8.1 第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球和简单组合体-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征，通过实物图情境导入，引导学生对比多面体差异，思考平面图形旋转成旋转体的过程，搭建从多面体到旋转体的认知支架。 其亮点在于以情境观察培养数学眼光，通过定义辨析和性质探究发展数学思维，结合组合体构成分析、截面计算等例题强化数学语言表达。例如用“圆柱母线是否平行轴”辨析深化理解，通性通法总结提升解题能力，助力学生发展直观想象与抽象能力，为教师提供结构化教学资源提升效率。

第2课时　圆柱、圆锥、圆台、球和简单组合体 新课程标准解读 核心素养 利用实物模型、计算机软件等观察空间图形，认识圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构 直观想象、数学抽象 目录 数学·必修第二册 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　如图，观察下列实物图. 【问题】　（1）上述三个实物图抽象出的几何体与多面体有何不同？ （2）上述实物图抽象出的几何体中能否由某些平面图形旋转而成？ （3）如何形成上述几何体的曲面？ 目录 数学·必修第二册 知识点一　圆柱的结构特征 定义 以 所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形 成的面所围成的旋转体叫做圆柱 图示 及 相关 概念 轴： 叫做圆柱的轴； 底面： 的边旋转而成的圆面； 侧面： 的边旋转而成的曲面； 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置， ⁠ ⁠； 柱体： ⁠ 矩形的一边　 旋转轴　 垂直于轴　 平行于轴　 平行 于轴的边　 圆柱和棱柱统称为柱体　 目录 数学·必修第二册 提醒　对圆柱的再理解：①圆柱的底面是两个半径相等的圆面，两圆 面所在平面互相平行；②通过轴的各个截面叫做轴截面，轴截面是全 等的矩形；③母线平行且相等，它们都垂直于底面，它们的长等于圆 柱的高. 目录 数学·必修第二册 知识点二　圆锥的结构特征 定 义 以 所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 图示 及相 关概 念 轴： 叫做圆锥的轴； 底面： 的边旋转而成的圆面； 侧面： ⁠旋转而成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置， ⁠ ⁠； 锥体： ⁠ 直角三角形的一条直角边　 旋转轴　 垂直于轴　 直角三角形的斜边　 不垂直于轴的 边　 棱锥和圆锥统称为锥体　 目录 数学·必修第二册 提醒　圆锥具有的性质：①通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面是 全等的等腰三角形；②过顶点和底面相交的截面是等腰三角形；③母 线都过顶点且相等，各母线与轴的夹角相等. 【想一想】 　以Rt△ABC任一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的 面围成的几何体就是圆锥，这句话对吗？ 提示：不对.必须以直角边所在直线为轴.若以斜边所在直线为轴，形 成的几何体是同底面的两个圆锥的组合体. 目录 数学·必修第二册 知识点三　圆台的结构特征 定 义 用 的平面去截圆锥， ⁠之间 的部分叫做圆台 图示 及相 关概 念 轴：圆锥的 ⁠； 底面：圆锥的底面和 ⁠； 侧面：圆锥的侧面在 ⁠之间的部分； 母线：圆锥的母线在 ⁠之间的部分； 台体： ⁠ 平行于圆锥底面　 底面与截面　 轴　 截面　 底面与截面　 底面与截面　 棱台和圆台统称为台体　 目录 数学·必修第二册 提醒　圆台具有的性质：①通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面是 全等的等腰梯形；②任意两条母线确定的平面截圆台所得的截面是等 腰梯形；③母线长都相等，各母线延长后都相交于一点. 目录 数学·必修第二册 知识点四　球的结构特征 定 义 以 所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 图示 及相 关概 念 球心：半圆的 叫做球的球心； 半径：连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的 半径； 直径：连接球面上两点并且 ⁠的线段叫 做球的直径 半圆的直径　 圆心　 经过球心　 目录 数学·必修第二册 【想一想】 球能否由圆面旋转而成？ 提示：能.圆面以直径所在的直线为旋转轴，旋转半周形成的旋转体 即为球. 目录 数学·必修第二册 知识点五　简单组合体 1. 定义：由 组合而成的几何体叫做简单组合体. 2. 简单组合体的构成形式：一种是由简单几何体 而成；另一 种是由简单几何体 一部分而成. 简单几何体　 拼接　 截去或挖去　 目录 数学·必修第二册 1. 下列几何体是旋转体的是（　　） A. 五棱柱 B. 六棱锥 C. 八棱台 D. 球 解析：　根据一个平面图形绕着它的一条边所在的直线旋转一周 形成的几何体叫做旋转体，判断球是旋转体；一个几何体围成它的 各个面都是多边形，这个几何体是多面体，由此判断五棱柱、六棱 柱、八棱台都是多面体，故选D. 目录 数学·必修第二册 2. 如图所示的简单组合体的组成是（　　） A. 棱柱、棱台 B. 棱柱、棱锥 C. 棱锥、棱台 D. 棱柱、棱柱 目录 数学·必修第二册 3. （多选）用一个平面去截一个圆台，得到的图形可能是（　　） A. 矩形 B. 圆形 C. 梯形 D. 三角形 解析：　用一个平面去截一个圆台，截面平行于底面，截面为 圆形，B正确；截面与圆台的轴平行时，得到梯形，C正确；图形 不可能是矩形与三角形，则A、D错误.故选B、C. 目录 数学·必修第二册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 旋转体的结构特征 【例1】　下列说法正确的是 （填序号）. ①圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的 母线； ②一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体 是圆台； ③ ③圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形， 圆台的轴截面是等腰梯形； ④到定点的距离等于定长的点的集合是球. 目录 数学·必修第二册 解析：①错，由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴；②错， 直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一 个圆锥组成的简单组合体，如图所示；③正确；④错，应为球面. 目录 数学·必修第二册 通性通法 判断简单旋转体结构特征问题的解题策略 （1）准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的形成过程及其特征性质是解 决此类概念问题的关键； （2）解题时要注意明确两点：①明确由哪个平面图形旋转而成；② 明确旋转轴是哪条直线. 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 有下列命题：①圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母 线；②圆台的母线有无数条，且延长后交于一点；③球面上任意一点 到球心的距离都相等.其中正确的有（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 解析：　①圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线， 正确；②由圆台的定义可知，正确；③由球的几何特征可知，正确. 故选D. 目录 数学·必修第二册 题型二 简单组合体的结构特征 解析：　该几何体自上而下由圆锥、圆台、圆台、圆柱组合而成，故选A. 【例2】　（1）如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形 成的（　　） 目录 数学·必修第二册 （2）请描述如图所示的几何体是如何形成的： 解：①是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体；②是由一 个长方体截去一个三棱锥后得到的几何体；③是由一个圆柱挖 去一个三棱锥后得到的几何体. 目录 数学·必修第二册 【母题探究】 将本例（1）中的组合体变为如图所示的几何体，则可由下列哪个三 角形绕轴旋转而成（　　） 解析：　该组合体为一个大圆锥去掉一个同底的小圆锥，是由D中 的图形绕轴旋转而成的. 目录 数学·必修第二册 通性通法 判断组合体构成的方法 （1）判定实物图是由哪些简单几何体组成的问题时，首先要熟练掌 握简单几何体的结构特征；其次要善于将复杂的组合体“分 割”为几个简单的几何体； （2）组合体是由简单几何体拼接、截去或挖去一部分构成的.要仔细 观察组合体的构成，结合柱、锥、台、球的结构特征，先分 割，后验证. 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何 体包括（　　） A. 一个圆台、两个圆锥 B. 两个圆柱、一个圆锥 C. 两个圆台、一个圆柱 D. 一个圆柱、两个圆锥 目录 数学·必修第二册 解析：　图①是一个等腰梯形，CD为较长的底边，以CD边所在直 线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图②，包括一个圆 柱、两个圆锥. 目录 数学·必修第二册 题型三 旋转体中与截面有关的计算问题 【例3】　两平行平面截半径为5的球，若截面面积分别为9π和16π， 则这两个平面间的距离是 ⁠. 1或7 解析：由已知得两个截面圆半径分别为3和4，如图①所示，两个平行平面在球心同侧，则CD＝ － ＝4－3＝1；如图②所示，两个平行截面在球心两侧，则CD＝ ＋ ＝4＋3＝7. 目录 数学·必修第二册 通性通法 旋转体截面问题的解题策略 （1）画出旋转体的轴截面或相关截面； （2）在截面中借助直角三角形或三角形相似关系建立高、母线长、 底面圆或截面圆的半径长的等量关系即可求解. 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 1. 若底面半径为2且底面水平放置的圆锥被过高的中点且平行于底面 的平面所截，则截得的截面圆的面积为（　　 ） A. π B. 2π C. 3π D. 4π 解析：　由题意，底面半径为2且底面水平放置的 圆锥被过高的中点且平行于底面的平面所截，如图所 示，设截面圆的半径为r，底面圆半径为R，易知 △SA1O1∽△SAO，故 ＝ ＝ ＝ ，可得r＝ R＝1，所以截得的截面圆的面积为S＝π×12＝π.故选A. 目录 数学·必修第二册 2. （2024·济南月考）从一个底面半径和高都是R的圆柱中，挖去一 个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如图所示的 几何体.如果用一个与圆柱下底面距离等于l（l＜R）并且平行于 底面的平面去截它，求所得截面的面积. 目录 数学·必修第二册 解：轴截面如图， 被平行于下底面的平面所截的圆柱的截面圆的半 径O1C＝R，圆锥的截面圆的半径O1D设为x. ∵OA＝AB＝R，∴△OAB是等腰直角三角形. 又CD∥OA，则CD＝BC. ∴x＝l. ∴截面面积S＝πR2－πl2＝π（R2－l2）（l＜R）. 目录 数学·必修第二册 1. 下面几何体的轴截面（过旋转轴的截面）是圆面的是（　　） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 球 D. 圆台 解析：　圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是三角形，球的轴 截面是圆面，圆台的轴截面是等腰梯形.故选C. 目录 数学·必修第二册 2. （多选）下列说法中正确的是（　　） A. 圆柱的母线与它的轴可以不平行 B. 圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的 连线都可以构成直角三角形 C. 在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台 的母线 D. 圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的 解析：　由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知B，D正 确，A、C错误. 目录 数学·必修第二册 3. 关于图中的组合体的结构特征有以下几种说法： ①由一个长方体挖去一个四棱柱构成； ②由一个长方体与两个四棱柱组合而成； ③由一个长方体挖去一个四棱台构成； ④由一个长方体与两个四棱台组合而成. 其中正确说法的序号是 ⁠. ①② 目录 数学·必修第二册 4. 轴截面是直角三角形的圆锥的底面半径为r，则其轴截面面积 为 ⁠. 解析：由圆锥的结构特征可知，轴截面为等腰直角三角形，其高 为r，所以S＝ ×2r2＝r2. r2 目录 数学·必修第二册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 下列几何体中不是旋转体的是（　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 2. 下列说法中正确的是（　　） A. 将正方形旋转不可能形成圆柱 B. 夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 C. 圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 D. 通过圆台侧面上一点，有无数条母线 解析：　将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以A 错误；B中没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截 面与底面平行时正确，其他情况下结论不一定正确，所以B错误； 通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 3. 如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状 为（　　） A. 一个球体 B. 一个球体中间挖去一个圆柱 C. 一个圆柱 D. 一个球体中间挖去一个长方体 解析：　圆面绕着直径所在的轴旋转形成球，矩形绕着轴旋转形 成圆柱.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 4. 图①②中的图形折叠后的图形分别是（　　） A. 圆锥、棱柱 B. 圆锥、棱锥 C. 球、棱锥 D. 圆锥、圆柱 解析：　易知①为圆锥，②为三棱锥. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 5. 用一个平面截半径为25 cm的球，截面的面积是225π cm2，则球心 到截面的距离为（　　） A. 5 cm B. 10 cm C. 15 cm D. 20 cm 解析：由题意知，球的半径R＝25 cm，易知截面的半径r＝15 cm，则球心到截面的距离d＝ ＝20（cm）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 6. （多选）（2024·舟山质检）下列命题中正确的是（　　） A. 过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆 B. 球的任意两个经过球心的圆的交点的连线是球的直径 C. 用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面 D. 球是与定点的距离等于或小于定长的所有点的集合 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 解析：　对于A中，当过球的直径的两个端点，可以作无数个过球心的圆，所以A错误；对于B中，根据球的定义知，过球心的截面圆为大圆，两个大圆的交线必为球的直径，所以B正确；对于C中，根据球的截面圆的性质，可得用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面，所以C正确；对于D中，根据球的定义，球是在空间中与定点的距离等于或小于定长的所有点的集合，所以D正确.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 7. 正方形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得组合体的结构特 征是 ⁠. 解析：如图，正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周形成的几何体是两个同底的圆锥形成的组合体. 两个同底的圆锥组合体 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 8. 用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能 是下面哪几种： （填序号）. ①棱柱；②棱锥；③棱台；④圆柱；⑤圆锥；⑥圆台；⑦球. 解析：可能是棱柱、棱锥、棱台与圆锥. ①②③⑤ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 9. 两相邻边长分别为3 cm和4 cm的矩形，以一边所在的直线为轴旋转 所成的圆柱中轴截面的面积为 cm2. 解析：当以3 cm长的一边所在直线为轴旋转时，母线长为3 cm，底 面半径为4 cm，其轴截面的面积为3×8＝24 cm2；当以4 cm长的一 边所在直线为轴旋转时，母线长为4 cm，底面半径为3 cm，其轴截 面的面积为4×6＝24 cm2. 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 10. 指出图中的两个几何体分别是由哪些简单几何体组成的. 解：（1）几何体是由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成. （2）几何体是由一个球和一个圆柱中挖去一个以圆柱下底面为底 面、上底面圆心为顶点的圆锥拼接而成. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 11. 如果圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截 面是（　　） A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形 C. 顶角为30°的等腰三角形 D. 其他等腰三角形 解析：　因为圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，所以圆锥 的底面圆的直径为 ，母线长也为 ，所以此圆锥的轴截面是等边 三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 12. （2024·宁波月考）被誉为“中国天眼”的500 m口径球面射电望 远镜通过国家验收正式开放运行，成为全球口径最大且最灵敏的 射电望远镜（简称FAST）（如图）.FAST的反射面的形状为球 冠.球冠是球面被平面所截得的一部分，截得的圆面为球冠的底， 垂直于截面的直径被截得的一段为球冠的高.某科技馆制作了一个 FAST模型，其口径为5 m，反射面总面积为8π m2，若模型的厚度 忽略不计，则该球冠模型的高为（　　） （注：球冠表面积S＝2πRh，其中R是球的半径，h是球冠的高） A. m B. m C. m D. m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 解析：　如图所示为球的轴截面图形，ACD部分为 该球冠的轴截面，AD是弦，OC是球的半径，点B为 AD的中点，OC⊥AD于点B，由题意可得，｜OC｜ ＝｜OA｜＝R，｜BC｜＝h，｜AD｜＝5，所以｜ OB｜＝R－h，｜AB｜＝ .在Rt△OAB中，由勾股 定理可得R2＝（R－h）2＋（ ）2　①，又由球冠的 表面积及题意可得，2πRh＝8π　②，由①②可得，h ＝ ，所以该球冠模型的高为 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 13. 一个圆台的母线长为5，上、下底面圆直径长分别为2，8，则圆台 的高为 ⁠. 解析：由题意得，圆台的轴截面为等腰梯形ABCD，其中上底长 为2，下底长为8，腰长为5，如图所示，作CE⊥AB于点E，则 CE为圆台的高，所以高｜CE｜＝ ＝4. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 14. 一个圆锥的高为2 cm，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长 及圆锥的轴截面的面积. 解：如图圆锥SO的轴截面为SAB，底面直径为AB，SO为高， SA为母线，则∠ASO＝30°. 在Rt△SOA中，AO＝SO·tan 30°＝ （cm）. SA＝ ＝ ＝ （cm）. 所以S△ASB＝ SO·2AO＝ （cm2）. 所以圆锥的母线长为 cm，圆锥的轴截面的面积为 cm2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 15. 如图，模块①～⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15 个棱长为1的小正方体构成. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 （1）若从模块⑥中拿掉一个小正方体，再从模块①～⑤中选出一 个模块放到模块⑥上，使得模块⑥成为长方体，则①～⑤中 选出的模块可以是 （答案不唯一）； 解析：由图可知，①～⑤中选出的一个模块可以是①，也可以是②，也可以是⑤. （2）若从模块①～⑤中选出3个放到模块⑥上，使模块⑥成为棱 长为3的大正方体，则选出的3个模块是 ⁠ （答案不唯一）. 解析：以①②⑤为例，中间层用⑤补齐，最上层用①②.（答案不唯一） ①（或②或⑤） ①②⑤（或①④⑤ 或②③④） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 16. 某同学有一个圆锥状的木块，经过测量，该木块的底面直径为12 cm，高为8 cm.该同学计划用该木料制作一个木质球，并且使得 球与该圆锥内切，轴截面如图所示，试求此球的半径. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 解：根据题意，BC＝12 cm，AE＝8 cm，且AB＝AC， 所以CE＝ BC＝6 cm，所以AB＝AC＝ ＝ ＝10 cm. 设内切球的半径为R，根据等面积法得 ×12×8＝ ×（10＋10 ＋12）×R，解得R＝3，故此球的半径为3 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 $