锥、圆台体积的求法 　　求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高 一般利用几何体的轴截面求得，即由母线、高、半径组成的直角三角 形中列出方程并求解. 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 1. 如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最 短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为（　　） A. 5π B. 6π C. 20π D. 10π 解析：　 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π. 目录 数学·必修第二册 2. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的 体积为（　　） A. 2 π B. π C. π D. π 解析：　设圆锥的母线长为l，高为h，底面半径r＝1，则由 2π×1＝πl得l＝2，所以h＝ ＝ ，所以V＝ πr2h＝ π×12× ＝ π.故选D. 目录 数学·必修第二册 题型三 球的表面积与体积 【例3】　（1）一平面截一球得到直径为2 cm的圆面，球心到这个 平面的距离是2 cm，则该球的体积是（　B　） A. 12π cm3 B. 36π cm3 C. 64 π cm3 D. 108π cm3 B 解析：设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，如图 所示，在Rt△OO1A中，O1A＝ cm，OO1＝2 cm， ∴球的半径R＝OA＝ ＝3 cm，∴球的 体积V＝ π×33＝36π cm3.故选B. 目录 数学·必修第二册 （2）半径为2的小金属球共有125个，熔化后铸成一个大金属球，如 果不计损耗，可铸成的大金属球的表面积为（　D　） A. 100 B. 400 C. 100π D. 400π 解析：设大金属球的半径为r，则 ×23×125＝ ×r3⇒r＝ 10，∴其表面积为4πr2＝400π.故选D. D 目录 数学·必修第二册 通性通法 　　因为球的表面积与体积都是球的半径的函数，所以在解答这类问 题时，设法求出球的半径是解题的关键. 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 1. 若两球的表面积之差为48π，它们的半径之和为6，则两球的体积之 差的绝对值为 ⁠. 解析：设两个球的半径分别为R，r（R＞r），则由题意得 即整理，得 解得故两球的体积之差的绝对值为 π×43－ π×23＝ π（43－23）＝ π. π 目录 数学·必修第二册 2. （2024·湖州月考）长、宽、高分别为2， ， 的长方体的外接 球的表面积为 ⁠. 解析：该长方体的体对角线长为 ＝ 2 ，设外接球的半径为R，∴2R＝2 ，∴R＝ ，∴S球＝ 4πR2＝12π. 12π 目录 数学·必修第二册 1. 球的体积是 ，则此球的表面积是（　　） A. 12π B. 16π C. D. 解析：　设球的半径为R，∴ πR3＝ π，∴R＝2，∴S球＝ 4πR2＝16π. 目录 数学·必修第二册 2. 若圆锥的底面半径为1，高为 ，则圆锥的表面积为（　　） A. π B. 2π C. 3π D. 4π 解析：　设圆锥的母线长为l，则l＝ ＝2，所以圆锥的表 面积为S＝π×1×（1＋2）＝3π. 目录 数学·必修第二册 3. 已知圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高 为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解析：　设圆台的高为h，由题意知V＝ π（12＋1×2＋22）h＝ 7π，故h＝3. 目录 数学·必修第二册 4. 一个底面半径与高都为R的圆柱内挖掉一个等高、等底的圆锥的几 何体（如图所示），则该几何体的体积为 ⁠. 解析：圆柱的体积V1＝πR2·R＝πR3，圆锥的体积V2＝ πR3，所以 所求的几何体的体积为V1－V2＝πR3－ πR3＝ πR3. πR3 目录 数学·必修第二册 $