17.3 一元二次方程根的判别式课件2025-2026学年沪科版数学八年级下册

17.3 一元二次方程根的判别式 第17章 一元二次方程及其应用 沪科版 八年级下册 知识回顾 1.一元二次方程的一般形式是什么？ 2.一元二次方程的求根公式是什么？ ax2+bx+c=0 (a,b,c为常数，a≠0） x=(a≠0，b²-4ac≥0） 知识讲解 回顾求根公式，想想方程ax2+bx+c=0（a≠0）有实数根的条件是什么？何时有两个相等的实数根？何时有两个不相等的实数根？ 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）经过配方可以得到： 因为a≠0，所以4a²＞0，这样由b²-4ac就可以确定是正数、零还是负数. 思考 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）. （1）当b²-4ac＞0时，＞0，则 . 因此，方程有两个不相等的实数根: x1=,x2=. x1=x2=. （3）当b²-4ac＜0时，＜0，则(x +)²＜0. 而取任何实数都不能使(x +)²＜0.因此，方程没有实数根. （2）当b²-4ac=0时，=0，因此方程有两个相等的实数根: 以上三个结论反过来也是正确的. 一元二次方程根的判别式： 我们把b2－4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即Δ=b2－4ac. 特别提醒： （1）确定根的判别式时，需先将方程化为一般形式，确定a，b，c后再计算； （2）使用一元二次方程根的判别式的前提是二次项系数不为0. 一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，其中Δ=b2－4ac. 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ＜0时，方程没有实数根. 总结 例 用根的判别式判别下列方程根的情况： (1)5x²-3x-2=0; （2）25y²+4=20y； （3）2x²+x+1=0. 教材例题 解：(1)因为=(-3)²-4×5×(-2)=49＞0， 所以原方程有两个不相等的实数根. (2)原方程可变形为25y²-20y+4=0. 因为=(-20)²-4×25×4=0， 所以原方程有两个相等的实数根. (3)因为=()²-4×2×1 =-5＜0， 所以原方程没有实数根. 例 用根的判别式判别下列方程根的情况： (1)2x²+x-4=0; 例题解读 解：a=2,b=1,c=-4. 因为=b²-4ac=1²-4×2×(-4)=33＞0， 所以方程有两个不相等的实数根. 例 用根的判别式判别下列方程根的情况： (2)4y²+9=12y； 解：原方程化为一般形式，得4y²-12y+9=0. a=4,b=-12,c=9. 因为=b²-4ac=(-12)²-4×4×9=0， 所以原方程有两个相等的实数根. 例题解读 例 用根的判别式判别下列方程根的情况： （3）5(t²+1)-6t=0. 解：原方程化为一般形式，得5t²-6t+5=0. a=5,b=-6,c=5. 因为=b²-4ac=(-6)²-4×5×5=-64＜0， 所以原方程没有实数根. 例题解读 课堂小结 根的判别式 Δ = b2 - 4ac 当Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根 当Δ < 0 时，方程没有实根 当Δ = 0 时，方程有两个相等的实根 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况. 1. 一元二次方程x2＋4x＋6＝0根的判别式的值为　（　B　） A. 8 B. －8 C. 2 D. －2 B 随堂练习 2. 一元二次方程x2＋3x－2＝0的根的情况为（　A　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 A A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 [变式] （2025·合肥四十二中期末）关于x的一元二次方程x2＋ ax－1＝0的根的情况是（　B　） B 3.下列方程中，有两个相等的实数根的是（　A　） A. x2＋1＝2x B. x2＋1＝0 C. x2－2x＝3 D. x2－2x＝0 A 4. （教材P35练习T1变式）不解方程，判别下列方程根的情 况： （1）x2－10x＋21＝0； 解：∵Δ＝（－10）2－4×1×21＝100－84＝16＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根. （2）2y2－2 y＋1＝0； 解：∵Δ＝（－2 ）2－4×2×1＝0， ∴原方程有两个相等的实数根. （3）x2＝3（2x－3）. 解：原方程可变形为x2－6x＋9＝0. ∵Δ＝（－6）2－4×1×9＝0， ∴原方程有两个相等的实数根. 5. 若关于x的方程x2－x＋m＝0没有实数根，则m的值可以是 （　D　） A. －1 B. C. 0 D. 1 D 6. （易错）若关于x的一元二次方程mx2＋2x＋1＝0有实数 根，则m的取值范围是（　D　） A. m≥－1 B. m≤1 C. m≥－1且m≠0 D. m≤1且m≠0 [变式] （2025·合肥四十六中期末）已知关于x的方程（m－ 1）x2－x－2＝0，当该方程总有实数根时，m的取值范围 是 ⁠. D m≥ 　 7. 关于x的一元二次方程ax2＋2x＋c＝0（a≠0）有两个相等 的实数根.写出一组满足条件的实数a，c的值：a＝ ，c ＝ .（答案不唯一） 1　 1　 （答案不唯一） 8. （教材P35练习T2变式）当k为何值时，关于x的方程x2＋ 3x＋k－1＝0分别满足下列条件？ （1）有两个不相等的实数根； （1）若方程有两个不相等的实数根， 则Δ＞0，即13－4k＞0，解得k＜ . （2）有两个相等的实数根； （2）若方程有两个相等的实数根， 则Δ＝0，即13－4k＝0，解得k＝ . 解：由题意，得Δ＝32－4（k－1）＝13－4k. （3）没有实数根； （3）若方程没有实数根， 则Δ＜0，即13－4k＜0，解得k＞ . （4）有实数根. （4）若方程有实数根， 则Δ≥0，即13－4k≥0，解得k≤ . 9. （2025·安庆潜山期中）已知关于x的一元二次方程x2－｜a －2｜x＋4＝0有两个相等的实数根，则a的值为（　D　） A. －2 B. 6 C. －6或2 D. －2或6 D 10. （2025·安庆宜秀区月考）若关于x的一元二次方程x2＋4x －m＝0有两个不相等的实数根，则点P（m＋5，－m－6）所 在的象限是（　D　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 [变式] 已知a，b，c为常数，点P（a，c）在第四象限，则关 于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是 ⁠ ⁠. D 有两个不相等的实 数根　 11. 【新考法·新定义】定义运算：m☆n＝n2－mn－1.例如， 5☆3＝32－5×3－1＝－7，则方程2☆x＝6的根的情况为 （　A　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 A 12. 已知关于x的方程x2－2mx＋m2－1＝0. （1）求证：对于任意实数m，该方程总有两个不相等的实 数根； 解：（1）证明：∵Δ＝（－2m）2－4（m2－1）＝4＞0， ∴对于任意实数m，该方程总有两个不相等的实数根. （2）若x＝2是该方程的一个根，求代数式 －3m2＋12m＋24 的值. 解：（2）将x＝2代入原方程，得4－4m＋m2－1＝0，即m2－ 4m＝－3， ∴－3m2＋12m＋24＝－3（m2－4m）＋24＝－3×（－3）＋ 24＝33. 13. （2025·阜阳界首期末）已知x1，x2是关于x的一元二次方 程（m＋2）x2＋2（m－2）x＋m＋10＝0的两个实数根. （1）求m的取值范围. 解：（1）∵x1，x2是关于x的一元二次方程（m＋2）x2＋2 （m－2）x＋m＋10＝0的两个实数根， ∴ 解得m≤－1且m≠－2. （2）已知等腰三角形ABC的底边BC＝4.若x1，x2恰好是 △ABC另外两边的长，求这个三角形的周长. 解：（2）∵等腰三角形ABC的底边BC＝4，且x1，x2恰好是 △ABC另外两边的长，∴x1＝x2， ∴Δ＝[2（m－2）]2－4（m＋2）（m＋10）＝0，解得m＝ －1， ∴原方程为x2－6x＋9＝0，解得x1＝x2＝3. ∵3，3，4可以组成三角形， ∴这个三角形的周长为3＋3＋4＝10. 14. （2025·合肥肥东期末）已知关于x的一元二次方程x2＋mx ＋n＝0，有下列说法：①若m－2n＝1，则方程一定有两个不 相等的实数根；②若m2－2n＜0，则方程没有实数根；③若x ＝n是方程x2＋mx＋n＝0的一个根，则m＋n＝－1；④若x＝ t（t≠0）是方程x2＋mx＋n＝0的一个根，则x＝ 是方程nx2 ＋mx＋1＝0的一个根.其中正确的个数是（　C　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 C 【解析】①对于方程x2＋mx＋n＝0，Δ＝m2－4×1×n＝m2－ 4n. 若m－2n＝1，则m＝2n＋1，∴Δ＝m2－4n＝（2n＋1）2－ 4n＝4n2＋4n＋1－4n＝4n2＋1＞0，∴方程x2＋mx＋n＝0一 定有两个不相等的实数根.故①正确. ②由①可知，Δ＝m2－4n. 若m2－2n＜0，则m2＜2n，即2n＞m2≥0，则4n＞2n＞ m2≥0， ∴Δ＝m2－4n＜0，∴方程x2＋mx＋n＝0没有实数根.故②正 确. ③若x＝n是方程x2＋mx＋n＝0的一个根，则n2＋mn＋n＝ 0，即n（n＋m＋1）＝0， ∴n＝0或n＋m＋1＝0，即n＝0或m＋n＝－1.故③错误. ④若x＝t（t≠0）是方程x2＋mx＋n＝0的一个根，则t2＋mt ＋n＝0. ∵t≠0，∴t2＋mt＋n＝0的两边同除以t2，得1＋m· ＋n· ＝0，即n（ ）2＋m· ＋1＝0， ∴x＝ 是方程nx2＋mx＋1＝0的一个根.故④正确. 综上所述，①②④正确，共有3个说法正确.故选C. $