精品解析：2025-2026学年人教版九年级数学上册期末基础提升训练卷（第21-25章）

九年级数学期末基础提升训练 （人教版第21~25章） 一、单选题 1. 以下软件的是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 投掷一枚硬币正面朝上 B. 太阳从西边升起 C. 守株待兔 D. 五边形内角和 3. 将一元二次方程化成的形式，则等于（ ） A. 40 B. 13 C. 7 D. 4 4. 已知的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P与的位置关系是（　　） A. 点P在外 B. 点P在上 C. 点P在内 D. 无法确定 5. 一只不透明的袋子中，装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，通过多次摸球实验后，发现摸到红球的频率约为0.6，估计袋中红球的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 7. 如图，内接于是的直径，若，则的度数是（） A. B. C. D. 8. 点在二次函数上，当时，，当时，，求的取值范围（ ） A. B. C. D. 9. 如图，为的弦，点在上，，，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：；；；；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；，其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线的解析式为_______ ． 12. 某中学大力发展“红色底蕴，绿色发展”的校园文化建设，教育教学质量逐年提高，赢得了社会各界的关注和好评．近几年来，每年七年级新生报名人数均创新高．已知该校2021年七年级招生900人，2023年达到1089人，假设每年招生人数的平均增长率相同，则平均每年的增长率是_________． 13. 如图，在中，点D，E，F分别是各边的中点，连接DE，DF，随机向中掷一粒米，则这粒米落在阴影部分的概率为______． 14. 如图，在美术活动课上，小华用圆心角为、半径为的扇形彩纸做成一个圆锥形的纸帽，做成后这个圆锥形纸帽的底面半径是______________． 15. 如图，二次函数的图象与轴的正半轴相交于、两点，与轴交于点．对称轴为直线，且，下列结论：①；②；③若，则；④若点、点在该二次函数图象上，当且时，则其中正确的结论是___________(填写正确结论的序号) 16. 如图1，在中，，，，，垂足为，点是点关于的对称点，连接，．现将绕着点按顺时针方向旋转．如图2，记旋转后的为，在旋转过程中设所在的直线与直线交于点，与直线交于点，当为等腰三角形时，_____． 三、解答题 17. 已知关于的一元二次方程的一个根为，求的值及方程的另一个根． 18. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转后得到（点B的对应点是点，点C的对应点是点），连接． （1）若，则长为______； （2）若，求的大小． 19. 汉族民间风俗有一种游戏称为“虎棒鸡虫令”．《汴京钩沉》中记载“二人相对，以筷子相声，同时口喊虎、喊棒、喊鸡、喊虫，以棒打虎、虎吃鸡、鸡吃虫、虫嗑棒论胜负．若棒与鸡，虎与虫同时被喊出或两人喊出同一物，则不分胜负，继续喊．”依据上述规则，张三和李四同时随机喊出其中一物，两人只喊一次．（提示：可以用分别表示“老虎”“棒子”“鸡”“虫”） （1）若张三已经决定喊“虎”，求李四获胜的概率； （2）这个游戏公平吗？通过画树状图或列表的方式说说你的理由． 20. 如图，请用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）． （1）如图①，内接于，D是劣弧的中点，画出的中点E； （2）如图②，BC是的直径，A是内一点，画出的高． 21. 年月日时分，我国在酒泉卫星发射中心使用快舟十一号遥四运载火箭，成功将武汉一号卫星、超低轨技术试验卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．若设武汉一号卫星为点，地球为．如图所示，是切线，为切点，连接交于点，且，上有一点且，连接． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求证：是的切线． 22. 【研究背景】 中国女排是国民心中当之无愧的骄傲！队员们以日复一日的刻苦训练夯实功底，将纯熟技能刻进肌肉记忆；赛场之上，她们敢拼敢打、永不言弃，用韧劲诠释体育力量．这份亮眼成绩从不是偶然，而是无数个日夜的汗水浇灌，如今姑娘们正全力以赴封闭集训，为新的赛事蓄力冲锋． 训练的排球场的长度为，球网在场地中央且高度为． 【建立模型】 已知某队员利用空闲时间在场地独自练习发球．排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度（单位：m）与距发球点的水平距离（单位：m）近似满足函数关系． 【解决问题】 （1）若该队员第一次在处正上方2米发球，当排球运行至离的水平距离为6米时，到达最大竖直高度2.8米． ①求排球运动过程中的竖直高度（单位：m）与距发球点的水平距离（单位：m）的函数关系式；（不要求写自变量的取值范围） ②这次所发的球能否过网 （填“能”或“否”）； （2）该队员第二次发球时，保持排球运动过程中对应的抛物线的形状不变（不变），改变发球方式，使其函数关系式变为，发球点与球网的水平距离是．若排球飞过球网正上方时，竖直的高度超过，落地点与球网的水平距离小于．求出的取值范围． 23. 在和中，，，，连，，分别为，的中点，为中点，连，． （1）如图1，求证：； （2）如图1，探究线段，间数量关系与位置关系，并说明理由； （3）当，，绕点旋转过程中，若，，三点在同一条直线上，请画出旋转后的对应图形，并直接写出，两点的距离． 24. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点．抛物线过A，两点，与轴的另外一个交点为． （1）求抛物线解析式及点的坐标； （2）如图1，若点是第一象限抛物线上一动点，连接交直线于点，设点的横坐标为，，求与的函数关系式； （3）如图2，若点是抛物线上一动点，当时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学期末基础提升训练 （人教版第21~25章） 一、单选题 1. 以下软件的是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形．将一个图形绕着某个点旋转180度后与原图形完全重合，那么这个图形就是中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、它不是中心对称图形； B、它是中心对称图形； C、它不是中心对称图形； D、它不是中心对称图形． 故选：B． 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 投掷一枚硬币正面朝上 B. 太阳从西边升起 C. 守株待兔 D. 五边形内角和 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了随机事件，不可能事件，随机事件的概念，能区分各个概念是区分此题的关键． 必然事件：必然事件指在一定条件下一定发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件； 随机事件：随机事件是在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件； 根据必然事件．不可能事件．随机事件的概念可区别各类事件． 【详解】解：A．投掷一枚硬币正面朝上是随机事件，故选项不符合题意； B．太阳从西边升起是不可能事件，故选项不符合题意； C．守株待兔是随机事件，故选项不符合题意； D．五边形内角和是必然事件，该选项符合题意． 故选：D． 3. 将一元二次方程化成形式，则等于（ ） A. 40 B. 13 C. 7 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握配方法是解决一元二次方程化为完全平方形式的关键方法；通过配方法将方程化为完全平方形式，比较得出k的值． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ， ， ∴ ． 故选：B． 4. 已知的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P与的位置关系是（　　） A. 点P在外 B. 点P在上 C. 点P在内 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，通过比较点P到圆心的距离与圆的半径大小进行判断． 【详解】解：∵的半径为3，点P到圆心O的距离为4， 且， ∴点P在外， 故选：A． 5. 一只不透明的袋子中，装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，通过多次摸球实验后，发现摸到红球的频率约为0.6，估计袋中红球的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，频率估计概率．利用频率估计概率，摸到红球的频率为，即概率约为，设红球个数为r，通过方程求解. 【详解】解：设红球个数为r，则总球数为， ∵ 摸到红球的频率约为， ∴， 解得， 经检验：是原分式方程的解， ∴ 估计袋中红球个数为6， 故选：D 6. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，需注意二次项系数不为零，根据一元二次方程根的判别式，方程有两个不相等的实数根时，判别式大于零，且二次项系数不为零． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 其中，，， ∴， 解得， 又∵， ∴且． 故选：D． 7. 如图，内接于是的直径，若，则的度数是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理（直径所对的圆周角是直角、同弧所对的圆周角相等），熟练掌握圆周角定理是解题的关键．先利用直径所对圆周角为直角得到直角三角形，再结合同弧所对圆周角相等，通过直角三角形内角和求出角度． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， 在中， ∵， ∴， 故选：． 8. 点在二次函数上，当时，，当时，，求的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象性质，理解题意，掌握二次函数最值的计算是关键． 由二次函数开口向下及条件可知，顶点在点 处，故对称轴为，根据条件当 时，结合顶点坐标，推导出t必须小于2． 【详解】解：∵ 点 在二次函数上，且当 时 ， ∴ 函数在 处取得最大值，故顶点为，对称轴为 ， ∵ 当 时 ，且函数开口向下， ∴ 在 时，， 设函数顶点式为 ， 则当时，， 即 ， ∵ 且（因）， ∴ 该不等式恒成立， ∴ ， 故 t 的取值范围为， 故选：C． 9. 如图，为的弦，点在上，，，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂径定理及圆周角定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理． 设与的交点为，由得到，圆周角定理可得，进而得到，所以，在中，根据勾股定理构造方程，即可求出的长． 【详解】解：如图，设与的交点为， 为的弦，为半径，且，， ． ， ， ， 在中，． 设，则， ， ， 解得（负值舍去）， ． ， ． 故选B． 10. 已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：；；；；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；，其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 先根据抛物线的对称轴是可得解答①；再分别判断a，b，c的值，即可解答②；然后根据抛物线与x轴有两个不同的交点，可得，判断③；再根据抛物线的对称性可知点关于对称轴对称的点是，可得当时，，解答④；接下来根据二次函数的图象与有一个交点，解答⑤；对于⑥，先根据当时，，可得，最后结合，可得答案． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是 ∴， 即． 所以①不正确； ∵抛物线的开口向上， ∴； ∵抛物线的对称轴是， ∴； ∵抛物线交y轴负半轴， ∴， ∴， 所以②正确； 由图象可知抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴， 即， 所以③正确； 根据抛物线的对称性可知点关于对称轴对称的点是， 当时，， 所以时，，即， 所以④正确； ∵二次函数的最小值为， ∴二次函数的图象与有一个交点， ∴关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， 所以⑤正确； 由图可知，当时，， ∴． ∵， ∴， 即， ∴⑥不正确． 所以正确的有4个． 故选：C． 二、填空题 11. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线的解析式为_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”即可解答． 【详解】将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度， 得到抛物线的解析式为，即． 故答案为：． 12. 某中学大力发展“红色底蕴，绿色发展”的校园文化建设，教育教学质量逐年提高，赢得了社会各界的关注和好评．近几年来，每年七年级新生报名人数均创新高．已知该校2021年七年级招生900人，2023年达到1089人，假设每年招生人数的平均增长率相同，则平均每年的增长率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设平均每年的增长率为x，根据2023年招生人数等于2021年招生人数乘以的平方，列方程求解即可． 【详解】解：设平均每年的增长率为x． 根据题意，得． 解得或（舍去） ∴平均每年的增长率为， 故答案为：． 13. 如图，在中，点D，E，F分别是各边的中点，连接DE，DF，随机向中掷一粒米，则这粒米落在阴影部分的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用阴影部分与三角形的面积比即可．本题考查了三角形中位线的性质、平行四边形的性质、几何概型的概率求法，利用面积求概率是解题的关键． 【详解】解：设三角形面积为1． ∵中，分别是各边的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵是的对角线， ， 同理， ， ∴阴影部分的面积的面积的， ∴米粒落到阴影区域内的概率是． 故答案为：． 14. 如图，在美术活动课上，小华用圆心角为、半径为的扇形彩纸做成一个圆锥形的纸帽，做成后这个圆锥形纸帽的底面半径是______________． 【答案】##9厘米 【解析】 【分析】本题主要考查圆锥侧面展开图及弧长公式，熟练掌握圆锥侧面展开图及弧长公式是解题的关键；因此此题可根据弧长公式可进行求解． 【详解】解：由圆锥侧面展开图是扇形可知：该扇形的弧长即为圆锥底面圆的周长， ∴， ∴底面半径为； 故答案为． 15. 如图，二次函数的图象与轴的正半轴相交于、两点，与轴交于点．对称轴为直线，且，下列结论：①；②；③若，则；④若点、点在该二次函数图象上，当且时，则其中正确的结论是___________(填写正确结论的序号) 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质．抛物线与轴的交点，熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与不等式的关系是解题的关键．特别是利用好题目中的，是解题的关键．由二次函数图象的对称轴而可判断①；由时，，结合，即可判断②；判断直线过，两点，根据图象即可判断③；由题意可知点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离即可判断④． 【详解】解：对称轴直线， ， ， ，故①正确； 时，， ， ， ， ，故②错误； ，， ， ， 直线与轴的交点为， 直线过，两点， 观察图象，若，则，故③正确； 由题意可知点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， 抛物线开口向下， ．故④正确； 故答案为：①③④． 16. 如图1，在中，，，，，垂足为，点是点关于的对称点，连接，．现将绕着点按顺时针方向旋转．如图2，记旋转后的为，在旋转过程中设所在的直线与直线交于点，与直线交于点，当为等腰三角形时，_____． 【答案】或． 【解析】 【分析】由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，由勾股定理可求的长；根据题意画出满足条件的图形，根据勾股定理和等腰三角形的性质直接求解． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， 点是点关于的对称点， ∴，， ①旋转的过程中，和线段、线段的延长线相交时，此时， 如图2， 由旋转得，，， ，， ， ， ， ， 为等腰三角形，， ， ， ， 在中，，， ； ②如图3，当时， 为等腰三角形，， ， ，，， ， 由旋转得，，，，， ， ∴， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， ； 即满足条件的的长为或, 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，化为最简二次根式，旋转的性质，解本题的关键是用等腰三角形的性质求，根据题意画出图形是本题的难点． 三、解答题 17. 已知关于的一元二次方程的一个根为，求的值及方程的另一个根． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，解一元一次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键．将代入中，可解得，将代入中，得到一元二次方程，最后解方程即可． 【详解】解：将代入中，得 解得． 将代入 中，得 ， 解得 ，． 故，方程的另一个根为 ． 18. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转后得到（点B的对应点是点，点C的对应点是点），连接． （1）若，则的长为______； （2）若，求的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、等腰直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由旋转得，，由勾股定理得； （2）由旋转得，，，可得，则，即可得． 【小问1详解】 解：∵将绕点A顺时针旋转后得到， ，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵将绕点A顺时针旋转后得到， ，，， ， ， ． 19. 汉族民间风俗有一种游戏称为“虎棒鸡虫令”．《汴京钩沉》中记载“二人相对，以筷子相声，同时口喊虎、喊棒、喊鸡、喊虫，以棒打虎、虎吃鸡、鸡吃虫、虫嗑棒论胜负．若棒与鸡，虎与虫同时被喊出或两人喊出同一物，则不分胜负，继续喊．”依据上述规则，张三和李四同时随机喊出其中一物，两人只喊一次．（提示：可以用分别表示“老虎”“棒子”“鸡”“虫”） （1）若张三已经决定喊“虎”，求李四获胜的概率； （2）这个游戏公平吗？通过画树状图或列表的方式说说你的理由． 【答案】（1）李四取胜的概率为； （2）游戏公平，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查利用概率公式求概率，利用树状图或列表求概率，游戏的公平性． （1）张三喊出“虎”，李四可能喊出“虎”、“棒”、“鸡”、“虫”四种情况， 李四喊“棒”获胜，利用概率公式求概率即可； （2）用，，，分别表示老虎，棒子，鸡，虫，画出树状图，分别计算出张三和李四获胜的概率，即可解答． 【小问1详解】 解：张三喊出“虎”，李四可能喊出“虎”、“棒”、“鸡”、“虫”四种情况，李四喊“棒”获胜， ∴张三喊出“虎”, 李四取胜的概率为． 【小问2详解】 解：游戏公平，理由如下： 用，，，分别表示老虎，棒子，鸡，虫， 画树状图如下： 共种等可能的情况， 张三获胜的有、、、，共种， ∴张三获胜的概率是， 李四获胜的有、、、，共种， ∴李四获胜的概率是， ∴张三、李四获胜的概率相等， ∴游戏公平． 20. 如图，请用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）． （1）如图①，内接于，D是劣弧的中点，画出的中点E； （2）如图②，BC是的直径，A是内一点，画出的高． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了无刻度的直尺画图，垂径定理推论，圆周角定理，三角形中线、高的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）如图，连接交于点，则点即为所求； （）如图，延长交于，延长交于，连接，，延长交的延长线于点，作直线交于点，线段即为所求． 【小问1详解】 解：如图中，连接交于点，则点即为所求； 理由：∵是劣弧的中点， ∴垂直平分，且与交于点， 则点是线段的中点， ∴点即为所求； 【小问2详解】 解：如图中，延长交于，延长交于，连接，，延长交的延长线于点，作直线交于点， 理由：∵是的直径， ∴， ∴，， ∴， ∴线段即为所求； 21. 年月日时分，我国在酒泉卫星发射中心使用快舟十一号遥四运载火箭，成功将武汉一号卫星、超低轨技术试验卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．若设武汉一号卫星为点，地球为．如图所示，是的切线，为切点，连接交于点，且，上有一点且，连接． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求证：是的切线． 【答案】（1）是等边三角形，理由见解析； （2）证明见解析． 【解析】 【分析】（）由切线的性质得，则，因为，所以 ，则，所以是等边三角形； （）由等边三角形的性质得，因为，所以，而，，即可根据“”证明，则，即可证明是的切线． 【小问1详解】 解：是等边三角形，理由， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵交于点，且， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形； 【小问2详解】 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵半径， ∴是的切线． 【点睛】此题考查了切线的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明是等边三角形及是解题的关键． 22. 【研究背景】 中国女排是国民心中当之无愧的骄傲！队员们以日复一日的刻苦训练夯实功底，将纯熟技能刻进肌肉记忆；赛场之上，她们敢拼敢打、永不言弃，用韧劲诠释体育力量．这份亮眼成绩从不是偶然，而是无数个日夜的汗水浇灌，如今姑娘们正全力以赴封闭集训，为新的赛事蓄力冲锋． 训练的排球场的长度为，球网在场地中央且高度为． 【建立模型】 已知某队员利用空闲时间在场地独自练习发球．排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度（单位：m）与距发球点的水平距离（单位：m）近似满足函数关系． 【解决问题】 （1）若该队员第一次在处正上方2米发球，当排球运行至离的水平距离为6米时，到达最大竖直高度2.8米． ①求排球运动过程中的竖直高度（单位：m）与距发球点的水平距离（单位：m）的函数关系式；（不要求写自变量的取值范围） ②这次所发的球能否过网 （填“能”或“否”）； （2）该队员第二次发球时，保持排球运动过程中对应的抛物线的形状不变（不变），改变发球方式，使其函数关系式变为，发球点与球网的水平距离是．若排球飞过球网正上方时，竖直的高度超过，落地点与球网的水平距离小于．求出的取值范围． 【答案】（1）①函数关系式为；②能 （2）b的取值范围为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，对题意得正确理解是解题的关键． （1）①根据题意判断出顶点坐标以及起始点坐标，结合两个坐标可通过顶点式求出函数表达式；②根据求出得函数表达式，判断当时，函数值是否超过球网的高度； （2）根据题意判断出，结合题意要求得出不等式组，解不等式组即可． 【小问1详解】 ①解：根据题意水平距离为时，到达最大竖直高度， 即函数顶点坐标为， 故函数顶点式中，， 函数表达式为 将排球出手处点坐标代入上式， 得，解得， 所以函数关系式为． ②当时，函数值， ∵， 所以能过网． 【小问2详解】 解：因为抛物线形状不变，故， 函数表达式为， 根据题意要求： 发球点与球网的水平距离是．若排球飞过球网正上方时，竖直的高度超过， 即当时，函数值， 解得； 落地点与球网的水平距离小于，即时，， 故当时，函数值， 解得； 综上所述，b的取值范围为． 23. 在和中，，，，连，，分别为，的中点，为中点，连，． （1）如图1，求证：； （2）如图1，探究线段，间的数量关系与位置关系，并说明理由； （3）当，，绕点旋转过程中，若，，三点在同一条直线上，请画出旋转后的对应图形，并直接写出，两点的距离． 【答案】（1）见解析 （2），；理由见解析 （3）2或1 【解析】 【分析】（1）根据可证明； （2）由三角形中位线定理得出，，，，由全等三角形的性质得出，，证出，则可得出结论； （3）分两种情况，由（1）（2）的结论可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴； 【小问2详解】 解：，；理由如下： ∵F，G，H分别是，，的中点， ∴是中位线，是中位线， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，； 【小问3详解】 解：分以下两种情况： 当A，E，D位于点C的上方， 由（1）可知，， ∴， 由（2）可知为的中位线， ∴，， ∴， ∵，为中点， ∴，， ∴，， ∴，C，H，G三点共线， ∴， ∴， ∴； 当A，E，D位点C的下方，同理可得，， ∴． 综上所述，的长为2或1． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质和判定，三角形中位线定理，勾股定理，熟练运用全等三角形的性质是解本题的关键． 24. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点．抛物线过A，两点，与轴的另外一个交点为． （1）求抛物线的解析式及点的坐标； （2）如图1，若点是第一象限抛物线上一动点，连接交直线于点，设点的横坐标为，，求与的函数关系式； （3）如图2，若点是抛物线上一动点，当时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，相似三角形的性质与判定； （1）求出、点坐标，再由待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点作轴交于点，根据，可得，则，求出、即可求解； （3）取点，可推导出，直线与抛物线的交点为点；求出直线关于直线对称的直线解析式为，此直线与抛物线的交点为． 【小问1详解】 解：当时，， ， 当时，， ， 将、点代入抛物线 ， 解得， 抛物线的解析式为， 当时， 解得或， ； 【小问2详解】 过点作轴交于点， ， 点的横坐标为， 点第一象限， ， 【小问3详解】 解：取点， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，解得或， ； ，， 点关于直线对称点为， 直线的解析式为， 当时，解得或， ； 综上所述：点坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $