6.1.3 基本初等函数的导数-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用Word(人教B版)

该教案聚焦基本初等函数的导数公式及应用，通过“定义法求导复杂，是否有简便方法”的问题链导入，衔接导数定义旧知，引出公式表新知，搭建从具体到抽象的学习支架。 以问题驱动探究，结合“想一想”辨析概念（如常数函数导数几何意义），“题型示例”强化公式应用（如切线方程求解），体现数学思维的逻辑性与数学运算的准确性。帮助学生深化导数本质理解，提升解题技能，为教师提供结构化教学路径与分层练习资源。

6.1.3　基本初等函数的导数 新课程标准解读 核心素养 1.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数 数学运算 2.会使用导数公式表 数学运算 　　 　　求f（t） 的导数，根据导数的定义，就是求当Δt→0时，所趋近的那个定值，运算比较复杂，而且，有的函数如y＝sin x，y＝ln x等很难运用定义求导数. 【问题】　（1）是否有更简便的求导数的方法呢？ （2）基本初等函数的导数公式可否直接应用？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　常数函数与幂函数的导数 1.导函数的概念 （1）定义：如果函数y＝f（x）在其定义域内的每一点x都可导，则称f（x）可导.此时，对定义域内的每一个值　x　，都对应一个确定的导数f'（x）.于是，在f（x）的定义域内，f'（x）是一个函数，这个函数通常称为函数y＝f（x）的导函数，也简称为导数； （2）记法：函数y＝f（x）的导函数记作f'（x）（或y'，y'x），即f'（x）＝y'＝y'x＝　　. 2.常数函数与幂函数的导数 函数 导数 文字叙述 f（x）＝C（C为常数） f'（x）＝C'＝0 函数f（x）＝C的导数为f'（x）＝0 f（x）＝x f'（x）＝x'＝1 函数f（x）＝x的导数为f'（x）＝1 f（x）＝x3 f'（x）＝（x3）' ＝3x2 函数f（x）＝x3的导数为f'（x）＝3x2 f（x）＝ f'（x）＝'＝－ 函数f（x）＝的导数为f'（x）＝－ f（x）＝（x＞0） f'（x）＝（）'＝ 函数f（x）＝（x＞0）的导数为f'（x）＝ f（x）＝xα f'（x）＝αxα－1 函数f（x）＝xα的导数为f'（x）＝αxα－1 【想一想】 1.常数函数的导数为0说明了什么？ 提示：说明常数函数f（x）＝C图象上每一点处的切线的斜率都为0，即每一点处的切线都平行（或重合）于x轴. 2.奇（偶）函数的导函数有什么规律？ 提示：奇函数的导函数为偶函数，偶函数的导函数为奇函数. 1.（多选）下列结论正确的是（　　） A.若y＝0，则y'＝0 B.若y＝5x，则y'＝5 C.若y＝x－1，则y'＝－x－2 D.若y＝，则y'＝ 解析：ABC　由导数定义及常数函数与幂函数的导数公式可知，A、B、C三项正确. 2.已知f（x）＝x2，则f'（3）＝（　　） A.0　　　　B.2x C.6　　　　D.9 解析：C　∵f（x）＝x2，∴f'（x）＝2x，∴f'（3）＝6. 3.曲线y＝xα在x＝2处的导数为12，则α＝　3　. 解析：因为y'＝αxα－1，所以α·2α－1＝12，解得α＝3. 知识点二　导数公式表 原函数 导函数 f（x）＝C（C为常数） f'（x）＝　0　 f（x）＝xα f'（x）＝　αxα－1　 f（x）＝sin x f'（x）＝　cos x　 f（x）＝cos x f'（x）＝　－sin x　 f（x）＝ax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝　axln a　 f（x）＝ex f'（x）＝　ex　 f（x）＝logax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝　　 f（x）＝ln x f'（x）＝　　 【想一想】 　对于公式“若f（x）＝xα，则f'（x）＝αxα－1”，α＝0时，公式是否仍然成立？ 提示：公式对任意不为0的实数α都成立. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若y＝，则y'＝×2＝1.（　×　） （2）若f'（x）＝sin x，则f（x）＝cos x.（　×　） （3）f（x）＝，则f'（x）＝－.（　√　） 2.下列命题中正确的是（　　） ①若f'（x）＝cos x，则f（x）＝sin x； ②若f'（x）＝0，则f（x）＝1； ③若f（x）＝sin x，则f'（x）＝cos x； ④若f（x）＝，则f'（x）＝. A.① B.①② C.③ D.①②③④ 解析：C　①当f（x）＝sin x＋1时，f'（x）＝cos x；②当f（x）＝2时，f'（x）＝0；④若f（x）＝，则f'（x）＝－. 3.若f（x）＝ex，则f'（0）等于（　　） A.e B.1 C.－1 D.－e 解析：B　因为f'（x）＝ex，所以f'（0）＝e0＝1. 4.已知f（x）＝x2，g（x）＝ln x，且f'（x）＜g'（x），则（　　） A.x＜ B.x＞ C.0＜x＜ D.x＜ 解析：C　由题意可知x＞0，因为f'（x）＝2x，g'（x）＝，所以f'（x）＜g'（x），即2x＜，解得0＜x＜. 　　 题型一 利用导数公式求函数的导数 【例1】　求下列函数的导数： （1）y＝x12；（2）y＝；（3）y＝；（4）y＝3x；（5）y＝log5x. 解：（1）y'＝（x12）'＝12x11. （2）y'＝'＝（x－4）'＝－4x－5＝－. （3）y'＝（）'＝（）'＝. （4）y'＝（3x）'＝3xln 3. （5）y'＝（log5x）'＝. 通性通法 求简单函数导函数的两种基本方法 （1）用导数的定义求导，但运算比较繁杂； （2）用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式. 【跟踪训练】 　求下列函数的导数： （1）y＝；（2）y＝x；（3）y＝lox. 解：（1）y'＝'＝ln ＝－ln 2. （2）y'＝（x）'＝（）'＝＝. （3）y'＝'＝＝－. 题型二 利用导数公式求切线方程 【例2】　已知函数f（x）＝，而l是曲线y＝f（x）的切线，且l经过点Q（1，0）. （1）判断点Q是否在曲线y＝f（x）上； （2）求l的方程. 解：（1）因为f（1）＝＝1≠0，所以点Q（1，0）不是曲线y＝f（x）上的点. （2）设过点Q（1，0）的切线的切点为A， 那么该切线斜率为k＝f'（a）＝－. 则切线方程为y－＝－（x－a）. ① 将Q（1，0）代入方程0－＝－（1－a）， 得a＝，代入方程①整理可得切线方程为y＝－4x＋4. 【母题探究】 1.（变设问）本例条件不变，求函数f（x）＝在点P（1，1）处的切线方程. 解：因为f（x）＝，所以f'（x）＝－. 显然P（1，1）是曲线上的点，所以P为切点，所求切线斜率为函数f（x）＝在点P（1，1）处的导数，即k＝f'（1）＝－1. 所以曲线在P（1，1）处的切线方程为y－1＝－（x－1），即为x＋y－2＝0. 2.（变条件，变设问）本例中的条件“f（x）＝”若换为“f（x）＝sin x”，试求f（x）在点P（π，sin π）处的切线方程. 解：因为f'（x）＝（sin x）'＝cos x， 所以所求切线的斜率k＝cos π＝－1. 又因为sin π＝0，所以所求切线方程为y－0＝－（x－π），即x＋y－π＝0. 通性通法 求切线方程的两种情况 （1）若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数； （2）如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解. 【跟踪训练】 1.若直线l与曲线y＝和圆x2＋y2＝都相切，则l的方程为（　　） A.y＝2x＋1 B.y＝2x＋ C.y＝x＋1 D.y＝x＋ 解析：D　易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，则＝　①，设直线l与曲线y＝的切点坐标为（x0，）（x0＞0），则y＝＝k　②，＝kx0＋b　③，由②③可得b＝，将b＝，k＝代入①得x0＝1或x0＝－（舍去），所以k＝b＝，故直线l的方程为y＝x＋. 2.曲线f（x）＝2x在点（0，1）处的切线方程为　y＝xln 2＋1　. 解析：∵f（x）＝2x，∴f'（x）＝2xln 2，∴f'（0）＝ln 2.故所求切线方程为y－1＝（x－0）ln 2，即y＝xln 2＋1. 题型三 导数的简单应用 【例3】　（1）质点的运动方程是S（t）＝sin t，则质点在t＝时的速度为　　，质点运动的加速度为　－sin t　； （2）已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由. 解析：v（t）＝S'（t）＝cos t，∴v＝cos ＝，即质点在t＝时的速度为，∵v（t）＝cos t，∴加速度a（t）＝v'（t）＝（cos t）'＝－sin t. （2）解：由于y＝sin x，y＝cos x，设这两条曲线的一个公共点为P（x0，y0）.∴两条曲线在P（x0，y0）处的斜率分别为k1＝cos x0，k2＝－sin x0. 若使两条切线互相垂直，必须cos x0·（－sin x0）＝－1， 即sin x0·cos x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的. ∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条曲线的切线互相垂直. 通性通法 导数应用的解题技巧 （1）导数的几何意义为导数与解析几何的沟通搭建了桥梁，很多综合问题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义，即切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决，这往往是解决问题的关键所在； （2）导数作为重要的数学工具，常与函数、数列、解析几何、不等式等知识结合出现综合大题.遇到解决一些与距离、面积相关的最值、不等式恒成立等问题，可以结合导数的几何意义分析. 【跟踪训练】 　已知点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离. 解：如图，由题意得，平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切的切点为P，该切点即为与y＝x距离最近的点.设P（x0，y0）， ∵y'＝（ex）'＝ex，∴＝1， ∴x0＝0，代入y＝ex得y0＝1，∴P（0，1）. 由点到直线的距离公式得，点P到直线y＝x的距离为. 1.（多选）下列函数求导运算正确的有（　　） A.（3x）'＝3xlog3e B.（log2x）'＝ C.＝x D.若f（x）＝，则f'（3）＝－ 解析：BCD　在A中（3x）'＝3xln 3，错误；由运算法则可知B、C、D均正确. 2.已知函数f（x）＝sin x，其导函数为f'（x），则f'＝（　　） A.－ B. C. D.－ 解析：C　∵f（x）＝sin x，∴f'（x）＝cos x，∴f'＝cos ＝. 3.已知函数f1（x）＝sin x，fn＋1（x）＝f'n（x），则f2 025＝（　　） A.－ B.－ C. D. 解析：C　f1（x）＝sin x，fn＋1（x）＝f'n（x），故f2（x）＝cos x，f3（x）＝－sin x，f4（x）＝－cos x，f5（x）＝sin x，周期为4，故f2 025（x）＝f1（x）＝sin x，f2 025＝sin ＝. 4.设函数f（x）＝logax，f'（1）＝－1，则a＝　　. 解析：∵f'（x）＝，∴f'（1）＝＝－1.∴ln a＝－1，即a＝. 5.求与曲线y＝f（x）＝在点P（8，4）处的切线垂直，且过点（4，8）的直线方程. 解：因为f（x）＝，所以f'（x）＝（）'＝（）'＝， 所以f'（8）＝×＝，即曲线在点P（8，4）处的切线的斜率为，所以所求直线的斜率为－3，从而所求直线方程为y－8＝－3（x－4），即3x＋y－20＝0. 1.已知f（x）＝，则f'（16）＝（　　） A.－　　　　　　　　 B. C.－4 D.4 解析：B　∵f'（x）＝，∴f'（16）＝＝. 2.对任意的x，有f'（x）＝4x3，f（1）＝－1，则函数f（x）的解析式为（　　） A.f（x）＝x3 B.f（x）＝x4－2 C.f（x）＝x3＋1 D.f（x）＝x4－1 解析：B　由f'（x）＝4x3知f（x）中含有x4项，然后将x＝1代入选项中验证可得f（x）＝x4－2.故选B. 3.曲线y＝f（x）＝sin x在x＝0处的切线的倾斜角是（　　） A. B. C. D. 解析：D　由题意知，f'（x）＝cos x，∴f'（0）＝cos 0＝1.设此切线的倾斜角为α，则tan α＝1，∵α∈[0，π），∴α＝. 4.质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝，则质点在t＝4时的瞬时速度为（　　） A. B. C. D. 解析：B　∵s'＝，∴当t＝4时，s'＝×＝ . 5.函数y＝ex在点（2，e2）处的切线与坐标轴围成三角形的面积为（　　） A.e2 B.2e2 C.e2 D. 解析：D　因为当x＝2时，y'＝e2，所以切线方程为y－e2＝e2（x－2）.当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.故切线与坐标轴围成三角形的面积为×｜－e2｜×1＝. 6.（多选）在曲线f（x）＝上切线的倾斜角为π的点的坐标为（　　） A.（1，1） B.（－1，－1） C. D. 解析：AB　因为f（x）＝，所以f'（x）＝－，因为切线的倾斜角为π，所以切线斜率为－1，即f'（x）＝－＝－1，所以x＝±1，则当x＝1时，f（1）＝1；当x＝－1时，f（1）＝－1，则点的坐标为（1，1）或（－1，－1）. 7.若函数f（x）在R上可导，且f（x）·f'（x）为单调函数.写出满足上述条件的一个函数　f（x）＝x2（答案不唯一）. 解析：设f（x）＝x2，则f'（x）＝2x，所以f（x）·f'（x）＝2x3在R上为单调递增，满足条件.所以f（x）＝x2满足条件. 8.曲线y＝f（x）＝ln x在点M（e，1）处的切线的斜率是　　，切线方程为　x－ey＝0　. 解析：∵f'（x）＝（ln x）'＝，∴f'（e）＝.∴切线方程为y－1＝（x－e），即x－ey＝0. 9.在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点（－e，－1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是　（e，1）　. 解析：因为y＝ln x，所以y'＝（x＞0），设A（x0，ln x0），则在点A处的切线方程为y－ln x0＝（x－x0），化简为y＝x＋ln x0－1，因为切线过点（－e，－1），所以－1＝（－e）＋ln x0－1，所以ln x0－＝0，所以x0＝e时方程成立，又因为y＝ln x－递增（x＞0），所以方程有唯一解x0＝e，A（e，1）. 10.过点P（－1，0）作直线l与曲线C1：y＝和曲线C2：y＝x2＋x＋c都相切，求c的值. 解：设直线l与曲线C1：y＝相切于点M（x0，y0），则＝，又y0＝，解得x0＝1，y0＝1，所以切点为（1，1），切线l的方程为y＝（x＋1），因为直线l与曲线C2：y＝x2＋x＋c相切，所以由方程组消元整理得x2＋x＋c－＝0，所以判别式Δ＝－4＝0，所以c＝. 11.（多选）若f（x）＝x2，g（x）＝x3，则能满足g'（x）－f'（x）＞0的区间有（　　） A.（－∞，0） B. C. D. 解析：AB　因为g'（x）＝3x2，f'（x）＝2x，由g'（x）－f'（x）＞0，得3x2－2x＞0，得x＞或x＜0. 12.若曲线y＝在点P（a，）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是　4　. 解析：∵y'＝，∴切线方程为y－＝（x－a），令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－a，由题意知··a＝2，∴a＝4. 13.已知曲线方程为y＝f（x）＝x2，求过点B（3，5）且与曲线相切的直线方程. 解：设切点P的坐标为（x0，）. ∵y＝x2，∴y'＝2x， ∴k＝2x0， ∴切线方程为y－＝2x0（x－x0）. 将点B（3，5）代入上式，得5－＝2x0（3－x0）， 即－6x0＋5＝0， ∴（x0－1）（x0－5）＝0， ∴x0＝1或x0＝5， ∴切点坐标为（1，1）或（5，25）， 故所求切线方程为y－1＝2（x－1）或y－25＝10（x－5）， 即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0. 14.设曲线y＝（n∈N＋）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为（　　） A. 　　B. C.　　D.1 解析：B　对y＝（n∈N＋）求导得y'＝（n＋1）xn.令x＝1，得在点（1，1）处的切线的斜率k＝n＋1，所以在点（1，1）处的切线方程为y－1＝（n＋1）（x－1）.令y＝0，得xn＝，所以x1·x2·…·xn＝×××…××＝.故选B. 15.求证：曲线xy＝1上任意一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为常数. 证明：由xy＝1，得y＝，所以y'＝－. 在曲线xy＝1上任取一点P， 则过点P的切线的斜率k＝－， 切线方程为y－＝－（x－x0）， 即y＝－x＋. 设该切线与x轴，y轴分别相交于A，B两点， 则A（2x0，0），B. 故S△OAB＝｜OA｜·｜OB｜＝·｜2x0｜·＝2. 所以曲线xy＝1上任意一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为常数. 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $