28.1　锐角三角函数 第1课时　锐角的正弦课件2025-2026学年人教版九年级数学下册

第1课时　锐角的正弦 28.1　锐角三角函数 第二十八章　锐角三角函数 1 新课导入 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌.先测得斜坡的坡角 (∠A )为 30°，为使出水口的高度为 35 m，需要准备多长的水管？ 从上述情境中，可以将这个问题归结为： 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35cm.求AB. 1 A B C 解：根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”, 即 可得 AB = 2BC =2×35=70 (m). 也就是说，需要准备 70 m 长的水管. = ， 探究新知 (1)问题中是根据什么求出水管长度的？ (2)如果出水口的高度是40 m时，需要准备多长的水管？ 相似的直角三角形; “在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半” 80 m (3)如果出水口的高度是a m时，需要准备多长的水管？你从中发现了什么规律？ 水管的长度=2×出水口的高度 2a m； (4)如果出水口的高度是50m时，需要准备多长的水管？ 由此你能得出什么结论？ 100 m； 在直角三角形中，如果一个锐角的度数等于30°，这个角 的对边与斜边的比都等于 ． 2 思考 任意画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°，计算∠A 的对边与斜边的比 解：∵Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得 AB2=AC2+BC2=2BC2 因此 . ∴AB=BC, (1)已知条件是什么？要求的是什么？我们可以根据什么定理来求解？根据勾股定理，你列出的等式是什么？的值与三角形的大小有关系吗？由此，你能得出什么结论？ 条件：等腰直角三角形. 求等腰直角三角形锐角对边与斜边的比. 勾股定理：在一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方. 在等腰直角三角形中，锐角对边与斜边的比等于 (2)当∠A是任意一个确定的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？ 在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个三角形大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值. A B C C' A' B' 解：因为∠C＝∠C'＝90°， ∠A＝∠A'， 所以Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'. 因此 任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°， ∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系？ 3 知识归纳 1．在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个_________． 固定值 2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的________________叫做∠A的正弦，记作sin A，即sin A＝____． 对边与斜边的比 例题与练习 例1　如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，求 sinA 和sinB 的值. A B C 4 3 (1) A B C 13 5 (2) 解：如图(1)，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 如图(2) ，在Rt△ABC中，由勾股定理得 AB=5. 因此 sinA= , sinB= . AC=12. 因此 sinA= , sinB= . A B C 4 3 (1) A B C 13 5 (2) 例2　如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E.设∠ADE＝α且sin α＝45，AB＝4，求AD的长． 解:∵∠ADE＋∠DAC＝90°，∠DAC＋∠BAC＝90°， ∴∠ADE＝∠BAC， ∴sin α＝sin ∠BAC＝ . 设AC＝5x，BC＝4x，则AB＝3x＝4， ∴x＝，∴AD＝BC＝. 例3　如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径．若⊙O的半径为 ，AC＝2，求sin B的值． A B O D C A B O D C 解：连接CD.∵AD是⊙O的直径， ∴∠ACD=90°， ∴sin D＝＝. ∴sin B＝ sin D ＝. 由圆周角定理，得∠B＝∠D， 课堂小结 正弦的定义及运用 ∠A的对边 斜边 sin A = = A B C c b a 斜边 对边 斜边 sinA 19 C 20 B A 21 4．(3分)三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin α的值是____. 5．(3分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，则sin A的值是____． 22 6．(8分)(教材P64练习T1变式)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a∶c＝2∶3，求sin A和sin B的值． 23 C A 24 18 25 26 D 27 B 28 29 13．(天水中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么sin ∠FEC＝____． 30 31 15．(10分)如图，已知⊙O的半径为5 cm，弦AB的长为8 cm，P是AB延长线上一点，BP＝2 cm，求sin ∠OPA的值． 32 【素养提升】 16．(4分)如图，直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，那么sin α＝____. 33 17．(12分)如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的点，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE. (1)求证：△ABE≌△DFA； (2)如果AD＝10，AB＝6，求sin ∠EDF的值． 34 35 正弦的概念 1．(3分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与_______的比叫做∠A的正弦，记作_______，即sin A＝ eq \f(∠A的（对边）,斜边) ＝_______． eq \f(a,c) 2．(4分)(教材P65练习T2变式)在Rt△ABC中，若各边的长都扩大为原来的5倍，则∠A的正弦值( ) A.扩大为原来的5倍 B．缩小为原来的 eq \f(1,5) C．不变 D．不能确定 已知直角三角形边长，求锐角的正弦值 3．(4分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°. (1)若AB＝5，BC＝3，则sin A＝( ) (2)若AB＝10，AC＝8，则sin B等于( ) A． eq \f(4,5) B． eq \f(3,5) C． eq \f(3,4) D． eq \f(4,3) eq \f(3,5) eq \f(\r(5),5) 解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a∶c＝2∶3，设a＝2k，c＝3k，∴b＝ eq \r(c2－a2) ＝ eq \r(5) k，∴sin A＝ eq \f(a,c) ＝ eq \f(2k,3k) ＝ eq \f(2,3) ，sin B＝ eq \f(b,c) ＝ eq \f(\r(5)k,3k) ＝ eq \f(\r(5),3) 已知正弦值，求直角三角形的边长 7．(4分)(兰州中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， (1)若BC＝6，sin A＝ eq \f(3,5) ，则AB的值为( ) (2)若sin B＝0.8，AB＝10，则AC为( ) A．8 B．9 C．10 D．12 8．(3分)如图，菱形ABCD的边长为15，sin ∠BAC＝ eq \f(3,5) ，则对角线BD的长为____. 9．(8分)(日照中考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝ eq \f(1,4) ，AB＝8，求AC，BC的长． 解：∵sin A＝ eq \f(BC,AB) ＝ eq \f(1,4) ，AB＝8，∴BC＝2，∴AC＝ eq \r(AB2－BC2) ＝ eq \r(82－22) ＝ eq \r(60) ＝2 eq \r(15) 一、选择题(每小题6分，共12分) 10．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于sin A的是( ) A． eq \f(CD,AC) B． eq \f(BD,CB) C． eq \f(CB,AB) D． eq \f(CD,CB) 11．如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A，B，O是小正方形顶点，⊙O的半径为1，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则sin ∠APB等于( ) A． eq \f(\r(3),2) B． eq \f(\r(2),2) C． eq \f(1,2) D．1 二、填空题(每小题6分，共12分) 12．(怀化中考)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，4)，那么sin α的值是____． eq \f(4,5) eq \f(3,5) 三、解答题(共36分) 14．(10分)如图，菱形ABCD的边长为10 cm，DE⊥AB，sin A＝ eq \f(3,5) ，求DE的长和菱形ABCD的面积． 解：∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°.在Rt△AED中，sin A＝ eq \f(DE,AD) ，即 eq \f(3,5) ＝ eq \f(DE,10) ，解得DE＝6 (cm)，∴菱形ABCD的面积为10×6＝60(cm2) 解：过O作OE⊥AB，∵弦AB的长为8 cm，∴AE＝EB＝4 cm，∵AO＝5 cm，∴EO＝ eq \r(52－42) ＝3 (cm)，∵BE＝4 cm，BP＝2 cm，∴EP＝6 cm，∴OP＝ eq \r(EO2＋EP2) ＝ eq \r(9＋36) ＝3 eq \r(5) (cm)，故sin ∠OPA＝ eq \f(\r(5),5) eq \f(\r(5),5) 解：(1)证明：在矩形ABCD中，BC＝AD，AD∥BC，∠B＝90°，∴∠DAF＝∠AEB.∵DF⊥AE，AE＝BC，∴∠AFD＝90°＝∠B，AE＝AD，∴△ABE≌△DFA(AAS) (2)由(1)知△ABE≌△DFA，∴AB＝DF＝6.在Rt△ADF中，AF＝ eq \r(AD2－DF2) ＝ eq \r(102－62) ＝8，∴EF＝AE－AF＝AD－AF＝2.在Rt△DFE中，DE＝ eq \r(DF2＋EF2) ＝ eq \r(62＋22) ＝2 eq \r(10) ，∴sin ∠EDF＝ eq \f(EF,DE) ＝ eq \f(2,2\r(10)) ＝ eq \f(\r(10),10) $