27.3　位　似 第2课时 平面直角坐标系中的位似课件2025-2026学年人教版九年级数学下册

第2课时　平面直角坐标系中的位似 27.3　位　似 第二十七章　相　似 1 新课导入 如图，已知点A(0，3)，B(2，0)是平面直角坐标系内的两点，连接AB. (1)将线段AB向左平移3个单位长度得到线段A1B1，画出图形，并写出点A1，B1的坐标； A1 B1 解：(1)如图；A1(－3，3)，B1(－1，0)； (2)作出线段AB关于y轴对称的线段A2B2，并写出点A2，B2的坐标． (A2) B2 (2)如图；A2(0，3)，B2(－2，0)． 2 4 6 4 6 －2 －4 －4 x y A B O 探究新知 如图,在平面直角坐标系中， 有两点 A (6，3)，B (6，0)． 以原点 O 为位似中心，相似比为 ，把线段 AB 缩小， 观察对应点之间坐标的变化. 1 B' A' A" B" A′ ( 2，1 )，B' ( 2，0 )； A" ( -2 ，-1 )，B" ( -2，0 ). o -8 8 2 4 4 6 -2 -4 -4 x y A 2 8 10 C -2 -6 -8 -10 -6 6 如图, △AOC 三个顶点分 别为 A (4，4)，O (0，0)， C (5，0)，以点 O 为位似中心，相似比为 2，将 △AOC 放大，观察对应顶点坐标的变化. A' C' A" C" A′ ( 8，8 )，C' ( 10，0 )； A" ( -8 ，-8 )，C" ( -10，0 ). (1)在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作几个？ 可以作2个 (2)所作位似图形与原图形在原点的同侧，那么对应顶点的坐标的比与其相似比是什么关系？如果所作位似图形与原图形在原点的异侧呢？ 如果以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为k，当两图形位于原点同侧时，与原图形上的点(x , y)对应的位似图形上的点的坐标是_________; 当两图形位于原点异侧时，与原图形上的点(x , y)对应的位似图形上的点的坐标是__________ . （-kx , -ky） （kx , ky） (3)截止现在，你总共学了哪些图形变换？它们之间有何异同点？ 四种图形变换：平移、轴对称、旋转和位似. 不同点：前三种变换都不改变图形大小和形状，位似则是不改变图形形状但大小改变。 相同点：四种变换的图形形状相似。 (4)怎样用坐标变化来表示平移、轴对称、旋转(中心对称) 、位似这几种变换？ 平移、轴对称、旋转、位似变换的坐标变化规律 平移变换 轴对称变换 对应点的横坐标或纵坐标加上(或减去)平移的单位长度. 以x 轴为对称轴,则对应点的横坐标相等,纵坐标互为相反数;以y 轴为对称轴,则对应点的纵坐标相等,横坐标互为相反数. 平移、轴对称、旋转、位似变换的坐标变化规律 旋转变换 位似变换 一个图形绕原点旋转180° ,则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标都互为相反数. 当以原点为位似中心时,变换前后两个图形对应点的横坐标、纵坐标之比的绝对值等于相似比. 知识归纳 一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为_________或____________． (kx，ky) (－kx，－ky) 例1　在平面直角坐标系中，已知点A(－3，6)，B(－9，－3)，以原点O为位似中心，相似比为 ，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是(　　) 例题与练习 D A．(－1，2)　　　　　　　　 B．(－9，18) C．(－9，18)或(9，－18) D．(－1，2)或(1，－2) 例2　如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5)． x y O A B C (1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； 解：(1)如图，△A1B1C1就是所求作的三角形； B1 A1 C1 (2)以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2，并求出△A2B2C2的面积． x y O A B C ∴S△A2B2C2＝8×10－ ×6×2－ ×4×8 － ×6×108. (2)如图，△A2B2C2就是所求作的三角形． 由已知得A2(－2，4) ,B2(4，2), C2(8，10) ， x y O A B C A2 C2 B2 课堂小结 1．会用图形的位似变化求点的坐标. 2．会按要求画出位似变换后的图形． B 17 (3，1) 18 2．(5分)(重庆中考)如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，若B(0，1)，D(0，3)，则△OAB与△OCD的相似比是 ( ) A．2∶1 B．1∶2 C．3∶1 D．1∶3 D 19 3．(5分)(易错题)在平面直角坐标系中，已知点E(－4，2)，F(－2，－2)，以原点O为位似中心，相似比为1∶2，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是 ( ) A．(－2，1) B．(－8，4) C．(－8，4)或(8，－4) D．(－2，1)或(2，－1) 【启思】位置不确定时，要分类讨论． D 20 4．(5分)(辽宁中考)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O(0，0)，A(1，0)，B(2，3)，C(－1，2).若四边形OA′B′C′与四边形OABC关于原点O位似，且四边形OA′B′C′的面积是四边形OABC面积的4倍，则第一象限内点B′的坐标为 ________． (4，6) 21 D 在平面直角坐标系中画位似图形 22 (1，3) (2，1) 解：(1)如图所示：△DEF，即为所求； 23 A 24 二、填空题(每小题8分，共16分) 8．(菏泽中考)如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3∶4，∠OCD＝90°，∠AOB＝60°，若点B的坐标是(6，0)，则点C的坐标是____________． 25 9．(绥化中考)如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△AB′C′的相似比为1∶2，点A是位似中心，已知点A(2，0)，点C(a，b)，∠C＝90°.则点C′的坐标为 ______________．(结果用含a，b的式子表示) (6－2a，－2b) 26 三、解答题(共36分) 10．(18分)如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O(0，0)，A(2，1)，B(1，－2). (1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1，使它与△OAB的相似比为2∶1，并分别写出点A，B的对应点A1，B1的坐标； (2)画出将△OAB向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后的△O2A2B2，并写出点A，B的对应点A2，B2的坐标； (3)判断△OA1B1与△O2A2B2能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标． 27 解：(1)如图所示的△OA1B1即为所求，A1(4，2)，B1(2，－4) (2)如图所示的△O2A2B2即为所求，A2(0，2)，B 2(－1，－1) (3)△OA1B1与△O2A2B2是以点M(－4，2)为位似中心的位似图形 28 29 30 31 平面直角坐标系中的位似 1．(5分)如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点为O(0，0)，A(4，3)，B(3，0).以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为 eq \f(1,3) 的位似图形△OCD，则点C的坐标为( ) A．(－1，－1) B．(－ eq \f(4,3) ，－1) C．(－1，－ eq \f(4,3) ) D．(－2，－1) 【变式】(5分)(鄂州中考)如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位似中心，且 eq \f(AB,A1B1) ＝3.若A(9，3)，则A1点的坐标是 ________． 5．(5分)如图所示，在平面直角坐标系中，有两点A(4，2)，B(3，0)，以原点为位似中心，A′B′与AB的相似比为 eq \f(1,2) ，得到线段A′B′.正确的画法是( ) 6．(10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点分别为A(2，6)，B(4，2)，C(6，2). (1)在第一象限内，以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的 eq \f(1,2) ，得到△DEF，请画出△DEF. (2)在(1)的条件下，点A的对应点D的坐标为_________，点B的对应点E的坐标为_________. 一、选择题(共8分) 7．(遂宁中考)在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点△ABC，△DEF成位似关系，则位似中心的坐标为( ) A．(－1，0) B．(0，0) C．(0，1) D．(1，0) (2，2 eq \r(3) ) 【素养提升】 11．(18分)(分类讨论思想)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线L的解析式为y＝ eq \f(1,2) x2－x－ eq \f(3,2) ，抛物线L经过点A(－1，0)，B(3，0)，C(1，－2).连接AC，BC. (1)以点D(1，2)为位似中心画△A′B′C′，使它与△ABC位似，且相似比为2，A′，B′，C′分别是点A，B，C的对应点； (2)在(1)问的基础上，试判定是否存在满足条件的 点A′，B′在抛物线L上？若存在，求点A′，B′的坐标； 若不存在，请说明理由． 解：(1)如图 (2)∵L：y＝ eq \f(1,2) x2－x－ eq \f(3,2) ，∴D(1，2)在L的对称轴x＝1上．①当△A′B′C′在△ABC下方时，显然点A′，B′不会在抛物线L上； ②当△A′B′C′在△ABC上方时，如图，A′B′＝2AB＝8，∴点A′，B′的横坐标分别为5，－3.设对称轴x＝1分别与AB，A′B′的交点为E，E′.由题意可知DE＝2，∴点E的对应点E′(1，6)，∴点A′，B′的纵坐标均为6，∴A′(5，6)，B′(－3，6).∵当x＝5时，y＝ eq \f(1,2) ×52－5－ eq \f(3,2) ＝6，∴A′(5，6)在抛物线L上．同理，可得点B′(－3，6)也在抛物线L上，∴存在点A′(5，6)，B′(－3，6)在抛物线L上 $