6.1.4 第1课时 函数和、差、积、商的求导法则-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用Word(人教B版)

该教案聚焦函数和、差、积、商的求导法则，通过高铁路程与时间的函数实例导入，对比导数定义求导的复杂性，引出简便法则，衔接前期导数定义知识，为复杂函数求导搭建学习支架。 此资料亮点在于以情境导入培养数学眼光，如高铁问题激发探究欲，例题结合切线问题与参数求解，强化数学思维中的运算能力与逻辑推理，法则表述精准规范体现数学语言。例2切线问题提升综合应用能力，通性通法总结助学生掌握解题策略，教师使用可高效落实核心素养，提升课堂效率。

第一课时　函数和、差、积、商的求导法则 新课程标准解读 核心素养 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数 数学运算 　　高铁是目前一种非常受欢迎的交通工具，既低碳又快捷.设一高铁走过的路程s（单位：m）关于时间t（单位：s）的函数为s＝f（t），求它的瞬时速度，就是求f（t）的导数.根据导数的定义，就是求当Δt→0时，所趋近的那个定值.运算比较复杂，而且有的函数，如y＝sin x＋x很难运用定义求导数. 【问题】　是否有更简便的求导数的方法呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　函数和、差、积、商的求导法则 1.条件：f（x），g（x）是可导的. 2.结论：（1）[f（x）±g（x）]'＝　f'（x）±g'（x）　； （2）[f（x）g（x）]'＝　f'（x）g（x）＋f（x）g'（x）　； （3）＝　（g（x）≠0）　. 【想一想】 1.若f（x），g（x）都是可导函数，且f（x）≠0，那么下列关系式成立吗？ （1）[af（x）＋bg（x）]'＝af'（x）＋bg'（x）（a，b为常数）； （2）'＝－. 提示：由导数的运算法则可知，这两个关系式都成立. 2.两个函数可导，它们的和、差、积、商（商的分母不为零）必可导吗？ 提示：两个函数可导，则它们的和、差、积、商（商的分母不为零）必可导. 3.若两个函数不可导，它们的和、差、积、商不可导吗？ 提示：若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导. 1.函数y＝sin x·cos x的导数是（　　） A.y'＝cos 2x＋sin 2x　　　 B.y'＝cos 2x C.y'＝2cos x·sin x D.y'＝cos x·sin x 解析：B　y'＝（sin x·cos x）'＝（sin x）'cos x＋sin x（cos x）'＝cos2x－sin2x＝cos 2x. 2.函数y＝xcos x－sin x的导数为　－xsin x　. 解析：y'＝（xcos x－sin x）'＝（xcos x）'－（sin x）'＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x. 3.函数f（x）＝x＋在x＝1处的导数是　0　. 解析：因为f'（x）＝＝x'＋＝1－， 所以f'（1）＝1－1＝0. 题型一 利用导数四则运算法则求导 【例1】　求下列函数的导数： （1）y＝x2＋log3x；（2）y＝x3·ex；（3）y＝. 解： （1）y'＝（x2＋log3x）'＝（x2）'＋（log3x）' ＝2x＋. （2）y'＝（x3·ex）'＝（x3）'·ex＋x3·（ex）' ＝3x2·ex＋x3·ex＝ex（x3＋3x2）. （3）y'＝'＝ ＝ ＝－. 通性通法 提醒　求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则先化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量. 【跟踪训练】 　求下列函数的导数： （1）y＝sin x－2x2； （2）y＝cos x·ln x； （3）y＝. 解：（1）y'＝（sin x－2x2）'＝（sin x）'－（2x2）'＝cos x－4x. （2）y'＝（cos x·ln x）'＝（cos x）'·ln x＋cos x·（ln x）'＝－sin x·ln x＋. （3）y'＝'＝ ＝＝. 题型二 与切线有关的综合问题 【例2】　已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点（1，0）处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.求直线l2的方程. 解：∵y'＝2x＋1，∴直线l1在点（1，0）处的斜率为2×1＋1＝3， 由直线的点斜式方程可得直线l1的方程为y＝3x－3. 设直线l2与曲线y＝x2＋x－2切于点B（b，b2＋b－2）， 则曲线在点B处的切线的斜率为2b＋1. ∵l1⊥l2，∴2b＋1＝－， 即b＝－，∴B， 故直线l2的方程为y＝－x－. 【母题探究】 　（变设问）若本例条件不变，试求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积. 解：解方程组得 ∴直线l1和l2的交点坐标为. 又l1，l2与x轴的交点坐标分别为（1，0），， 故所求三角形的面积为S＝××＝. 通性通法 　　导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用.解决此类问题的方法为先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标.总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用. 【跟踪训练】 1.（2023·全国甲卷8题）曲线y＝在点（1，）处的切线方程为（　　） A.y＝x B.y＝x C.y＝x＋ D.y＝x＋ 解析：C　由题意可知y'＝＝，则曲线y＝在点（1，）处的切线斜率k＝y'｜x＝1＝，所以曲线y＝在点（1，）处的切线方程为y－＝（x－1），即y＝x＋，故选C. 2.已知函数f（x）＝ax2＋ln x的导数为f'（x）. （1）求f（1）＋f'（1）； （2）若曲线y＝f（x）存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围. 解：（1）由题意，函数的定义域为（0，＋∞）， 由f（x）＝ax2＋ln x， 得f'（x）＝2ax＋， 所以f（1）＋f'（1）＝3a＋1. （2）因为曲线y＝f（x）存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x∈（0，＋∞）内导函数f'（x）＝2ax＋存在零点， 即f'（x）＝0，所以2ax＋＝0有正实数解， 即2ax2＝－1有正实数解，故有a＜0，所以实数a的取值范围是（－∞，0）. 题型三 利用函数的导数求参数 【例3】　（1）已知曲线y＝f（x）＝aex＋xln x在点（1，ae）处的切线方程为y＝2x＋b，则（　D　） A.a＝e，b＝－1　　　　　B.a＝e，b＝1 C.a＝e－1，b＝1 D.a＝e－1，b＝－1 （2）已知函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx的图象过点（1，5），其导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式为　f（x）＝2x3－9x2＋12x　. 解析：（1）y'＝f'（x）＝aex＋ln x＋1，k＝f'（1）＝ae＋1，∴ 切线方程为y－ae＝（ae＋1）（x－1），即y＝（ae＋1）x－1.又∵ 切线方程为y＝2x＋b，∴ 即a＝e－1，b＝－1.故选D. （2）因为f'（x）＝3ax2＋2bx＋c，f'（1）＝0，f'（2）＝0，f（1）＝5，所以解得故函数f（x）的解析式是f（x）＝2x3－9x2＋12x. 通性通法 利用导数求参数的常见题型 　　利用导数求参数，常涉及（1）已知曲线的切线（导数的几何意义）求参问题；（2）已知导函数的图象求原函数问题（或某点处的函数值），这些都要根据导数的几何意义或某点处的导数值列方程（组）求解参数.特别地由于三次函数的导数是二次函数，因此将导数的计算与二次函数的图象和性质结合起来就很容易理解了.解题时应考虑二次函数的单调性、最值、图象的对称轴、二次项系数等对图象的影响. 【跟踪训练】 　如图有一个图象是函数f（x）＝x3＋ax2＋（a2－1）x＋1（a∈R，且a≠0）的导函数的图象，则f（－1）＝（　　） A.　　　　　　　 　 B.－ C. D.－或 解析：B　f'（x）＝x2＋2ax＋a2－1＝[x＋（a＋1）]·[x＋（a－1）]，图①与②中，导函数的图象的对称轴都是y轴，此时a＝0，与题设不符合，故图③中的图象是函数f（x）的导函数的图象.由图③知f'（0）＝0，由根与系数的关系得解得a＝－1.故f（x）＝x3－x2＋1，所以f（－1）＝－. 1.函数y＝x2sin x的导数为（　　） A.y'＝2x＋cos x B.y'＝x2cos x C.y'＝2xcos x D.y'＝2xsin x＋x2cos x 解析：D　y'＝（x2sin x）'＝（x2）'·sin x＋x2·（sin x）'＝2xsin x＋x2cos x. 2. 已知物体的运动方程为s＝t2＋（t是时间，s是位移），则物体在时刻t＝2时的速度为（　　） A. B. C. D. 解析：D　∵s'＝2t－，∴s't＝2＝4－＝. 3.（多选）已知函数f（x）＝x2＋f（0）·x－f'（0）·cos x＋2，其导函数为f'（x），则（　　） A.f（0）＝－1 B.f'（0）＝1 C.f（0）＝1 D.f'（0）＝－1 解析：BC　因为f（x）＝x2＋f（0）·x－f'（0）·cos x＋2，所以f（0）＝2－f'（0），因为f'（x）＝2x＋f（0）＋f'（0）·sin x，所以f'（0）＝f（0）.故f'（0）＝f（0）＝1.故选B、C. 4.设函数f（x）＝.若f'（1）＝，则a＝　1　. 解析：由于f'（x）＝，故f'（1）＝＝，解得a＝1. 5.求下列函数的导数. （1）y＝（x－2）（x2＋2x＋4）； （2）y＝－2x. 解：（1）法一　y'＝（x－2）'（x2＋2x＋4）＋（x－2）·（x2＋2x＋4）'＝x2＋2x＋4＋（x－2）（2x＋2）＝3x2. 法二　∵y＝（x－2）（x2＋2x＋4）＝x3－8， ∴y'＝3x2. （2）y'＝－2x·ln 2 ＝－2x·ln 2 ＝＋ln x－2xln 2. 1.函数y＝的导数是（　　） A.y'＝－ B.y'＝－sin x C.y'＝－ D.y'＝－ 解析：C　y'＝'＝＝＝－. 2.若函数f（x）＝ax4＋bx2＋c满足f'（1）＝2，则f'（－1）等于（　　） A.－1 B.－2 C.2 D.0 解析：B　∵f'（x）＝4ax3＋2bx为奇函数，∴f'（－1）＝－f'（1）＝－2. 3.函数f（x）＝x4－2x3的图象在点（1，f（1））处的切线方程为（　　） A.y＝－2x－1 B.y＝－2x＋1 C.y＝2x－3 D.y＝2x＋1 解析：B　法一　∵f（x）＝x4－2x3，∴f'（x）＝4x3－6x2，∴f'（1）＝－2，又f（1）＝1－2＝－1，∴所求的切线方程为y＋1＝－2（x－1），即y＝－2x＋1.故选B. 法二　∵f（x）＝x4－2x3，∴f'（x）＝4x3－6x2，f'（1）＝－2，∴切线的斜率为－2，排除C、D.又f（1）＝1－2＝－1，∴切线过点（1，－1），排除A.故选B. 4.已知f（x）＝2sin x＋x3，则f'（0）＝（　　） A.－2 B.0 C.1 D.2 解析：D　∵f（x）＝2sin x＋x3，∴f'（x）＝2cos x＋3x2，∴f'（0）＝2cos 0＋0＝2，故选D. 5.已知直线y＝3x＋1与曲线y＝ax3＋3相切，则a的值为（　　） A.1 B.±1 C.－1 D.－2 解析：A　设切点为（x0，y0），则y0＝3x0＋1，且y0＝a＋3，所以3x0＋1＝a＋3　①.对y＝ax3＋3求导得y'＝3ax2，则3a＝3，a＝1　②，由①②可得x0＝1，所以a＝1. 6.已知曲线f（x）＝（x＋a）ex在x＝1和x＝－1处的切线相互垂直，则a＝（　　） A.－1 B.0 C.1 D.2 解析：A　因为f'（x）＝（x＋a＋1）ex，所以f'（1）＝（a＋2）·e，f'（－1）＝ae－1＝.由题意有f'（1）f'（－1）＝－1，所以a＝－1. 7.已知函数y＝f（x）的图象是经过原点的曲线（非直线），且在原点处的切线方程为y＝x，请写出一个符合条件函数y＝f（x）的解析式为　y＝ex－1（答案不唯一）　. 解析：由题意可知：f（0）＝0，f'（0）＝1，取f（x）＝ex－1，此时f（0）＝e0－1＝0，f'（x）＝ex，f'（0）＝1，故符合. 8.已知曲线y1＝2－与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0＝　1　. 解析：由题知y'1＝，y'2＝3x2－2x＋2，所以两曲线在x＝x0处切线的斜率分别为，3－2x0＋2，所以＝3，所以x0＝1. 9.已知函数f（x）＝f'cos x＋sin x，则f的值为　1　. 解析：∵f'（x）＝－f'sin x＋cos x，∴f'＝－f'×＋，得f'＝－1.∴f（x）＝（－1）cos x＋sin x.∴f＝1. 10.求下列函数的导数. （1）y＝－ln x；（2）y＝（x2＋1）（x－1）； （3）y＝；（4）y＝. 解：（1）y'＝（－ln x）' ＝（）'－（ln x）'＝－. （2）y'＝[（x2＋1）（x－1）]' ＝（x3－x2＋x－1）' ＝（x3）'－（x2）'＋（x）'－（1）' ＝3x2－2x＋1. （3）y'＝ ＝. （4）y'＝＝. 11.（多选）过点A（a，0）作曲线C：y＝x·ex的切线有且仅有两条，则实数a可能的值是（　　） A.0 B. C.－ln e5 D.e 解析：BCD　设切点坐标为（x0，x0），因为y'＝（x＋1）ex，所以y＝（x0＋1），所以切线方程为y－x0＝（x0＋1）·（x－x0），将点A（a，0）代入可得－x0＝（x0＋1）（a－x0），化简得－ax0－a＝0，过点A（a，0）作曲线C的切线有且仅有两条，即方程－ax0－a＝0有两个不同的解，则Δ＝a2＋4a＞0，解得a＞0或a＜－4，故实数a的取值范围是（－∞，－4）∪（0，＋∞）.－ln e5＝－5ln e＝－5，所以由选项判断可知B、C、D正确.故选B、C、D. 12.曲线y＝在点（1，1）处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的最近距离是　2－1　. 解析：y'＝－，则y'x＝1＝－1，∴切线方程为y－1＝－（x－1），即x＋y－2＝0，圆心（－2，0）到直线的距离d＝2，圆的半径r＝1，∴所求最近距离为2－1. 13.已知曲线f（x）＝x3＋ax＋b在点P（2，－6）处的切线方程是13x－y－32＝0. （1）求a，b的值； （2）如果曲线y＝f（x）的某一切线与直线l：y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程. 解：（1）∵f（x）＝x3＋ax＋b的导数f'（x）＝3x2＋a， 由题意可得f'（2）＝12＋a＝13，f（2）＝8＋2a＋b＝－6， 解得a＝1，b＝－16. （2）∵切线与直线y＝－x＋3垂直， ∴切线的斜率k＝4. 设切点的坐标为（x0，y0）， 则f'（x0）＝3＋1＝4， ∴x0＝±1. 由f（x）＝x3＋x－16， 可得y0＝1＋1－16＝－14或y0＝－1－1－16＝－18. 则切线方程为y＝4（x－1）－14或y＝4（x＋1）－18， 即4x－y－18＝0或4x－y－14＝0. 14.（多选）对于三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0），给出定义：设f'（x）是函数y＝f（x）的导数，f″是f'（x）的导数，若方程f″（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的“拐点”.探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数f（x）＝x3－x2＋，则以下说法正确的是（　　） A.函数f（x）对称中心 B.f＋f＋…＋f＋f的值是99 C.函数f（x）对称中心 D.f＋f＋…＋f＋f的值是1 解析：BC　f（x）＝x3－x2＋⇒f'（x）＝x2－x⇒f″（x）＝2x－1，令f″（x）＝2x－1＝0，解得x＝，f＝×－×＋＝1，由题意可知：函数f（x）＝x3－x2＋的对称中心为，C正确，D错误； 因为函数f（x）＝x3－x2＋的对称中心为，所以有f（x）＋f（1－x）＝2， 设S＝f＋f＋…＋f＋f， ① 所以有S＝f＋f＋…＋f＋f， ② ①＋②得，2S＝2＋2＋…＋2＋2＝2×99⇒S＝99， 即f＋f＋…＋f＋f的值是99，B正确，D错误.故选B、C. 15.已知函数f（x）＝x－，g（x）＝a（2－ln x）. （1）若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在x＝1处的切线的斜率相同，求a的值； （2）若存在一点，使得曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在该点处的切线的斜率相同，求实数a的取值范围. 解：（1）f'（x）＝1＋，g'（x）＝－， 所以曲线y＝f（x）在x＝1处的切线的斜率为f'（1）＝3，曲线y＝g（x）在x＝1处的切线的斜率为g'（1）＝－a，由已知，得f'（1）＝g'（1），得a＝－3. （2）由题意，得1＋＝－（x＞0）， 则a＝－x－≤－2，当且仅当x＝时，等号成立， 故实数a的取值范围为（－∞，－2]. 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $