7.3 复数的三角表示-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦复数的三角表示及乘除运算，通过情境问题（如复数1+√3i对应点与向量）导入，衔接复数几何意义，构建从代数形式到三角形式的学习支架，帮助学生理解知识脉络。 其亮点在于融合数学抽象与数学运算核心素养，通过代数与三角形式互化、旋转问题等题型，结合通性通法总结（如转化步骤、几何意义应用），助力学生提升抽象思维和运算能力，教师可高效落实课标要求。

7.3*复数的三角表示 新课程标准解读 核心素养 1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系 数学抽象 2.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 数学运算 目录 数学·必修第二册 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 设复数z＝1＋ i在复平面内对应的点为Z. 【问题】　（1）写出点Z的坐标，并在图中描出点Z的位置，作出向量 ； （2）记r为向量 的模，θ是以x轴非负半轴为始边、射线OZ为终 边的一个角，求r的值，并写出θ的任意一个值，探讨r，θ与z ＝1＋ i的实部、虚部之间的关系. 目录 数学·必修第二册 知识点一　复数的三角形式 1. 定义：任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成 ⁠ 的形式.其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始 边，向量 所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数z＝a＋ bi的 . 叫做复数z＝a＋bi的三角 表示式，简称三角形式. 2. 辐角的主值：规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值.通 常记作arg z，即0≤arg z＜2π. r（ cos θ＋i sin θ）　 辐角　 r（ cos θ＋i sin θ）　 目录 数学·必修第二册 提醒　辐角和辐角主值的区别与联系：区别：辐角θ是指以x轴的 非负半轴为始边，以复数z所对应的向量 所在射线（射线OZ） 为终边的角，显然辐角有无数个，而辐角主值是指在0≤θ＜2π范围 内的辐角，因而一个复数的辐角主值只有一个；联系：θ＝2kπ＋ arg z，k∈Z. 目录 数学·必修第二册 知识点二　复数三角形式的乘、除运算 1. 乘法运算法则 设z1＝r1（ cos θ1＋i sin θ1），z2＝r2（ cos θ2＋i sin θ2），则z1z2 ＝ ⁠. 即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的 ，积的辐角等 于各复数的辐角的 ⁠. r1r2[ cos （θ1＋θ2）＋i sin （θ1＋θ2）]　 积　 和　 目录 数学·必修第二册 2. 除法运算法则 设z1＝r1（ cos θ1＋i sin θ1），z2＝r2（ cos θ2＋i sin θ2），且 z2≠0，则 ＝ 　 [ cos （θ1－θ2）＋i sin （θ1－θ2）]　. 即：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得 的 ，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得 的 ⁠. [ cos （θ1－θ2）＋i sin （θ1－θ2）] 商　 差　 目录 数学·必修第二册 1. 复数1＋i的辐角主值为（　　） A. B. C. D. 解析：因为复数1＋i对应的点在第一象限，所以arg（1＋i）＝ . 目录 数学·必修第二册 2. 将复数i对应的向量 绕原点按逆时针方向旋转 ，得到向量 ，则 对应的复数是（　　） A. ＋ i B. － ＋ i C. － － i D. － i 解析：　i＝ cos ＋i sin ，将 绕原点按逆时针方向旋转 得 到 对应的复数为 cos ＋i sin ＝－ ＋ i. 目录 数学·必修第二册 3. 计算（ cos π＋i sin π）÷（ cos ＋i sin ）＝ 　－ ＋ i　. 解析：（ cos π＋i sin π）÷（ cos ＋i sin ）＝ cos ＋i sin ＝ － ＋ i. － ＋ i 目录 数学·必修第二册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 复数的代数形式化为三角形式 【例1】　将下列复数的代数形式化成三角形式： （1） ＋i； 解：r＝ ＝2，所以 cos θ＝ ， 因为对应的点在第一象限，所以arg（ ＋i）＝ ， 故 ＋i＝2 . 目录 数学·必修第二册 （2）1－i. 解：r＝ ＝ ，所以 cos θ＝ ， 因为对应的点在第四象限，所以arg（1－i）＝ ， 故1－i＝ . 目录 数学·必修第二册 通性通法 将复数的代数形式转化为三角形式的步骤 （1）求复数的模； （2）确定辐角所在的象限； （3）根据象限求出辐角； （4）求出复数的三角形式. 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 下列复数是复数三角形式表示的是（　　） A. B. － C. D. cos π＋i sin π 解析：　选项A， cos 与i sin 之间用“－”连接，不是用“＋”连 接；选项B，－ ＜0不符合r≥0的要求；选项C，是i cos π与 sin π用 “＋”连接而不是 cos π＋i sin π的形式.故A、B、C均不是复数的三 角形式.故选D. 目录 数学·必修第二册 题型二 复数的三角形式化为代数形式 【例2】　复数z＝ （ cos ＋i sin ）化为代数形式为（　　） A. ＋ i B. － ＋ i C. － ＋ i D. － i 解析：　z＝ ＝ cos ＋（ sin ）i＝ ×（－ ）＋ × i＝－ ＋ i. 目录 数学·必修第二册 通性通法 　　将复数的三角形式化为代数形式的方法是：复数三角形式为z＝r （ cos A＋i sin A），代数形式为z＝x＋yi，对应实部等于实部，虚 部等于虚部，即x＝r cos A，y＝r sin A. 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 复数 的代数形式为 ⁠. 解析： （ cos π＋i sin π）＝ ［ cos （π＋ π）＋i sin （π＋ π）］＝ ＝ （ － i）＝1－i. 1－i 目录 数学·必修第二册 题型三 复数三角形式的乘、除法运算 【例3】　计算： （1）2 × ； 解：原式＝＝2 ＝－2 i. （2）6（ cos 160°＋i sin 160°）÷[（ cos 25°＋i sin 25°）]. 解：原式＝3 [ cos （160°－25°）＋i sin （160°－25°）] ＝3 （ cos 135°＋i sin 135°）＝3 ＝－3＋3i. 目录 数学·必修第二册 通性通法 　　在进行复数三角形式的乘、除法运算时，注意先将复数化为三角 形式，再按法则进行运算，当不要求把计算结果化为代数形式时，也 可以用三角形式表示. 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 计算：2i÷ . 解：2i÷ ＝2（ cos 90°＋i sin 90°）÷ ＝4（ cos 60°＋i sin 60°）＝2＋2 i. 目录 数学·必修第二册 题型四 复数三角形式乘、除运算的几何意义 【例4】　在复平面内，把复数3－ i对应的向量分别按逆时针和顺 时针方向旋转 ，求所得向量对应的复数. 解：因为3－ i＝2 ＝2 . 所以2 × ＝2 目录 数学·必修第二册 ＝2 ＝2 ＝3＋ i， 2 ÷ ＝2 ＝2 ＝－2 i. 故把复数3－ i对应的向量按逆时针方向旋转 得到的复数为3＋ i，按顺时针方向旋转 得到的复数为－2 i. 目录 数学·必修第二册 通性通法 　　两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量 ， ，然后把向量 绕点O按逆时针方向旋转角θ2（如果θ2＜0，就 要把 绕点O按顺时针方向旋转角｜θ2｜），再把它的模变为原来 的r2倍，得到向量 ， 表示的复数就是积z1z2.即z1z2＝r1r2·[ cos （θ1＋θ2）＋i sin （θ1＋θ2）]，当z1，z2相除时， ＝ ·[ cos （θ1－ θ2）＋i sin （θ1－θ2）]. 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 在复平面内，把与复数 ＋ i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋 转 ，然后将其长度伸长为原来的2倍，求与所得向量对应的复数. 解： ＋ i＝ ， 由题意得 （ cos ＋i sin ）×2（ cos ＋i sin ） ＝ ×2 ＝3 ＝3i， 即与所得向量对应的复数为3i. 目录 数学·必修第二册 1. 复数z＝1＋i（i为虚数单位）的三角形式为（　　） A. z＝ （ sin 45°＋i cos 45°） B. z＝ （ cos 45°＋i sin 45°） C. z＝ [ cos （－45°）－i sin （－45°）] D. z＝ [ cos （－45°）＋i sin （－45°）] 解析：　依题意得r＝ ＝ ，复数z＝1＋i对应的点在 第一象限，且 cos θ＝ ，因此，arg z＝45°，结合选项知B正确. 故选B. 目录 数学·必修第二册 2. 已知i为虚数单位，z1＝ （ cos 60°＋i sin 60°），z2＝2 （ sin 30°－i cos 30°），则z1·z2＝（　　） A. 4（ cos 90°＋i sin 90°） B. 4（ cos 30°＋i sin 30°） C. 4（ cos 30°－i sin 30°） D. 4（ cos 0°＋i sin 0°） 解析：　∵z2＝2 （ sin 30°－i cos 30°）＝2 ·（ cos 300° ＋i sin 300°），∴z1·z2＝ （ cos 60°＋i sin 60°）×2 （ cos 300°＋i sin 300°）＝4（ cos 360°＋i sin 360°）.故选D. 目录 数学·必修第二册 3. 若｜z｜＝2，arg z＝ ，则复数z＝ 　1＋ i　. 解析：由题意知，z＝2 ＝1＋ i. 1＋ i 目录 数学·必修第二册 4. 计算 ＝ 　1＋ i　. 解析： ＝ ＝ ＝ ＝2 ＝1＋ i. 1＋ i 目录 数学·必修第二册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 若a＜0，则a的三角形式为（　　） A. a（ cos 0＋i sin 0） B. a（ cos π＋i sin π） C. －a（ cos π＋i sin π） D. －a（ cos π－i sin π） 解析：　因为a＜0，所以辐角主值为π，故其三角形式为－a （ cos π＋i sin π）.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 2. 复数z＝ －i的三角形式为（　　） A. 2 B. 2 C. 2 D. 2 解析：　因为r＝2，所以 cos θ＝ ，因为z＝ －i对应的点在 第四象限，所以arg（ －i）＝ ，故z＝ －i＝2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 3. 复数（ sin 10°＋i cos 10°）（ sin 10°＋i cos 10°）的三角形式 是（　　） A. sin 30°＋i cos 30° B. cos 160°＋i sin 160° C. cos 30°＋i sin 30° D. sin 160°＋i cos 160° 解析：　（ sin 10°＋i cos 10°）（ sin 10°＋i cos 10°）＝ （ cos 80°＋i sin 80°）（ cos 80°＋i sin 80°）＝ cos 160°＋i sin 160°.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 4. 将复数i对应的向量 绕原点按顺时针方向旋转 ，得到向量 ，则 对应的复数是（　　） A. ＋ i B. － ＋ i C. － － i D. － i 解析：　i＝ cos ＋i sin ，将 绕原点按顺时针方向旋转 得 到 对应的复数为 cos ＋i sin ＝ ＋ i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 5. 2÷2（ cos 60°＋i sin 60°）＝（　　） A. ＋ i B. － i C. ＋ i D. － i 解析：　2÷2（ cos 60°＋i sin 60°）＝2（ cos 0°＋i sin 0°） ÷[2（ cos 60°＋i sin 60°）]＝ cos （0°－60°）＋i sin （0°－ 60°）＝ cos （－60°）＋i sin （－60°）＝ － i.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 6. （多选）设p：两个复数z1，z2的模与辐角分别相等，q：z1＝z2， 则（　　） A. p⇒q B. p⇒/ q C. q⇒p D. q⇒/ p 解析：　当两个复数z1，z2的模与辐角分别相等时，z1＝z2成 立；当z1＝z2时，两个复数的模相等，但辐角不一定相等，故 p⇒q，q⇒/p.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 7. 复数 cos ＋i sin 的辐角主值是 　​ 　. 解析：原式＝ cos ＋i sin ＝ cos ＋i sin ，故其 辐角主值为 . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 8. 计算（ cos 40°＋i sin 40°）÷（ cos 10°＋i sin 10°）＝ ⁠ ⁠. 解析：（ cos 40°＋i sin 40°）÷（ cos 10°＋i sin 10°）＝ cos （40°－10°）＋i sin （40°－10°）＝ cos 30°＋i sin 30°＝ ＋ i. ＋ i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 9. 设z＝1＋i，则复数 的代数形式为 ，三角形式 是 ⁠. 解析：将z＝1＋i代入 ，得原式＝ ＝ ＝1－i＝ （ cos ＋i sin ）. 1－i ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 10. 下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式. （1）－2 ； 解：不是. －2 ＝2 ＝2 ＝2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 （2） sin ＋i cos . 解：不是. sin ＋i cos ＝ cos ＋i sin ＝ cos ＋i sin ＝ cos ＋i sin . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 11. 如果θ∈ ，那么复数（1＋i）（ cos θ＋i sin θ）的辐角主值 是（　　） A. θ＋ B. θ＋ C. θ－ D. θ＋ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 解析：　（1＋i）（ cos θ＋i sin θ）＝ ·（ cos ＋i sin ） （ cos θ＋i sin θ）＝ ［ cos （θ＋ ）＋i sin （θ＋ ）］， ∵θ∈ ，∴θ＋ ∈ ，∴该复数的辐角主值是θ＋ .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 12. 复数 cos ＋i sin 经过n次乘方后，所得的复数等于它的共轭复 数，则n＝（　　） A. 3 B. 12 C. 6k－1（k∈Z） D. 6k＋1（k∈Z） 解析：　由题意，得（ cos ＋i sin ）n＝ cos ＋i sin ＝ cos －i sin ，由复数相等的定义，得解得 ＝2kπ－ （k∈Z），∴n＝6k－1（k∈Z）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 13. 如图所示，等边三角形ABC的两个顶点A，B所表示的复数分别 是 ＋ i和2，则点C所表示的复数为 　2＋ i　. 2＋ i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 解析：∵A，B所表示的复数分别是 ＋ i和2，∴ 所表示的 复数为 － i，把 逆时针旋转60°得到 ， 对应的复数 为（ － i）·（ cos 60°＋i sin 60°）＝ ＋ i，又 ＝ ＋ ，∴ 对应的复数为 ＋ i＋ ＋ i＝2＋ i，即点C对 应的复数是2＋ i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 14. 计算： （1）2 × ； 解：原式＝2× ［ cos （ ＋ π）＋i sin （ ＋ π）］＝ ＝－ ＋ i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 （2）2 （ cos －i sin ）÷［ （ cos ＋i sin ）］. 解：原式＝2 ÷ ＝2 ＝2 ＝－2i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 15. 棣莫弗公式（ cos x＋i sin x）n＝ cos nx＋i sin nx（其中i为虚数单 位）是由法国数学家棣莫弗（1667—1754年）发现的，根据棣莫 弗公式可知，复数（ cos ＋i sin ）2 024在复平面内所对应的点位 于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 解析：　由棣莫弗公式知，（ cos ＋i sin ）2 024＝ cos ＋i sin ＝ cos （337π＋ ）＋i sin （337π＋ ）＝ cos （π＋ ） ＋i sin （π＋ ）＝－ － i，∴复数（ cos ＋i sin ）2 024在复平 面内所对应的点的坐标为（－ ，－ ），位于第三象限.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 16. 设复数z1＝ ＋i，复数z2满足｜z2｜＝2，且z1· 在复平面内对 应的点在虚轴的负半轴上，且arg z2∈（0，π），求z2的代数形式. 解：因为z1＝ ＋i＝2 ， 设z2＝2（ cos α＋i sin α），α∈（0，π）， 所以z1· ＝2 ×4（ cos 2α＋i sin 2α）＝ 8 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 由题设知2α＋ ＝2kπ＋ （k∈Z）， 所以α＝kπ＋ （k∈Z）. 又α∈（0，π），所以α＝ ， 所以z2＝2 ＝－1＋ i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 $