7.1.2 复数的几何意义-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(人教A版)

该高中数学课件围绕复数的几何意义，系统讲解复平面内点、向量与复数的一一对应关系，复数的模及共轭复数等核心知识。通过“实数与数轴点对应”类比情境导入，提出“复数几何模型”问题，搭建与实数几何意义的联系，形成学习支架。 其亮点在于以直观想象和数学运算为核心，通过点在象限求参数、向量平移对应复数等例题分层设计，结合通性通法总结强化数学思维。知能演练分基础、综合、拓展层次，帮助学生提升直观想象和数学运算能力，教师可直接用于教学，提高课堂效率。

7.1.2　复数的几何意义 新课程标准解读 核心素养 1.通过实例了解复平面的点与复数一一对应关系 直观想象 2.通过复平面，把复数与向量建立起紧密的联系 直观想象 3.通过向量的模表示复数的模 数学运算 目录 数学·必修第二册 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　我们知道，实数与数轴上的点一一对应，也就是说，数轴可以看 成实数的一个几何模型. 【问题】　（1）你能否为复数找一个几何模型？ （2）怎样建立起复数与几何模型中点的一一对应关系？ 目录 数学·必修第二册 知识点一　复数与复平面内点的关系 1. 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， ⁠叫做实 轴， 叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚 轴上的点都表示纯虚数. 2. 复数集C中的数与复平面内的点建立了一一对应关系，即复数z＝ a＋bi 复平面内的点Z（a，b），这是复数的一种几何意义. 提醒　复数z＝a＋bi（a，b∈R）对应的点是（a，b），而不 是（a，bi）. x轴　 y轴　 目录 数学·必修第二册 知识点二　复数与复平面内向量的关系 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向 量 由点Z唯一确定；反过来，点Z也可以由向量 唯一确定.因 此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了如下一一 对应关系（实数0与零向量对应），即复数z＝a＋bi 平面向量 . 为了方便起见，我们常把复数z＝a＋bi说成点Z或说成向量 ，并且规定， 的向量表示同一个复数. 相等　 目录 数学·必修第二册 知识点三　复数的模 1. 定义：向量 的 叫做复数z＝a＋bi的 或绝对值. 2. 记法：复数z＝a＋bi的模记作 ⁠. 3. 公式：｜z｜＝｜a＋bi｜＝ （a，b∈R）. 模　 模　 ｜z｜或｜a＋bi｜　 　 目录 数学·必修第二册 知识点四　共轭复数 1. 定义：当两个复数的实部 ，虚部 时，这两 个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做 ⁠ ⁠. 2. 表示：复数z的共轭复数用 表示，即如果z＝a＋bi，那么 ＝ ⁠. 提醒　（1）互为共轭的两个复数在复平面内对应的点关于实轴对 称；（2）｜z｜＝｜ ｜. 相等　 互为相反数　 共 轭虚数　 a－bi　 目录 数学·必修第二册 1. 复数－1＋i在复平面内对应的点在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析：　复数－1＋i在复平面内对应的点为（－1，1），故在第 二象限.故选B. 目录 数学·必修第二册 2. （2024·济源月考）已知复数z在复平面内对应的点的坐标为（－ 1，2），则 ＝（　　） A. －1＋2i B. 1＋2i C. 1－2i D. －1－2i 解析：　由题，z＝－1＋2i，故 ＝－1－2i，故选D. 目录 数学·必修第二册 3. 若z＝ － i（i为虚数单位），则｜z｜＝ 　​ 　. 解析：因为z＝ － i，所以｜z｜＝ ＝ . ​ 目录 数学·必修第二册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 复数与复平面内点的关系 【例1】　在复平面内，若复数z＝（m2－2m－8）＋（m2＋3m－ 10）i对应的点： （1）在虚轴上； 解：复数z＝（m2－2m－8）＋（m2＋3m－10）i在复平面内对 应的点为（m2－2m－8，m2＋3m－10）. 由题意得m2－2m－8＝0. 解得m＝－2或4. 目录 数学·必修第二册 （2）在第二、四象限； 分别求实数m的取值范围. 解：由题意，（m2－2m－8）（m2＋3m－10）＜0. ∴2＜m＜4或－5＜m＜－2. 目录 数学·必修第二册 【母题探究】 1. （变设问）本例条件不变，若复数在第二象限，求m的取值范围. 解：由题意，∴2＜m＜4. 2. （变设问）本例条件不变，若复数在直线y＝x上，求m的值. 解：由已知得m2－2m－8＝m2＋3m－10，故m＝ . 目录 数学·必修第二册 通性通法 利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤 （1）找对应关系：复数的几何表示即复数z＝a＋bi（a，b∈R） 可以用复平面内的点Z（a，b）来表示，这是解决此类问题 的根据； （2）列出方程：此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件， 通过解方程（组）或不等式（组）求解. 提醒　复数与复平面内的点是一一对应关系，因此复数可以用 点来表示. 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 1. （2024·三明月考）已知复数z＝1－2i，则z在复平面内对应的点关 于虚轴对称的点是（　　） A. （1，－2） B. （1，2） C. （－2，1） D. （－1，－2） 解析：　z在复平面内对应的点为（1，－2），关于虚轴对称的 点是（－1，－2）.故选D. 目录 数学·必修第二册 2. 已知复数z1＝2－ai（a∈R，i为虚数单位）对应的点在直线y＝ x＋ 上，则复数z2＝a＋2i对应的点在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析：　复数z1＝2－ai（a∈R）对应的点的坐标为（2，－ a），该点在直线y＝ x＋ 上，故－a＝ ＋ ，解得a＝－2，所 以复数z2＝－2＋2i，它对应的点的坐标为（－2，2），在第二象 限.故选B. 目录 数学·必修第二册 题型二 复数与复平面内向量的关系 【例2】　在复平面内，向量 表示的复数为－1＋5i，将向量 向右平移2个单位长度后，再向上平移1个单位长度，得到向量 ，求： （1）向量 对应的复数； 解：由向量平移可知 ＝ ＝（－1，5）， ∴向量 对应的复数为－1＋5i. 目录 数学·必修第二册 （2）点A1对应的复数. 解：依题意A（－1，5），将A（－1，5）向右平移2个单位长 度，再向上平移1个单位长度得到（1，6），即A1（1，6），故 点A1对应的复数为1＋6i. 目录 数学·必修第二册 通性通法 复数与平面向量的对应关系 （1）根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原 点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对 应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数 对应的向量； （2）解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面 内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间 的转化. 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 1. （2024·连云港质检）若O为复平面的原点，向量 对应的复数 是5－4i，向量 对应的复数是－5＋4i，则 ＋ 对应的复 数是（　　） A. －10＋8i B. 10－8i C. 0 D. 10＋8i 解析：　由复数的几何意义，可得 ＝（5，－4）， ＝ （－5，4），所以 ＋ ＝（5，－4）＋（－5，4）＝（0， 0），所以 ＋ 对应的复数为0. 目录 数学·必修第二册 2. 在复平面内，把复数1＋i对应的向量 绕点O按逆时针方向旋转 180°，求所得向量对应的复数. 解：复数1＋i对应的向量 的坐标为（1，1）， 将向量 按逆时针方向旋转180°，则对应的向量的坐标为（－ 1，－1）， 所得向量对应的复数为－1－i. 目录 数学·必修第二册 题型三 复数的模及共轭复数 【例3】　（1）（2024·聊城月考）已知x＋xi＝1＋yi，其中x， y∈R，则｜x＋yi｜＝（　　） A. 1 B. C. D. 2 解析：　因为x＋xi＝1＋yi，所以x＝y＝1，则｜x＋yi｜＝｜1＋ i｜＝ ＝ .故选B. 目录 数学·必修第二册 （2）已知复数z1＝ －i，z2＝－ ＋ i. ①求｜ ｜，｜ ｜的值并比较大小； ②设z∈C，且z在复平面内对应的点为Z，则满足｜z2｜≤｜ z｜≤｜z1｜的点Z组成的集合是什么图形？并作图表示. 解：①｜ ｜＝｜ ＋i｜＝ ＝2， ｜ ｜＝ ＝ ＝1. 所以｜ ｜＞｜ ｜. 目录 数学·必修第二册 ②由｜z2｜≤｜z｜≤｜z1｜，得1≤｜z｜≤2. 不等式1≤｜z｜≤2等价于不等式组 因为满足｜z｜≤2的点Z组成的集合是圆心 在原点、半径为2的圆及其内部（包括边界）， 而满足｜z｜≥1的点Z组成的集合是圆心在 原点、半径为1的圆的外部（包括边界）， 所以满足条件的点Z组成的集合是一个圆环 （包括边界），如图中阴影部分所示. 目录 数学·必修第二册 通性通法 1. 复数的模的计算 （1）计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长 公式计算.虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较 大小； （2）设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解. 2. 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称. 特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且 在实轴上. 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 1. 已知0＜a＜3，复数z＝a＋i（i是虚数单位），则｜z｜的取值范 围是（　　） A. （1， ） B. （1， ） C. （1，3） D. （1，10） 解析：　0＜a＜3，复数z＝a＋i（i是虚数单位），则｜z｜＝ ∈（1， ）. 目录 数学·必修第二册 2. 设复数z＝x＋yi，x，y∈R，且｜x｜＝｜y｜，则满足｜z｜＝1 的复数z共有 个. 4 解析：法一（代数运算）　由｜z｜＝1，得x2＋y2＝1.又｜x｜ ＝｜y｜，联立，解得z＝± ± i. 法二（几何意义）　由｜z｜＝1，知复数z在复平面内对应的点构成一个单位圆.又｜x｜＝｜y｜，故复数z在复平面内对应的点落在直线y＝±x上，显然直线y＝±x与单位圆有四个交点. 目录 数学·必修第二册 1. 已知复数z＝2i，则z的共轭复数 ＝（　　） A. 0 B. 2i C. －2i D. －4 解析：　因为复数z＝2i，则z的共轭复数 ＝－2i，故选C. 目录 数学·必修第二册 2. 在复平面内，复数z＝－3＋4i对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析：　依题意，在复平面内，复数z＝－3＋4i对应的点为（－ 3，4），位于第二象限. 目录 数学·必修第二册 3. （2024·新高考Ⅱ卷1题）已知z＝－1－i，则｜z｜＝（　　） A. 0 B. 1 C. D. 2 解析：若z＝－1－i，则｜z｜＝ ＝ .故选C. 目录 数学·必修第二册 4. 复数4＋3i与－2－5i分别表示向量 与 ，则向量 表示的复 数是 ⁠. 解析：因为复数4＋3i与－2－5i分别表示向量 与 ，所以 ＝（4，3）， ＝（－2，－5），又 ＝ － ＝（－2，－ 5）－（4，3）＝（－6，－8），所以向量 表示的复数是－6－8i. －6－8i 目录 数学·必修第二册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 如图，复平面内点P所表示的复数为（每个小方格的边长为1） （　　） A. 2＋2i B. 3＋i C. 3＋3i D. 3＋2i 解析：　由题意可知：点P的坐标为（3，2），所以复平面内点 P所表示的复数为3＋2i，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 2. （2024·台州月考）在复平面内，O为原点，向量 对应的复数为 －1－2i，若点A关于虚轴的对称点为B，则向量 对应的复数为 （　　） A. －2－i B. 2＋i C. 1－2i D. －1＋2i 解析：　由题意可知，点A的坐标为（－1，－2），则点B的坐 标为（1，－2），故向量 对应的复数为1－2i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 3. 设复数z＝4－3i，则｜ ｜＝（　　） A. 7 B. 1 C. 5 D. 25 解析：　复数z＝4－3i，则 ＝4＋3i，所以｜ ｜＝ ＝ 5，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 4. 已知复数z＝m＋i（m∈R），则“｜z｜＞ ”是“m＞3”的 （　　） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：　由｜z｜＝ ＞ ，得m2＞9，解得m＞3或m ＜－3.故“｜z｜＞ ”是“m＞3”的必要不充分条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 5. （多选）在复平面内，复数z1＝1－ai（a∈R）对应的点Z1满足｜ ｜＝ .点Z与Z1关于x轴对称.则点Z对应的复数z＝（　　） A. 1－ i B. 1＋ i C. 1－i D. 1＋i 解析：由于复数z1＝1－ai（a∈R）对应的点Z1满足｜ ｜＝ ，所以｜ ｜＝ ＝ ，所以a＝±1，Z1（1，1）或Z1（1，－1），又点Z与Z1关于x轴对称，所以点Z（1，－1）或Z（1，1），所以复数z为1－i或1＋i.故选C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 6. （多选）设复数z满足z＝－1－2i，i为虚数单位，则下列命题正确 的是（　　） A. ｜z｜＝ B. 复数z在复平面内对应的点在第四象限 C. z的共轭复数为－1＋2i D. 复数z在复平面内对应的点在直线y＝－2x上 解析：　｜z｜＝ ＝ ，A正确；复数z在 复平面内对应的点的坐标为（－1，－2），在第三象限，B不正 确；z的共轭复数为－1＋2i，C正确；复数z在复平面内对应的点 （－1，－2）不在直线y＝－2x上，D不正确.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 7. （2024·湛江月考）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（－1， 2），则 ＝ ⁠. 解析：因为复数z对应的点的坐标是（－1，2），所以z＝－1＋ 2i，因此 ＝－1－2i. －1－2i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 8. 已知z＝m－1＋（m＋2）i在复平面内对应的点在第二象限，则实 数m的取值范围是 ⁠. 解析：∵z＝m－1＋（m＋2）i在复平面内对应的点在第二象限， ∴m－1＜0，m＋2＞0，解得－2＜m＜1，故实数m的取值范围是 （－2，1）. （－2，1） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 9. 若复数z＝ cos θ＋1＋i sin θ，则｜z｜的最大值为 ⁠. 解析：｜z｜＝ ＝ ，当 cos θ＝ 1时，｜z｜max＝2. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 10. 在复平面内，O是原点，向量 对应的复数为2＋i. （1）如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量 对应的复 数； 解：设向量 对应的复数为z1＝x1＋y1i（x1，y1∈R）， 则点B的坐标为（x1，y1）， 由题意可知，点A的坐标为（2，1）， 根据对称性可知，x1＝2，y1＝－1， 故z1＝2－i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 （2）如果（1）中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应 的复数. 解：设点C对应的复数为z2＝x2＋y2i（x2，y2∈R）， 则点C的坐标为（x2，y2），由（1）可得，点B的坐标为 （2，－1）， 由对称性可知x2＝－2，y2＝－1， 故z2＝－2－i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 11. 已知复数z满足｜z｜2－2｜z｜－3＝0，则复数z对应的点的集合 是（　　） A. 1个圆 B. 线段 C. 2个点 D. 2个圆 解析：　由题意知（｜z｜－3）（｜z｜＋1）＝0，即｜z｜＝ 3或｜z｜＝－1.∵｜z｜≥0，∴｜z｜＝3，∴复数z对应的点的 集合是以坐标原点为圆心，3为半径的圆. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 12. （多选）已知复数z＝ cos α＋（ sin α）i（α∈R，i为虚数单 位），则下列说法正确的有（　　） A. 当α＝－ 时，复平面内表示复数z的点位于第二象限 B. 当α＝ 时，z为纯虚数 C. ｜z｜的最大值为 D. z的共轭复数为 ＝－ cos α＋（ sin α）i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 解析：　对于A，当α＝－ 时，z＝ cos （－ ）＋［ sin （－ ）］i＝ － i，复平面内表示复数z的点位于第四象限，故 A错误；对于B，当α＝ 时，z＝ cos ＋（ sin ）i＝ i，为 纯虚数，故B正确；对于C，｜z｜＝ ＝ ，最大值为 ，故C正确；对于D，z的共轭复数为 ＝ cos α－（ sin α）i，故D错误.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 13. （2024·临沂月考）复数z对应的向量 与a＝（3，4）共线，对 应的点Z在第三象限，且｜z｜＝10，则 ＝ ⁠. 解析：设复数z＝x＋yi，x，y∈R，则 ＝（x，y），∵复数 z对应的向量 与a＝（3，4）共线，∴4x－3y＝0①，由｜z｜ ＝10得x2＋y2＝100②，由①②可得x＝6，y＝8或x＝－6，y＝ －8.∵z对应的点Z在第三象限，∴z＝－6－8i，∴ ＝－6＋8i. －6＋8i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 解：由点A对应的复数为－1， 对应的复数为2＋2i， 得A（－1，0）， ＝（2，2），可得B （1，2）. 14. 如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为－ 1， 对应的复数为2＋2i， 对应的复数为4－4i. （1）求点D对应的复数； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 又 对应的复数为4－4i，得 ＝（4，－4），可得C（5，－2）. 设点D对应的复数为x＋yi，x，y∈R. 得 ＝（x－5，y＋2）， ＝（－2，－2）. ∵ABCD为平行四边形，∴ ＝ ，解得x＝3，y＝－4， 故点D对应的复数为3－4i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 （2）求平行四边形ABCD的面积. 解：由 ＝（2，2）， ＝（4，－4），可得 · ＝0， ∴ ⊥ ，又∵｜ ｜＝2 ，｜ ｜ ＝4 ， 故平行四边形ABCD的面积为2 ×4 ＝16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 15. （2024·嘉兴质检）若复数z1＝1＋2i，z2＝3－i（其中i为虚数单 位）所对应的向量分别为 和 （O为坐标原点），则 △OZ1Z2的面积为 ⁠. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 解析：由题意得 ＝（1，2）， ＝（3，－1），则｜ ｜＝ ＝ ，｜ ｜＝ ＝ ， ∴ cos ∠Z1OZ2＝ ＝ ＝ ，∴ sin ∠Z1OZ2＝ ，∴△OZ1Z2的面积S＝ ｜ ｜｜ ｜ sin ∠Z1OZ2＝ × × × ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 16. 已知x为实数，复数z＝x－2＋（x＋2）i. （1）当x为何值时，复数z的模最小？ 解：由题意得｜z｜＝ ＝ ≥2 ，显然当x＝0时，复数z的模最小，最小值 为2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 解：由（1）知当x＝0时，复数z的模最小，则Z（－2，2）. 因为点Z在一次函数y＝－mx＋n的图象上，所以2m＋n＝2. 又mn＞0，所以m＞0，n＞0. 所以 ＋ ＝ ＝ ＋ ＋ ≥ ＋ .当 且仅当 ＝ ，即n2＝2m2时等号成立. 又2m＋n＝2且mn＞0，所以取等号时m＝2－ ，n＝2 －2. （2）当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z在一次 函数y＝－mx＋n的图象上，其中mn＞0，求 ＋ 的最小 值及取得最小值时m，n的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 $