6.1.2 第1课时 瞬时变化率与导数-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用Word(人教B版)

该教案聚焦瞬时变化率与导数的概念，通过汽车速度表示例导入，衔接上一节平均变化率，搭建从平均到瞬时的认知支架，引导学生理解导数定义。 特色在于问题驱动与实例结合，通过物体运动方程分析瞬时速度落实数学抽象素养，题型训练强调“一差二比三极限”步骤提升数学运算能力，帮助学生深化概念理解，为教师提供清晰教学路径，提高课堂效率。

6.1.2　导数及其几何意义 新课程标准解读 核心素养 1.理解瞬时变化率、导数的概念 数学抽象 2.理解导数的几何意义 数学抽象 3.会用导数的定义及几何意义求曲线在某点处的切线方程 数学运算 第一课时　瞬时变化率与导数 　　 上一节我们学习了用平均速度刻画物体在一段时间内运动的快慢.在实际中，还常常要考虑物体在某一瞬间的速度.比如，我们看到汽车在行驶过程中不断变化的速度表，每个时刻指针指向的数字就是汽车在该时刻的瞬时速度. 【问题】　如何理解瞬时速度？它与平均速度有何关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　函数的瞬时变化率与导数 1.物体运动的瞬时速度 设物体运动路程与时间的关系是s＝f（t），当Δt趋近于0时，函数f（t）在t0到t0＋Δt之间的平均变化率趋近于常数，我们把这个常数称为t0时刻的瞬时速度. 2.函数的瞬时变化率 设函数y＝f（x）在x0附近有定义，自变量在x＝x0处的改变量为Δx，当Δx无限趋近于0时，若平均变化率＝无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数f（x）在点x＝x0处的瞬时变化率.记作当Δx→0时，→k. 还可以说：当Δx→0时，函数平均变化率的极限值等于函数在x0的瞬时变化率，记作 ＝k. 3.函数f（x）在x＝x0处的导数 函数y＝f（x）在点x0的瞬时变化率，通常称为f（x）在点x0处的导数，并记作f'（x0），即f'（x0）＝ . 【想一想】 1.函数y＝f（x）在x＝x0处的导数与Δx值的正、负有关吗？ 提示：无关. 2.瞬时速度与平均速度有何区别与联系？ 提示：区别：瞬时速度是刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关.联系：瞬时速度是平均速度的极限值. 1.在f'（x0）＝中，Δx不可能（　　） A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.大于0或小于0 解析：C　由导数定义可知Δx≠0. 2.一个物体的运动方程为s（t）＝1－t＋t2，其中s的单位是m，t的单位是s，那么该物体在3 s末的瞬时速度是（　　） A.7 m/s B.6 m/s C.5 m/s D.8 m/s 解析：C　因为Δs＝s（3＋Δt）－s（3）＝1－（3＋Δt）＋（3＋Δt）2－（1－3＋9）＝5Δt＋（Δt）2，所以s'（3）＝（5＋Δt）＝5（m/s），即该物体在3 s末的瞬时速度是5 m/s. 3.设函数f（x）在x＝x0附近有定义，且有f（x0＋Δx）－f（x0）＝aΔx＋b（Δx）2（a，b为常数），则（　　） A.f'（x）＝a B.f'（x）＝b C.f'（x0）＝a D.f'（x0）＝b 解析：C　f'（x0）＝＝（a＋bΔx）＝a. 4.函数f（x）＝x2在x＝1处的瞬时变化率是　2　. 解析：∵f（x）＝x2，∴函数f（x）在x＝1处的瞬时变化率是f'（1）＝ ＝ ＝ ＝ （2＋Δx）＝2. 题型一 求瞬时速度 【例1】　以初速度v0（v0＞0）垂直上抛的物体，t秒时的高度为s（t）＝v0t－gt2，则物体在t0时刻的瞬时速度为　v0－gt0　. 解析：∵Δs＝v0（t0＋Δt）－g（t0＋Δt）2－＝v0Δt－gt0Δt－g（Δt）2，∴＝v0－gt0－gΔt，∴ ＝v0－gt0，即t0时刻的瞬时速度为v0－gt0. 通性通法 求瞬时速度的步骤 （1）求物体运动位移与时间的关系s＝s（t）； （2）求时间改变量Δt，位移改变量Δs＝s（t0＋Δt）－s（t0）； （3）求平均速度＝； （4）求瞬时速度v'＝. 【跟踪训练】 　一质点按规律s（t）＝at2＋1做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），若该质点在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值. 解：因为Δs＝s（2＋Δt）－s（2）＝a（2＋Δt）2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a（Δt）2，所以＝4a＋aΔt，故在t＝2 s时，瞬时速度为s'（2）＝＝（aΔt＋4a）＝4a. 由题意知，4a＝8，所以a＝2. 题型二 求函数在某一点处的导数 【例2】　利用导数的定义求函数y＝f（x）＝3x2－2x在x＝1处的导数. 解：Δy＝3（1＋Δx）2－2（1＋Δx）－（3×12－2×1）＝3（Δx）2＋4Δx， ∵＝＝3Δx＋4， ∴f'（1）＝＝（3Δx＋4）＝4. 【母题探究】 1.（变设问）本例条件不变，试求函数y＝f（x）在x＝2处的导数. 解：∵Δy＝3（2＋Δx）2－2（2＋Δx）－（3×22－2×2） ＝3（Δx）2＋10Δx，∴＝3Δx＋10， ∴f'（2）＝＝（3Δx＋10）＝10. 2.（变条件）若本例中的条件变为“y＝f（x）＝2x－x3”，其他条件不变，试求f'（1）. 解：∵Δy＝2（1＋Δx）－（1＋Δx）3－（2×1－13） ＝－（Δx）3－3（Δx）2－Δx， ∴＝－（Δx）2－3Δx－1， ∴f'（1）＝＝[－（Δx）2－3Δx－1]＝－1. 通性通法 求函数y＝f（x）在点x0处的导数的步骤 　　简称：一差、二比、三极限. 【跟踪训练】 　若函数y＝f（x）在x＝x0处可导，则＝（　　） A.f'（x0）　　　　　　　　 B.2f'（x0） C.－2f'（x0） D.0 解析：B　法一　 ＝ ＝＋ ＝f'（x0）＋ ＝f'（x0）＋f'（x0）＝2f'（x0）. 法二　 ＝ ＝2＝2f'（x0）. 1.某物体的运动方程为s（t）＝3t2（位移单位：m，时间单位：s），若v＝＝18 m/s，则下列说法中正确的是（　　） A.18 m/s是物体从开始到3 s这段时间内的平均速度 B.18 m/s是物体从3 s到（3＋Δt）s这段时间内的速度 C.18 m/s是物体在3 s这一时刻的瞬时速度 D.18 m/s是物体从3 s到（3＋Δt）s这段时间内的平均速度 解析：C　v＝ 是物体在3 s这一时刻的瞬时速度.故选C. 2.设f（x）是可导函数，且＝－2，则f'（x0）＝（　　） A.2　　　　　　　　　　 B.－1 C.1 D.－2 解析：D　根据题意，＝f'（x0）＝－2，故f'（x0）＝－2.故选D. 3.一木块沿某一斜面自由滑下，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为s＝t2，则t＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为（　　） A.2 B.1 C. D. 解析：A　∵＝＝Δt＋2， ∴＝＝2，故选A. 4.设函数f（x）＝ax＋b，若f（1）＝f'（1）＝2，则f（2）＝　4　. 解析：函数f（x）＝ax＋b在x＝1处的导数为f'（1）＝＝＝＝a，又f'（1）＝2，得a＝2，而f（1）＝2，有a＋b＝2，于是b＝0，所以f（x）＝2x，所以f（2）＝4. 5.求函数y＝f（x）＝x－在x＝1处的导数. 解：因为Δf＝（1＋Δx）－－＝Δx＋，所以＝＝1＋. 所以f'（1）＝＝＝2， 所以函数y＝f（x）＝x－在x＝1处的导数为2. 　　 1.如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是（　　） A.圆 B.抛物线 C.椭圆 D.直线 解析：D　当f（x）＝b时，瞬时变化率＝＝0，所以f（x）的图象为一条直线. 2.如果质点A按照规律s（t）＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为（　　） A.6 B.18 C.54 D.81 解析：B　∵s（t）＝3t2，t0＝3， ∴Δs＝s（t0＋Δt）－s（t0）＝3（3＋Δt）2－3×32＝18Δt＋3（Δt）2.∴＝18＋3Δt.∴＝（18＋3Δt）＝18.故选B. 3.已知f（x）＝x2－3x，则f'（0）＝（　　） A.Δx－3 B.（Δx）2－3Δx C.－3 D.0 解析：C　f'（0）＝ ＝＝（Δx－3）＝－3.故选C. 4.函数y＝f（x）的图象如图所示，下列不等关系正确的是（　　） A.0＜f'（2）＜f'（3）＜f（3）－f（2） B.0＜f'（2）＜f（3）－f（2）＜f'（3） C.0＜f'（3）＜f（3）－f（2）＜f'（2） D.0＜f（3）－f（2）＜f'（2）＜f'（3） 解析：C　f'（2）为函数y＝f（x）的图象在点B处的切线的斜率，f'（3）为函数y＝f（x）的图象在点A处的切线的斜率，f（3）－f（2）＝，其几何意义为割线AB的斜率，由题图可知，0＜f'（3）＜f（3）－f（2）＜f'（2），故选C. 5.设函数f（x）＝ax＋3，若f'（1）＝3，则a＝（　　） A.2 B.－2 C.－3 D.3 解析：D　因为f'（x）＝ ＝＝a， 所以f'（1）＝a.又f'（1）＝3，所以a＝3. 6.某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数s（t）＝t3－2表示，则此物体在t＝1 s时的瞬时速度（单位：m/s）为（　　） A.1 B.3 C.－1 D.0 解析：B　Δs＝（1＋Δt）3－2－13＋2＝1＋3Δt＋3（Δt）2＋（Δt）3－2－1＋2＝3Δt＋3（Δt）2＋（Δt）3，＝3＋3Δt＋（Δt）2，＝3.所以t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s. 7.一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是　5　 米/秒. 解析：∵Δs＝s（3＋Δt）－s（3）＝1－（3＋Δt）＋（3＋Δt）2－1＋3－32＝Δt2＋5Δt，∴＝5＋Δt，∴当t＝3时，瞬时速度是（5＋Δt）＝5 （米/秒）. 8.若f'（2）＝3，则＝　6　. 解析：＝2＝2f'（2）＝6. 9.若某物体的运动规律是s＝t3－6t2＋5（t＞0），则在t＝　4　时的瞬时速度为0. 解析：设t＝t0时，瞬时速度为0， ＝＝ [（Δt）2＋（3t0－6）Δt＋3－12t0]＝3－12t0＝0，∴t0＝0或t0＝4.又t0＞0，∴t0＝4，∴t＝4时的瞬时速度为0. 10.已知函数y＝f（x）＝求f'（4）·f'（－1）的值. 解：当x＝4时，Δy＝－＋ ＝－＝ ＝. ∴＝. ∴f'（4）＝＝ ＝＝. 当x＝－1时，＝ ＝＝Δx－2， 由导数的定义，得f'（－1）＝（Δx－2）＝－2， ∴f'（4）·f'（－1）＝×（－2）＝－. 11.（多选）已知函数f（x）的定义域为R，其导函数f'（x）的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R（x1≠x2），下列结论正确的是（　　） A.（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＜0 B.（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0 C.f＞ D.f＜ 解析：AD　由题中图象可知，导函数f'（x）的图象在x轴下方，即f'（x）＜0，且其绝对值越来越小，因此过函数f（x）图象上任一点的切线的斜率为负，并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角，由此可得f（x）的大致图象如图所示.A选项表示x1－x2与f（x1）－f（x2）异号，即f（x）图象的割线斜率为负，故A正确；B选项表示x1－x2与f（x1）－f（x2）同号，即f（x）图象的割线斜率为正，故B不正确；f表示对应的函数值，即图中点B的纵坐标，表示当x＝x1和x＝x2时所对应的函数值的平均值，即图中点A的纵坐标，显然有f＜，故C不正确，D正确.故选A、D. 12.函数f（x）＝ 在x＝1处的导数f'（1）＝　　. 解析：由导数的定义知，函数在x＝1处的导数f'（1）＝，而＝＝，又＝，所以f'（1）＝. 13.甲、乙两人跑步路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间关系分别如图①②. （1）甲、乙两人谁跑得快？ （2）甲、乙两人百米赛跑，问：快到终点时，谁跑得较快？ 解：（1）乙跑得快.因为在相同的时间内，甲跑的路程少于乙跑的路程，即甲的平均速度比乙的平均速度小. （2）乙跑得较快.因为在终点附近的某一时刻甲的瞬时速度小于乙的瞬时速度. 14.已知f（x）＝，且f'（m）＝－，则m的值等于（　　） A.－4 B.2 C.－2 D.±2 解析：D　f'（x）＝ ＝－，于是有－＝－，m2＝4，解得m＝±2. 15.某河流在一段时间x min内流过的水量为y m3，y是x的函数，y＝f（x）＝. （1）当x从1变到8时，y关于x的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？ （2）求f'（27）并解释它的实际意义. 解：（1）当x从1变到8时，y关于x的平均变化率为＝＝（m3/min）， 表示时间从1 min到8 min的过程中，水流量平均以 m3/min的速度增加. （2）f'（27）＝ ＝＝ ＝ ＝＝（m3/min）. 其实际意义是第27 min时，水流量以 m3/min的速度增加. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $