精品解析：北京市昌平区2025-2026学年高二上学期期末质量抽测数学样卷试题

北京市昌平区2025-2026学年高二上学期期末质量抽测数学样卷试题 2026.1 本样卷含第一卷和第二卷．第一卷共137分，第二卷共13分，共150分．考试时长120分钟．第一卷共4页，第二卷共1页．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回． 第一卷 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3. 已知椭圆一个焦点与抛物线的焦点重合，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 4. 在空间直角坐标系中，已知点，且A，B，C三点共线，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 5. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 6. 从4名志愿者中选派3人在星期六、星期日参加公益活动，要求每人只参加一天，且星期六需要有两人参加，星期日需要有一人参加，则不同的选派方法共有（ ） A 12种 B. 20种 C. 24种 D. 36种 7. 已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，是该抛物线上的一点．若，，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 8. 已知直线，则“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知A，B是圆上的两点，是直线上一点．若存在点A、B、P，使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 在棱长为2的正方体中，是正方形内（包括边界）的一个动点，且满足．则下列结论中错误的是（ ） A. B. 点的轨迹长度为 C. 点到直线的最短距离为 D. 可能为锐角 第二部分（非选择题 共97分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知直线与垂直，则__________． 12. 已知，则__________；__________． 13. 某校组织一次认识大自然的夏令营活动，有6名同学参加，其中有4名男生、2名女生．现从这6名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本，则抽到的3名同学中至少有1名女生的概率为__________． 14. 已知双曲线，其渐近线方程为__________；若是双曲线右支上的一个动点，且到直线的距离大于恒成立，则实数的最大值为__________． 15. 在平面直角坐标系中，给定一个圆系，其中．给出下列四个结论： ①圆与圆的公共弦长为4； ②该圆系中所有圆的圆心都在某条抛物线上； ③对于任意的，圆与圆都外切； ④存直线与所有圆都相切． 其中所有正确结论的序号是__________． 三、解答题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD为正方形，平面． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 17. 某学生参加研学活动，需依次前往3个打卡点，且每个打卡点遇到排队概率均为，若遇到排队，则每次排队均需额外耗时20分钟．假设在各打卡点是否遇到排队相互独立． （1）求该生首次遇到排队发生在第3个打卡点的概率； （2）设该生在上述3个打卡点排队的额外总耗时为（单位：分钟），求的分布列及数学期望. 18. 如图，在三棱柱中，四边形为正方形，为等边三角形，平面平面为BC的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 19. 已知椭圆的一个顶点为，焦距为4 （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于A、B两点，点为坐标原点．若，求直线方程． 20. 已知椭圆过点，离心率为．过点且不与轴重合的直线，该直线与椭圆交于不同的两点A，B． （1）求椭圆的方程； （2）当点是椭圆上的动点时，求的最小值； （3）设是异于的定点，记与的面积分别为．若对任意的直线，均有成立，求定点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市昌平区2025-2026学年高二上学期期末质量抽测数学样卷试题 2026.1 本样卷含第一卷和第二卷．第一卷共137分，第二卷共13分，共150分．考试时长120分钟．第一卷共4页，第二卷共1页．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回． 第一卷 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得直线斜率，即可得倾斜角. 【详解】，则直线斜率为， 则直线倾斜角满足. 故选：B 2. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线方程求出，进而求得离心率. 【详解】由，得，，故， 所以，双曲线的离心率. 故选：B. 3. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆和抛物线的焦点重合列方程可得. 【详解】由椭圆可得，所以焦点坐标为， 又抛物线的焦点为，所以，解得. 故选：D 4. 在空间直角坐标系中，已知点，且A，B，C三点共线，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的基本定理计算可得. 【详解】由题意可得， 因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使得， 即，解得， 所以. 故选：C 5. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得展开式的通项公式，再令的指数部分为，由此可求得结果. 【详解】展开式的通项公式为， 令，则，所以， 所以的系数为， 故选：C. 6. 从4名志愿者中选派3人在星期六、星期日参加公益活动，要求每人只参加一天，且星期六需要有两人参加，星期日需要有一人参加，则不同的选派方法共有（ ） A. 12种 B. 20种 C. 24种 D. 36种 【答案】A 【解析】 【分析】根据组合的定义，结合分步乘法计数原理进行求解即可. 【详解】第一步，从4名志愿者中选派2人参加星期六的公益活动，有种方法； 第二步，从剩下的2人中选派1人参加星期日的公益活动，有种方法， 所以不同的选派方法共有种方法. 故选：A 7. 已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，是该抛物线上的一点．若，，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合抛物线的定义求出点的坐标，代入抛物线方程计算可得. 【详解】设点M的坐标为，由抛物线的定义可知，， 因为，，所以， 代入抛物线方程可得，解得或1. 经检验，当时，，此时， 而，由余弦定理可知为钝角，不符合题意， 所以. 故选：B. 8. 已知直线，则“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】首先判断由或能否推出直线与双曲线有且仅有一个公共点，再由直线与双曲线有且仅有一个公共点，联立直线与双曲线的方程，求出的值，即可进行判断. 【详解】当或时，直线，此时直线与双曲线的渐近线平行，故只有一个公共点； 当直线与双曲线有且仅有一个公共点时， 联立直线与双曲线的方程，得， 消去，得，① 当，即时，此时方程①为一次方程，有唯一解，直线与双曲线有且仅有一个交点； 当，即时，此时方程①为一元二次方程， 要求直线与双曲线有且仅有一个公共点，需判别式， ，解得， 所以当直线与双曲线有且仅有一个公共点时，的取值集合为， 故“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的充分不必要条件. 故选：A. 9. 已知A，B是圆上的两点，是直线上一点．若存在点A、B、P，使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题确定点在以为直径的圆上，且，根据均值不等式得到圆上的点到点的最大距离为，得到，解得答案. 【详解】因为，所以点在以为直径的圆上， 设的中点为，则， 由图知，点到圆上点的最大距离为， 由基本不等式，，当且仅当时等号成立， 因点到直线的距离为，解得. 故选：B. 10. 在棱长为2的正方体中，是正方形内（包括边界）的一个动点，且满足．则下列结论中错误的是（ ） A. B. 点的轨迹长度为 C. 点到直线的最短距离为 D. 可能为锐角 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标求得对应向量，由得，根据可判断A，由可判断B；由点到直线距离公式计算可判断C；由可判断D. 【详解】在正方体中，以为坐标原点，为轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，设， 得到，， 因为，所以，得， 对于A，，，则， 因为，所以，故A正确； 对于B，点在线段上运动，故点的轨迹长度为， 因为，，故，则，故B正确； 对于C， ，， 设点到直线的距离为， 则， 因为，令， 由二次函数性质可知，当时，，即， 所以点到直线的最短距离为，故C正确； 对于D，，， 因为， 因为，所以， 由二次函数性质可知， 可得，故不可能为锐角，故D错误. 故选：D 第二部分（非选择题 共97分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知直线与垂直，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两条直线互相垂直，列出方程，即可求解. 【详解】依题意得，， 得， 故答案为： 12. 已知，则__________；__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】使用二项式定理计算即可. 详解】已知， 则， 两式对比可得：，，, ,, 故，. 故答案为：①；② 13. 某校组织一次认识大自然的夏令营活动，有6名同学参加，其中有4名男生、2名女生．现从这6名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本，则抽到的3名同学中至少有1名女生的概率为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】可以运用“正难则反”的思想， 先求出抽到的3名同学中没有女生的概率，再运用对立事件的概率公式求得抽到的3名同学中至少有1名女生的概率. 【详解】抽到的3名同学中没有女生的概率为， 则抽到的3名同学中至少有1名女生的概率为. 故答案为： 14. 已知双曲线，其渐近线方程为__________；若是双曲线右支上的一个动点，且到直线的距离大于恒成立，则实数的最大值为__________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】根据双曲线的方程确定出的值，则渐近线方程可知；先判断出与渐近线的位置关系，然后结合平行线间距离公式可求的取值范围，则的最大值可知. 【详解】因为双曲线，所以， 所以渐近线方程，即为； 因为与渐近线平行，且两平行线间距离为，如图所示， 又因为到直线的距离大于恒成立，所以， 所以的最大值为， 故答案为：；. 15. 在平面直角坐标系中，给定一个圆系，其中．给出下列四个结论： ①圆与圆的公共弦长为4； ②该圆系中所有圆的圆心都在某条抛物线上； ③对于任意的，圆与圆都外切； ④存在直线与所有圆都相切． 其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】两圆方程相减求出公共弦的直线方程，然后由弦长公式计算可判断①；由圆心横纵坐标的关系可判断②；利用圆心之间的距离和半径关系可判断③；求出和的公切线，然后验证圆心到切线距离等于半径是否恒成立可判断④. 【详解】圆的圆心，半径为. 对①，圆的方程为，即， 圆的方程为，即， 两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离为2，半径， 所以公共弦长为，正确； 对②，圆心的坐标都满足抛物线方程，正确； 对③，圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 因为，所以， ， 所以，两圆外切，正确； 对④，由①知，圆和相交，且圆心纵坐标和半径都相等， 所以圆和有两条公切线，分别为和， 所以若存在直线与所有圆都相切，则直线只能是或， 对于圆，圆心到直线的距离为， 若圆与直线相切，则，显然不恒成立； 圆心到直线的距离为， 若圆与直线相切，则，显然不恒成立. 综上，不存在直线与所有圆都相切，错误. 故答案为：①②③ 三、解答题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD为正方形，平面． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）证明即可得证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用向量夹角公式，结合二面角为锐二面角，即可得解. 【小问1详解】 因为平面，又因为平面， 所以. 在正方形中，易知， 又因，平面， 因此平面. 【小问2详解】 易知两两互相垂直， 因此可以为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 则. 由（1）可知，平面，故是平面的法向量. 设平面的法向量为， 则有，即，得，取，则， 即， 则， 又因为二面角为锐二面角， 故二面角的余弦值为. 17. 某学生参加研学活动，需依次前往3个打卡点，且每个打卡点遇到排队的概率均为，若遇到排队，则每次排队均需额外耗时20分钟．假设在各打卡点是否遇到排队相互独立． （1）求该生首次遇到排队发生在第3个打卡点的概率； （2）设该生在上述3个打卡点排队的额外总耗时为（单位：分钟），求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析，15 【解析】 【分析】（1）先确定事件：这名学生在第一和第二个打卡点没有遇到排队，在第三个打卡点遇到排队，再根据独立事件概率公式求概率； （2）先确定随机变量的取值，再依次求对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望. 【小问1详解】 设这名学生首次遇到排队发生在第3个打卡点事件为， 因为事件等于事件“这名学生在第一和第二个打卡点没有遇到排队，在第三个打卡点遇到排队”， 所以 【小问2详解】 的所有可能取值为0，20，40， 60,(单位:分)， ，, ，， 故的分布列为： 所以. 18. 如图，在三棱柱中，四边形为正方形，为等边三角形，平面平面为BC的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见详解 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用直线与平面平行的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，进而利用线面角的向量方法即可求解； （3）假设存在点，设，再利用点到平面的距离为即可求出的值. 【小问1详解】 连接,连接， 四边形为正方形，为中点，为BC的中点，， 平面，平面，平面； 【小问2详解】 取的中点，的中点，连接，， 为等边三角形，， 平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，， 两两垂直， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ，， ，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，， 设直线与平面所成角为， ， 直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 假设在棱上存在一点，使得点到平面的距离为，设， ，，， ，， ，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，， 则点到平面的距离为， 解得，或（舍）， 在棱上存在一点，使得点到平面的距离为，此时. 19. 已知椭圆的一个顶点为，焦距为4 （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于A、B两点，点为坐标原点．若，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，再由，即可求出； （2）由椭圆方程与直线方程联立，应用韦达定理表达即可求出，注意验证，即可得出直线方程. 【小问1详解】 因为椭圆的一个顶点为，焦距为4， 所以，所以， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 联立，消整理得，， 因直线与椭圆交于、两点， 所以，即， 由韦达定理可知，，， 因为，所以，则， 所以，即， 所以， 两边同乘，整理可得， 可解得，经验证知满足， 所以直线的方程为. 20. 已知椭圆过点，离心率为．过点且不与轴重合的直线，该直线与椭圆交于不同的两点A，B． （1）求椭圆的方程； （2）当点是椭圆上的动点时，求的最小值； （3）设是异于的定点，记与的面积分别为．若对任意的直线，均有成立，求定点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用代入法，结合椭圆离心率公式、椭圆标准方程中之间的关系进行求解即可； （2）根据两点间距离公式，结合二次函数的最值性质进行求解即可； （3）根据三角形面积公式，结合一元二次方程根与系数关系、根的判别式、直线是否存在斜率分类讨论进行求解即可. 【小问1详解】 因为过点，离心率为， 所以， 所以该椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 设点的坐标为，即， ， 二次函数的对称轴为，且开口向上， 所以当时，当时，有最小值； 【小问3详解】 设直线的方程为， ， ，设， ， 因为，且与有相同的高， 所以由 ， 所以平分， 若对任意的直线，均有成立， 所以当时，即平分， 所以点在横轴上，因此定点在横轴上， 所以当时， 设，因为平分， 所以 ， 因为， 所以由， 所以综上所述：定点的坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $