5.3.2 第1课时 等比数列的前n项和公式-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用Word(人教B版)

该教案聚焦等比数列前n项和公式这一核心知识点，以“甲乙30天金钱往来”情境导入，通过问题驱动关联等比数列通项公式，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料特色在于情境创设激发探究欲，题型覆盖公式运算、性质应用及实际问题，结合逻辑推理与数学运算素养，如“两鼠穿墙”问题培养建模能力，助力学生提升思维与应用能力，为教师提供分层教学资源，提升课堂效率。

5.3.2　等比数列的前n项和 新课程标准解读 核心素养 1.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系 数学运算 2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题 逻辑推理、数学运算 第一课时　等比数列的前n项和公式 　　甲、乙二人约定在一个月（按30天）内甲每天给乙100元钱，而乙则第一天给甲返还一分，第二天给甲返还二分，即后一天返还的钱是前一天的二倍. 【问题】　一个月后，甲、乙两人谁赢谁亏？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　等比数列的前n项和公式 【想一想】 1.等比数列的前n项和公式中Sn＝的适用条件是什么？ 提示：公比q≠1. 2.若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和Sn为何值？ 提示：若数列既是等差数列，又是等比数列，则是非零常数列，所以前n项和为Sn＝na. 3.若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a（a≠0，q≠0且q≠1，n∈N＋），则此数列一定是等比数列吗？ 提示：是.根据等比数列前n项和公式Sn＝（q≠0且q≠1）变形为Sn＝－qn（q≠0且q≠1）， 若令a＝，则和式可变形为Sn＝a－aqn. 1.等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为（　　） A.4 B.－4 C.2 D.－2 解析：A　由S5＝＝44，得a1＝4. 2.设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则等于（　　） A.2 B.4 C. D. 解析：C　＝×＝＝. 3.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝S9，则公比q＝　±1　. 解析：由S3＋S6＝S9得S3＝S9－S6，即a1＋a2＋a3＝a7＋a8＋a9＝q6（a1＋a2＋a3），则q6＝1，q＝±1. 　　 题型一 等比数列的前n项和公式的基本运算 【例1】　在等比数列{an}中，公比为q，前n项和为Sn. （1）已知a1＝8，an＝，Sn＝，求n； （2）已知S3＝，S6＝，求a1与q. 解：（1）显然q≠1，由Sn＝，即＝， ∴q＝.又∵an＝a1qn－1，即8×＝， ∴n＝6. （2）法一　由S6≠2S3知q≠1，由题意得 ②÷①，得1＋q3＝9，∴q3＝8，即q＝2. 代入①得a1＝. 法二　由S3＝a1＋a2＋a3，S6＝S3＋a4＋a5＋a6＝S3＋q3（a1＋a2＋a3）＝S3＋q3S3＝（1＋q3）S3， ∴1＋q3＝＝9，∴q3＝8，即q＝2. 代入＝，得a1＝. 【母题探究】 1.（变设问）本例（2）条件不变，试求an与Sn. 解：由本例（2）知a1＝，q＝2， 所以an＝a1qn－1＝·2n－1＝2n－2， Sn＝＝2n－1－. 2.（变条件）若本例（2）中的条件“S3＝，S6＝”变为“S3＝，S6＝”，其他条件不变，结果又如何呢？ 解：设等比数列{an}的公比为q，则由S6≠2S3得q≠1，则解得q＝2，a1＝. 通性通法 　　在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的.这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用. 【跟踪训练】 　在等比数列{an}中，已知a6－a4＝24，a3·a5＝64，求S8. 解：法一　由题意，得 化简得 ①÷②，得q2－1＝±3，负值舍去， ∴q2＝4，∴q＝2或q＝－2. 当q＝2时，代入①得a1＝1， ∴S8＝＝255. 当q＝－2时，代入①得a1＝－1. ∴S8＝＝. 综上知S8＝255或S8＝. 法二　由等比数列的性质得a3·a5＝＝64，∴a4＝±8. 当a4＝8时，∵a6－a4＝24，∴a6＝32，∴q2＝＝4， ∴q＝±2. 当a4＝－8时，a6－a4＝24，∴a6＝16. ∴q2＝＝－2，无解.故q＝±2. 当q＝2时，a1＝＝1，S8＝＝255. 当q＝－2时，a1＝＝－1，S8＝＝. 综上知S8＝255或S8＝. 题型二 等比数列前n项和的性质 【例2】　等比数列{an}的前n项和Sn＝48，前2n项和S2n＝60，则前3n项和S3n＝　63　. 解析：法一　设公比为q，由已知易知q≠1，由可得所以S3n＝＝·[1－（qn）3]＝64×＝63. 法二　由Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，得（S2n－Sn）2＝Sn·（S3n－S2n），即（60－48）2＝48（S3n－60），解得S3n＝63. 通性通法 1.等比数列前n项和的性质 　　设等比数列{an}，Sn为{an}的前n项和，公比为q，则： （1）当q＝1时，＝；当q≠±1时，＝； （2）Sn＋m＝Sm＋qmSn＝Sn＋qnSm； （3）设S偶与S奇分别是偶数项的和与奇数项的和.若项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q； （4）当q≠－1时，连续n项的和（如Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…）仍构成等比数列（公比为qn，n≥2）. 2.运用等比数列求和性质解题时，一定要注意性质成立的条件，否则会出现失误.如Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列的前提是Sn，S2n－Sn，S3n－S2n均不为0. 【跟踪训练】 1.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝（　　） A.2 B. C. D.3 解析：B　法一　设数列{an}的公比为q，所以S6＝S3＋q3S3，S9＝S6＋q6S3＝S3＋q3S3＋q6S3，于是＝＝3，即1＋q3＝3，所以q3＝2.于是＝＝＝. 法二　由＝3，得S6＝3S3.设数列{an}的公比为q，由题意知q≠－1，所以S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，所以（S6－S3）2＝S3（S9－S6），解得S9＝7S3，所以＝. 2.一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求数列的通项公式. 解：设数列{an}的首项为a1，公比为q，所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶，由题意可知， S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶. 因为数列{an}的项数为偶数，所以q＝＝. 又因为a1·a1q·a1q2＝64，所以·q3＝64，即a1＝12，故所求通项公式为an＝12×. 题型三 等比数列前n项和的实际应用 【例3】　某市共有1万辆燃油型公交车.有关部门于2020年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%.则： （1）该市在2026年应该投入电力型公交车多少辆？ （2）到哪一年年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的？ 解：（1）每年投入电力型公交车的数量可构成等比数列{an}，其中a1＝128，q＝， ∴2026年应投入的数量为a7＝a1q6＝128×＝1 458（辆）， ∴该市在2026年应该投入1 458辆电力型公交车. （2）设{an}的前n项和为Sn， 则Sn＝＝256×， 由Sn＞（10 000＋Sn）×，即Sn＞5 000，n∈N＋，解得n＞7. ∴该市在2027年底电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的. 通性通法 解数列应用题的思路和方法 【跟踪训练】 　《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”的问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠亦日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问几何日相逢？各穿几何？”其大意为：“今有一堵墙厚5尺，两只老鼠从墙的两边沿一条直线相对打洞穿墙，大老鼠第一天打洞1尺，以后每天是前一天的2倍；小老鼠第一天也打洞1尺，以后每天是前一天的.问大、小老鼠几天后相遇？各自打洞几尺？”如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和，则Sn＝　2n－＋1　尺. 解析：由题意可知，大老鼠每天打洞的长度构成以1为首项，2为公比的等比数列，前n天打洞长度之和为＝2n－1，小老鼠每天打洞的长度构成以1为首项，为公比的等比数列，前n天打洞长度之和为＝2－，所以Sn＝2n－1＋2－＝2n－＋1. 1.已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝（　　） A.16 B.8 C.4 D.2 解析：C　由题意知解得∴ a3＝a1q2＝4.故选C. 2.已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于（　　） A.31 B.33 C.35 D.37 解析：B　根据等比数列性质得＝q5，∴＝25，∴S10＝33. 3.设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q等于（　　） A.1 B.0 C.1或0 D.－1 解析：A　因为Sn－Sn－1＝an，又{Sn}是等差数列，所以an为定值，即数列{an}为常数列，所以q＝＝1. 4.已知数列{an}是公比为3的等比数列，其前n项和Sn＝3n＋k（n∈N＋），则实数k为（　　） A.0 B.1 C.－1 D.2 解析：C　由数列{an}的前n项和Sn＝3n＋k（n∈N＋），当n＝1时，a1＝S1＝3＋k；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋k－（3n－1＋k）＝2×3n－1.因为数列{an}是公比为3的等比数列，所以a1＝2×31－1＝3＋k，解得k＝－1. 5.在等比数列{an}中，其前n项和为Sn. （1）若S2＝30，S3＝155，求Sn； （2）若Sn＝189，a1＝3，an＝96，求q和n. 解：（1）由题意知 解得或 从而Sn＝×5n＋1－或Sn＝. （2）∵等比数列{an}中，a1＝3，an＝96，Sn＝189， ∴＝189.∴q＝2. ∴an＝a1qn－1＝3×2n－1， ∴96＝3×2n－1，∴n＝5＋1＝6. 1.在等比数列{an}中，a3＝，其前三项的和S3＝，则数列{an}的公比q＝（　　） A.－ B. C.－或1 D.或1 解析：C　由题意，可得a1q2＝，a1＋a1q＋a1q2＝，两式相除，得＝3，解得q＝－或q＝1. 2.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则＝（　　） A.2n－1 B.2－21－n C.2－2n－1 D.21－n－1 解析：B　法一　设等比数列{an}的公比为q，则由解得所以Sn＝＝2n－1，an＝a1qn－1＝2n－1，所以＝＝2－21－n，故选B. 法二　设等比数列{an}的公比为q，因为＝＝＝＝2，所以q＝2，所以＝＝＝2－21－n，故选B. 3.已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝（　　） A.16（1－4－n） B.16（1－2－n） C.（1－4－n） D.（1－2－n） 解析：C　由a5＝a2q3，得q3＝，所以q＝，而数列{anan＋1}也为等比数列，其首项为a1·a2＝8，公比为q2＝，所以a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝＝（1－4－n）. 4.等比数列{an}的前n项和为Sn，S5＝2，S10＝6，则a16＋a17＋a18＋a19＋a20等于（　　） A.8 B.12 C.16 D.24 解析：C　设等比数列{an}的公比为q，因为S2n－Sn＝qnSn，所以S10－S5＝q5S5，所以6－2＝2q5，所以q5＝2，所以a16＋a17＋a18＋a19＋a20＝a1q15＋a2q15＋a3q15＋a4q15＋a5q15＝q15（a1＋a2＋a3＋a4＋a5）＝q15S5＝23×2＝16. 5.记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则等于（　　） A.－3 B.5 C.－31 D.33 解析：D　由题意知公比q≠1，＝＝1＋q3＝9，所以q＝2，＝＝1＋q5＝1＋25＝33. 6.（多选）设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1＞1，a7a8＞1，＜0.则下列结论正确的是（　　） A.0＜q＜1 B.a7a9＜1 C.Tn的最大值为T7 D.Sn的最大值为S7 解析：ABC　∵a1＞1，a7a8＞1，＜0，∴a7＞1，0＜a8＜1，∴0＜q＜1，故A正确；a7a9＝＜1，故B正确；T7是数列{Tn}中的最大项，故C正确；因为a1＞1，0＜q＜1，所以Sn无最大值，故D不正确.故选A、B、C. 7.设数列{an}的前n项和为Sn，写出{an}的一个通项公式an＝　（答案不唯一）　，满足下面两个条件：①{an}是单调递减数列；②{Sn}是单调递增数列. 解析：根据前n项和数列是单调递增的，可以判定数列的各项，从第二项起，各项都是大于零的，由数列本身为单调递减数列，结合各项的值的要求，可以考虑公比在0到1之间的等比数列，an＝就是符合条件的一个通项. 8.等比数列{an}中，若a1＋a3＋…＋a99＝150，且公比q＝2，则数列{an}的前100项和为　450　. 解析：由＝q，q＝2，得＝2⇒a2＋a4＋…＋a100＝300，则数列{an}的前100项的和S100＝（a1＋a3＋…＋a99）＋（a2＋a4＋…＋a100）＝150＋300＝450. 9.已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为　　.　 解析：由题意知，q≠1，由9S3＝S6，得9×＝，解得q＝2，故an＝a1qn－1＝2n－1，＝，∴数列是以1为首项，为公比的等比数列，其前5项和为＝. 10.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2＋a3＋a4＝－18. （1）求数列{an}的通项公式； （2）是否存在正整数n，使得Sn≥2 025？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由. 解：（1）设等比数列{an}的公比为q，则a1≠0，q≠0. 由题意得 即解得 故数列{an}的通项公式为an＝3×（－2）n－1. （2）由（1）有Sn＝＝1－（－2）n. 若存在正整数n，使得Sn≥2 025，则1－（－2）n≥2 025， 即（－2）n≤－2 024. 当n为偶数时，（－2）n＞0，上式不成立； 当n为奇数时，（－2）n＝－2n≤－2 024，即2n≥2 024，则n≥11. 综上，存在符合条件的正整数n，且n的集合为{n｜n＝2k＋1，k∈N，k≥5}. 11.（多选）已知数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an＝2n－1，则下列结论正确的是（　　） A.S2＝2 B.Sn＝2n－1 C.Sn＜Sn＋1 D.{}是等比数列 解析：BCD　因为an＝2n－1，所以{an}是等比数列，且a1＝1，公比q＝2，所以S2＝a1＋a2＝3，Sn＝＝2n－1.Sn－Sn＋1＝2n－1－（2n＋1－1）＝－2n＜0，所以Sn＜Sn＋1，＝＝（）n，所以{}是等比数列. 12.把一个边长为1的正方形分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉（如图（1））；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个正方形挖掉（如图（2））；如此继续下去，则 （1）图（3）中共挖掉了　73　个正方形； （2）第n个图形挖掉正方形的面积和是　1－　. 解析：设第n个图形共挖掉an个正方形，则a1＝1，a2－a1＝8，a3－a2＝82，…，an－an－1＝8n－1，所以an＝1＋8＋82＋…＋8n－1＝，∴a3＝73.原正方形的边长为1，则这些被挖掉的正方形的面积和为1×＋8×＋82×＋…＋8n－1×＝＝1－. 13.记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a1＝1，Sn＝an＋1＋t. （1）求t； （2）求数列{（cos nπ）·an}的前n项和. 解：（1）令n＝1，则由Sn＝an＋1＋t可得S1＝a2＋t，a2＝1－t， 当n≥2时，由Sn＝an＋1＋t可得Sn－1＝an＋t， 两式相减，可得an＝an＋1－an，即an＋1＝2an， 依题意，{an}为等比数列，故a2＝2＝1－t，t＝－1. （2）由（1）可知{an}为首项等于1，公比等于2的等比数列，故an＝2n－1， 故{（cos nπ）·an}为首项等于－1，公比等于－2的等比数列， 故an＝（－1）（－2）n－1. 故Tn＝＝（－2）n－. 14.中国古代数学著作《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里.”其意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里.”若该匹马按此规律继续行走7天，则它这14天内所走的总路程为（　　） A. 里 B.1 050里 C. 里 D.950里 解析：C　由题意知，马每天行走的路程构成一个等比数列，设该数列为{an}，则该匹马首日行走的路程为a1，公比为，则有＝700（里），则a1＝（里），则＝（里）.故选C. 15.已知等差数列{bn}中，bn＝log2（an－1），且a1＝3，a3＝9. （1）求数列{bn}的通项公式； （2）求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn. 解：（1）设等差数列{bn}的公差为d，由a1＝3，a3＝9，得b1＝log2（a1－1）＝log22＝1，b3＝log2（a3－1）＝log28＝3， ∴b3－b1＝2＝2d，∴d＝1，∴bn＝1＋（n－1）×1＝n. （2）由（1）知bn＝n，∴log2（an－1）＝n，∴an－1＝2n， ∴an＝2n＋1. ∴Sn＝a1＋a2＋…＋an ＝（2＋1）＋（22＋1）＋…＋（2n＋1） ＝（2＋22＋…＋2n）＋n ＝＋n＝2n＋1＋n－2. 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $