5.2.1 第2课时 等差数列的性质-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用Word(人教B版)

该教案聚焦等差数列的性质，涵盖等差中项定义及应用、等差数列性质（通项推广、项的关系、运算性质）等核心知识点。通过球层问题情境导入，引导学生观察不同间隔球数规律，衔接等差数列定义与通项公式，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料特色在于以情境启思，球层问题培养数学抽象，“想一想”辨析（如{|aₙ|}是否为等差数列）提升数学思维，实际应用（公司利润、金棰重量问题）落实数学建模，例题与跟踪训练强化数学运算。助力学生深化概念理解，为教师提供从情境到应用的完整教学资源，提升课堂效率。

第二课时　等差数列的性质 新课程标准解读 核心素养 1.掌握等差中项的定义，会利用等差中项解决相关的问题 数学抽象 2.理解并掌握等差数列的性质及数列在实际问题中的应用 数学运算、数学建模 　　如图，第一层有一个球，第二层有2个球，最上层有16个球. 【问题】　（1）每隔一层的球数有什么规律？ （2）每隔二层呢？每隔三层呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　等差中项 　如果x，A，y是等差数列，那么称　A　为x与y的等差中项，根据等差中项与等差数列的定义可知，A＝　　. 【想一想】 1.任何两个实数都有等差中项吗？ 提示：任何两个实数都有等差中项. 2.若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列吗？ 提示：若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列. 1.645和897的等差中项为　771　. 解析：＝771. 2.已知数列{an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，则公差d＝　1　. 解析：∵{an}是等差数列，∴a2－a1＝d，a3－a2＝d，两式相加得a3－a1＝2d，又a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，∴a1＋a2＝2，a2＋a3＝4，两式相减可得a3－a1＝4－2，则2d＝4－2，解得d＝1. 知识点二　等差数列的性质 1.等差数列通项公式的推广 通项公式 通项公式的推广 an＝a1＋（n－1）d（揭示首末两项的关系） an＝am＋（n－m）d（揭示任意两项之间的关系） 2.等差数列的性质 （1）如果{an}是等差数列，而且正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as＋at＝　ap＋aq　. ①特别地，当p＋q＝2s时，ap＋aq＝　2as　； ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. （2）若{an}是公差为d的等差数列，则 ①{c＋an}（c为任一常数）是公差为　d　的等差数列； ②{can}（c为任一常数）是公差为　cd　的等差数列； ③{an＋an＋k}（k为常数，k∈N＋）是公差为　2d　的等差数列. （3）若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}（p，q为常数）是公差为　pd1＋qd2　的等差数列. 【想一想】 　下列说法是否正确？并说明理由. （1）若{an}是等差数列，则{｜an｜}也是等差数列； （2）若{｜an｜}是等差数列，则{an}也是等差数列； （3）若{an}是等差数列，则对任意n∈N＋都有2an＋1＝an＋an＋2； （4）数列{an}的通项公式为an＝3n＋5，则数列{an}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等. 提示：（1）错误.如－2，－1，0，1，2是等差数列，但其绝对值就不是等差数列. （2）错误.如数列－1，2，－3，4，－5其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列. （3）正确.根据等差数列的通项可判定对任意n∈N＋，都有2an＋1＝an＋an＋2成立. （4）正确.因为an＝3n＋5的公差d＝3，而直线y＝3x＋5的斜率也是3. 1.在等差数列{an}中，若a5＝6，a8＝15，则a4＋a9＝（　　） A.32　　　　　　　　　 B.21 C.－33 D.29 解析：B　由等差数列的性质知a4＋a9＝a5＋a8＝21. 2.在等差数列{an}中，已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝（　　） A.90 B.270 C.180 D.360 解析：C　因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，所以a5＝90，所以a2＋a8＝2a5＝2×90＝180. 3.在等差数列{an}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，则2a9－a10的值为　30　. 解析：∵a2＋a14＝2a8，∴a2＋2a8＋a14＝4a8＝120， ∴a8＝30.∴2a9－a10＝（a8＋a10）－a10＝a8＝30. 题型一 等差中项的应用 【例1】　（1）在△ABC中，若角B是A与C的等差中项，则cos B＝（　　） A. B.－ C. D.－ （2）若是与的等差中项，求证：，，成等差数列. （1）解析：A　∵角B是A与C的等差中项，∴2B＝A＋C，又∵A＋C＋B＝π，∴3B＝π，即B＝.∴cos B＝. （2）证明：∵是与的等差中项， ∴＝＋，即2ac＝b（a＋c）. ∵＋＝＝ ＝＝＝， ∴是与的等差中项， ∴，，成等差数列. 通性通法 　　a，b，c成等差数列的充要条件是b＝（或2b＝a＋c），可利用此关系进行等差数列的判断或有关等差中项的计算.如若证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2（n∈N＋）. 【跟踪训练】 1.已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是（　　） A.2 B.3 C.6 D.9 解析：B　由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.两式相加，得3m＋3n＝18，即m＋n＝6.所以m和n的等差中项为＝3. 2.若，，是等差数列，求证：b2是a2与c2的等差中项. 证明：由已知得＋＝，通分有＝. 进一步变形有2（b＋c）（a＋b）＝（2b＋a＋c）（a＋c），整理得a2＋c2＝2b2，所以b2是a2与c2的等差中项. 题型二 等差数列性质的应用 【例2】　（1）已知等差数列{an}中，a2＋a4＝6，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝（　　） A.30 B.15 C.5 D.10 （2）设{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝（　　） A.0 B.37 C.100 D.－37 答案：（1）B　（2）C 解析：（1）∵数列{an}为等差数列，∴a2＋a4＝2a3＝6，∴a3＝3.∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5a3＝15. （2）设cn＝an＋bn，由于{an}，{bn}都是等差数列，则{cn}也是等差数列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100，∴{cn}的公差d＝c2－c1＝0，∴c37＝100，即a37＋b37＝100. 【母题探究】 1.（变条件）若本例（1）中的条件“a2＋a4＝6”变为“a1＋a5＝6”，其他条件不变，结论又如何呢？ 解：由等差数列的性质知， a1＋a5＝2a3，∴a3＝＝＝3， ∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝（a1＋a5）＋（a2＋a4）＋a3＝2a3＋2a3＋a3＝5a3＝15. 2.（变设问）若本例（2）条件不变，令cn＝an＋bn，求数列{cn}的通项公式. 解：由等差数列的性质知{cn}也是等差数列， 且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100， ∴公差d＝c2－c1＝0，∴cn＝c1＋（n－1）d＝100. 通性通法 1.本例（1）的求解主要用到了等差数列的性质：若s＋t＝p＋q，则as＋at＝ap＋aq. 对于此性质，应注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立.例如，a15≠a7＋a8，但a6＋a9＝a7＋a8；a1＋a21≠a22，但a1＋a21＝2a11. 2.本例（2）应用了等差数列的性质：若{an}，{bn}是等差数列，则{an＋bn}也是等差数列.灵活运用等差数列的某些性质，可以提高我们分析、解决数列综合问题的能力，应注意加强这方面的训练. 【跟踪训练】 1.已知{an}为等差数列，a4＋a7＋a10＝30，则a3－2a5的值为（　　） A.10 B.－10 C.15 D.－15 解析：B　法一　设等差数列{an}的公差为d，则30＝（a1＋3d）＋（a1＋6d）＋（a1＋9d）＝3a1＋18d，即a1＋6d＝10.a3－2a5＝（a1＋2d）－2（a1＋4d）＝－a1－6d＝－10. 法二　由等差数列的性质知30＝a4＋a7＋a10＝3a7，则a7＝10.a3－2a5＝a3－（a3＋a7）＝－a7＝－10. 2.在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝　180　. 解析：∵a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，∴（a3＋a7）＋（a4＋a6）＋a5＝5a5＝450，解得a5＝90.∴a2＋a8＝2a5＝180. 题型三 等差数列的实际应用 【例3】　某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？ 解：设从第一年起，第n年的利润为an万元， 则a1＝200，an＋1－an＝－20（n∈N＋）， ∴每年的利润构成一个等差数列{an}， 从而an＝a1＋（n－1）d＝200＋（n－1）×（－20）＝220－20n. 若an＜0，则该公司经销这一产品将亏损. ∴由an＝220－20n＜0，得n＞11， 即从第12年起，该公司经销此产品将亏损. 通性通法 解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点 （1）解决等差数列实际应用问题的基本步骤：①将已知条件翻译成数学语言，将实际问题转化成数学问题；②构建等差数列模型，由条件确定a1，d，n，an（或其中两个）；③利用通项公式或等差数列的性质求解等差数列问题；④将所求结果还原到实际问题中. （2）在解决与等差数列有关的实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键点. 【跟踪训练】 　现有一古题：“今有金棰，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何.”大致意思是：“现有一根金棰，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，问中间三尺共重多少斤.”若从头到尾，该金棰每一尺的质量构成等差数列，则该问题的答案为（　　） A.6斤 B.7斤 C.8斤 D.9斤 解析：D　设每一尺的重量构成等差数列{an}，由题意知，a1＝4，a5＝2，∴2a3＝a1＋a5＝6，即a3＝3，∴a2＋a3＋a4＝3a3＝9. 1.（多选）在等差数列{an}中，a2＝2，a8＝6，则a2与a8的等差中项是（　　） A.a5 B.a4 C.3 D.4 解析：AD　∵a2＋a8＝2a5，∴a5是a2与a8的等差中项.又∵a5＝＝4，∴a2与a8的等差中项为4. 2.在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝（　　） A.12 B.16 C.20 D.24 解析：B　因为数列{an}是等差数列，所以a2＋a10＝a4＋a8＝16. 3.若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值为（　　） A.26 B.29 C.39 D.52 解析：C　因为5，x，y，z，21成等差数列，所以y是x，z的等差中项，也是5，21的等差中项，所以x＋z＝2y，5＋21＝2y，所以y＝13，x＋z＝26，所以x＋y＋z＝39. 4.在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值.如果1 km高度的气温是8.5 ℃，5 km高度的气温是－17.5 ℃，则4 km高度的气温是　－11　℃. 解析：用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5，由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，解得d＝－6.5，∴an＝15－6.5n.∴a4＝－11. 5.已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式. 解：设公差为d，∵a1＋a7＝2a4， ∴a1＋a4＋a7＝3a4＝15. ∴a4＝5. 又∵a2a4a6＝45， ∴a2a6＝9， 即（a4－2d）（a4＋2d）＝9，亦即（5－2d）（5＋2d）＝9， 解得d＝±2. 若d＝2，an＝a4＋（n－4）d＝2n－3； 若d＝－2，an＝a4＋（n－4）d＝13－2n. 1.等差数列{an}中a2＝5，a6＝33，则a3＋a5＝（　　） A.35 B.38 C.45 D.48 解析：B　由等差数列的性质知a3＋a5＝a2＋a6＝38. 2.已知等差数列{an}：1，0，－1，－2，…；等差数列{bn}：0，20，40，60，…，则数列{an＋bn}是（　　） A.公差为－1的等差数列 B.公差为20的等差数列 C.公差为－20的等差数列 D.公差为19的等差数列 解析：D　（a2＋b2）－（a1＋b1）＝（a2－a1）＋（b2－b1）＝－1＋20＝19. 3.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（　　） A.1升 B.升 C.升 D.升 解析：B　设所构成的等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则有即化简得解得则a5＝a1＋4d＝，故第5节的容积为升. 4.已知等差数列{an}满足a4＋a5＝24，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝48，则{an}的公差为（　　） A.1 B.2 C.4 D.8 解析：C　因为a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝48，所以3（a3＋a4）＝48，即a3＋a4＝16， ① 又因为a4＋a5＝24. ② ②－①得a5－a3＝8，故d＝＝4. 5.（多选）设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系正确的是（　　） A.a＝－b　　　　　　　　B.a＝3b C.a＝－3b D.a＝b 解析：AB　由等差中项的定义知：x＝，x2＝，∴＝，即a2－2ab－3b2＝0. 故a＝－b或a＝3b. 6.（多选）等差数列{an}中，a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则（　　） A.公差d＝－4 B.a2＝7 C.数列{an}为递增数列 D.a3＋a4＋a5＝84 解析：BC　∵a1＋a2＋a3＝21，∴3a2＝21，∴a2＝7.∵a1＝3，∴d＝4.∴数列{an}为递增数列，a4＝a2＋2d＝15.∴a3＋a4＋a5＝3a4＝45.故选B、C. 7.已知等差数列{an}的公差为d（d≠0），且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m＝　8　. 解析：因为a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，所以a8＝8，即m＝8. 8.如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a4＝　4　；a1＋a2＋…＋a7＝　28　. 解析：由a3＋a4＋a5＝3a4＝12，所以a4＝4，a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28. 9.已知数列{an}满足①∀k∈N＋，ak＋1＞ak；②∀k∈N＋，｜ak＋1－ak｜≤2，请写出一个满足条件的数列的通项公式　an＝n（n∈N＋）　（答案不唯一）. 解析：∀k∈N＋，ak＋1＞ak，说明数列是递增数列，由∀k∈N＋，｜ak＋1－ak｜＜2，不妨设该数列为等差数列，公差为1，首项为1，所以an＝n. 10.有一批豆浆机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售.某单位购买一批此类豆浆机，问去哪家商场买花费较少. 解：设单位需购买豆浆机n台，在甲商场购买每台售价不低于440元，售价依台数n成等差数列.设该数列为{an}. an＝780＋（n－1）（－20）＝800－20n， 解不等式an≥440，即800－20n≥440，得n≤18. 当购买台数小于等于18台时，每台售价为（800－20n）元，当台数大于18台时，每台售价为440元. 到乙商场购买，每台售价为800×75%＝600（元）. 作差（800－20n）n－600n＝20n（10－n）， 当n＜10时，600n＜（800－20n）n， 当n＝10时，600n＝（800－20n）n， 当10＜n≤18时，（800－20n）n＜600n， 当n＞18时，440n＜600n. 即当购买少于10台时到乙商场花费较少，当购买10台时到两商场购买花费相同，当购买多于10台时到甲商场购买花费较少. 11.（多选）在等差数列{an}中每相邻两项之间都插入k（k∈N＋）个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.若b9是数列{an}的项，则k的值可能为（　　） A.1 B.3 C.5 D.7 解析：ABD　由题意得：插入k（k∈N＋）个数，则a1＝b1，a2＝bk＋2，a3＝b2k＋3，a4＝b3k＋4，…，所以等差数列{an}中的项在新的等差数列{bn}中间隔排列，且下角标是以1为首项，k＋1为公差的等差数列，所以an＝b1＋（n－1）（k＋1），因为b9是数列{an}的项，所以令1＋（n－1）（k＋1）＝9，n∈N＋，k∈N＋，当n＝2时，解得k＝7，当n＝3时，解得k＝3，当n＝5时，解得k＝1，故k的值可能为1，3，7，故选A、B、D. 12.已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，则a7＋a9＝　　，若ak＝13，则k＝　18　. 解析：∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17，∴a7＝.∵a4＋a5＋…＋a14＝11a9＝77，∴a9＝7，∴a7＋a9＝，设公差为d，则d＝.∴ak－a9＝（k－9）d，即13－7＝（k－9）×，解得k＝18. 13.已知等差数列{an}的公差大于零，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22. （1）求数列{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足bn＝，是否存在非零实数c，使数列{bn}为等差数列？若存在，求出实数c的值；若不存在，请说明理由. 解：（1）因为数列{an}为等差数列，所以a3＋a4＝a2＋a5＝22. 又a3·a4＝117，所以得 解得或又公差d＞0，所以a3＜a4， 所以所以解得 所以数列{an}的通项公式为an＝4n－3. （2）若bn＝为等差数列，则必有2b2＝b1＋b3， 又b1＝，b2＝，b3＝，其中c≠0， 所以×2＝＋，所以2c2＋c＝0，所以c＝－或c＝0（舍去）.将c＝－代入bn＝，得bn＝2n，此时{bn}为等差数列，即存在非零实数c＝－，使数列{bn}为等差数列. 14.已知{an}是公差为正数的等差数列，a1＋a2＋a3＝15，a1·a2·a3＝80，则a11＋a12＋a13的值为（　　） A.105 B.120 C.90 D.75 解析：A　由等差数列的性质得a1＋a2＋a3＝3a2＝15，所以a2＝5，又因为a1·a2·a3＝80，所以a1·a3＝16，所以（a2－d）·（a2＋d）＝16，即（5－d）（5＋d）＝16，所以d2＝9，又因为d＞0，所以d＝3.所以a11＋a12＋a13＝3a12＝3（a2＋10d）＝3×（5＋10×3）＝105. 15.已知无穷等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出序号能被4除余3的项组成数列{bn}. （1）求b1和b2； （2）求{bn}的通项公式； （3）{bn}中的第503项是{an}中的第几项？ 解：数列{bn}是数列{an}的一个子数列，其序号构成以3为首项，4为公差的等差数列，由于{an}是等差数列，则{bn}也是等差数列. （1）因为a1＝3，d＝－5， 所以an＝3＋（n－1）×（－5）＝8－5n. 数列{an}中序号被4除余3的项是{an}中的第3项，第7项，第11项，…， 所以b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27. （2）设{an}中的第m项是{bn}中的第n项，即bn＝am， 则m＝3＋4（n－1）＝4n－1， 所以bn＝am＝a4n－1＝8－5×（4n－1）＝13－20n， 即{bn}的通项公式为bn＝13－20n（n∈N＋）. （3）b503＝13－20×503＝－10 047， 设它是{an}中的第m项，则－10 047＝8－5m， 解得m＝2 011， 即{bn}中的第503项是{an}中的第2 011项. 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $