12.2 复数的运算（4知识点+7题型+过关检测）（预习讲义）高一数学苏教版

12.2 复数的运算 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：复数的加减运算 1、 复数的加法与减法 设, 是任意两个复数，那么 复数的加法：. 复数的减法：. 由此可见，两个复数相加（相减）就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加（相减）。 2、 复数的加法满足的运算律 交换律 结合律 注意：两个复数的和（差）仍是一个复数，复数的减法是加法的逆运算。 （2025高二上·河南·学业考试）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的运算即可求解. 【详解】， 故选：D. 知识点2：复数的乘除运算 1、 复数的乘法与除法 设, 是任意两个复数，那么 复数的乘法：. 复数的除法：. 2、 复数的乘法满足的运算律 交换律 结合律 分配律 3、 复数的乘方 在复数范围内，正整数指数幂的运算律成立() 4、 的乘方的周期性 虚数单位的乘方有周期性， 注意：两个复数的积仍是一个复数。两个复数的商（除数不为0）也是复数 （25-26高三上·湖北黄冈·期末）若复数，则（    ） A． B．3i C． D．3 【答案】A 【分析】根据复数的乘方运算以及除法运算即可计算出结果. 【详解】易知，所以复数， 可得，所以. 故选：A 知识点3：共轭复数的性质 1、 定义：把实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数。如果复数,那么它的共轭复数为 2、 共轭复数的一些性质： (1)；； (2)若,则z为实数，反之也成立 (3) 若则z为纯虚数或者0 (4) （2016·河北衡水·一模）设，则是为纯虚数的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】根据共轭复数的特征，复数的概念，以及充分条件与必要条件的判断方法，即可得出结果. 【详解】对于复数，若，则不一定为纯虚数，可以为； 反之，若为纯虚数，则， 所以是为纯虚数的必要非充分条件. 故选：B. 知识点4：复数范围内方程的解 若一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实根； 当时，方程有两个相等的实根； 当时，方程有两个虚根，且两个虚数根互为共轭复数. 注意：无论是实根还是虚根，方程的两个根都满足。 （24-25高一下·甘肃定西·期末）已知是虚数单位，是关于的方程（其中）的一个根，则= . 【答案】 【分析】根据题意，得到，列出方程组，求得，结合复数模的计算公式，即可求解. 【详解】由是关于的方程的一个根， 可得，整理得， 所以，解得，所以， 则. 故答案为：. 复数的加减运算 例1. （2025高二上·贵州·学业考试）已知复数（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的加法计算. 【详解】， . 故选：C. 【变式1-1】 （25-26高三上·江西南昌·月考）已知复数，则（    ） A．为实数 B． C．的虚部为2 D．为纯虚数 【答案】D 【分析】直接计算复数的和，逐项判断. 【详解】根据题意，，其虚部为，A、C错误，D正确； ，B错误. 故选：D 【变式1-2】 （25-26高三上·湖北武汉·月考）已知复数z满足，则的虚部为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】设出复数，利用共轭复数的意义及复数相等，列式求出即可. 【详解】设，由，得， 则，因此，所以复数的虚部为. 故选：A 【变式1-3】 （25-26高三上·河北·期末）已知复数，则（   ） A．的实部大于的实部 B．为纯虚数 C．的虚部小于的虚部 D． 【答案】D 【分析】根据复数的概念、复数的乘法运算一一判定即可. 【详解】对于A选项：的实部2小于的实部3，A错误； 对于B选项：，不是纯虚数，B错误； 对于C选项：的虚部大于的虚部，C错误； 对于D选项：，D正确. 故选：D. 复数的乘除运算 例2. （天津市红桥区2025-2026学年高三上学期期末考试数学试卷）已知i是虚数单位，若复数 则 【答案】 【分析】根据复数除法运算化简,再利用共轭复数的定义即可求得结果. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 【变式2-1】 （2025·广东·模拟预测）的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数混合运算得，进而可得解． 【详解】依题意，，故所求虚部为． 故选：A． 【变式2-2】 （江苏省扬州市2026届高三上学期期末考试数学试题）已知复数满足，则等于（   ）. A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据复数的除法化简，再根据复数模的计算公式计算即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：A 【变式2-3】 （内蒙古呼和浩特市2025-2026学年高三上学期期末数学试题）若复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据共轭复数的定义先求，再求复数的模，最后即可求解. 【详解】由题意有：，， 所以， 故选：A. 复数的乘方运算 例3. （25-26高三上·江苏·期末）已知复数，则（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用复数的除法求出，再利用复数乘方及复数模的意义求得答案. 【详解】依题意，复数， 所以. 故选：C 【变式3-1】 （2026·湖北·模拟预测）复数的虚部为（    ） A． B． C． D．i 【答案】B 【分析】应用复数的乘方及除法运算化简，再应用虚部的定义求解. 【详解】， 所以复数的虚部为. 故选：B. 【变式3-2】 （2026·河北·一模）已知复数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用复数的乘方及除法运算求出，进而求出该复数的模. 【详解】依题意，， 所以. 故选：B 【变式3-3】 （2025高三上·江苏南通·专题练习）若复数满足，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据复数的运算法则确定复数，再根据复数虚部的概念确定复数的虚部. 【详解】由题意，， 故复数z的虚部为 故选：B 共轭复数的特征 例4. （24-25高一下·安徽·月考）设z是复数，是其共轭复数，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D．必是实数 【答案】CD 【分析】对于AB，举反例即可判断；对于CD，由模的计算公式、复数加法和乘法验算即可. 【详解】对A，取，则，A错． 对B，取，则，B错． 对C，设，则，因此，C对． 对D，设，则，因此为实话，D对． 故选：CD． 【变式4-1】 （2024·上海长宁·一模）已知复数z和，则下列说法正确的是（   ） A．一定是实数 B．一定是虚数 C．若，则是纯虚数 D．若，则是纯虚数 【答案】A 【分析】根据复数的加减法，结合虚数和纯虚数的定义即可逐一求解. 【详解】设,则故为实数，故A正确， 对于B，，当时，此时为实数，故B错误， 对于C，则，当时，此时为实数，C错误， 对于D, ，则，则是实数，故D错误， 故选：A 【变式4-2】 （25-26高三上·福建福州·月考）设，均为复数，下列命题中正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据复数的加法、减法、乘法运算及复数的共轭复数的模对选项逐一分析，举反例可判断D. 【详解】对于A：设，，其中，，，， 则，，， 所以，故A正确； 对于B：设，，其中，，，， 则， ， 所以，故B正确； 对于C：若，则， 同理可得，故C正确； 对于D：若，取，，满足条件， 但，故D错误. 故选：ABC. 【变式4-3】 （25-26高三上·安徽·期中）设，均为非零复数，下列命题中正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据复数的加法、减法、除法运算及复数的共轭复数的模对选项逐一分析即可. 【详解】对于A：设，，，，，， 则，，， 所以，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C：若，则，，故C正确； 对于D：若，取，，满足条件，但，故D错误. 故选：ABC. 复数的复合运算 例5. （25-26高三上·福建厦门·期中）已知复数，，则下列复数为纯虚数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用复数的四则运算逐一分析四个选项得答案． 【详解】，， ，， ， . 故选：BD 【变式5-1】 （25-26高二上·湖南长沙·月考）若复数，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由题意，根据复数的加减乘以及模长公式，可得答案. 【详解】因为，，所以，， 所以，. 故选：ABD. 【变式5-2】 （25-26高二上·湖北十堰·开学考试）已知，，则（） A． B．的共轭复数是 C．的虚部是 D．是纯虚数 【答案】ACD 【分析】对于A，根据复数的加法运算及复数的模的计算公式求解即可；对于B，根据复数的减法运算及费轭复数的概念即可求解；对于C，根据复数的乘法运算即可求出，连而可求虚部；对于D，根据复数的除法运算即可求出，进而判断是不是纯虚数. 【详解】对于A，，，故A正确； 对于B，，的共轭复数为，故B错误； 对于C，，的虚部为3，故C正确； 对于D，，故为纯虚数，故D正确. 故选：ACD 【变式5-3】 （25-26高二上·浙江·开学考试）已知复数，其中，为虚数单位，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若为实数，则 D．若为纯虚数，则 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用复数模、复数的乘除法运算，结合复数的概率逐项求解. 【详解】对于A，当时，， ，A正确； 对于B，，无解，B错误； 对于C，，由为实数，得，C正确； 对于D，， 由为纯虚数，得且，解得，D错误. 故选：AC 复数范围内分解因式 例6. （24-25高一上·上海·随堂练习）在复数范围内分解因式：. 【答案】. 【分析】在复数集内求出方程，再求出因式分解结果. 【详解】由，得，则或，解得或， 所以. 【变式6-1】 （24-25高一上·上海·课后作业）在复数范围内分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，利用平方差公式即可得解； （2）将原式配成完全平方式，再根据，利用平方差公式即可得解； 【详解】（1） （2） . 【变式6-2】 （24-25高一上·上海·课堂例题）在复数范围内分解因式： (1)； (2). 【答案】(1)； (2). 【分析】将原式配成完全平方式，再根据，即可得解； 【详解】（1） . （2）. 【变式6-3】 （24-25高一上·上海·课堂例题）在复数范围内分解因式： (1)； (2). 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先应用求根公式再写成两个因式相乘； （2）先应用求根公式再写成两个因式相乘. 【详解】（1）由方程可知， 所以方程有两个共轭虚根为， 故. （2）由方程可知， 所以方程有两个共轭虚根为， 复数范围内方程的根 例7. （24-25高一下·全国·课后作业）若，则 ． 【答案】或 【分析】利用求根公式计算. 【详解】， 或． 故答案为：或. 【变式7-1】 （24-25高二下·广东广州·期末）已知复数满足，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的配方法求根得，进而求解复数模长得结论． 【详解】复数满足， 即，可得， 则． 故选：B． 【变式7-2】 （25-26高三上·重庆沙坪坝·月考）已知关于 的方程 的根为复数 ，其中 为虚数单位，则 . 【答案】 【分析】令，代入方程，利用复数相等，求出，即可求得. 【详解】由题意，令， 则， 展开并整理得， 所以，解得或， 则或， 当时，；当时，, 所以. 故答案为： 【变式7-3】 （25-26高三上·全国·月考）若虚数i是关于的方程的一个根，则（   ） A． B．1 C．0 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据复数相等计算即可. 【详解】因为i是方程，，的一个根， 所以，即， 所以，，所以，， 因此． 故选：B． 1．（25-26高三上·江苏无锡·月考）已知复数的模长为1，且，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】设，，再用待定系数方法，结合复数相等得解. 【详解】设，， 因为复数的模长为1，所以， 所以，， 因为，所以， 所以， 所以， 所以，， 所以. 故选：B. 2．（北京市西城区2026届高三上学期期末考试数学试题）复数的模等于（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先将复数化简为代数形式，再根据复数模的计算公式求解. 【详解】因为， 所以复数的模为. 故选：B. 3．（北京市石景山区2026届高三上学期期末考试数学试题）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的除法运算先求共轭复数，再求得，利用公式求解模长即可. 【详解】，， ，故. 故选：D. 4．（25-26高三上·天津滨海新·月考）已知是虚数单位，则 ． 【答案】 【分析】根据复数的运算求解即可. 【详解】因为 所以 故答案为： 5．（25-26高三上·河北保定·月考）已知复数满足，则（    ） A．与的实部相等 B． C． D． 【答案】BD 【分析】通过反例可说明AC错误；根据复数模长的性质可知BD正确. 【详解】对于A，若，，满足，此时实部不相等，A错误； 对于B，，，，，B正确； 对于C，若，，，则，， 此时，C错误； 对于D，设复数，，则， ， ，，，，D正确. 故选：BD. 6．（2026·河北沧州·一模）已知为复数，下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若是方程的两根，则 【答案】ABD 【分析】设，，应用复数的相关概念及共轭复数的运算判断A、B；取，判断C，由方程复数根的性质、韦达定理判断D. 【详解】A，设，， ， ， 所以，正确； B，设，则， 由，得，所以，正确； C，若，不妨取，， 此时，但不成立，错误； D，若是方程的两根， 根据韦达定理可知， 则，正确． 故选：ABD 7．（25-26高三上·福建福州·月考）设为复数的共轭复数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程求出，逐项判断. 【详解】由方程得， 对于A：显然不对，A错误； 对于B：若，则；若，则；B错误； 对于C：法1，若，，则； 若，，则；C错误； 法2，是实系数二次方程的两根，所以，C错误； 对于D：法1，若，，则； 若，，则；D正确； 法2，是实系数二次方程的两根，所以，D正确； 故选：D． 8．（24-25高一下·上海浦东新·期末）在复数范围内分解因式 ． 【答案】 【分析】利用平方差公式以及复数运算来求得正确答案. 【详解】 . 故答案为： 9．（25-26高三上·安徽·月考）记方程的三个不相等的复数根分别为，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用因式分解可求三个复数根，再逐项计算后可得正确的选项. 【详解】因为，故， 故或，故或， 故或，而，故，故A正确； 不妨设，则，故B正确； ，故C正确； ，而， 故，故D错误. 故选：ABC. 10．（25-26高三上·湖北·期中）若为复数，则下列选项一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】通过反例可说明BD错误；设，，根据复数和运算与共轭复数的定义可知A正确；根据复数乘法、共轭复数定义和模长运算可求得C正确. 【详解】对于A，设，， 则，； ，，A正确； 对于B，若，则，，则，B错误； 对于C，设，则， ，，C正确； 对于D，若，，则， ，，D错误. 故选：AC. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 12.2 复数的运算 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：复数的加减运算 1、 复数的加法与减法 设, 是任意两个复数，那么 复数的加法：. 复数的减法：. 由此可见，两个复数相加（相减）就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加（相减）。 2、 复数的加法满足的运算律 交换律 结合律 注意：两个复数的和（差）仍是一个复数，复数的减法是加法的逆运算。 （2025高二上·河南·学业考试）（    ） A． B． C． D． 知识点2：复数的乘除运算 1、 复数的乘法与除法 设, 是任意两个复数，那么 复数的乘法：. 复数的除法：. 2、 复数的乘法满足的运算律 交换律 结合律 分配律 3、 复数的乘方 在复数范围内，正整数指数幂的运算律成立() 4、 的乘方的周期性 虚数单位的乘方有周期性， 注意：两个复数的积仍是一个复数。两个复数的商（除数不为0）也是复数 （25-26高三上·湖北黄冈·期末）若复数，则（    ） A． B．3i C． D．3 知识点3：共轭复数的性质 1、 定义：把实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数。如果复数,那么它的共轭复数为 2、 共轭复数的一些性质： (1)；； (2)若,则z为实数，反之也成立 (3) 若则z为纯虚数或者0 (4) （2016·河北衡水·一模）设，则是为纯虚数的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 知识点4：复数范围内方程的解 若一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实根； 当时，方程有两个相等的实根； 当时，方程有两个虚根，且两个虚数根互为共轭复数. 注意：无论是实根还是虚根，方程的两个根都满足。 （24-25高一下·甘肃定西·期末）已知是虚数单位，是关于的方程（其中）的一个根，则= . 复数的加减运算 例1. （2025高二上·贵州·学业考试）已知复数（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】 （25-26高三上·江西南昌·月考）已知复数，则（    ） A．为实数 B． C．的虚部为2 D．为纯虚数 【变式1-2】 （25-26高三上·湖北武汉·月考）已知复数z满足，则的虚部为（   ） A． B． C．2 D． 【变式1-3】 （25-26高三上·河北·期末）已知复数，则（   ） A．的实部大于的实部 B．为纯虚数 C．的虚部小于的虚部 D． 复数的乘除运算 例2. （天津市红桥区2025-2026学年高三上学期期末考试数学试卷）已知i是虚数单位，若复数 则 【变式2-1】 （2025·广东·模拟预测）的虚部为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】 （江苏省扬州市2026届高三上学期期末考试数学试题）已知复数满足，则等于（   ）. A．1 B． C．2 D． 【变式2-3】 （内蒙古呼和浩特市2025-2026学年高三上学期期末数学试题）若复数，则（    ） A． B． C． D． 复数的乘方运算 例3. （25-26高三上·江苏·期末）已知复数，则（   ） A．0 B．1 C． D．2 【变式3-1】 （2026·湖北·模拟预测）复数的虚部为（    ） A． B． C． D．i 【变式3-2】 （2026·河北·一模）已知复数，则（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】 （2025高三上·江苏南通·专题练习）若复数满足，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 共轭复数的特征 例4. （24-25高一下·安徽·月考）设z是复数，是其共轭复数，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D．必是实数 【变式4-1】 （2024·上海长宁·一模）已知复数z和，则下列说法正确的是（   ） A．一定是实数 B．一定是虚数 C．若，则是纯虚数 D．若，则是纯虚数 【变式4-2】 （25-26高三上·福建福州·月考）设，均为复数，下列命题中正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【变式4-3】 （25-26高三上·安徽·期中）设，均为非零复数，下列命题中正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 复数的复合运算 例5. （25-26高三上·福建厦门·期中）已知复数，，则下列复数为纯虚数的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】 （25-26高二上·湖南长沙·月考）若复数，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】 （25-26高二上·湖北十堰·开学考试）已知，，则（） A． B．的共轭复数是 C．的虚部是 D．是纯虚数 【变式5-3】 （25-26高二上·浙江·开学考试）已知复数，其中，为虚数单位，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若为实数，则 D．若为纯虚数，则 复数范围内分解因式 例6. （24-25高一上·上海·随堂练习）在复数范围内分解因式：. 【变式6-1】 （24-25高一上·上海·课后作业）在复数范围内分解因式： (1)； (2)． 【变式6-2】 （24-25高一上·上海·课堂例题）在复数范围内分解因式： (1)； (2). 【变式6-3】 （24-25高一上·上海·课堂例题）在复数范围内分解因式： (1)； (2). 复数范围内方程的根 例7. （24-25高一下·全国·课后作业）若，则 ． 【变式7-1】 （24-25高二下·广东广州·期末）已知复数满足，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【变式7-2】 （25-26高三上·重庆沙坪坝·月考）已知关于 的方程 的根为复数 ，其中 为虚数单位，则 . 【变式7-3】 （25-26高三上·全国·月考）若虚数i是关于的方程的一个根，则（   ） A． B．1 C．0 D．不能确定 1．（25-26高三上·江苏无锡·月考）已知复数的模长为1，且，则（    ） A． B．1 C． D． 2．（北京市西城区2026届高三上学期期末考试数学试题）复数的模等于（   ） A．1 B． C．2 D． 3．（北京市石景山区2026届高三上学期期末考试数学试题）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·天津滨海新·月考）已知是虚数单位，则 ． 5．（25-26高三上·河北保定·月考）已知复数满足，则（    ） A．与的实部相等 B． C． D． 6．（2026·河北沧州·一模）已知为复数，下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若是方程的两根，则 7．（25-26高三上·福建福州·月考）设为复数的共轭复数，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·上海浦东新·期末）在复数范围内分解因式 ． 9．（25-26高三上·安徽·月考）记方程的三个不相等的复数根分别为，其中，则（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·湖北·期中）若为复数，则下列选项一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $