6.1.2 第2课时 导数的几何意义-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用Word(人教B版)

该教案聚焦导数的几何意义，通过雨伞转动水滴轨迹、曲线运动速度方向等生活实例导入，引导学生从割线无限逼近理解切线定义，构建从具体现象到抽象概念的学习支架，梳理导数与切线斜率的关系。 资料突出核心素养培养，用数学眼光观察生活实例激发兴趣，数学思维推导切线定义培养逻辑推理，数学语言解决高台跳水、烟花运动等实际问题提升应用能力。题型分层设计，母题探究与通性通法总结助力学生掌握方法，也为教师提供高效教学思路。

第二课时　导数的几何意义 　　下雨天，当我们将雨伞转动时，伞面边沿的水滴沿着伞的切线方向飞出.实际上物体（看作质点）做曲线运动时，运动方向在不停地变化，其速度方向为质点在其轨迹曲线上的切线方向，我们可以利用导数研究曲线的切线问题. 【问题】　你还能列举出生活中的其他实例吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　导数的几何意义 1.切线的概念 如图，设S是平面上的一条曲线，P0是曲线S上的一个定点，P是曲线S上P0附近的点，则称直线PP0为曲线S的割线，如果P无限接近于P0时，割线PP0无限接近于通过P0的一条直线l，则称直线l为曲线S在点P0处的切线. 2.导数的几何意义 f'（x0）就是曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处（也称在x＝x0处）的切线的斜率.设曲线在点（x0，f（x0））处切线的斜率为k0，则 k0＝　　＝f'（x0）. 【想一想】 1.若函数y＝f（x）在点x0处的导数存在，则曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程是什么？ 提示：根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f（x0）＝f'（x0）（x－x0）. 2.曲线的切线与曲线有且只有一个公共点吗？ 提示：不一定.二次曲线与其切线有且只有一个公共点，与其他曲线可能会有其他交点，只是在x＝x0附近有且只有一个公共点，而直线在某点处切线就是该直线. 3.函数y＝f（x）的部分图象如图，根据导数的几何意义，你能比较f'（x1），f'（x2）和f'（x3）的大小吗？ 提示：根据导数的几何意义，因为在A，B处的切线斜率大于零且kA＞kB，在C处的切线斜率小于零，所以f'（x1）＞f'（x2）＞f'（x3）. 1.如果曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么（　　） A.f'（x0）＞0　　　　　B.f'（x0）＜0 C.f'（x0）＝0 D.f'（x0）不存在 解析：B　因为在点（x0，f（x0））处切线方程的斜率为－，所以f'（x0）＝－＜0.故选B. 2.如图，直线l是曲线y＝f（x）在x＝4处的切线，则f'（4）＝（　　） A. B.3 C.4 D.5 解析：A　根据导数的几何意义知f'（4）是曲线y＝f（x）在x＝4处的切线的斜率k，注意到k＝＝，所以f'（4）＝. 3.抛物线y2＝x与x轴，y轴都只有一个公共点，在x轴和y轴这两条直线中，只有　y轴　是它的切线. 解析：由切线的定义可知y轴是抛物线y2＝x的切线. 题型一 求曲线的切线方程 【例1】　已知函数f（x）＝x3，求曲线y＝f（x）在（1，f（1）） 处切线的斜率与方程. 解：因为f'（1）＝ ＝＝[3＋3Δx＋（Δx）2]＝3， 所以由导数的几何意义知曲线在（1，f（1））处的切线斜率为k＝f'（1）＝3. 又因为f（1）＝1， 所以曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y－1＝3（x－1），即3x－y－2＝0. 【母题探究】 1.（变设问）本例条件不变，试问例题中的切线与曲线y＝f（x）是否还有其他的公共点？若有，求出公共点的坐标；若没有，说明理由. 解：由可得（x－1）2（x＋2）＝0，解得x1＝1，x2＝－2.从而求得公共点为（1，1），（－2，－8）. 故例题中的切线与曲线y＝f（x）的公共点除切点（1，1）外，还有点（－2，－8）. 2.（变条件）本例中的条件“f（x）＝x3”若换为“f（x）＝”其他条件不变，试求曲线y＝f（x）在（1，f（1））处切线的斜率与方程. 解：因为f'（1）＝＝＝－1， 所以曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线斜率k＝f'（1）＝－1. 又因为f（1）＝1，所以曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y－1＝－（x－1），即x＋y－2＝0. 通性通法 1.过曲线上一点求切线方程的步骤 2.求过曲线y＝f（x）外一点P（x1，y1）的切线方程的步骤 （1）设切点（x0，f（x0））； （2）利用所设切点求斜率k＝f'（x0）＝； （3）用（x0，f（x0）），P（x1，y1）表示斜率； （4）根据斜率相等求得x0，然后求得斜率k； （5）根据点斜式写出切线方程； （6）将切线方程化为一般式. 【跟踪训练】 　已知曲线y＝x3上一点P，求： （1）曲线在点P处的切线方程； （2）过点P的曲线的切线方程. 解：（1）∵y'＝＝＝＝[3x2＋3xΔx＋（Δx）2]＝x2，∴当x＝2时，y'＝4， ∴曲线在点P处的切线的斜率等于4. 故曲线在点P处的切线方程是y－＝4（x－2），即12x－3y－16＝0. （2）设切点为（x0，y0），由（1）知y'＝x2，则点（x0，y0）处的切线斜率k＝，切线方程为y－y0＝（x－x0）. 又切线过点P，且（x0，y0）在曲线y＝x3上， ∴ 整理得－3＋4＝0，即（x0－2）2（x0＋1）＝0，解得x0＝2或x0＝－1. 当x0＝2时，y0＝，切线斜率k＝4，切线方程为12x－3y－16＝0； 当x0＝－1时，y0＝－，切线斜率k＝1，切线方程为3x－3y＋2＝0. 故过点P的切线方程为12x－3y－16＝0或3x－3y＋2＝0. 题型二 求切点坐标 【例2】　已知抛物线y＝f（x）＝2x2＋1分别满足下列条件，请求出切点的坐标. （1）切线的倾斜角为45°； （2）切线平行于直线4x－y－2＝0； （3）切线垂直于直线x＋8y－3＝0. 解：设切点坐标为（x0，y0），则 Δy＝2（x0＋Δx）2＋1－2－1＝4x0·Δx＋2（Δx）2， ∴＝4x0＋2Δx， 当Δx→0时，→4x0，即f'（x0）＝4x0. （1）∵抛物线的切线的倾斜角为45°， ∴斜率为tan 45°＝1， 即f'（x0）＝4x0＝1，得x0＝， ∴切点的坐标为. （2）∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0， ∴k＝4，即f'（x0）＝4x0＝4，得x0＝1， ∴切点坐标为（1，3）. （3）∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直， 则k·＝－1，即k＝8， 即f'（x0）＝4x0＝8，得x0＝2， ∴切点坐标为（2，9）. 通性通法 求切点坐标的步骤 （1）设出切点坐标； （2）利用导数或斜率公式求出斜率； （3）利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标； （4）把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标. 【跟踪训练】 　直线l：y＝x＋a（a≠0）和曲线C：y＝x3－x2＋1相切，则a的值为　 　，切点坐标为　　. 解析：设直线l与曲线C的切点为（x0，y0），因为y'＝＝3x2－2x，设曲线C在x0处的导数为y，则y＝3－2x0＝1，解得x0＝1或x0＝－.当x0＝1时，y0＝－＋1＝1，又（x0，y0）在直线y＝x＋a上，将x0＝1，y0＝1代入得a＝0与已知条件矛盾，舍去.当x0＝－时，y0＝－＋1＝，则切点坐标为，将代入直线y＝x＋a中得a＝. 题型三 导数几何意义的应用 【例3】　如图是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数h（t）＝－4.9t2＋4.8t＋11的图象.根据图象，请描述、比较曲线h（t）在t＝t0，t1，t2附近的变化情况. 解：我们用曲线h（t）在t＝t0，t1，t2处的切线斜率，刻画曲线h（t）在上述三个时刻附近的变化情况. （1）当t＝t0时，曲线h（t）在t＝t0处的切线l0平行于t轴，h'（t0）＝0.这时，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降. （2）当t＝t1时，曲线h（t）在t＝t1处的切线l1的斜率h'（t1）＜0.这时，在t＝t1附近曲线下降，即函数h（t）在t＝t1附近单调递减. （3）当t＝t2时，曲线h（t）在t＝t2处的切线l2的斜率h'（t2）＜0.这时，在t＝t2附近曲线下降，即函数h（t）在t＝t2附近也单调递减. 从图可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线h（t）在t＝t1附近比在t＝t2附近下降得缓慢. 通性通法 导数与函数图象升降的关系 　　若函数y＝f（x）在x＝x0处的导数存在且f'（x0）＞0（即切线的斜率大于零），则函数y＝f（x）在x＝x0附近的图象是上升的；若f'（x0）＜0（即切线的斜率小于零），则函数y＝f（x）在x＝x0附近的图象是下降的.导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢. 【跟踪训练】 　“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系式为h（t）＝－4.9t2＋14.7t，求烟花在t＝1 s时的瞬时速度，并解释烟花升空后至爆裂的运动情况. 解：烟花在t＝1 s时的瞬时速度就是h'（1）的值. 因为＝＝4.9－4.9Δt， 所以h'（1）＝＝（4.9－4.9Δt）＝4.9. 所以在t＝1 s时，烟花正以4.9 m/s的速度上升. 画出二次函数h（t）＝－4.9t2＋14.7t（0≤t≤1.5）的大致图象，如图所示，结合导数的几何意义，我们可以看出，在t＝1.5 s附近曲线比较平坦，也就是说此时烟花的瞬时速度近似为0，达到最高点时，瞬时速度为0并爆裂；当t∈[0，1.5）时，曲线在任何点处的切线斜率都大于0且切线的倾斜程度越来越小，也就是说烟花在达到最高点前，以越来越小的速度升空. 1.设f（x）为可导函数，且满足＝－1，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为（　　） A.－1　　　　　　　　　B.－2 C.1 D.2 解析：A　∵f（x）为可导函数，且满足＝－1，即f'（1）＝－1，∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f'（1）＝－1. 2.曲线f（x）＝－在点M（1，－2）处的切线方程为（　　） A.y＝－2x＋4 B.y＝－2x－4 C.y＝2x－4 D.y＝2x＋4 解析：C　＝＝，所以当Δx→0时，f'（1）＝2，即k＝2.所以切线方程为y＋2＝2（x－1），即y＝2x－4.故选C. 3.已知函数y＝f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y＝x＋2，则f（1）＋f'（1）＝　3　. 解析：由导数的几何意义得f'（1）＝，由点M在切线上得f（1）＝×1＋2＝，所以f（1）＋f'（1）＝3. 4.已知曲线y＝f（x）＝x3上一点P，求： （1）点P处的切线的斜率； （2）点P处的切线方程. 解：（1）因为f'（x）＝ ＝ ＝ ＝[3x2＋3xΔx＋（Δx）2]＝x2， 所以f'（2）＝22＝4. 所以点P处的切线的斜率等于4. （2）在点P处的切线方程为y－＝4（x－2）， 即12x－3y－16＝0. 1.设曲线y＝ax2在点（1，a）处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a的值为（　　） A.1 B. C.－ D.－1 解析：A　因为y'＝＝（2a＋aΔx）＝2a.所以2a＝2，a＝1. 2.已知y＝f（x）的图象如图，则f'（xA）与f'（xB）的大小关系是（　　） A.f'（xA）＞f'（xB）　　　 B.f'（xA）＜f'（xB） C.f'（xA）＝f'（xB） D.不能确定 解析：B　由题图可知，曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f'（xA）＜f'（xB）.故选B. 3.已知曲线y＝x2＋1上一点A（－1，2），则点A处的切线方程为（　　） A.2x－y＝0 B.2x＋y＝0 C.x－y＋2＝0 D.x＋2y－3＝0 解析：B　由Δy＝（－1＋Δx）2＋1－2＝－2Δx＋（Δx）2，得＝（－2＋Δx）＝－2，所以切线斜率为－2，又切线经过点A（－1，2），所以切线方程为y－2＝－2（x＋1），即2x＋y＝0. 4.过正弦曲线y＝sin x上的点的切线与y＝sin x的图象的交点个数为（　　） A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个 解析：D　由切线的定义可知曲线y＝sin x在点的切线方程为y＝1，其与y＝sin x的图象有无数个交点. 5.已知函数f（x）＝x3－x，则曲线y＝f（x）过点（1，0）的切线条数为（　　） A.3 B.2 C.1 D.0 解析：B　设切点的坐标为（x0，－x0），∴切线的斜率k＝f'（x0）＝＝＝[（Δx）2＋3x0Δx＋3－1]＝3－1，∴过点（x0，－x0）的切线方程为y－＋x0＝（3－1）（x－x0），即y＝（3－1）x－2.∵切线过点（1，0），∴2－3＋1＝0，∴2－2－＋1＝0，∴2（x0－1）－（x0－1）（x0＋1）＝0，∴（x0－1）·（2－x0－1）＝0，∴x0＝1或x0＝－，∴切线有两条. 6.（多选）设P0为曲线f（x）＝x3＋x－2上的点，且曲线在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为（　　） A.（1，0） B.（2，8） C.（－1，－4） D.（－2，－12） 解析：AC　设P0的坐标为（x0，y0），f'（x0）＝ ＝＝3＋1. 由于曲线f（x）＝x3＋x－2在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，所以f（x）在P0处的导数值等于4.则有f'（x0）＝3＋1＝4，解得x0＝±1，所以P0的坐标为（1，0）或（－1，－4）. 7.如图，函数y＝f（x）的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f（5）＋f'（5）＝　2　. 解析：由图象可知f（5）＋f'（5）＝（－5＋8）＋（－1）＝2. 8.设f（x）是偶函数，若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为1，则该曲线在点（－1，f（－1））处的切线的斜率为　－1　. 解析：由偶函数的图象关于y轴对称，可知曲线在点（－1，f（－1））处的切线的斜率应为－1. 9.已知曲线f（x）＝，g（x）＝，过两曲线交点作两条曲线的切线，则曲线f（x）在交点处的切线方程为　x－2y＋1＝0　. 解析：设两曲线的交点坐标为（x0，y0），由得∴两曲线的交点坐标为（1，1）.由f（x）＝，得f'（1）＝＝＝，∴曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程为y－1＝（x－1），即x－2y＋1＝0. 10.已知直线l：y＝4x＋a和曲线C：y＝f（x）＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点的坐标. 解：设直线l与曲线C相切于点P（x0，y0）， ∵＝ ＝（Δx）2＋（3x0－2）Δx＋3－4x0. ∴＝3－4x0，即f'（x0）＝3－4x0， 由导数的几何意义，得3－4x0＝4， 解得x0＝－或x0＝2. ∴切点的坐标为或（2，3）， 当切点为时， 有＝4×＋a，∴a＝， 当切点为（2，3）时，有3＝4×2＋a，∴a＝－5， 当a＝时，切点坐标为； 当a＝－5时，切点坐标为（2，3）. 11.（多选）下列命题正确的是（　　） A.若f'（x0）＝0，则函数f（x）在x0处无切线 B.函数y＝f（x）的切线与函数的图象只有一个公共点 C.曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，则当Δx→0时，＝－1 D.若函数f（x）在x＝1处的导数f'（1）＝－1，且f（1）＝2，则f（x）的图象在x＝1处的切线方程为x＋y－3＝0 解析：CD　若f'（x0）＝0，则函数f（x）在x0处的切线斜率为0，故选项A错误；函数y＝f（x）的切线与函数的图象可以有两个公共点，例如函数f（x）＝x3－3x，在x＝1处的切线为y＝－2，与函数的图象还有一个公共点（－2，－2），故选项B错误；因为曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，所以f'（1）＝2，又＝－＝－f'（1）＝－1，故选项C正确；因为f'（1）＝－1，又f（1）＝2，所以切点坐标为（1，2），斜率为－1，所以切线方程为y－2＝－（x－1），化简得x＋y－3＝0，故选项D正确.故选C、D. 12.已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的导数为f'（x），f'（0）＞0，对于任意实数x，有f（x）≥0，则的最小值为　2　. 解析：由导数的定义，得f'（0）＝＝＝（a·Δx＋b）＝b.又因为对于任意实数x，有f（x）≥0，则所以ac≥，所以c＞0，所以＝≥≥＝2. 13.已知函数f（x）＝ax2＋1（a＞0），g（x）＝x3＋bx，若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a，b的值. 解：∵f'（x）＝ ＝＝2ax， ∴f'（1）＝2a，即切线斜率k1＝2a. ∵g'（x）＝ ＝ ＝3x2＋b， ∴g'（1）＝3＋b，即切线斜率k2＝3＋b. ∵在交点（1，c）处有公共切线，∴2a＝3＋b. 又∵a＋1＝1＋b，即a＝b，故可得 14.设点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，点P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围为（　　） A.∪ B.∪ C. D. 解析：A　设切点P（x0，y0），y'＝＝＝[（Δx）2＋3xΔx＋3x2－]＝3x2－，而3x2－≥－.又点P处的切线的倾斜角为α，则k＝tan α≥－.又α∈[0，π），所以α∈∪.故选A. 15.已知曲线y＝f（x）＝x2＋1，是否存在实数a，使得经过点（1，a）能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由. 解：∵＝＝2x＋Δx， ∴f'（x）＝ ＝ （2x＋Δx）＝2x. 设切点为P（x0，y0），则切线的斜率为k＝f'（x0）＝2x0，由点斜式可得所求切线方程为y－y0＝2x0（x－x0）. 又∵切线过点（1，a），且y0＝＋1， ∴a－（＋1）＝2x0（1－x0），即－2x0＋a－1＝0. ∵切线有两条， ∴Δ＝（－2）2－4（a－1）＞0，解得a＜2. 故存在实数a，使得经过点（1，a）能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围是（－∞，2）. 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $