江苏省无锡市2025-2026学年苏科版八年级数学 上册期末自编练习

江苏省无锡市2025-2026学年苏科版初二数学(上册)期末练习卷 一．选择题（共4小题） 1．若实数m、n满足等式|m﹣2|0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（　　） A．6 B．8 C．10 D．8或10 2．在平面直角坐标系中，AB∥x轴，AB＝2，若点A（1，﹣3），则点B的坐标是（　　） A．（1，﹣1） B．（1，﹣5）或（1，﹣1） C．（3，﹣3） D．（﹣1，﹣3）或（3，﹣3） 3．关于一次函数y＝kx+k（k≠0），下列说法中正确的是（　　） A．该函数的图象一定不经过第四象限 B．当k＝2时，若x的取值增加1，则y的值也增加1 C．该函数的图象向右平移1个单位后一定经过坐标原点 D．若该函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积是1，则k＝2 4．如图，直线y＝2x﹣6与x轴、y轴分别交于A，B两点，C在y轴的正半轴上，D在直线AB上，且CB＝10，CD＝OD．若点P为线段AB上的一个动点，且P关于x轴的对称点Q总在△OCD内（不包括边界），则点P的横坐标m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共8小题） 5．如图，△ABD与△ACE都是等边三角形，且AB≠AC，下列结论：①BE＝CD；②∠BOD＝60°；③∠BDO＝∠CEO；④若∠BAC＝90°，DA∥BC，则BC⊥EC．其中正确的是 　 　 （填序号）． 6．某汽车的标志图案是一个轴对称图形．在如图所示的直角坐标系中，y轴是其对称轴．若点A的坐标是（﹣3，4），则点C的坐标为 　 　 ． 7．已知一次函数y＝x﹣m+3（m为常数）的图象与y轴的交点在x轴的上方，则m的取值范围为 　 　 ． 8．如图，正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2的点A1，A2，A3和点C1，C2，C3分别在直线y＝x+1和x轴上，用同样的方式依次放置正方形A4B4C4C3、A5B5C5C3，则点Bn的纵坐标是 　 　 ． 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，8）、B（4，0），点C在x轴的负半轴上，连接AB，AC．若AC＝BC，BD是△ABC的高，则点D的坐标是 　 　 ． 10．如图，将四边形ABCD沿AP所在直线折叠，得△PQA，点Q位于CD上；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，得△PRQ与△ARQ，点R位于AP上，则∠QPA＝ 　 　 °． 11．如图直线y＝kx﹣3k与直线y＝ax+b交于点A，A的横坐标为1，则不等式0＜kx﹣3k＜ax+b的解集为 　 　 ． 12．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，BC＝4，点E、F分别是AD、AC上的动点，且AE＝CF，则BF+CE的最小值为　 　 ． 三．解答题（共8小题） 13．如图，△ABC与△AED中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，过A作AF⊥DE垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）求证：GA平分∠DGB； （3）若四边形DGBA的面积为18，AF＝4.5，求FG的长． 14．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点A、B、C的坐标分别为（﹣5，﹣1）、（﹣3，﹣4）、（﹣1，﹣3）． （1）S△ABC＝　 　 ； （2）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （3）已知点P在x轴上，且PA＝PC，则点P的坐标是 　 　 ． （4）若y轴上存在点Q，使△QAC的周长最小，则点Q的坐标是 　 　 ． 15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＞∠B． （1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，交AB与D，交BC于E；（不写作法，保留作图痕迹）若CE＝DE，求∠A，∠B的度数， （2）用直尺和圆规在AB上求作一点P使点P到BC的距离等于AP．（不写作法，保留作图痕迹） 16．某礼品店为迎接农历新年的到来，准备购进一批适合学生的礼品．已知购进4件A礼品和12件B礼品共需360元，购进8件A礼品和6件B礼品共需270元． （1）（列二元一次方程组）求A，B两种礼品每件的进价． （2）该店计划将5000元全部用于购进A，B这两种礼品，设购进A礼品m件，B礼品n件． ①求n与m之间的关系式； ②该店进货时，厂家要求A礼品的购进数量不少于100件．已知A礼品每件售价为20元，B礼品每件售价为35元．设该店全部售出这两种礼品可获利W元，求W与m之间的关系式和该店所获利润的最大值． 17．问题背景：（1）平面直角坐标系中，已知点A（x1，y1），点B（x2，y2），点C是线段AB的中点，则点C的坐标为（，），如：A（﹣1，1），B（3，3），则AB的中点C的坐标为（，）即点C的坐标为（1，2）． 解决问题： （1）已知A（6，﹣2），B（﹣3，﹣3），则线段AB的中点M的坐标是：　 　 ． （2）若点P（﹣3，7），线段PQ的中点坐标为（﹣1，5），则点Q的坐标是：　 　 ． （3）已知三点E（4，﹣2），F（﹣3，﹣1），G（﹣1，﹣4），第四个点H（x，y）与点E，点F、点G中的任意一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，求点H的坐标． 18．甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲、乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象． （1）直接写出m和a的值； （2）甲车从A地到B地共用多少小时； （3）当两车相距50km时，乙车行驶了多长的时间？ 19．新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． （1）如图①中，若△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE．写出∠BAD，∠BAC和∠BAE之间的数量关系，并证明． （2）如图②，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE，点D、点E均在△ABC外，连接BD、CE交于点M，连接AM，求证：AM平分∠BME． （3）如图③，若AB＝AC，∠BAC＝∠ADC＝60°，试探究∠B和∠C的数量关系，并说明理由． 20．如图1，已知在△ABC中，AB＝4，边AB在x轴上，点C在y轴上，∠ABC＝45°，B的坐标为（3，0），点K是y轴上一个动点，它的坐标是（0，m），直线AK交直线BC于点P． （1）求直线AC的表达式； （2）若m＝1，点Q为直线BC上一点，且AK平分∠CAQ，求Q的坐标； （3）如图2，连接OP，以OP为直角边作等腰直角△OPM（O、P、M三点按照逆时针顺序排列），使得∠OPM＝90°，PO＝PM． ①试说明在点K的运动过程中，△ABM的面积是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由； ②点K从C运动到O的过程中，点M的运动路径长为 　 　 ． 一．选择题（共4小题） 1．若实数m、n满足等式|m﹣2|0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（　　） A．6 B．8 C．10 D．8或10 【分析】由已知等式，结合非负数的性质求m、n的值，再根据m、n分别作为等腰三角形的腰，分类求解． 【解答】解：∵|m﹣2|0， ∴m﹣2＝0，n﹣4＝0， 解得m＝2，n＝4， 当m＝2作腰时，三边为2，2，4，不符合三边关系定理； 当n＝4作腰时，三边为2，4，4，符合三边关系定理，周长为：2+4+4＝10． 故选：C． 2．在平面直角坐标系中，AB∥x轴，AB＝2，若点A（1，﹣3），则点B的坐标是（　　） A．（1，﹣1） B．（1，﹣5）或（1，﹣1） C．（3，﹣3） D．（﹣1，﹣3）或（3，﹣3） 【分析】在平面直角坐标系中与x轴平行，则它上面的点纵坐标相同，可求B点纵坐标；与x轴平行，相当于点A左右平移，可求B点横坐标． 【解答】解：∵AB∥x轴， ∴点B纵坐标与点A纵坐标相同，为﹣3， 又∵AB＝2，可能右移，横坐标为1+2＝3；可能左移横坐标为1﹣2＝﹣1， ∴B点坐标为（3，﹣3）或（﹣1，﹣3）， 故选：D． 3．关于一次函数y＝kx+k（k≠0），下列说法中正确的是（　　） A．该函数的图象一定不经过第四象限 B．当k＝2时，若x的取值增加1，则y的值也增加1 C．该函数的图象向右平移1个单位后一定经过坐标原点 D．若该函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积是1，则k＝2 【分析】根据一次函数的图象和性质，一次函数图象的平移，与坐标轴的交点行一一分析． 【解答】解：A．一次函数y＝kx+k（k≠0），当k＜0时，图象一定经过第四象限，故A错误； B．当 k＝2 时，y＝2x+2，若x的取值增加1，则2（x+1）+2﹣（2x+2）＝2，即y值增加2，故B错误； C．该函数的图象向右平移1个单位后，得 y＝k（x﹣1）+k＝kx， ∴此时该函数为正比例函数，则必经过原点，故C正确； D．在y＝kx+k（k≠0）中，令x＝0，则 y＝k，令 y＝0，则x＝﹣1， ∴函数图象与坐标轴的交点为 （﹣1，0），（0，k），， 解得：k＝2或k＝﹣2， 故D错误． 故选：C． 4．如图，直线y＝2x﹣6与x轴、y轴分别交于A，B两点，C在y轴的正半轴上，D在直线AB上，且CB＝10，CD＝OD．若点P为线段AB上的一个动点，且P关于x轴的对称点Q总在△OCD内（不包括边界），则点P的横坐标m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【分析】先求出A（3，0）、B（0，﹣6），进而求出C（0，4），再由CD＝OD可知点D在线段OC的垂直平分线上，即在直线y＝2上，则D（4，2），利用待定系数法求出直线CD和直线OD的解析式，根据关于x轴对称的点横坐标相同及坐标互为相反数求出点Q的坐标，再根据点Q在△OCD内，则当x＝m时，点Q的纵坐标在直线CD和直线OD二者的函数值之间，由此建立不等式求解即可． 【解答】解：在y＝2x﹣6中，当x＝0时，y＝2x﹣6＝﹣6，当y＝2x﹣6＝0时，x＝3， ∴A（3，0），B（0，﹣6）， ∵C在y轴的正半轴上，CB＝10， ∴C（0，4）， ∵CD＝OD． ∴点D在线段OC的垂直平分线上，即在直线y＝2上， 在y＝2x﹣6中，当y＝2x﹣6＝2时，x＝4， ∴D（4，2）； 设直线CD解析式为y＝kx+b， ， ∴ ∴直线CD解析式为yx+4． 同理可得直线OD的解析式为yx， ∵点P为线段AB上的一个动点，且其横坐标为m， ∴P（m，2m﹣6）， ∵P、Q关于x轴对称， ∴Q（m，6﹣2m）， ∵点Q总在△OCD内（不包括边界）， ∴m＜6﹣2mm+4． 解得m． 故选：D． 二．填空题（共8小题） 5．如图，△ABD与△ACE都是等边三角形，且AB≠AC，下列结论：①BE＝CD；②∠BOD＝60°；③∠BDO＝∠CEO；④若∠BAC＝90°，DA∥BC，则BC⊥EC．其中正确的是 　①②④　 （填序号）． 【分析】由SAS证得△DAC≌△BAE得出BE＝DC，∠ADC＝∠ABE，求出∠BOD＝60°，①正确；②正确；∠ADB＝∠AEC＝60°，但不能推出∠ADC＝∠AEB，则∠BDO＝∠CEO错误，即③错误；再由平行线的性质得出∠DAB＝∠ABC＝60°，推出∠ACB＝30°，则BC⊥CE，④正确． 【解答】解：∵△ABD与△AEC都是等边三角形， ∴AD＝AB，AE＝AC，∠ADB＝∠ABD＝60°，∠DAB＝∠EAC＝60°， ∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC， ∴∠DAC＝∠BAE， 在△DAC和△BAE中， ， ∴△DAC≌△BAE（SAS）， ∴BE＝DC，∠ADC＝∠ABE， ∵∠BOD＝180°﹣∠ODB﹣∠DBA﹣∠ABE＝180°﹣∠ODB﹣60°﹣∠ADC＝120°﹣（∠ODB+∠ADC）＝120°﹣60°＝60°， ∴∠BOD＝60°，∴①正确；②正确； ∵△ABD与△AEC都是等边三角形， ∴∠ADB＝∠AEC＝60°，但根据已知不能推出∠ADC＝∠AEB， ∴∠BDO＝∠CEO错误，∴③错误； ∵DA∥BC， ∴∠DAB＝∠ABC＝60°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ACB＝30°， ∵∠ACE＝60°， ∴∠ECB＝90°， ∴BC⊥CE，④正确， 综上所述，①②④正确， 故答案为：①②④． 6．某汽车的标志图案是一个轴对称图形．在如图所示的直角坐标系中，y轴是其对称轴．若点A的坐标是（﹣3，4），则点C的坐标为 　（3，4）　 ． 【分析】根据轴对称性质可得． 【解答】解：根据题意知点C是点A关于y轴的对称点， ∴点C坐标为（3，4）， 故答案为：（3，4）． 7．已知一次函数y＝x﹣m+3（m为常数）的图象与y轴的交点在x轴的上方，则m的取值范围为 m＜3　 ． 【分析】根据一次函数y＝x﹣m+3（m为常数）的图象与y轴的交点在x轴的上方列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【解答】解：∵一次函数y＝x﹣m+3（m为常数）的图象与y轴的交点在x轴的上方， ∴﹣m+3＞0， 解得m＜3． 故答案为：m＜3． 8．如图，正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2的点A1，A2，A3和点C1，C2，C3分别在直线y＝x+1和x轴上，用同样的方式依次放置正方形A4B4C4C3、A5B5C5C3，则点Bn的纵坐标是 　2n﹣1 ． 【分析】根据一次函数y＝x+1可求出与x轴、y轴的交点坐标，即可确定正方形OA1B1C1的边长以及与x轴所交锐角的度数，进而得出△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…都是等腰直角三角形，进而由点B1的纵坐标，可求出点B2、B3、B4…的纵坐标，由规律得出答案． 【解答】解：设直线y＝x+1与x轴的交点为D， ∵直线y＝x+1与x轴，y轴的交点坐标为（﹣1，0），（0，1）， ∴△A1OD是等腰直角三角形， 又∵正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，… ∴△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…都是等腰直角三角形， ∴A1B1＝A2B1＝1、A2B2＝A3B2＝2、A3B3＝A4B3＝4、A4B4＝A5B4＝8、A5B5＝A6B5＝16…， ∴点B1的纵坐标为1＝20， 点B2的纵坐标为2＝21， 点B3的纵坐标为4＝22， 点B4的纵坐标为8＝23， 点B5的纵坐标为16＝24， … 点Bn的纵坐标为2n﹣1， 故答案为：2n﹣1． 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，8）、B（4，0），点C在x轴的负半轴上，连接AB，AC．若AC＝BC，BD是△ABC的高，则点D的坐标是 　（﹣2.4，4.8）　 ． 【分析】先根据勾股定理求出OC，然后证明△ACO≌△BCD，得出BD＝AO＝8，CO＝CD＝6，再根据等面积法求出DE，进而求出CE，OE即可解答． 【解答】解：过点D作DE⊥OC， ∵A（0，8）、B（4，0）， ∴AO＝8，BO＝4， 设CO＝x，则AC＝BC＝x+4， ∴（x+4）2＝x2+82， 解得x＝6， ∴OC＝6， ∵BD是△ABC的高， ∴∠BDC＝∠AOC＝90°， ∵AC＝AC，∠ACO＝∠BCD， ∴△ACO≌△BCD（AAS）， ∴BD＝AO＝8，CO＝CD＝6， ∴AC＝BC10， ∴S△BCDBD×CDBC×DE， ∴8×6＝10DE， ∴DE＝4.8， ∴CE3.6， ∴OE＝6﹣3.6＝2.4， ∴点D的坐标为（﹣2.4，4.8）； 故答案为：（﹣2.4，4.8）． 10．如图，将四边形ABCD沿AP所在直线折叠，得△PQA，点Q位于CD上；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，得△PRQ与△ARQ，点R位于AP上，则∠QPA＝ 　60　 °． 【分析】由折叠的性质可知，∠BPA＝∠QPA，∠QPC＝∠QPA，再结合平角的概念求解即可． 【解答】解：由题干中给出的信息可得：∠BPA＝∠QPA，∠QPC＝∠QPA， ∴∠BPA＝∠QPA＝∠QPC， ∵∠BPA+∠QPA+∠QPC＝180°， ∴3∠QPA＝180°， ∴∠QPA60°， 故答案为：60． 11．如图直线y＝kx﹣3k与直线y＝ax+b交于点A，A的横坐标为1，则不等式0＜kx﹣3k＜ax+b的解集为 　1＜x＜3　 ． 【分析】根据求0＜kx﹣3k＜ax+b的解集即求直线y＝ax+b位于直线y＝kx﹣3k上方，且位于x轴上方时x的取值范围，结合图象即可得解． 【解答】解：∵直线y＝kx﹣3k与直线y＝ax+b交于点A，A的横坐标为1， ∴由图象可知当x＞1时，直线y＝ax+b位于直线y＝kx﹣3k上方， ∵观察图象可得，直线y＝kx﹣3k从左到右下降， ∴k＜0， ∵0＜kx﹣3k， ∴x＜3， ∴0＜kx﹣3k＜ax+b的解集为1＜x＜3． 故答案为：1＜x＜3． 12．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，BC＝4，点E、F分别是AD、AC上的动点，且AE＝CF，则BF+CE的最小值为　4　 ． 【分析】过C作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH，先证△AEC≌△CFH（SAS），得CE＝HF，则BF+CE＝BF+HF，当F为AC与BH的交点时，BF+CE的值最小，则△BCH是等腰直角三角形，此时BF+CE的最小值＝BHBC＝4． 【解答】解：过C作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH，如图1所示： ∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC＝4，∠BAC＝60°， ∴AC＝CH， ∵AD⊥BC，CH⊥BC， ∴∠DAC＝∠BAD＝30°，AD∥CH， ∴∠ACH＝∠DAC＝30°， 在△AEC和△CFH中， ， ∴△AEC≌△CFH（SAS）， ∴CE＝HF， ∴BF+CE＝BF+HF， ∴当F为AC与BH的交点时，BF+CE的值最小，如图2所示： 又∵CH＝BC，CH⊥BC， ∴△BCH是等腰直角三角形， ∴BF+CE的最小值＝BHBC＝4， 故答案为：4． 三．解答题（共8小题） 13．如图，△ABC与△AED中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，过A作AF⊥DE垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）求证：GA平分∠DGB； （3）若四边形DGBA的面积为18，AF＝4.5，求FG的长． 【分析】（1）利用SAS进行证明即可； （2）先过点A作AH⊥BC于H，判定△ADF≌△ABH（AAS），即可得出AF＝AH，进而得证； （3）先判定△AFG≌△AHG（HL），得出S四边形DGBA＝2S△AFG，再根据S四边形DGBA＝18，AF＝4.5面积公式列出式子，进而得到FG的长． 【解答】（1）证明：在△ABC与△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（SAS）． （2）作AH⊥BC于H，如图1， ∵△ABC≌△ADE， ∴∠D＝∠ABC，AD＝AB， ∵AF⊥DE， ∴∠AFD＝∠AHB＝90°， 在△ADF与△ABH中， ， ∴△ADF≌△ABH（AAS）， ∴AF＝AH， ∴GA平分∠DGB； （3）解：∵△ADF≌△ABH， ∴S四边形DGBA＝S△ADF+S四边形AFGB＝S△ABH+S四边形AFGB， 在Rt△AFG 和Rt△AHG中， ， ∴Rt△AFG≌Rt△AHG（HL）， ∴S四边形DGBA＝2S△AFG， ∵S四边形DGBA＝18，AF＝4.5， ∴18＝2FG×4.5， 解得：FG＝4． 14．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点A、B、C的坐标分别为（﹣5，﹣1）、（﹣3，﹣4）、（﹣1，﹣3）． （1）S△ABC＝　4　 ； （2）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （3）已知点P在x轴上，且PA＝PC，则点P的坐标是 　（﹣2，0）　 ． （4）若y轴上存在点Q，使△QAC的周长最小，则点Q的坐标是 　（0，）　 ． 【分析】（1）利用△ABC所在的矩形面积减去周围三个直角三角形面积即可； （2）根据轴对称的性质即可画出△A1B1C1； （3）根据线段垂直平分线的性质可得出点P的位置，从而得出坐标； （4）连接AC1，交y轴于Q，根据待定系数法求出k和b的值即可． 【解答】解：（1）S△ABC＝3×44， 故答案为：4； （2）如图所示，△A1B1C1即为所求； （3）如图，点P（﹣2，0）， 故答案为：（﹣2，0）； （4）连接AC1，交y轴于Q， 设AC1的函数关系式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴Q（0，）， 故答案为：（0，）． 15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＞∠B． （1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，交AB与D，交BC于E；（不写作法，保留作图痕迹）若CE＝DE，求∠A，∠B的度数， （2）用直尺和圆规在AB上求作一点P使点P到BC的距离等于AP．（不写作法，保留作图痕迹） 【分析】（1）根据要求作出图形，利用三角形内角和定理求解即可； （2）作AE平分∠BAC，作线段AE的垂直平分线交AB于点P，连接PE，点P即为所求． 【解答】解：（1）如图，直线DE即为所求． ∵ED⊥AB，EC⊥AC，ED＝EC， ∵EA平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAE， ∵ED垂直平分性质AB， ∴EB＝EA， ∴∠B＝∠BAE， ∴∠BAC＝2∠B， ∵∠C＝90°， ∴∠B＝30°，∠BAC＝60°． （2）如图，点P即为所求． 16．某礼品店为迎接农历新年的到来，准备购进一批适合学生的礼品．已知购进4件A礼品和12件B礼品共需360元，购进8件A礼品和6件B礼品共需270元． （1）（列二元一次方程组）求A，B两种礼品每件的进价． （2）该店计划将5000元全部用于购进A，B这两种礼品，设购进A礼品m件，B礼品n件． ①求n与m之间的关系式； ②该店进货时，厂家要求A礼品的购进数量不少于100件．已知A礼品每件售价为20元，B礼品每件售价为35元．设该店全部售出这两种礼品可获利W元，求W与m之间的关系式和该店所获利润的最大值． 【分析】（1）设A、B两种礼品的进价分别是x元、y元，列出方程组，解方程组即可； （2）①由题意：该店计划用5000元全部购进A，B两种礼品，设购进A种m个，B种n个，列出二元一次方程，整理可得m关于n的关系式； ②根据两种礼品的进价和售价列出关系式，再求最大利润即可． 【解答】解：（1）设A礼品每个的进价是x元，B礼品每个的进价是y元， 依题意，， 解． （2）①依题意，15m+25n＝5000， ∴n＝200m． ②w＝（20﹣15）m+（35﹣25）（200m）＝2000﹣m． ∴w随m的增大而减小，且m≥100． ∴当m＝100，w取得最大值1900元． 即A礼品进货100件时，该店获利最大为1900元． 17．问题背景：（1）平面直角坐标系中，已知点A（x1，y1），点B（x2，y2），点C是线段AB的中点，则点C的坐标为（，），如：A（﹣1，1），B（3，3），则AB的中点C的坐标为（，）即点C的坐标为（1，2）． 解决问题： （1）已知A（6，﹣2），B（﹣3，﹣3），则线段AB的中点M的坐标是：　（）　 ． （2）若点P（﹣3，7），线段PQ的中点坐标为（﹣1，5），则点Q的坐标是：　（1，3）　 ． （3）已知三点E（4，﹣2），F（﹣3，﹣1），G（﹣1，﹣4），第四个点H（x，y）与点E，点F、点G中的任意一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，求点H的坐标． 【分析】（1）根据题意，即可得到各中点的坐标： （2）根据（1）中的坐标与中点坐标找到规律； （3）利用（2）中的规律进行分类讨论即可答题． 【解答】解：（1）∵A（6，﹣2），B（﹣3，﹣3），则线段AB的中点M的坐标是（），即（）， 故答案为：（）． （2）设点Q的坐标（a，b），由题意得， ， 解得a＝1，b＝3， ∴点Q的坐标（1，3）， 故答案为：（1，3）； （3）（分类讨论：①HE与FG中点重合时， ，， ∴x＝﹣8，y＝﹣3， 此时H（﹣8，﹣3）； ②HF与EG中点重合时， ， ∴x＝6，y＝﹣5， 此时H（6，﹣5）； ③HG与EF中点重合时， ， ∴x＝2，y＝1， 此时H（2，1）， ∴点H的坐标为：（﹣8，﹣3）（6，﹣5）或（2，1）． 18．甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲、乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象． （1）直接写出m和a的值； （2）甲车从A地到B地共用多少小时； （3）当两车相距50km时，乙车行驶了多长的时间？ 【分析】（1）根据“路程÷时间＝速度”由函数图象就可以求出甲的速度，求出a的值和m的值； （2）先根据1.5＜x≤7由待定系数法得出y与x之间的函数关系式，把y＝260代入得出x的值，再根据甲车途中休息了0.5h，可以求出结论； （3）先求出乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式，由解析式之间的关系建立方程求出其解即可． 【解答】解：（1）由题意，得 m＝1.5﹣0.5＝1． 120÷（3.5﹣0.5）＝40， ∴a＝40． 答：a＝40，m＝1； （2）当1.5＜x≤7时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，由题意，得 ， 解得：， ∴y＝40x﹣20， ∴当1.5＜x≤7时，甲车y与x之间的函数关系式为y＝40x﹣20， 当y＝260时，260＝40x﹣20， 解得：x＝7， ∴甲车共行驶时间是7（小时）； （3）设乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式为y＝mx+n，由题意，得 ， 解得：， ∴y＝80x﹣160． 当40x﹣20﹣50＝80x﹣160时， 解得：x． 当40x﹣20+50＝80x﹣160时， 解得：x， ，， 答：乙车行驶小时或小时，两车恰好相距50km． 19．新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． （1）如图①中，若△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE．写出∠BAD，∠BAC和∠BAE之间的数量关系，并证明． （2）如图②，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE，点D、点E均在△ABC外，连接BD、CE交于点M，连接AM，求证：AM平分∠BME． （3）如图③，若AB＝AC，∠BAC＝∠ADC＝60°，试探究∠B和∠C的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据“兄弟三角形”的定义得到∠BAC＝∠DAE，进而得到∠CAE＝∠BAD，得到答案； （2）过点A作AG⊥DM于G，AH⊥EM于H，证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的对应高相等得到AG＝AH，根据角平分线的判定定理证明结论； （3）延长DC至点P，使DP＝AD，证明△BAD≌△CAP，得到∠B＝∠ACP，根据邻补角的定义证明即可． 【解答】（1）解：∠BAD+∠BAC＝∠BAE， 理由如下：∵△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠CAE＝∠BAD， ∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC＝∠BAE； （2）证明：如图②，过点A作AG⊥DM于G，AH⊥EM于H， ∵△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠CAE＝∠BAD， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∵AG⊥DM，AH⊥EM， ∴AG＝AH， ∵AG⊥DM，AH⊥EM， ∴AM平分∠BME． （3）∠B+∠C＝180°， 理由如下：如图③，延长DC至点P，使DP＝AD， ∵∠ADP＝60°， ∴△ADP为等边三角形， ∴AD＝AP，∠DAP＝60°， ∵∠BAC＝60°， ∴∠BAD＝∠CAP， 在△BAD和△CAP中， ， ∴△BAD≌△CAP（SAS）， ∴∠B＝∠ACP， ∵∠ACD+∠ACP＝180°， ∴∠B+∠ACD＝180°． 20．如图1，已知在△ABC中，AB＝4，边AB在x轴上，点C在y轴上，∠ABC＝45°，B的坐标为（3，0），点K是y轴上一个动点，它的坐标是（0，m），直线AK交直线BC于点P． （1）求直线AC的表达式； （2）若m＝1，点Q为直线BC上一点，且AK平分∠CAQ，求Q的坐标； （3）如图2，连接OP，以OP为直角边作等腰直角△OPM（O、P、M三点按照逆时针顺序排列），使得∠OPM＝90°，PO＝PM． ①试说明在点K的运动过程中，△ABM的面积是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由； ②点K从C运动到O的过程中，点M的运动路径长为 　6　 ． 【分析】（1）先分别求出A、C两点的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）证明△APC≌△APQ得CP＝PQ，再求出直线BC、AK的解析式，联立求得P（1，2），根据中点即可求解； （3）①作OH⊥BC，MN⊥BC，垂足为H、N，分点P在H上方和点P在H下方两种情况证明M在经过点C且平行于x轴的直线上运动，从而可得，即可得解； ②当K与点O重合时，点P与点B重合，点H与点N重合，证四边形OBMC是平行四边形，得CM＝OB＝3，当K与点C重合时，P、K、C三点重合，由①得△PMN≌△OPH，利用全等三角形的性质即可得解． 【解答】解：（1）∵∠ABC＝45°，B的坐标为（3，0），AB＝4， ∴∠OCB＝90°﹣45°＝45°＝∠ABC，OB＝3， ∴OC＝OB＝3，OA＝AB﹣OB＝1， ∴A的坐标为（﹣1，0），C的坐标为（0，3）， 设直线BC的解析式为：y＝mx+n， ∵直线BC的解析式为：y＝mx+n过（﹣1，0）和（0，3）， ∴， 解得， ∴y＝3x+3； （2）如图1， ∵m＝1， ∴K（0，1）， ∴AK＝AO， ∴∠AKO＝∠KAO＝45°， 又∵∠ABC＝45°， ∴∠APB＝90°， ∴∠APC＝∠APQ＝90°， ∵AK平分∠CAQ， ∴∠CAP＝∠QAP， ∵AP＝AP， ∴△APC≌△APQ（ASA）， ∴CP＝PQ， ∴P是CQ的中点， 设直线BC的解析式为：y＝kx+b， ∵直线BC的解析式为：y＝kx+b过（3，0）和（0，3），代入得： ， 解得， ∴BC表达式为：y＝﹣x+3， 设直线AK为：y＝px+q， ∵直线AK为：y＝px+q过（﹣1，0）和（0，1），代入得： ， 解得， ∴AK表达式为：y＝x+1， 联立， 解得， ∴P（1，2）， 设Q（a，﹣a+3）， ∴1，2， 解得a＝2， ∴Q（2，1）； （3）①作OH⊥BC，MN⊥BC，垂足为H、N，如图2.1， （Ⅰ）当P在H上方时， ∵OH⊥BC，MN⊥BC，∠OPM＝90°， ∴∠PNM＝∠OHP＝90°，∠OPH+∠POH＝90°，∠OPH+∠MPN＝180°﹣90＝90°， ∴∠MPN＝∠POH， ∵PM＝OP， ∴△PMN≌△OPH（AAS）， ∴MN＝PH，OH＝PN， OB＝OC，OH⊥BC， ∴OHBC＝HC， ∴HC＝PN， ∴HC﹣PC＝PN﹣PC， ∴NC＝PH＝MN， ∴∠MCN＝45°＝∠ABC， ∴MC∥x轴； （Ⅱ）当P在H下方，如图2.2， 同理证得：∠MCN＝45°＝∠ABC，MC∥x轴， ∴M在经过点C且平行于x轴的直线上运动， ∴S△ABM＝S△ABC4×3＝6； ②当K与点O重合时，点P与点B重合，点H与点N重合，如图2.3， 由①得NC＝NB，NO＝NM， ∴四边形OBMC是平行四边形， ∴CM＝OB＝3， 当K与点C重合时，P、K、C三点重合， 由①得△PMN≌△OPH， ∴PM＝CM＝OC＝3， ∴点M的运动路径长为3+3＝6， 故答案为：6． 学科网（北京）股份有限公司 $