2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册各章节知识点梳理

该高中数学知识清单系统梳理了数列与导数核心知识体系。从数列概念出发，涵盖分类、表示、等差等比数列的定义、通项、性质及前n项和，再过渡到导数的变化率、定义、几何意义、运算及应用（单调性、极值最值），形成完整学习支架。 知识链路按“概念-性质-推导-应用”逻辑展开，通过对比（等差与等比）、推导（倒序相加、错位相减）培养数学思维，例题与注释强化数学语言表达，助力学生用数学眼光构建知识框架，提升逻辑推理与应用能力。

4.1 数列的概念 一、数列的概念 1. 数列的有关概念 数列 按一定次序排列的一列数叫做数列 项 数列中的每一个数叫做这个数列的项 首项 数列的第1项常称为首项 通项 数列中的第项叫做数列的通项 2. 数列的表示 （1）一般形式：，，，…，，… （2）字母表示：上面的数列也可以记为 注：是数列的第项，也叫通项。 3. 对数列概念的理解 （1）数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．如，数列1，2，3，4，5与5，4，3，2，1是两个不同的数列. （2）数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别． 如，1，－1，1，－1，1，…；与2，2，2，2，2，…. （3）数列是一种特殊的函数 数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集和正整数集的有限子集。所以，数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点. （4）数列中的每一项与它的序号有相应的对应关系： 数列的项通常用字母加右下角标表示，其中右下角标表示项的位置序号 还应注意到，这里与是不同的；表示数列，，，…，，…，而只表示这个数列的第项，这里是数列的简记符号，并不表示一个集合. 二、数列的分类 分类 标准 类型 满足条件 举例 项数 有穷数列 项数有限 1，2，3，…， 无穷数列 项数无限 －1，1，－1，1，…，－1，1，… 项与项间的大小关系 递增数列 其中n∈N+ 2，4，6，8，10，…，，… 递减数列 ，，，，…， ，… 常数列 7，7，7，7，… 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 －1，2，－3，4，－5，… 其他 标准 周期数列 对数列{an}，若存在一个固定的正整数T，使得＋T＝恒成立，则称{}是周期为T的周期数列 有界(无界)数列 任一项的绝对值都小于某一正数的数列称为有界数列，即∃M∈R，|an|≤M，否则称为无界数列 三、数列的表示 数列是一类特殊的函数，由于一般函数有三种表示方法，数列也不例外，有列举法、图像法和解析法。（一）列表法 列出表格来表示数列{an}的第n项与序号n之间的关系．见下表： 序号n 1 2 3 … n … 项an a1 a2 a3 … an … （二）图象法 在平面直角坐标系中，数列的图象是一系列横坐标为正整数的孤立的点(n，an)． （三）解析式法 1. 数列的通项公式 （1）定义： 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．即.数列的通项公式就是相应函数的解析式． （2）作用： ① 求数列中的某项：如果已知数列的通项公式，那么只要用1，2，3，…代换公式中的，就可以求出这个数列的各项与指定项. ② 求数列的最值：根据通项公式，结合函数的性质，可以进一步探讨数列的增减性，数列的项的最大值或最小值. （3）常见数列的通项 ① 1，2，3，4，…的一个通项公式为an＝n. ② 2，4，6，8，…的一个通项公式为an＝2n. ③ 3，5，7，9，…的一个通项公式为an＝2n＋1. ④ 2，4，8，16，…的一个通项公式为an＝2n. ⑤ －1，1，－1，1，…的一个通项公式为an＝(－1)n. ⑥ 1，0，1，0，…的一个通项公式为an＝. ⑦ a，b，a，b，…的一个通项公式为an＝. ⑧ 9，99，999，…的一个通项公式为an＝10n－1. 【注释】 （1）数列的通项公式就是数列的函数解析式，只不过数列的自变量是离散的数，而非连续的数。数列的通项公式实际上是一个以正整数集或它的有限子集{1，2，3，…，}为定义域的函数表达式。 （2）不是所有的数列都有通项公式。如：的不同近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，0.0001，…所构成的数列1，1.4，1.41，1.414，1.4142，…就没有通项公式. （3）有的数列的通项公式在形式上不一定是唯一的.例如，数列－1，1，－1，1，…的通项公式，可以写成，也可以写成. 2. 递推公式： （1）定义： 如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. （2）作用： ① 求数列中的某项：只要给出数列的首项或前几项以及数列的相邻两项或几项之间的运算关系，通过赋值（用1，2，3......等代替递推公式中的n）可以逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项或所需的项. ② 求数列的通项公式：递推法经常用于得出数列的通项公式或者得到一个特殊数列，如具有周期性的数列 【注释】 （1） 不是所有的数列都有递推公式. （2） 递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式，如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项. （3） 用递推公式求出一个数列，必须给出： ①基础——数列{}的第1项(或前几项)； ②递推关系——数列{}的任意一项与它的前一项 ()(或前几项)间的关系，并且这个关系可以用等式来表示. 3. 通项公式和递推公式的区别与联系 区别 联系 通项公式 项是序号的函数 都可以确定数列 递推公式 已知（或前几项）及相邻（几）项间的关系式 四、数列的前n项和Sn 1. 数列前n项和的概念 数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前项和，记作，即 2. 数列前n项和Sn与通项an的关系 ①当时，a1若适合，则的情况可并入时的通项； ②当时，a1若不适合，则用分段函数的形式表示. 推导：①当时， ②当时， 用 化简得： 所以： 【注意】 （1）与的关系式的条件是，且，因为当时，无意义； （2）由求出，若当时，也适合“通项公式”，则数列的通项公式可用来表示；若当时，时，不适合“通项公式”，则数列的通项公式应用分段函数来表示，即． （3）若用求数列的通项公式，虽然不用分与两种情况讨论，但此时不包括数列的首项，所以仍需对验证，来确定通项公式是“可合写”还是“需分写”． 3. 由数列的前几项求数列的通项公式的分析思路 （1）各项的符号特征，通过或来调节正负项． （2）考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系． （3）相邻项(或其绝对值)的变化特征． （4）拆项、添项后的特征． （5）通过通分等方法变化后，观察是否有规律． 【注意】根据数列的前几项求其通项公式其实是利用了不完全归纳法， 蕴含着“从特殊到一般”的数学思想，由不完全归纳法得出的结果不一定是准确的. 五、数列的函数性质 1.数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集{1，2，…，n})为定义域的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值. 2. 数列的单调性 若数列满足对一切正整数，都有（或者），则称数列为递增数列（递减数列）； 判断数列的单调性的方法 （1）根据定义判断：若，则是递增数列； 若，则是递减数列. （2）作差比较法： ⇔ 数列是递增数列； ⇔ 数列是递减数列； ⇔ 数列是常数列． （3）作商比较法： ① 当时，则： ⇔ 数列是递增数列； ⇔ 数列是递减数列； ⇔ 数列是常数列； ② 当时，则： ⇔ 数列是递减数列； ⇔ 数列是递增数列； ⇔ 数列是常数列． （3）结合相应函数的图象直观判断： 图象上升为递增数列，图象下降为递减数列. 3. 数列的最值 根本：判断数列的单调性，根据单调性确定最值 （1）函数单调性法：构造函数，根据函数的单调性判断 将数列视为函数f(x)当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f(x)的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f(x)的最值，进而求出数列的最大(小)项； （2） 通项公式法：利用数列相邻两项的大小关系求数列的最值 ①求数列中最大项方法：当时，则是数列最大项； ②求数列中最小项方法：当时，则是数列最小项； 【注】已知通项公式，求数列的最大（小）项，直接设最大（小）项，计算求n即可。当解不唯一时，代入比较各解大小即可． 4. 数列的周期性 一般地，若数列满足存在正整数使得对一切正整数都成立，则称数列为周期数列，叫做数列的周期. 4. 有界性 5. 如果对所有的，都有，那么称为有界数列，否则称为无界数列. 4.2.1 等差数列的概念 一、等差数列的定义 1. 文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示． 2. 符号语言：若，或.则数列为等差数列（通常可称为AP数列） 【注意】对等差数列定义中关键词的理解 （1）“从第2项起” ①“从第2项起”是因为首项没有“前一项”； ②如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项或以后起，每一项与它的前一项的差是同一常数，那么这个数列不是等差数列. （2）“每一项与它的前一项的差”是指“相邻且后项减去前项”，强调了： ①作差的顺序：后项减前项，不要把被减数与减数弄颠倒. ②这两项必须相邻． （3） “同一常数” 是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数。 若数列从第2项起，每一项与它的前一项的差尽管都等于常数，但这些常数不都相等，则这个数列不能称为等差数列． 二、等差数列的等差中项 1. 等差中项的定义 如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．三者满足的关系式是A＝. 2. 对等差中项的理解 （1），，成等差数列 . （2）若，则数列为等差数列，反之也成立，所以数列为等差数列。这种判断一个数列是否为等差数列的方法称为“等差中项法”. （3）在有穷等差数列中，除首、末两项外，任何一项都是前后两项的等差中项； 在无穷等差数列中，除首项外，任何一项都是前后两项的等差中项 3、 等差数列的通项公式 1. 等差数列的通项公式 已知等差数列的首项为a1，公差为d，则通项公式为： 【注释】 通项公式中含有四个基本元素，即首项、序号、公差、第项，则可“知三得一”。解此类问题时，要充分挖掘题设条件，建立关于基本量的方程或方程组，从而将数列问题转化为方程问题. 具体求解如下： （1）若已知，，（），则； （2）若已知，，，则； （3）若已知，，，则. 2．通项公式的变形及推广 已知等差数列{an}中的任意两项an，am (m，n∈N*，且m≠n)，则 3．等差数列的通项公式的推导 方法名称 证明过程 归纳法 因为是等差数列，则有： …… 所以由此猜测. 当时，上面的等式两边均为，所以等式也是成立的. 这就说明当时， 累加法 因为是等差数列，所以， ， ， …… . 以上各式两边分别相加，得， 所以 迭代法 因为是等差数列， 所以 4． 等差数列的通项公式与一次函数的关系 （1）等差数列与一次函数的关系 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)． 当d=0时，=为常数列， 当d≠0时，=+(n-1)d是关于n的一次函数，一次项系数就是等差数列的公差，等差数列{}的图象是直线y=dx+(-d)上一群均匀分布的孤立的点. （2）基本量的对应关系（几何含义） ① 点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1－d ； ② 这些点的横坐标每增加1，函数值增加d. （3）等差数列与一次函数的区别与联系 等差数列 一次函数 表达式 不同点 ①定义域*. ②图象是一系列均匀分布在同一直线上的孤立的点. ①定义域为. ②图象是一条直线. 相同点 ①当时,等差数列的通项公式与一次函数的解析式都是关于自变量的一次整式. ②等差数列中的,,,四个量中知三求一，和一次函数中求,的方法，都是解方程(组). 四、判断或证明一个数列是等差数列的方法 方法 解读 适合题型 定义法 对于数列，若(常数)⇔{an}是等差数列 解答题 中的证 明问题 等差中项法 对于数列{an}，2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*) 或（）成立⇔{an}是等差数列 通项公式法 数列{an}的通项公式是一个一次函数，则{an}为等差数列，即：(为常数,)⇔{an}是等差数列 选择、 填空题 中的判 断问题 前n项和公式法 数列{an}的前n项和是一个常数项为0的二次函数（或一次函数），则{an}为等差数列，即Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，Sn为数列{an}的前n项和) ⇔ {an}是等差数列 运算法 是等差数列⇔是等差数列. 因为Sn＝na1＋d ，所以 = + =+ =+(-) 一次函数型通项公式 提醒：判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件. 五、等差数列的性质 （一）等差数列的单调性 由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d影响. ①当d>0时，数列为递增数列，如图①所示； ②当d<0时，数列为递减数列，如图②所示； ③当d=0时，数列为常数列，如图③所示. 因此，无论公差为何值，等差数列都不会是摆动数列. （二）等差数列的其他性质 等差数列的常用性质 性质1 通项公式的推广： 角标关系 性质2 若，，，且，则, 特殊地，时，则，是的等差中项. 也可推广至多项，只要两边项数一样，且下标的和相等即可,如“，且” 性质3 若是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即. 抽取特殊项 性质4 若是等差数列，则下标成等差数列且公差为m的项，，，…组成的数列为等差数列，公差为 性质5 项数间隔相等或连续等长的片段和仍构成等差数列. 如，构成等差数列，也构成等差数列. 性质6 如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数． 运算性质 性质7 若为等差数列，公差为，则 ①（c为任一常数）是公差为d的等差数列； ②（c为任一常数）是公差为cd的等差数列； ③（c为常数，c∈N*）是公差为cd的等差数列． 性质8 若，分别是以，为公差的等差数列，且项数一致，则 ①其通过和差运算所得的数列为等差数列，公差为± ②也是等差数列，公差为； 六、等差数列的实际应用 1. 解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息． 若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列。 2. 合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题 4.2.2 等差数列的前n项和 一、等差数列前项和公式 1．等差数列前项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 2.等差数列前项和公式的推导 法1：倒序相加法 证 设等差数列的各项为，，，．．．，，，，． 由数列前n项和的定义，得① 把各项的次序反过来，得 ② ①+②： n个＝ ∵ （等差数列性质：首末“等距离”的两项的和相等） ∴ 由此得： 法2：代入法 证 将代入可得： 『诠释』 （1） 等差数列的通项公式和前项和公式共涉及5个量：，，，，，其中和称为基本量． 若等差数列的首项与公差已知，那么此数列完全确定，因此等差数列中多数问题都可以转化为求基本量和的问题． （2）三个公式中有2个参数（即，）和3个变量（即，，）． 已知其中任意三个量，通过联立方程组，便可求出其余两个量．（“知三得二”） 二、等差数列的前n项和公式与二次函数的关系 1．等差数列的前项和公式与的函数关系 等差数列的前项和公式是关于的一个常数项为零的二次函数（或一次函数） 理由： 等差数列的前项和公式，整理成关于n的函数. 若令，，则上式可写成，即是关于项数的函数． （1）当，时（此时，），是关于的常数函数； （2）当，时（此时，），是关于的一次函数（正比例函数）； （3）当，时（此时），是关于的二次函数． 2．前项和与二次函数的关系 区别 联系 定义域为 图象是一系列孤立的点 （1）解析式是二次式； （2）的图象是抛物线上的一系列点 定义域为 图象是一条光滑的抛物线 三、等差数列的前n项和的最值 1.求等差数列的前项和的最值的两种思路 （1）利用函数性质求最值：根据二次函数的最值或单调性确定最值 由二次函数的最大值、最小值知识及，知当取得接近（对称轴）的正整数时，取到最大值（或最小值）．要注意的是最接近的正整数有时有1个，有时有2个． （2）【通用】邻项变号法：根据项的符号特征确定最值．（关键：找正负转折项） ①当，时，若则最大； 若则和最大． ②当，时，若则最小； 若则和最小． 2.数列中最大项和最小项的求法： 求最大项的方法：设为最大项，则有； 求最小项的方法：设为最小项，则有. 只需将等差数列的前n项和依次看成数列，利用数列中最大项和最小项的求法即可. 【注意】在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用. 四、等差数列的前n项和常用的性质 1．项数（下标）的“等和”性质： 2．“片段和”性质： 等差数列中，公差为，前项的和为，则，，，．．．，，．．．构成公差为的等差数列． 3．等差数列前n项和与n的比值问题 数列是等差数列⇔(a，b为常数)⇔数列为等差数列，公差为； 4．两个等差数列前n项和的比值问题 在等差数列，中，它们的前项和分别记为则 5．项的个数的“奇偶”性质： 等差数列中，公差为： ①当项数为偶数时，；；． ②当项数为奇数时，；；． 『诠释』 （1）对“片段和”性质的证明 设等差数列的首项为，公差为，则，，． ∵为数列第项到第项这项的和 ∴． 同理，．．．， ，．．．， ∴，，，．．．，，．．．构成等差数列，且公差为． （2）对奇偶性质的证明 ① 当等差数列的项数为时， ∵， ∴． ∵偶数项的首项为，偶数项构成以为公差的等差数列； 奇数项的首项为，奇数项构成以为公差的等差数列，且项数都为， ∴， ∴， ． ② 当等差数列的项数为时，同理可证 4.3.1 等比数列的概念 一、等比数列的定义 1. 文字语言：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示． 2. 符号语言：在数列中，若＝q(n∈N*且n≥2) 或（其中是常数，），则是等比数列． 『注释』对等比数列定义中关键词的理解 （1）“从第2项起” ①“从第2项起”是因为首项没有“前一项”； ②如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项或以后起，每一项与它的前一项的比是同一常数，那么这个数列不是等差数列. （2）“每一项与它的前一项的比”是指“相邻且后一项除以前一项”，强调了： ①作商的顺序：后项÷前项，不要把被被除数与除数弄颠倒. ②这两项必须相邻． （4） “同一常数” ①是指全部的后项除以其前一项都等于同一个常数。 若数列从第2项起，每一项与它的前一项的比尽管都等于常数，但这些常数不都相等，则这个数列不能称为等比数列． ②公比q可以为正数、负数，但q≠0，不存在公比的等比数列，也可以理解为在等比数列中，不存在数值为0的项． ③常数列是等差数列，但不一定是等比数列，不为0的常数列是特殊的等比数列，其公比为1。 二、等比数列的等比中项 1. 等比中项的定义 如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做的等比中项，即G是a与b的等比中项 ⇔ a，G，b成等比数列 ⇒ G2＝ab． 2. 对等比中项的理解 （1）只有当两个数同号时，这两数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数. （2）在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻两项的等比中项； （3）与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方，即在等比数列中， ． 推广：等比数列的性质——项与角标关系 若m＋n＝s＋t，则有am·an＝as·at(m，n，s，t∈N*). 若m＋n＝2k，则am·an＝a(m，n，k∈N*). 3. 等差中项与等比中项的比较 等差中项 等比中项 定义 若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项 若a，G，b成等比数列，则G叫做a与b的等比中项 定义式 A－a＝b－A ＝ 公式 A＝ G＝± 个数 a与b的等差中项唯一 a与b的等比中项有两个，且互为相反数 备注 任意两个数a与b都有等差中项 只有当ab＞0时，a与b才有等比中项 三、等比数列的通项公式 1．等比数列的递推公式与通项公式 已知等比数列的首项为公比为则有 递推公式 通项公式 变形式 an＝am·qn－m 『注释』等比数列的通项公式主要应用于以下两个方面： （1）已知，利用通项公式可求出等比数列中的任一项； （2）由通项公式可知，已知四个量中的任意三个，可以求得另一个． 2．等比数列的通项公式的推导 方法名称 证明过程 迭代法 根据等比数列的定义，有： ∴． 归纳法 根据等比数列的定义可得： ∴； ； ； …… 当n=1时，上式也成立 ∴归纳得出： 累乘法 根据等比数列的定义可得： ， ， ， …… ， 把以上个等式的左边与右边分别相乘（叠乘），得： ， 即 又a1也符合上式 ∴． 3．等比数列的通项公式与指数函数的关系 等比数列中，，若设，则： （1）当q＞0且q≠1时，等比数列的通项公式是关于的指数型函数；它的图象是分布在曲线（）上的一些孤立的点． ①当a1>0，q>1时，数列{an}为正项的递增等比数列； ②当a1>0,0<q<1时，数列{an}为正项的递减等比数列； ③当a1<0，q>1时，数列{an}为负项的递减等比数列； ④当a1<0,0<q<1时，数列{an}为负项的递增等比数列． （2）当q=1时，，等比数列是非零常数列．它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点． （3）当q＜1时，等比数列是摆动数列．奇数项符号相同，偶数项符号相同． 【注】任意指数型函数f(x)＝kax(k，a是常数，k≠0，a>0且a≠1)， 则f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为ka，公比为a. 四、判断或证明一个数列是等比数列的方法 定义法 若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列 中项 公式法 若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列 通项 公式法 若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列 前n项和 公式法 若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为非零常数，q≠0,1)，则{an}是等比数列 【注意】用定义法证明时，和中的n的范围不同 五、等比数列的性质 （1） 等比数列的单调性 由等比数列的通项公式是关于的指数型函数可知，其单调性由a1，q范围共同决定 当或时，为递增数列， 当或时，为递减数列． （二）等比数列的其他性质 等比数列的常用性质 角标关系 性质1 在等比数列中，若，则； 特别地，时，则，是的等比中项. 可推广至多项，只要两边项数一样，且下标的和相等即可,如时， 性质2 若数列是有穷数列，则与首末两项“等距离”的两项的积等于首末两项的积，即 抽取特殊项 性质3 对于无穷等比数列，若将其前项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为，公比为； 性质4 在等比数列中，序号成等差数列的项仍成等比数列 ①若取出所有的的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为，公比为； ②相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为 性质5 项数间隔相等或连续等长的片段和仍构成等比数列. 如，构成等比数列，也构成等比数列. 或 描述为连续项和（不为零）仍是等比数列．即，，，…成等比数列． 运算性质 性质6 若为等比数列，公比为q，则 ①（c≠0）是ca1首项、公比为q的等比数列； ②是首项为、公比为的等比数列． ③是首项为，公比为的等比数列 性质7 若，分别是以q1，q2为公比的等比数列，且项数一致，则其通过乘除运算所得的数列仍为等比数列 ①数列是首项为、公比为q1·q2的等比数列 ②数列首项为、公比为的等比数列 【拓展】性质6、7的证明 设等比数列的公比为q1，等比数列的公比为q2． （1）因为，所以．又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列． （2）因为，所以是以为首项，为公比的等比数列． （3）因为，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列． （4）因为，，所以 ．所以数列是以为首项，q1·q2为公比的等比数列． （5）因为，，所以．所以数列是以首项为，公比为的等比数列． 4.3.2 等比数列的前n项和 一、等比数列前项和公式 1．等比数列前n项和公式 ★★★ 等比数列的前n项和 公比 已知量 适用公式 首项 首项、公比、项数 首项、公比、末项 【注意】①在运用等比数列的前n项和公式时，一定要注意对公比进行讨论． ②注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆； 『诠释』 （2） 等比数列的通项公式和前项和公式或共涉及5个量：，，，，，其中和称为基本量． （2）三个公式中有2个参数（即，）和3个变量（即，，）． 已知其中任意三个量，通过联立方程组，便可求出其余两个量．（“知三得二”） 2．等比数列的前n项和公式的推导 法1：错位相减法 证 ★★★ （常考，适用于，为等差数列，为等比数列） 一般的，对于等比数列，它的前n项和是． 根据等比数列的通项公式，上式可写成 ． ① 由①式两边分别乘，得 ． ② 由，得． 当时，等比数列的前n项和公式为． 法2：代入法 证 ∵，所以上面的公式还可以写成．当时，数列变为，易得它的前n项和为． 二、等比数列的前n项和的函数特征 1．等比数列的前项和Sn与的函数关系 （1）当公比q≠1时，等比数列为非常数数列，其前项和是由一个指数式与一个常数的和构成的，且指数式的系数与常数项互为相反数．即Sn＝Aqn－A. 故，当q≠1时,数列的图象是函数图象上一群孤立的点； 证明：当时，等比数列前项和Sn＝＝－qn＋，设,则Sn＝Aqn－A.） （3） 当公比q＝1时，等比数列为常数数列，且每一项都为a1，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数. 故，当时，数列的图象是正比例函数图象上一群孤立的点. 2．Sn与an的关系 当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为 设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数． 三、等比数列的前n项和常用的性质 1． “片段和”性质 （1）“差”型 等比数列中，公比(或q＝1，但m不是偶数)，前项和为，则仍构成等比数列． 【注意】等比数列片段和性质的成立的前提条件是Sn≠0. （2）“商”型 {an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列． 2． 分段和与q的关系 {an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)⇔qn＝(q为公比)． 3． 项个数的“奇偶”性质： {an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： （1）若共有项，则＝q； （2）若共有（）项，则（，且）．即S奇＝a1＋qS偶 『诠释』 （1）对“差”型片段和性质的证明 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…仍成等比数列， 证明如下： 法1：当q＝1时，结论显然成立； 当q≠1时，Sn＝，S2n＝，S3n＝. S2n－Sn＝－＝， S3n－S2n＝－＝， 而(S2n－Sn)2＝2， Sn(S3n－S2n)＝×， 故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)， 所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列． 法2：由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn， ∴ S2n－Sn＝qnSn，S3n＝S2n＋q2nSn， ∴ S3n－S2n＝q2nSn， ∴ (S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)， 所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列． （2）对Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)⇔qn＝的证明 法1：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n ＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm ＝Sm＋qmSn. 法2：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m ＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn ＝Sn＋qnSm. （4） 对奇偶性质的证明 ①若等比数列{an}的项数有2n项，则 其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n， 其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1， ∴ S偶＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q ＝q（a1＋a3＋…＋a2n－1） ＝qS奇， ∴＝q. ②若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则 其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n， 其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1， 从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，于是有 S奇－a1＝a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1 ＝a2q＋a4q＋…＋a2nq ＝q（a2＋a4＋…＋a2n） ＝qS偶， ∴S奇＝a1＋qS偶． 5.1 导数的概念及其意义 一、函数的变化率 1. 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率 (1)定义式：＝. (2)实质：函数值的增量与自变量的增量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢． (4)几何意义： 已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率＝表示割线P1P2的斜率． 函数y＝f(x)的平均变化率为割线AB的斜率，如图所示． 【注意】Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负. 2. 函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 （1）瞬时变化率的定义 定义式 实质 瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值 作用 刻画函数在某一点处变化的快慢 【注意】“无限趋近于0”的含义趋于0的距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数，且始终. （2）瞬时变化率的变形形式 二、物体的平均速度与瞬时速度 1. 平均速度 设物体的运动规律是，则物体在到这段时间内的平均速度为 2. 瞬时速度 (1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． (2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为＝.如果Δt无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝ ＝ . (3)瞬时速度与平均速度的关系：从物理角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t＝t0时的瞬时速度． 【注意】 （1）Δt可正，可负，但不能为0. （2）瞬时变化率的变形形式 ＝ ＝ ＝ ＝f′(x0)． 三、割线、切线及其斜率 1．割线及其斜率 设函数y＝f(x)的图象如图所示，直线AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是＝. 当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的切线． 2．切线及其斜率 （1）切线的定义： 直线AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的切线． （2）切线的斜率： 当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝ . 3． 切线的斜率与割线的斜率的关系： 从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，点B无限趋近于点A，于是割线AB无限趋近于点A处的切线AD，这时，割线AB的斜率无限趋近于点A处的切线AD的斜率k. 【注意】曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多． 与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线． 四、导数及其几何意义 1．导数的定义 当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝ ＝ . 【注意】“函数y＝f(x)在x＝x0的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系 区别 联系 f′(x0) f′(x0)是具体的值，是数值 在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值 f′(x) f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率． 也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)． 相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 5.2 导数的运算 一、基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 常数函数 (为常数) 幂函数 三角函数 指对函数 【注释】对于根式f(x)＝，要先转化为f(x)＝，所以f′(x)＝. 二、导数的运算法则 加减法 函数±函数： 乘法 ①函数×函数： ②常数×函数： 除法 ： 三、复合函数的导数 1、复合函数的概念 一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为和的复合函数，记作. 其中，为内层，为外层 【注】若f(x)与g(x)均为基本初等函数，则函数y＝f(g(x))或函数y＝g(f(x))均为复合函数． 2、复合函数的求导法则 一般地，复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 规律：从内到外，层层求导，乘法连接。 【注意】 ①要分清楚每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆，常出现如下错误：，实际上应是 ②对于含有参数的函数，要分清楚哪个字母是变量，哪个字母是参数，参数是常量，其导数为零。 3、求复合函数的导数的步骤 第一步——分层：将复合函数分出内层、外层； 第二步——分别求导：对内层，外层分别求导，得到，； 第三步——相乘求积：求出两导数的积：； 第四步——变量回代：将，代回原式，即可得到的导数． 4、求复合函数的导数注意以下几点： （1）分解的函数通常为基本初等函数； （2）求导时分清是对哪个变量求导； （3）计算结果尽量简洁。 四、导数计算的原则和方法 （1）导数计算的原则： 先化简解析式，再求导． （2）导数计算的方法： ①连乘积形式：多项式的积的导数，通常先展开再求导更简便． ②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； ③对数形式：先化为和、差的形式，再求导； ④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导； ⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导. ⑥绝对值形式：先化为分段函数，再求导 ⑦复合函数求导:先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元． 五、导函数的常用结论 1、奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是周期函数． 2、函数的导数反映了函数的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小反映了变化的快慢，越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 5.3.1 导数与函数单调性 一、函数的单调性与导数的关系 1.导数的符号与函数的单调性的对应关系——导函数的正负决定了原函数的增减 一般地，设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，则在区间(a，b)内， (1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增。 (2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减。 (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数。 【注意】 1.在区间内，充分不必要条件 如：，当x=0时，，当x≠0时，， 而在R上递增（包含着x=0）． 2.在区间内，充要条件 2.导数的绝对值与函数的单调性的对应关系——导函数的绝对值决定了原函数变化的快慢 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比较“平缓”(向上或向下) 【总结】导函数与原函数的对应关系 （口诀：导函数看正负，原函数看增减） 单调递增 单调递减 导函数 值变化 特征 导数为正，且绝对值越来越大 导数为正，且绝对值越来越小 导数为负，且绝对值越来越大 导数为负，且绝对值越来越小 图象 特征 导函数图象，在x轴上方区域对应原函数单调递增区间； 导函数图象，在x轴下方区域对应原函数单调递减区间． 原函数 值变化特征 函数值变化 越来越快 函数值变化 越来越慢 函数值变化 越来越快 函数值变化 越来越慢 图象 图象 特征 上升，且越来越陡峭 上升，且越来越平缓 下降，且越来越陡峭 下降，且越来陡平缓 二、利用导数判断函数的单调性/求函数的单调区间 1.导函数不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0可解 → 解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间． 步骤：①确定函数y＝f(x)的定义域； ②求导数y′＝f′(x)； ③解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间； ④解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间． 2.导函数方程f′(x)＝0可解 → 解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间． 步骤：①确定函数y＝f(x)的定义域； ②求出导数f′(x)的零点； ③用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 3.导函数的方程、不等式均不可解 → 二阶求导，根据f′(x)结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间． 【注意】利用导数解决单调性问题需要注意： (1)定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．单调区间一定是函数定义域的子集． (2)注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点和不可导点。 (3)单调区间的书写规范：如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开． 三、函数单调区间的讨论 1.类型一：不含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）求根做图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）； （4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）； （5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）； （6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． （7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）； 2.类型二：含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根； （4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）； （5）导数图像定区间； 5.3.2 导数与函数极值、最值 1、 极值点与极值的概念 1．极小值点与极小值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．极大值点与极大值 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 3． 极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 【注释】 (1)在函数的极值定义中，一定要明确函数在及其附近有定义，否则无从比较． (2)极值点不是点，是一个数，是自变量的值，极值指的是函数值． (3)极值是函数的局部性质；是就函数在某一点附近的小区间而言的。 在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小． (4)函数的极值不唯一； (5)极大值与极小值两者的大小不确定；一个函数的极大值未必大于极小值．极小值不一定是整个定义区间上的最小值． (6)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点； 使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点． (7)若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点．如函数，在处，，但不是函数的极值点． 2、 求函数的极值 1．求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， (1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． 2．求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)列表； (4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 【注意】可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同； 3、 函数的最值 1．函数的最大值与最小值 (1)对于函数f(x)，给定区间I， 若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值； 若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值． (2)一般地，如果在闭区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 【注释】①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得． ②函数的极值可以有多个，但最值只有一个． 2．求函数在某区间上最值的的基本步骤： 若函数f（x）在区间[a，b]上连续，且在区间（a，b）内可导，则求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 【注意点】 (1)开区间不一定有最值，闭区间上的连续函数一定有最值； (2)函数f(x)在闭区间[a，b]上连续是f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值的充分不必要条件． 3．用导数求函数f(x)最值的基本方法 (1)求导函数：求函数f(x)的导函数f′(x)； (2)求极值嫌疑点：即f′(x)不存在的点和f′(x)＝0的点； (3)列表：依极值嫌疑点将函数的定义域分成若干个子区间，列出f′(x)与f(x)随x变化的一览表； (4)求极值：依(3)的表中所反应的相关信息，求出f(x)的极值点和极值； (5)求区间端点的函数值； (6)求最值：比较极值嫌疑点和区间端点的函数值后，得出函数f(x)在其定义域内的最大值和最小值. 【注释】 ①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可． ②若在开区间内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值． 4．最值与极值的区别与联系 （1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； （2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； （3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； 对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. （2） 有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值． 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $