7.2.2 复数的乘、除运算-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦复数的乘、除运算，通过“实数乘法分配律及幂运算律是否适用于复数”的情境导入，衔接实数运算旧知，搭建新旧知识联系的学习支架，系统呈现乘法法则、运算律及除法法则等核心内容。 其亮点在于以“通性通法”总结运算步骤，如除法通过共轭复数实现分母实数化，结合i幂周期性、复数解方程等题型及高考真题，培养数学运算与抽象素养。助力学生掌握方法提升解题能力，教师可高效开展教学。

7.2.2　复数的乘、除运算 新课程标准解读 核心素养 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算 数学抽象 2.理解复数乘法的运算律 数学运算 目录 数学·必修第二册 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　我们知道，两个实数的乘法对加法来说满足分配律，即a， b，c∈R时，有（a＋b）c＝ac＋bc，而且，实数的正整数次幂满 足aman＝am＋n，（am）n＝amn，（ab）n＝anbn，其中m，n均为正 整数. 【问题】　复数的运算满足上述的运算律吗？ 目录 数学·必修第二册 知识点一　复数的乘法 1. 复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则z1z2＝（a＋ bi）（c＋di）＝ ⁠. （ac－bd）＋（ad＋bc）i　 目录 数学·必修第二册 2. 复数乘法的运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝ ⁠ 结合律 （z1z2）z3＝ ⁠ 分配律 z1（z2＋z3）＝ ⁠ z2z1　 z1（z2z3）　 z1z2＋z1z3　 目录 数学·必修第二册 1. 复数的乘法与多项式乘法有何不同？ 提示：复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所 得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并. 2. 多项式乘法的运算律在复数乘法中能否成立？ 提示：仍然成立，乘法公式也适用. 【想一想】 目录 数学·必修第二册 知识点二　复数的除法 　复数代数形式的除法法则 （a＋bi）÷（c＋di）＝ ＝ 　 ＋ i　（a，b， c，d∈R，且c＋di≠0）. 提醒　对复数除法的两点说明：①实数化：分子、分母同乘以分母的 共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数 化，这与根式除法的分母“有理化”类似；②代数式：注意最后结果 要将实部、虚部分开. ＋ i　 目录 数学·必修第二册 1. 已知i为虚数单位，复数z＝（3－i）（2＋i），则z的虚部为（　） A. i B. 1 C. 7i D. 7 解析：　∵z＝（3－i）（2＋i）＝7＋i，∴z的虚部为1.故选B. 目录 数学·必修第二册 2. 复数z＝ －i在复平面内对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析：　因为z＝ －i＝ －i＝ －i＝－ － i，所以z在复平面内对应的点为（－ ，－ ），位于第三象限. 故选C. 目录 数学·必修第二册 3. （2024·烟台月考）设复数z满足（1＋i）z＝2－2i（i为虚数单 位），则｜z｜＝ ⁠. 解析：由已知可得z＝ ＝ ＝－2i，因此，｜ z｜＝2. 2 目录 数学·必修第二册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 复数代数形式的乘法运算 【例1】　计算下列各题： （1）（1－i）（1＋i）＋（－1＋i）； 解：（1－i）（1＋i）＋（－1＋i）＝1－i2－1＋i＝1＋i. （2）（2－i）（－1＋5i）（3－4i）＋2i. 解：（2－i）（－1＋5i）（3－4i）＋2i ＝（－2＋10i＋i－5i2）（3－4i）＋2i ＝（3＋11i）（3－4i）＋2i ＝（9－12i＋33i－44i2）＋2i ＝53＋21i＋2i＝53＋23i. 目录 数学·必修第二册 通性通法 复数的乘法运算法则的应用 （1）复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注 意要把i2化为－1，进行最后结果的化简； （2）对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更 简便.例如平方差公式、完全平方公式等. 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 1. （2024·安阳月考）复数z＝（1－i）（1＋i）＋（－1＋i）在复平 面内对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析：　z＝（1－i）（1＋i）＋（－1＋i）＝1－i2－1＋i＝1＋ i，所以复数z在复平面内对应的点位于第一象限. 目录 数学·必修第二册 2. 若复数（1－i）（a＋i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a的取值范围是（　　） A. （－∞，1） B. （－∞，－1） C. （1，＋∞） D. （－1，＋∞） 解析：　因为（1－i）（a＋i）＝a＋1＋（1－a）i，所以它在 复平面内对应的点为（a＋1，1－a），又此点在第二象限，所以 解得a＜－1. 目录 数学·必修第二册 题型二 复数代数形式的除法运算 【例2】　计算： （1）（1－2i）÷（2＋i）； 解：（1－2i）÷（2＋i）＝ ＝ ＝ ＝－i. 目录 数学·必修第二册 （2） ； 解： ＝ ＝ ＝－2＋i. （3） . 解： ＝ ＝ ＝ ＝ ＋ i. 目录 数学·必修第二册 通性通法 1. 两个复数代数形式的除法运算的步骤 （1）首先将除式写为分式； （2）再将分子、分母同乘以分母的共轭复数； （3）然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代 数形式. 2. 常用公式 （1） ＝－i；（2） ＝i；（3） ＝－i. 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 1. 已知i为虚数单位，则 的实部与虚部之积是（　　） A. B. － C. i D. － i 解析：　因为 ＝ ＝ ＋ i，所以 的实部与虚部 之积是 . 目录 数学·必修第二册 2. （2022·北京高考2题）若复数z满足i·z＝3－4i，则｜z｜＝（　　） A. 1 B. 5 C. 7 D. 25 解析：　依题意可得z＝ ＝ ＝－4－3i，所以｜z｜ ＝ ＝5，故选B. 目录 数学·必修第二册 题型三 i幂值的周期性及应用 【例3】　（1）复数z＝i2 025的模是（　D　） A. i B. －1 C. 0 D. 1 解析：因为z＝i2 025＝i4×506＋1＝i，所以复数z的模是1.故选D. （2）计算：1＋i＋i2＋i3＋…＋i100（i为虚数单位）的结果是 ⁠. D 解析：由复数的运算法则可知：1＋i＋i2＋i3＋…＋i100＝1＋（i ＋i2＋i3＋i4）＋…＋（i97＋i98＋i99＋i100）＝1＋0＋…＋0＝1. 1 目录 数学·必修第二册 通性通法 利用i幂值的周期性解题的技巧 （1）熟记i的幂值的4个结果，当幂指数除以4所得的余数是0，1，2， 3时，相应的幂值分别为1，i，－1，－i； （2）对于n∈N，有in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0. 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 计算： ＋ . 解：∵ ＝ ＝ ＝i， ＝ ＝－i，而i4＝（－i）4 ＝1， ∴ ＋ ＝i2 024＋（－i）2 025＝i2024＋（－i） 2024·（－i）1＝1－i. 目录 数学·必修第二册 题型四 在复数范围内解方程 【例4】　在复数范围内解下列方程： （1）x2＋5＝0； 解：因为x2＋5＝0，所以x2＝－5， 又因为（ i）2＝（－ i）2＝－5， 所以x＝± i，所以方程x2＋5＝0的根为x＝± i. 目录 数学·必修第二册 （2）x2＋4x＋6＝0. 解：法一　因为x2＋4x＋6＝0，所以（x＋2）2＝－2， 因为（ i）2＝（－ i）2＝－2， 所以x＋2＝ i或x＋2＝－ i， 即x＝－2＋ i或x＝－2－ i， 所以方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2± i. 目录 数学·必修第二册 法二　由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8＜0，所以方程x2＋4x＋6 ＝0无实数根. 在复数范围内，设方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝a＋bi（a，b∈R且 b≠0）， 则（a＋bi）2＋4（a＋bi）＋6＝0， 所以a2＋2abi－b2＋4a＋4bi＋6＝0， 整理得（a2－b2＋4a＋6）＋（2ab＋4b）i＝0， 所以 目录 数学·必修第二册 又因为b≠0，所以 解得a＝－2，b＝± .所以x＝－2± i， 即方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2± i. 目录 数学·必修第二册 通性通法 　　在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的 求解方法 （1）求根公式法： ①当Δ≥0时，x＝ ； ②当Δ＜0时，x＝ . 目录 数学·必修第二册 （2）利用复数相等的定义求解：设方程的根为x＝m＋ni（m， n∈R），代入方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），化简后利用复数 相等的定义求解； （3）一元二次方程根与系数的关系仍成立，即x1＋x2＝－ ，x1x2＝ . 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 1. （2024·厦门月考）已知2i－3是关于x的方程x2＋6x＋q＝0 （q∈R）的一个根，则该方程的另一个根为（　　） A. 2i＋3 B. －2i－3 C. 2i－3 D. －2i＋3 解析：根据题意，方程的另一个根为－6－（2i－3）＝－3－2i.故选B. 目录 数学·必修第二册 2. 已知关于x的方程x2＋（k＋2i）x＋2＋ki＝0有实根，求这个实根 及实数k的值. 解：设x＝x0是方程的实根，代入方程并整理得（ ＋kx0＋2）＋ （2x0＋k）i＝0. 由复数相等的条件得 ＋kx0＋2＝2x0＋k＝0， 解得或 ∴方程的实根为x＝ 或－ ，相应的k的值为－2 或2 . 目录 数学·必修第二册 1. 已知m∈R，i为虚数单位，若（m＋i）（2－3i）＝5－i，则m＝ （　　） A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 解析：　由（m＋i）（2－3i）＝（2m＋3）＋（2－3m）i＝5－ i，得解得m＝1. 目录 数学·必修第二册 2. （2024·深圳月考）已知复数z＝i＋2i2＋3i3＋4i4（其中i为虚数单 位），则｜z｜＝（　　） A. 2 B. 2 C. 4 D. 10 解析：　依题意，z＝i＋2×（－1）＋3（－i）＋4＝2－2i，所 以｜z｜＝ ＝2 .故选B. 目录 数学·必修第二册 3. （2024·济宁月考）若复数z满足方程 i＝1－i，则z＝ ⁠. 解析：由题意可得 ＝ ＝ ＝－i（1－i）＝－1－i，所 以z＝－1＋i. －1＋i 目录 数学·必修第二册 4. 计算：（1）（1＋i）2 024； 解：原式＝[（1＋i）2]1 012＝（1＋2i＋i2）1 012＝（2i）1 012＝ 21 012·i1 012＝21 012·i4×253＝21 012. （2）（－2＋3i）÷（1＋2i）. 解：原式＝ ＝ ＝ ＝ ＋ i. 目录 数学·必修第二册 $