精品解析：北京市西城区北京师范大学附属中学2025-2026学年上学期八年级 期末数学试题

北京师大附中2025—2026学年度第一学期期末试卷八年级数学 注意事项 1.本试卷共8页，共两部分，四道大题，26道小题．其中第一大题至第三大题为必做题，满分100分．第四大题为选做题，满分10分，计入总分，但卷面总分不超过100分．考试时间100分钟． 2.在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号． 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边． 根据此关系判断各选项即可． 【详解】解：对于选项A：，不满足两边之和大于第三边， 不能组成三角形，该选项不符合题意； 对于选项B：，均满足， 能组成三角形，该选项符合题意； 对于选项C：，不满足两边之和大于第三边， 不能组成三角形，该选项不符合题意； 对于选项D：，不满足两边之和大于第三边， 不能组成三角形，该选项不符合题意； 故选B． 2. 传统建筑中的窗格样式丰富，体现了我国建筑独特的艺术表现力和文化内涵．小红设计了下列窗格图案，其中可以看成轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形的概念．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A， B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 3. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方．根据有关知识点逐个选项计算即可． 【详解】解：A、，所以A选项不正确； B、，所以B选项不正确； C、，所以C选项正确； D、，所以D选项不正确． 故选：C． 4. 下列各式从左到右的变形一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键． 根据分式的基本性质，分式的分子与分母同时乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，逐项判断变形是否正确． 【详解】A: （分子从变为，分母从变为，未同时乘以或除以相同整式）． 变形不一定正确． B:（分子分母同乘，且）． 变形一定正确． C: （除非）． 变形不一定正确． D: （分子分母同乘得，，除非）． 变形不一定正确． 故选B． 5. 如图，将一块透明的三角形匀质薄板（记作）放入正方形网格中，其三个顶点都在网格线的交点上，在点（都在网格线的交点上）中，该三角形薄板的重心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查重心的定义，根据三角形三条中线的交点叫做重心，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，点是该三角形薄板的重心； 故选:A． 6. 如图是“过直线外一点作的平行线”的尺规作图．根据该作图方法，可以证明，证明过程中判定的依据是（ ） A. 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 B. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 C. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D. 三边分别相等的两个三角形全等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，根据作图痕迹判断作图过程是作一个角等于已知角，据此求解即可. 【详解】解：由作图可知，，， ∴判定的依据是， 故选：D． 7. 八年级师生去距学校的中国人民抗日战争纪念馆参观，师生乘大车先出发，过了学校的后勤人员乘小车出发，结果他们同时到达．已知小车的平均速度是大车的平均速度的倍，求大车的平均速度．如果设大车的平均速度为，那么下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键． 根据同时到达的条件，大车行驶时间比小车多4分钟，利用时间关系列方程即可． 【详解】解：设大车平均速度为，则小车平均速度为， ∵大车行驶时间：小时， 小车行驶时间：小时， 小车晚出发4分钟，即小时， 且同时到达， ∴ ， 故选：A． 8. 如图，在中，，，分别是边上的两个动点，连接．若当与的和最小时，的长为1，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】考查了轴对称-最短路径问题，等腰三角形三线合一的性质，含30度角的直角三角形的性质，如图，作点B关于直线的对称点，交于点D，过点作于点Q，交于点P，连接，此时，，，即与的和最小，，根据等腰三角形三线合一的性质得，根据含30度角的直角三角形的性质分别求出、即可求得的长． 【详解】解：如图，作点B关于直线的对称点，交于点D，过点作于点Q，交于点P，连接， 此时，，，即与的和最小， ∵在中，，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若代数式有意义．则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式的分母不为时，即时，分式有意义，进行求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标系中的点的轴对称变换，掌握点的轴对称变化过程中的变量和不变量是解题的关键． 根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可求解． 【详解】解：点与另一个点关于轴对称， 另一个点的横坐标不变，为，纵坐标变为相反数，即， 点关于轴对称的点的坐标为． 故答案为． 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查单项式乘法，根据单项式乘法法则，系数相乘，同底数幂相乘． 【详解】解：原式． 故答案为：． 12. 如图，点在线段上，，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是______（写出一个即可）． 【答案】或或（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．根据全等三角形的判定解题即可． 【详解】解：∵，． ∴当添加时，根据“”可判断； 当添加时，根据“”可判断； 当添加时，根据“”可判断； 故答案为：或或（答案不唯一）． 13. 已知1个水分子的质量约是．如果1滴水的质量约是，那么这滴水中大约有______个水分子（结果用科学记数法表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，读懂题意是解题的关键． 根据题意，水分子的数量等于一滴水的质量除以一个水分子的质量，利用科学记数法的除法法则进行计算． 【详解】解：一滴水的质量为，一个水分子的质量为，则水分子的数量为：． 故答案为：． 14. 如图是一个搭建好的帐篷从正面看的示意图，其中五边形表示帐篷，线段表示绳索，点在的延长线上，且点都在的延长线上．若，，，则______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和外角的性质，熟练掌握“等边对等角”和“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解题的关键． 由题意先求出和的值，再根据等腰三角形的性质和外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：点在的延长线上，， ． ， ． ， ． 故答案为20． 15. 如图，某街心公园有一块长为，宽为的长方形绿地，绿地的北侧是一个长为，宽为的长方形休闲区，绿地的东、西两侧各有一个边长为的正方形喷泉区．已知休闲区的宽与绿地的宽的和为，休闲区的面积与两个喷泉区的面积的和为，那么绿地的面积为______． 【答案】72 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何应用，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 列代数式表示休闲区的面积与两个喷泉区的面积，由题意得，再根据完全平方公式求出的值，即可求解绿地的面积． 【详解】解：由题意得， 休闲区的面积为， 两个喷泉区的面积为， ， ， ． ， ， ， 绿地的面积为． 故答案为72． 16. 如图，是的角平分线，点在的延长线上，，，，垂足为．有下列四个结论：①与的面积相等；②；③；④．其中所有正确结论的序号是______． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，根据高相等但底不一定相等得到与的面积不一定相等，故①错误；根据三角形内角和以及等边对等角得到，故②正确； 设，则，证明，得到，则，求出 ∴，代入计算得到③说法正确；在上截取，连接，证明，得到，则，根据三线合一得到，最后根据证明，得到④说法正确． 【详解】解：∵与过点高相同， ∴要使与的面积相等，必须有，即是的中线， ∵是的角平分线， ∴不一定是的中线， ∴与的面积不一定相等， 故①错误； ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故②正确； 设，则， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故③说法正确； 如图，在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， 故④说法正确； 故答案为：②③④． 三、解答题（共68分，第17题8分，第18题11分，第19题7分，第20题8分，第21题10分，第22－24题每题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，公式法分解因式，掌握提公因式法分解因式，公式法分解因式是解题的关键． （1）先提取公因式，再用完全平方公式，求解即可． （2）先提取公因式，再用平方差公式，求解即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：． 18. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法和分式的化简求值，熟练掌握计算法则是解题关键． （1）根据整式的乘法法则计算出多项式与多项式的积，再合并同类项即可； （2）根据分式四则混合运算法则化简分式，再把字母的值代入计算即可． 【小问1详解】 解： 原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 当时，原式． 19. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，先去分母变成整式方程，再解整式方程，最后检验即可． 【详解】解：， 方程两边乘，得． 解得． 检验：当时，． 所以，原分式方程的解为． 20. 如图，，，，垂足分别为，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：，， ． ， ，即． 在和中， ． ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理． （1）由题意可得，由可得，再证明即可证得； （2）由可得，，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ． ∴在中， ． ， ． ， ． ． 21. 已知在中，． （1）如图1，在的边上求作一点，使． ①将下面的分析过程补充完整． 分析：点在线段上，则______， 而要使，即需要____________， 因此需要点在线段______的垂直平分线上， 所以作出这条线段的垂直平分线，它与边的交点即为所求作的点． ②用直尺和圆规在图1中完成作图并保留作图痕迹； （2）用直尺和圆规在图2中完成下列作图并保留作图痕迹： 在边上取一点，使；作的平分线交于点，连接； （3）在（2）的条件下，图2中线段______与线段相等；若，，，则的周长为______（用含的式子表示）． 【答案】（1）①；②图见解析 （2）图见解析 （3）； 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作线段，作角平分线，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据垂直平分线的性质，尺规作垂直平分线的方法作图即可； （2）根据尺规作线段和角平分线的方法作图即可； （3）证明，得到，进而推出的周长为即可． 【小问1详解】 解：①分析：点在线段上，则， 而要使，即需要， 因此需要点在线段的垂直平分线上， 所以作出这条线段的垂直平分线，它与边的交点即为所求作的点． ②由题意作图如下： 【小问2详解】 解：由题意，作图如下： 【小问3详解】 解：由作图可知：，， 又∵， ∴， ∴； ∵，，， ∴， ∴的周长为． 22. 有这样一组按规律依次排列的正整数：，，，其中每个数都能表示为两个连续正奇数的平方差，我们称这样的数为“特征数”，记按上述顺序排列的第个“特征数”为（为正整数）． （1）将表示为两个连续正奇数的平方差：______－______； （2）求证：对于任意的正整数，一定能被8整除； （3）已知是第个“特征数”，判断是否为“特征数”，如果是，求出它是第几个“特征数”（用含的式子表示）；如果不是，说明理由． 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3）该数是第个“特征数” 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，平方差公式，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键． （1）根据“特征数”的定义及规律解答即可； （2）根据“特征数”的定义及规律得，利用平方差公式化简即可得出结论； （3）先利用平方差公式化简得，由（2）可知，代入得，再根据“特征数”的定义即可得解． 【小问1详解】 解：将表示为两个连续正奇数的平方差：； 故答案为：，； 【小问2详解】 证明：由题意得，， 为正整数， 能被8整除， ∴对任意的正整数，一定能被8整除； 【小问3详解】 解：是， ∵， 又是第个“特征数”，由（2）可知， ， 为正整数， ∴该数是第个“特征数”． 23. 如图1，公园里有一条河，河岸线可看成两条平行的直线，河的宽度为，景点A和景点B分别位于河的两岸（正方形网格中小正方形的边长为，直线都在网格线上，点A，B都在网格线的交点上）．现要在河上造一座桥连通河的两岸，其中点分别在直线上． （1）小明先将桥的桥形设计为一条线段，线段与直线垂直，且使得从景点A经桥走到景点B的路径最短．他将点A沿与直线垂直的方向平移河的宽度得到点，从而将问题转化为在直线上确定点N的位置，使最小．请在图1中画出小明设计的桥（保留画图痕迹）； （2）小明又将桥设计成Ⅰ型（如图2）和Ⅱ型（如图3）两种桥形，这两种桥形都是由五条长的线段组成的折线，其中以点为端点的两条线段分别与直线，垂直，且相邻两条线段互相垂直． 请在图4，图5中分别画出当采用Ⅰ型和Ⅱ型桥形时的桥，使得从景点A经桥走到景点B的路径最短（保留画图痕迹）； 比较图4，图5可知，采用______型桥形，最短路径的长度更短（填“Ⅰ”或“Ⅱ”）； （3）小明以直线为轴，经过景点且与直线垂直的直线为轴（分别取向右、向上为正方向），取1个单位长度代表长，建立平面直角坐标系，景点A的坐标为，另一景点的坐标为．若无论采用（2）中的Ⅰ型或Ⅱ型桥形，从景点A经桥走到景点C的最短路径的长度相等，则t的值为______． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析；Ⅱ （3）10 【解析】 【分析】本题考查最短路径问题，直角坐标系，垂直平分线的判定； （1）点A沿与直线垂直的方向平移河的宽度得到点，连接与直线交点为点N，此时最小． （2）图4中点A沿与直线垂直的方向平移河的宽度得到点，连接与直线交点为点N，再从点开始结合Ⅰ型桥形反向作出点；图5中点A沿与直线垂直的方向平移河的宽度，水平方向平移2格得到点，连接与直线交点为点N，再从点开始结合Ⅱ型桥形反向作出点． （3）由（2）类比可得，两种桥形从到的距离都相等，Ⅰ型，Ⅱ型，结合若无论采用（2）中的Ⅰ型或Ⅱ型桥形，从景点A经桥走到景点C的最短路径的长度相等，得到，则在的垂直平分线上，据此求解即可． 【小问1详解】 解：小明设计的桥如图所示： 【小问2详解】 解：如图4，图5中分别画出当采用Ⅰ型和Ⅱ型桥形时的桥， 比较图4，图5可知，两种桥形从到的距离都相等，Ⅰ型，Ⅱ型，则采用Ⅱ型桥形，最短路径的长度更短， 故答案为：Ⅱ； 【小问3详解】 解：由（2）类比可得，两种桥形从到的距离都相等，Ⅰ型，Ⅱ型， ∵若无论采用（2）中的Ⅰ型或Ⅱ型桥形，从景点A经桥走到景点C的最短路径的长度相等， ∴， 即在的垂直平分线上， ∵A的坐标为， ∴，， ∴的垂直平分线为直线， ∴， 故答案为：． 24. 如图，在中，，，射线与边交于点，．点与点关于直线对称，线段与射线交于点，点在线段上，且，连接． （1）依题意补全图形，并求的度数（用含的式子表示）； （2）连接，是的中点，连接，探究线段与的数量关系和位置关系，并证明你的结论． 【答案】（1） 补全图形如图1， （2） ，． 证明：延长至点，使，连接，如图2． 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， ∵点与点关于直线对称， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ∴， ， ． 【解析】 【分析】（1）先根据题意补全图形，根据对称的性质得直线垂直平分，再根据垂直平分线的性质得，，推出，再根据求解； （2）延长至点，使，连接，如图2，分别证明、得到，，再根据等腰三角形三线合一的性质可得出结论． 【小问1详解】 解：∵点与点关于直线对称， ∴直线垂直平分， ，， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了对称的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质． 四、选做题（共10分，第25题4分，第26题6分） 25. 在解关于的方程组时，小天发现可以利用“换元法”求解，即设，，将原方程组转化为关于的方程组求出的值后，再代回，，从而求出原方程组的解．类似地，也可以利用“换元法”解决下列问题． （1）化简：． 下面是小天解决此问题的思路，请补充完整． 解：设，， 则，______（用含的式子表示）． 将原式转化为关于的式子进行化简， 再将，代回，得到原式化简的结果为______． （2）比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）， （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查分式的约分，多项式乘以多项式，熟练掌握换元法是解题的关键： （1）利用换元法以及分式的基本性质，进行化简即可； （2）设，，作差法比较大小即可． 【小问1详解】 解：设，，则，， 则原式； 故答案为：，． 【小问2详解】 解：设，， 则 ． ，， ． ． 26. 在平面直角坐标系中，对于直线l，线段和点C，给出如下定义：记点C关于直线l的对称点为，若线段上存在点M，N，使得，且，则称点C是线段的“可及点”． （1）如图，直线l为y轴，点，．在点，，中，线段的“可及点”是______； （2）已知点，，直线经过点且垂直于x轴，点，．若线段上存在线段的“可及点”，直接写出m的取值范围； （3）已知是等边三角形，其三个顶点的坐标分别为，，，直线l经过点且垂直于x轴，点，．当时，对于t的每一个值，的三条边上的所有点都是线段的“可及点”，直接写出n的取值范围． 【答案】（1）， （2）m的取值范围为且 （3）n的取值范围为 【解析】 【分析】（1）根据题意分别将，，关于y轴对称，根据图象可得线段的“可及点”是，； （2）根据题意得出直线，由点F，G得以为底边作等腰直角与，再分别求出点D，E关于直线l的对称点，作出相关图象，得出当正方形端点N与重合时和当与重合时的m值，并最终求出m的取值范围； （3）根据题意作出分别沿所在直线与y轴对称，得到与，由点，得出以为边的等边需全部包含住到的所有等边三角形，分情况讨论当过边时和当过边时，列出方程求解t的值，最终求得t的取值范围． 【小问1详解】 解：如图，分别将，，关于y轴对称， 由图象可知，，符合题意， ∴线段的“可及点”是，， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：∵直线l过点且垂直于x轴， ∴直线， 又∵，， ∴以为底边作等腰直角与， ∴线段的“可及点”即在与内部或边上（不包括上）， 若线段上存在线段的“可及点”，则关于直线l对称线段与正方形有交点即可， ∴，， 如图，当正方形端点N与重合时，此时， 当正方形端点M与重合时，此时，即， 当与重合时，此时， 综上所述，m的取值范围是且． 【小问3详解】 解：∵直线l经过点且垂直于x轴， ∴当时，将分别沿所在直线与y轴对称，得到与， ∵点，，的三条边上的所有点都是线段的“可及点”， ∴以为边的等边需全部包含住到的所有等边三角形， 如图，当过边时，此时过点与Q分别作轴，轴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，解得， 同理，如图，当过边时， ∴有， 综上所述，n的取值范围为． 【点睛】本题考查了新定义问题的理解与应用，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握数形结合思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京师大附中2025—2026学年度第一学期期末试卷八年级数学 注意事项 1.本试卷共8页，共两部分，四道大题，26道小题．其中第一大题至第三大题为必做题，满分100分．第四大题为选做题，满分10分，计入总分，但卷面总分不超过100分．考试时间100分钟． 2.在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号． 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 2. 传统建筑中的窗格样式丰富，体现了我国建筑独特的艺术表现力和文化内涵．小红设计了下列窗格图案，其中可以看成轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式从左到右的变形一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将一块透明的三角形匀质薄板（记作）放入正方形网格中，其三个顶点都在网格线的交点上，在点（都在网格线的交点上）中，该三角形薄板的重心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 6. 如图是“过直线外一点作的平行线”的尺规作图．根据该作图方法，可以证明，证明过程中判定的依据是（ ） A. 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 B. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 C. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D. 三边分别相等的两个三角形全等 7. 八年级师生去距学校的中国人民抗日战争纪念馆参观，师生乘大车先出发，过了学校的后勤人员乘小车出发，结果他们同时到达．已知小车的平均速度是大车的平均速度的倍，求大车的平均速度．如果设大车的平均速度为，那么下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，分别是边上的两个动点，连接．若当与的和最小时，的长为1，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若代数式有意义．则实数的取值范围是______． 10. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是______． 11. 计算：______． 12. 如图，点在线段上，，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是______（写出一个即可）． 13. 已知1个水分子的质量约是．如果1滴水的质量约是，那么这滴水中大约有______个水分子（结果用科学记数法表示）． 14. 如图是一个搭建好的帐篷从正面看的示意图，其中五边形表示帐篷，线段表示绳索，点在的延长线上，且点都在的延长线上．若，，，则______． 15. 如图，某街心公园有一块长为，宽为的长方形绿地，绿地的北侧是一个长为，宽为的长方形休闲区，绿地的东、西两侧各有一个边长为的正方形喷泉区．已知休闲区的宽与绿地的宽的和为，休闲区的面积与两个喷泉区的面积的和为，那么绿地的面积为______． 16. 如图，是的角平分线，点在的延长线上，，，，垂足为．有下列四个结论：①与的面积相等；②；③；④．其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题（共68分，第17题8分，第18题11分，第19题7分，第20题8分，第21题10分，第22－24题每题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 分解因式： （1）； （2）． 18. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 19. 解方程：． 20. 如图，，，，垂足分别为，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 21. 已知在中，． （1）如图1，在的边上求作一点，使． ①将下面的分析过程补充完整． 分析：点在线段上，则______， 而要使，即需要____________， 因此需要点在线段______的垂直平分线上， 所以作出这条线段的垂直平分线，它与边的交点即为所求作的点． ②用直尺和圆规在图1中完成作图并保留作图痕迹； （2）用直尺和圆规在图2中完成下列作图并保留作图痕迹： 在边上取一点，使；作的平分线交于点，连接； （3）在（2）的条件下，图2中线段______与线段相等；若，，，则的周长为______（用含的式子表示）． 22. 有这样一组按规律依次排列的正整数：，，，其中每个数都能表示为两个连续正奇数的平方差，我们称这样的数为“特征数”，记按上述顺序排列的第个“特征数”为（为正整数）． （1）将表示为两个连续正奇数的平方差：______－______； （2）求证：对于任意的正整数，一定能被8整除； （3）已知是第个“特征数”，判断是否为“特征数”，如果是，求出它是第几个“特征数”（用含的式子表示）；如果不是，说明理由． 23. 如图1，公园里有一条河，河岸线可看成两条平行的直线，河的宽度为，景点A和景点B分别位于河的两岸（正方形网格中小正方形的边长为，直线都在网格线上，点A，B都在网格线的交点上）．现要在河上造一座桥连通河的两岸，其中点分别在直线上． （1）小明先将桥的桥形设计为一条线段，线段与直线垂直，且使得从景点A经桥走到景点B的路径最短．他将点A沿与直线垂直的方向平移河的宽度得到点，从而将问题转化为在直线上确定点N的位置，使最小．请在图1中画出小明设计的桥（保留画图痕迹）； （2）小明又将桥设计成Ⅰ型（如图2）和Ⅱ型（如图3）两种桥形，这两种桥形都是由五条长的线段组成的折线，其中以点为端点的两条线段分别与直线，垂直，且相邻两条线段互相垂直． 请在图4，图5中分别画出当采用Ⅰ型和Ⅱ型桥形时的桥，使得从景点A经桥走到景点B的路径最短（保留画图痕迹）； 比较图4，图5可知，采用______型桥形，最短路径的长度更短（填“Ⅰ”或“Ⅱ”）； （3）小明以直线为轴，经过景点且与直线垂直的直线为轴（分别取向右、向上为正方向），取1个单位长度代表长，建立平面直角坐标系，景点A的坐标为，另一景点的坐标为．若无论采用（2）中的Ⅰ型或Ⅱ型桥形，从景点A经桥走到景点C的最短路径的长度相等，则t的值为______． 24. 如图，在中，，，射线与边交于点，．点与点关于直线对称，线段与射线交于点，点在线段上，且，连接． （1）依题意补全图形，并求的度数（用含的式子表示）； （2）连接，是的中点，连接，探究线段与的数量关系和位置关系，并证明你的结论． 四、选做题（共10分，第25题4分，第26题6分） 25. 在解关于的方程组时，小天发现可以利用“换元法”求解，即设，，将原方程组转化为关于的方程组求出的值后，再代回，，从而求出原方程组的解．类似地，也可以利用“换元法”解决下列问题． （1）化简：． 下面是小天解决此问题的思路，请补充完整． 解：设，， 则，______（用含的式子表示）． 将原式转化为关于的式子进行化简， 再将，代回，得到原式化简的结果为______． （2）比较与的大小，并说明理由． 26. 在平面直角坐标系中，对于直线l，线段和点C，给出如下定义：记点C关于直线l的对称点为，若线段上存在点M，N，使得，且，则称点C是线段的“可及点”． （1）如图，直线l为y轴，点，．在点，，中，线段的“可及点”是______； （2）已知点，，直线经过点且垂直于x轴，点，．若线段上存在线段的“可及点”，直接写出m的取值范围； （3）已知是等边三角形，其三个顶点的坐标分别为，，，直线l经过点且垂直于x轴，点，．当时，对于t的每一个值，的三条边上的所有点都是线段的“可及点”，直接写出n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $