5.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用Word(人教B版)

该教案聚焦等差数列前n项和的性质应用、最值问题及绝对值数列求和，从已学前n项和公式切入，通过例1中Sn、S2n-Sn、S3n-S2n成等差数列的性质，搭建新旧知识联系的学习支架，梳理性质与公式的脉络。 资料亮点在于通性通法系统归纳，结合跟踪训练与母题探究实现分层教学，如例2用公式法与邻项变号法求最值，培养学生推理能力（数学思维），例3分情况讨论绝对值求和，发展模型意识（数学语言）。助力学生掌握解题策略，提升教师课堂效率与教学针对性。

第二课时　等差数列前n项和的性质及应用 题型一 等差数列的前n项和性质的应用 【例1】　（1）等差数列前n项的和为30，前2n项的和为100，则它的前3n项的和为（　C　） A.130 B.170 C.210 D.260 （2）已知{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝　　. 解析：（1）根据等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列.所以Sn＋（S3n－S2n）＝2（S2n－Sn），即30＋（S3n－100）＝2×（100－30），解得S3n＝210. （2）由等差数列的性质知，＝＝＝＝＝. 通性通法 等差数列的前n项和常用的性质 （1）等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列； （2）数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn（a，b为常数）⇔数列为等差数列； （3）设等差数列{an}，{bn}的前n项和为Sn，Tn，则＝； （4）若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d： ①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，＝； ②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，＝. 【跟踪训练】 1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a11＋a12＋a13＋a14＝（　　） A.18 B.17 C.16 D.15 解析：A　设{an}的公差为d，则a5＋a6＋a7＋a8＝S8－S4＝12，（a5＋a6＋a7＋a8）－S4＝16d，解得d＝，a11＋a12＋a13＋a14＝S4＋40d＝18. 2.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且（n＋3）Sn＝（2n＋70）Tn，则使得为整数的正整数n的个数是　5　. 解析：由等差数列前n项和的性质，得＝.由条件可得＝，则＝＝＝，所以＝＝2＋.要使为整数，则必为整数，即n＋1为32的约数.又n为正整数，所以n的取值为1，3，7，15，31，共5个. 题型二 等差数列的前n项和最值问题 【例2】　在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求前n项和Sn的最大值. 解：设公差为d，由S17＝S9且a1＝25，得 25×17＋d＝25×9＋d， 解得d＝－2. 法一（公式法）　Sn＝25n＋×（－2）＝－（n－13）2＋169. 由二次函数性质得，当n＝13时，Sn有最大值169. 法二（邻项变号法）　∵a1＝25＞0， 由 得即12≤n≤13. 又∵n∈N＋，∴当n＝13时，Sn有最大值，最大值为25×13＋×（－2）＝169. 【母题探究】 1.（变设问）本例条件不变，试求的前n项和Tn. 解：由本例知Sn＝－n2＋26n， 令bn＝＝－n＋26， ∴{bn}是以25为首项，公差为－1的等差数列， ∴Tn＝25n＋×（－1）＝－n2＋n. 2.（变条件）若本例中的条件“a1＝25，S17＝S9”换为“a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93”，试求Sn的最大值. 解：因为a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，所以a4＝33，a5＝31，故公差d＝－2，an＝a4＋（n－4）d＝41－2n， 所以a1＝39，Sn＝39n＋×（－2）＝40n－n2. 当Sn取得最大值时，满足 即19≤n≤20. 因为n∈N＋，所以当n＝20时，Sn有最大值S20＝400. 通性通法 求等差数列的前n项和Sn的最值的解题策略 （1）将Sn＝na1＋d＝n2＋n配方，转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决； （2）邻项变号法： 当a1＞0，d＜0时，满足的项数n使Sn取最大值； 当a1＜0，d＞0时，满足的项数n使Sn取最小值. 【跟踪训练】 　设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于（　　） A.6 B.7 C.8 D.9 解析：A　设等差数列的公差为d，∵a4＋a6＝－6，∴2a5＝－6，∴a5＝－3.又∵a1＝－11，∴－3＝－11＋4d，∴d＝2.∴Sn＝－11n＋×2＝n2－12n＝（n－6）2－36，故当n＝6时，Sn取得最小值，故选A. 题型三 求数列{｜an｜}的前n项和 【例3】　在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且5a1a3＝（2a2＋2）2. （1）求d，an； （2）若d＜0，求｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜an｜. 解：（1）因为5a1a3＝（2a2＋2）2，a1＝10， 所以d2－3d－4＝0，解得d＝－1或d＝4. 故an＝－n＋11或an＝4n＋6. （2）因为d＜0，所以由（1）得d＝－1，an＝－n＋11. 设数列{an}的前n项和为Sn， 当n≤11时，｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜an｜＝Sn＝－n2＋n； 当n≥12时，｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜an｜＝－Sn＋2S11＝n2－n＋110. 通性通法 求数列{｜an｜}前n项和的方法 　　给出数列{an}，要求数列{｜an｜}的前n项和，关键是分清n取什么值时an＞0（an＜0）. 　　一般地，如果数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜，那么有： （1）若a1＞0，d＜0，则存在k∈N＋，使得ak≥0，ak＋1＜0，从而有Tn＝ （2）若a1＜0，d＞0，则存在k∈N＋，使得ak≤0，ak＋1＞0，从而有Tn＝ 【跟踪训练】 　 在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求数列{｜an｜}的前n项和. 解：设等差数列{an}的公差为d，则 d＝＝＝3， 所以an＝a1＋（n－1）d＝－60＋3（n－1）＝3n－63. 又因为an＜0时，3n－63＜0，即n＜21， 所以等差数列{an}的前20项是负数，第20项以后的项是非负数. 设Sn和Sn'分别表示数列{an}和{｜an｜}的前n项和. 当0＜n≤20时，Sn'＝－Sn＝－［－60n＋］＝－n2＋n； 当n＞20时， Sn'＝－S20＋（Sn－S20）＝Sn－2S20 ＝－60n＋－2× ＝n2－n＋1 260. 所以数列{｜an｜}的前n项和为 Sn'＝ 1.等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝－6，S18－S15＝18，则S18＝（　　） A.36　　　　　　　　　 B.18 C.72 D.9 解析：A　由S3，S6－S3，…，S18－S15成等差数列知，S18＝S3＋（S6－S3）＋（S9－S6）＋…＋（S18－S15）＝＝36. 2.一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n等于（　　） A.12 B.16 C.9 D.16或9 解析：C　设凸多边形的内角组成的等差数列为{an}，则an＝120＋5（n－1）＝5n＋115，由an＜180，得n＜13且n∈N＋.由n边形内角和定理得，（n－2）×180＝n×120＋×5.解得n＝16或n＝9.因为n＜13，所以n＝9. 3.已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝an＋2，S5＝－35，则当Sn取得最小值时，n的值是（　　） A.6 B.7 C.8 D.9 解析：A　∵数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝an＋2，S5＝－35，∴数列{an}是等差数列，公差d＝an＋1－an＝2，5a1＋10d＝－35，解得a1＝－11.∴Sn＝－11n＋×2＝n2－12n＝（n－6）2－36，∴当Sn取得最小值时，n的值是6. 4.（多选）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6＞S7＞S5，则下列四个命题正确的是（　　） A.d＜0 B.S11＞0 C.S12＜0 D.数列{Sn}中的最大项为S11 解析：AB　∵S6＞S7，∴a7＜0，∵S7＞S5，∴a6＋a7＞0，∴a6＞0，∴d＜0，A正确；又∵S11＝（a1＋a11）＝11a6＞0，B正确；S12＝（a1＋a12）＝6（a6＋a7）＞0，C不正确；{Sn}中最大项为S6，D不正确. 5.设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是　11　，项数是　7　. 解析：设等差数列{an}的项数为2n＋1，S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝＝（n＋1）an＋1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝nan＋1，所以＝＝，解得n＝3，所以项数为2n＋1＝7，S奇－S偶＝an＋1，即a4＝44－33＝11为所求中间项. 1.在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于（　　） A.9 B.10 C.11 D.12 解析：B　∵＝，∴＝.∴n＝10，故选B. 2.数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝（n＋1）2＋λ，则λ的值是（　　） A.－2 B.－1 C.0 D.1 解析：B　等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，∴λ＝－1. 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝a1＋a200，且A，B，C三点共线（该直线不过点O），则S200等于（　　） A.100 B.101 C.200 D.201 解析：A　由A，B，C三点共线得a1＋a200＝1， ∴S200＝（a1＋a200）＝100. 4.已知等差数列{an}的前n项的为Sn，若m＞1，且am－1＋am＋1－＝0，S2m－1＝38，则m＝（　　） A.38 B.20 C.10 D.9 解析：C　根据等差数列的性质可得am－1＋am＋1＝2am.∵am－1＋am＋1－＝0，∴am＝0或am＝2.若am＝0，显然S2m－1＝（2m－1）am＝38不成立，∴am＝2.∴S2m－1＝（2m－1）am＝38，解得m＝10. 5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S3＝S10，S6＝Sk，则k的值是（　　） A.6 B.7 C.8 D.9 解析：B　∵等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n可看作是关于n的二次函数且S3＝S10，∴对称轴方程为n＝＝.又∵S6＝Sk，∴＝，解得k＝7. 6.（多选）等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d＝1.若a1＋3a5＝S7，则以下结论一定正确的是（　　） A.a5＝1 B.Sn的最小值为S3 C.S1＝S6 D.Sn存在最大值 解析：AC　因为a1＋3a5＝S7，所以a1＋3（a1＋4d）＝7a1＋d，又因为d＝1，解得a1＝－3.对选项A，a5＝a1＋4d＝1，故A正确；对选项B，an＝－3＋n－1＝n－4，因为a1＝－3＜0，a3＝－1＜0，a4＝0，a5＝1＞0，所以Sn的最小值为S3或S4，故B错误；对选项C，S6－S1＝a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝5a4，又因为a4＝0，所以S6－S1＝0，即S1＝S6，故C正确；对选项D，因为a1＝－3＜0，d＝1＞0，所以Sn无最大值，故D错误. 7.已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝　5　. 解析：∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5. 8.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，满足a2＋a8＝6，S5＝－5，则a6＝　5　，Sn的最小值为　－9　. 解析：依题意得：解得所以a6＝－5＋10＝5，Sn＝－5n＋×2＝n2－6n，当n＝3时，Sn的最小值为－9. 9.若数列{an}是等差数列，首项a1＜0，a203＋a204＞0，a203·a204＜0，则使前n项和Sn＜0的最大自然数n是　405　. 解析：由a203＋a204＞0知a1＋a406＞0，即S406＞0，又由a1＜0且a203·a204＜0，知a203＜0，a204＞0，所以公差d＞0，则数列{an}的前203项都是负数，那么2a203＝a1＋a405＜0，所以S405＜0，所以使前n项和Sn＜0的最大自然数n＝405. 10.若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜，求Tn. 解：∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n. 当n≤4时，Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜ ＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋d ＝13n＋×（－4）＝15n－2n2； 当n≥5时，Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜ ＝（a1＋a2＋a3＋a4）－（a5＋a6＋…＋an） ＝S4－（Sn－S4）＝2S4－Sn ＝2×－（15n－2n2）＝2n2－15n＋56. ∴Tn＝ 11.在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，那么此数列前20项的和为（　　） A.160　　　　　　　　　 B.180 C.200 D.220 解析：B　法一　设数列{an}的公差为d，由题意得解得故S20＝20a1＋×d＝180. 法二　由a1＋a2＋a3＝3a2＝－24，得a2＝－8，由a18＋a19＋a20＝3a19＝78，得a19＝26，于是S20＝10（a1＋a20）＝10（a2＋a19）＝10×（－8＋26）＝180. 12.（多选）设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d.已知a3＝12，S12＞0，a7＜0，则（　　） A.a6＞0 B.－＜d＜－3 C.Sn＜0时，n的最小值为14 D.数列中最小项为第7项 解析：ABD　依题意得a3＝a1＋2d＝12，a1＝12－2d，S12＝×12＝6（a6＋a7）.而a7＜0，所以a6＞0，a1＞0，d＜0，A选项正确.且解得－＜d＜－3，B选项正确.由于S13＝×13＝13a7＜0，而S12＞0，所以Sn＜0时，n的最小值为13，C选项错误.由上述分析可知，n∈[1，6]时，an＞0，n≥7时，an＜0；当n∈[1，12]时，Sn＞0，当n≥13时，Sn＜0.所以当n∈[7，12]时，an＜0，Sn＞0，＜0，且当n∈[7，12]时，｜an｜为递增数列，Sn为正数且为递减数列，所以数列中最小项为第7项，D选项正确.故选A、B、D. 13.在等差数列{an}中，3a5＝5a8，Sn是数列{an}的前n项和. （1）若a1＞0，当Sn取得最大值时，求n的值； （2）若a1＝－46，记bn＝，求bn的最小值. 解：（1）法一　设{an}的公差为d， 由3a5＝5a8，得3（a1＋4d）＝5（a1＋7d），∴d＝－a1. ∴Sn＝na1＋×＝－a1n2＋a1n＝－a1（n－12）2＋a1. ∵a1＞0，∴当n＝12时，Sn取得最大值. 法二　由3a5＝5a8得9a5＝15a8，∴S9＝S15.由Sn对应的二次函数图象的对称性可知，当n＝＝12时，Sn取得最大值. （2）由（1）及a1＝－46，得d＝－×（－46）＝4， ∴an＝－46＋（n－1）×4＝4n－50， Sn＝－46n＋×4＝2n2－48n. ∴bn＝＝＝2n＋－52≥2－52＝－32， 当且仅当2n＝，即n＝5时，等号成立. 故bn的最小值为－32. 14.已知数列{an}的奇数项依次构成公差为d1的等差数列，偶数项依次构成公差为d2的等差数列（其中d1，d2为整数），且对任意n∈N＋，都有an＜an＋1，若a1＝1，a2＝2，且数列{an}的前10项和S10＝75，则d1＝　3　，a8＝　11　. 解析：由题意知，S10＝5×1＋d1＋5×2＋d2＝75，故d1＋d2＝6.∵对任意n∈N＋，都有an＜an＋1，∴a2k－1＜a2k＜a2k＋1（k∈N＋），即1＋（k－1）d1＜2＋（k－1）d2＜1＋kd1，取k＝2时，可得1＋d1＜2＋d2＜1＋2d1，结合d1＋d2＝6可解得＜d1＜，＜d2＜，又d1，d2为整数，∴d1＝3＝d2.∴a8＝a2＋3d2＝2＋3×3＝11. 15.在①a5＝6，a1＋S3＝50；②S12＞S9，a2＋a21＜0；③S9＞0，S10＜0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解决问题. 问题：设等差数列{an}的前n项和为Sn，　　，判断Sn是否存在最大值，若存在，求出Sn取最大值时n的值；若不存在，说明理由. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 解：选①：设数列{an}的公差为d，a5＝6，a1＋S3＝50， 则解得a1＝14，d＝－2，即an＝14－2（n－1）＝16－2n， 当an≥0时，有16－2n≥0，得n≤8， ∴当n≤7时，an＞0；n＝8时，an＝0；n≥9时，an＜0， ∴n＝7或n＝8时，Sn取最大值. 选②：设数列{an}的公差为d，由S12－S9＞0，得a12＋a11＋a10＞0，由等差中项的性质有3a11＞0，即a11＞0， 由a2＋a21＜0，得a2＋a21＝a11＋a12＜0， ∴a12＜0，故d＝a12－a11＜0， ∴当n≤11时，an＞0，n≥12时，an＜0，故n＝11时，Sn取最大值. 选③：设数列{an}的公差为d，由S9＞0，得S9＝＝＞0，可得a5＞0，由S10＜0，得S10＝＝＜0，可得a5＋a6＜0，∴a6＜0，故d＝a6－a5＜0，∴当n≤5时，an＞0，n≥6时，an＜0，故n＝5时，Sn取最大值. 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $