江苏省无锡市2025-2026学年八年级上学期期末考试数学模拟卷

无锡市2025-2026学年八年级第一学期期末考试 数学模拟试卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．做选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．做填空题和解答题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列长度的三条线段能够成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．4，5，8 C．4，5，9 D．5，6，11 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边关系，即三角形任意两边之和必须大于第三边，两边之差小于第三边，据此逐项判断即可求解﹒ 【详解】解：A. ∵，∴三条线段不能组成三角形，不合题意； B. ∵，∴三条线段能组成三角形，符合题意； C. ∵，∴三条线段不能组成三角形，不合题意； D. ∵，∴三条线段不能组成三角形，不合题意； 故选：B 2．下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根和立方根，根据算术平方根和立方根的定义，逐项判断正误即可． 【详解】A、，原式子错误，不符合题意； B、，原式子错误，不符合题意； C、，原式子正确，符合题意； D、，原式子错误，不符合题意； 故选C． 3．等腰三角形底边长为6，一腰上的中线把三角形分成两部分，其周长的差为2，则它的腰长为（   ） A．4 B．8 C．4或8 D．不确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形中线的定义，构成三角形的条件，设等腰三角形的腰长为x，腰上的中线长为a，分别表示出分成的两个三角形的周长，根据周长之差为2，从而得方程，即可求得x． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为x，腰上的中线长为a，则中线所分成的两个三角形中，其中一个三角形的周长为：，另一个三角形的周长为：， 由题意得 即 ∴或 解得或， 当时，该三角形的三边长分别为8，8，6， ∵， ∴此时能构成三角形； 当时，该三角形的三边长分别为4，4，6， ∵， ∴此时能构成三角形； 综上所述，等腰三角形的腰长为4或8， 故选：C． 4．在平面直角坐标系中，已知点在第四象限，它到轴的距离是，到轴的距离是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标平面内点的坐标的特征，点到轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到轴的距离为点的横坐标的绝对值．根据第四象限点的坐标特征，横坐标为正，纵坐标为负，点到轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到轴的距离为点的横坐标的绝对值，即可得解． 【详解】解：点到轴的距离是，到轴的距离是， ，， 点在第四象限， 横坐标，纵坐标， ，， 点的坐标为． 故选：A． 5．函数的图象经过两点，下列说法不正确的是（   ） A．图象是一条直线 B．当时， C．图象不经过第三象限 D．与y轴的交点坐标为 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，包括与坐标轴交点、增减性及象限分布．逐一分析各选项，即可解题． 【详解】解：A. 函数是一次函数，图象为直线，说法正确，不符合题意； B. ， 随的增大而减小， 当直线经过两点，且时，，说法正确，不符合题意； C. ，， 图象经过第二、三、四象限，故选项C说法错误，符合题意； D. 当时，， 与y轴的交点坐标为，说法正确，不符合题意； 故选：C． 6．如图，在中，，D为的中点，于点E，若，，则为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线的性质以及勾股定理是解题的关键． 由，D为的中点，，根据直角三角形斜边上中线的性质即可求得的长，然后由勾股定理求得的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵D为的中点，， ∴， ∵， ∵， ∴，， ∴． 故选：C． 7．如图，已知六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键；根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：甲：由不能判断两个三角形全等，故不符合题意； 乙：由能判断两个三角形全等，故符合题意； 丙：∵， 而丙图形中第三个角（未知的角）为：， ∴与丙图中有两角及其夹边对应相等， 由能判断两个三角形全等，故符合题意； 故乙和丙符合题意， 故选：B． 8．一次函数与（，）的图象如图所示，则下列结论：①对于函数来说，随的增大而减小；②；③函数的图象不经过第一象限；④；⑤的值每增加1，的值增加．其中正确的有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是关键．根据一次函数的图象与性质逐项分析判断即可． 【详解】解：①由图象可知：函数中，随x的增大而减小； 故①正确； ②由图象可知：，，，， ∴，， ∴， 故②正确； ③由图象可知：，，故函数的图象不经过第一象限； 故③正确； ④由图象可知，两函数图象交点的横坐标为3，，故，故④正确； ⑤当时，， 当时，， ∴， ∴x的值每增加1，的值增加， 故⑤错误． 综上所述，正确的有①②③④，一共4个． 故选：C． 9．如图，在三角形纸片中，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若第二次的折痕与的交点为E，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由折叠的性质得出，，，，推出，再由勾股定理求出，设，则，然后由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：由折叠的性质得：，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 故选：D． 10．等腰三角形ABC中，，记，周长为y，定义为这个三角形的坐标． 如图所示，直线，，将第一象限划分为4个区域．下面四个结论中， ①对于任意等腰三角形ABC，其坐标不可能位于区域I中； ②对于任意等腰三角形ABC，其坐标可能位于区域Ⅳ中； ③若三角形ABC是等腰直角三角形，其坐标位于区域Ⅲ中； ④图中点P所对应等腰三角形的底边比点Q所对应等腰三角形的底边短． 所有正确结论的序号是（   ） A．①③④ B．①②③ C．②④ D．①③ 【答案】D 【分析】设，则．根据，利用不等式的性质得出，即可判断①；根据三角形任意两边之和大于第三边，得出，利用不等式的性质得到，即可判断②；③根据等腰直角三角形的性质、不等式的性质得出，即可判断③；分别求出点P、点Q所对应等腰三角形的底边范围，即可判断④． 【详解】解：如图，等腰三角形中，，记，周长为， 设，则， ①∵， ， ∴对于任意等腰三角形，其坐标位于直线的上方，不可能位于区域I中，故结论①正确，符合题意； ②∵三角形任意两边之和大于第三边， ，即， ， ∴对于任意等腰三角形，其坐标位于直线的下方，不可能位于区域Ⅳ中，故结论②错误，不符合题意； ③若三角形是等腰直角三角形，则， ， ， ， 即， ∴若三角形是等腰直角三角形，其坐标位于区域Ⅲ中，故结论③正确，符合题意； ④由图可知，点P位于区域Ⅲ中，此时， ， ， 点Q位于区域Ⅱ中，此时， ， ， ∴点P所对应等腰三角形的底边比点Q所对应等腰三角形的底边长，故结论④错误，不符合题意． 故选：D． 二、填空题（本题共8小题，每小题8分，共24分） 11．化简 ． 【答案】2026 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的性质即可求解． 【详解】解：， 故答案为：2026． 12．年月日，第五轮“苏超”联赛在泰州举行，本场比赛观众人数为人，用四舍五入法将人精确到人，所得的近似数为 ． 【答案】 【分析】本题考查求一个数的近似数，将24986精确到1000人，即四舍五入到千位，需看百位数字．百位数字为9，，故向千位进1，再用科学记数法进行表示即可． 【详解】解：24986精确到1000人，即精确到千位．百位上的数字是9，，因此向千位进1，千位4变为5，后面各位变为0，故近似数为25000． ； 故答案为：． 13．比较大小： 填“”“”或“” 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较的应用，熟练掌握并能根据实数的大小比较法则比较两个实数的大小是解答此题的关键．将两个分数分别化简为 和，然后比较大小． 【详解】解：，，且， ， ， 故答案为：． 14．若是直线上的两点，则 （填或） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，熟知上述性质是解题的关键． 根据一次函数的性质，即可解答． 【详解】解：中，， y随x的增大而减小， ， ， 故答案为：． 15．在平面直角坐标系中，已知点、，点M在点N的右侧，且直线轴，若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查特殊位置的点，两点间的距离，根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相同，距离为横坐标差值的绝对值，求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：∵直线轴， ∴， ∴， ∵点M在点N的右侧，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：4． 16．点在函数的图像上，则代数式的值等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了函数图像上点的坐标特征，熟练掌握“函数图像上的点的坐标满足函数解析式”是解题的关键． 先根据点在函数图像上的性质得到与的关系式，再将其代入代数式计算． 【详解】解：∵点在函数的图像上， ∴， 将代入，得 ， 故答案为：． 17．某社团新型小车直道竞速（匀速）稳定性测试时，甲、乙均从地出发至地，甲先出发3秒后乙才出发，最终甲先到达地．如图，轴代表甲出发的时间，轴代表两人之间的距离，则甲到达地时，乙距离地还有 米． 【答案】620 【分析】本题考查一次函数的实际应用，由甲3秒行驶180米，可得甲的速度；由甲出发13秒后两人相距380米，可得乙的速度；首先求出两地的距离，再根据乙的速度和运动时间可得乙距离地的距离． 【详解】解：∵甲3秒行驶180米， ∴甲的速度为（米／秒）； （米／秒） ∴乙的速度为（米／秒）； （米），（米）， （米） 即甲到达地时，乙距离地还有620米， 故答案为：620． 18．如图 1，与满足，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”．如图2，在中，，点 D、E 在线段上，且，则图中“伪全等三角形”的对数为 ． 【答案】4/4对 【分析】本题为新定义问题，考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质等知识．根据，得到，即可证明，得到，，根据“伪全等三角形”定义可得和，和，和，和是“伪全等三角形”，共有4组． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴和是“伪全等三角形”； ∵，， ∴和是“伪全等三角形”； ∵，， ∴和是“伪全等三角形”； ∵，， ∴和是“伪全等三角形”． 故答案为：4 三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（本题8分）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ， 则， 解得； （2）解：， ， 则， 解得． 20．（本题6分）已知3是的平方根，是的立方根，是的整数部分， (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)；；； (2)． 【分析】本题考查了平方根、立方根及无理数的估算，掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据平方根、立方根的定义和无理数的估算方法解答即可； （2）把（1）所得x，y，z的值代入代数式，求出代数式的值，再根据平方根的定义即可求解. 【详解】（1）解：因为3是的平方根， 所以， 解得； 因为是的立方根， 所以； 因为，是的整数部分， 所以； （2）解：因为， 所以的平方根为． 21．（本题8分）如图，在中，，，是边上一点（点不与，重合），连接，过点作，且，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）由余角性质可得，进而根据判定定理“”即可求证； （）由直角三角形两锐角互余得，又由全等三角形的性质得，即得到，进而即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 22．（本题8分）已知点． (1)当，满足怎样的条件时，点在第二象限？ (2)若将点先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到点，求，的值． 【答案】(1)当且时，点在第二象限； (2) 【分析】本题考查了点的坐标特征，点的坐标的平移法则，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据第二象限的点的特征：横坐标小于零，纵坐标大于零，得出，，求解即可得出结果； （2）根据点的坐标的平移法则：左减右加，上加下减，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵点在第二象限， ∴，， 解得，， 即当且时，点在第二象限； （2）解：∵点先向下平移个单位长度，纵坐标变为；再向右平移个单位长度，横坐标变为，得到点， ∴， 解得：． 23．（本题8分）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 初步尝试 （1）如图1，在中，，，P为上一点，当的长为 时，与为偏等积三角形． 理解运用 （2）请在图2的方格图中（每个小方格的边长都为1），画两个面积为2的三角形，使这两个三角形是偏等积三角形，要求所画三角形的顶点必须在格点上． （3）如图3，与为偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点C作，交的延长线于点E，求的长． 【答案】（1）4；（2）图见详解；（3）4 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，三角形的三边关系及三角形的中线与面积的关系，熟练掌握全等三角形的性质，三角形的三边关系及三角形的中线与面积的关系是解题的关键； （1）根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分进行求解即可； （2）根据“偏等积三角形”的定义可作图； （3）由题意易得，然后可得，则有，进而根据三角形的三边关系可进行求解． 【详解】解：（1）当点P为的中点时，则有，所以与为偏等积三角形， 故答案为； （2）所作三角形如图2所示： （3）∵与为偏等积三角形，且它们的高相等， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴根据三角形三边关系可得：， 即， ∵线段的长度为正整数， ∴， ∴． 24．（本题8分）如图，在中，，延长至点，过点作，使，连接BF交CE于点D． (1)求证：； (2)若是上一点，满足，连接，请你判断和的关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过角和边的关系构造全等三角形． (1) 利用垂直得直角，结合对顶角和已知边相等，证，得； (2) 由推出，证，得． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ； （2）解：，证明如下： 由（1）得 ， ， ， 在和中， ， ， ． 25．（本题10分）如图，一次函数与轴、轴交于、两点，过点的直线交轴于点，且． (1)求直线的函数表达式； (2)在线段上找点，使得，求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，点坐标为或． 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，求一次函数解析式，全等三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意求出点的坐标，利用待定系数法即可求解； （2）过点作轴于点，求出，根据，求得，代入即可求解； （3）过点作，使，连接，交轴于点，过点作轴，过点作轴，交于点，过点作轴，交于点，则，，，证明，得到，，求得，求出直线的解析式为，可求得点的坐标，在轴的正半轴上取，可求得的坐标，即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， 把，代入，得： ， 解得：， ∴直线的函数表达式为； （2）解：过点作轴于点，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， 把代入中，得： ， ∴； （3）解：∵，， ∴， 过点作，使，连接，交轴于点，过点作轴，过点作轴，交于点，过点作轴，交于点，则，，，如图： ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入，得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴， ∴， 在轴的正半轴上取，如图： ∵， ∴， ∴， ∴， 综上：点坐标为或． 26．（本题10分）初二某班开展数学综合与实践活动，遇到了如下几个问题： 问题1：在中，，是中点，证明：． 老师给学生们提示解这类问题的思路：条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑“倍长”中线，或通过引平行线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （1）请利用以上思路完成该证明． 问题2：有这样一个数学故事，从前，一群海盗用船装着他们抢来的财物，来到一个荒岛上，要把这些财物埋下．因为怕时间久了会被人发现，所以他们来不及画标记位置的藏宝图了．但海盗们发现，岛上有三棵树，，，海盗头对一个水手说：“从到拉一根绳子，然后从出发，沿着垂直于绳子的方向，往岛里走一段等于这段绳子的长度．这一点叫做1号地点．“海盗头又对另一个水手说：”从到拉一根绳子，然后从出发，沿着垂直于绳子的方向，往岛里走一段等于这段绳子的长度．这一点叫做2号地点．”第二个水手也这样做了．等水手找到1号、2号地点的时候，海盗头便下令说：“伙计们，我们把财宝埋在这两点的正当中吧！”海盗们把财宝埋好了，上船走了． （2）设1号地点为点，2号地点为点，埋藏财宝的地点为点，连接、、，判断的形状，并证明． （3）过了几个月，其中一个水手想利用这笔财宝救助难民，于是就偷偷回到岛上．可树被台风刮走了，没有留下一点儿痕迹，只有另外两棵树、还在，水手非常懊恼．请你利用作图的方式，帮助他找到藏宝的地点，并简要说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）为等腰直角三角形，见解析；（3）作图步骤：连接，作且，取中点，即为藏宝地点． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质和等腰三角形的三线合一性质，利用中点模型构造全等三角形是解题关键． （1）过点C作，交延长线于点D，容易证明，由此得出，，进而可证明，即可得出，由此证明； （2）过点作，交延长线于点，连接，同理可以证明，进而可得，，再利用五边形内角和为，结合，，可得，而，由此证明，进而可得，得出，，由可得是等腰直角三角形，再由是中点得出，即可得出为等腰直角三角形． （3）构造同（2）的是等腰直角三角形，取的中点即可． 【详解】（1）如图，过点C作，交延长线于点D， ∴， ， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴．， 　（2）为等腰直角三角形， 理由如下： 过点作，交延长线于点，连接 ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵五边形内角和为，即：， ，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． （3）如图：连接，过点B作，且，取中点，即为藏宝地点， 由作法可知：是等腰直角三角形， 由（2）可知：藏宝地点是的中点． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 无锡市2025-2026学年八年级第一学期期末考试 数学模拟试卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．做选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．做填空题和解答题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列长度的三条线段能够成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．4，5，8 C．4，5，9 D．5，6，11 2．下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 3．等腰三角形底边长为6，一腰上的中线把三角形分成两部分，其周长的差为2，则它的腰长为（   ） A．4 B．8 C．4或8 D．不确定 4．平面直角坐标系中，已知点在第四象限，它到轴的距离是，到轴的距离是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．函数的图象经过两点，下列说法不正确的是（   ） A．图象是一条直线 B．当时， C．图象不经过第三象限 D．与y轴的交点坐标为 6．如图，在中，，D为的中点，于点E，若，，则为（　　） A．2 B． C． D． 7．如图，已知六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 8．一次函数与（，）的图象如图所示，则下列结论：①对于函数来说，随的增大而减小；②；③函数的图象不经过第一象限；④；⑤的值每增加1，的值增加．其中正确的有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 第8题 第9题 9．如图，在三角形纸片中，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若第二次的折痕与的交点为E，则的长是（   ） A． B． C． D． 10．等腰三角形ABC中，，记，周长为y，定义为这个三角形的坐标． 如图所示，直线，，将第一象限划分为4个区域．下面四个结论中， ①对于任意等腰三角形ABC，其坐标不可能位于区域I中； ②对于任意等腰三角形ABC，其坐标可能位于区域Ⅳ中； ③若三角形ABC是等腰直角三角形，其坐标位于区域Ⅲ中； ④图中点P所对应等腰三角形的底边比点Q所对应等腰三角形的底边短． 所有正确结论的序号是（   ） A．①③④ B．①②③ C．②④ D．①③ 二、填空题（本题共8小题，每小题8分，共24分） 11．化简 ． 12．年月日，第五轮“苏超”联赛在泰州举行，本场比赛观众人数为人，用四舍五入法将人精确到人，所得的近似数为 ． 13．比较大小： 填“”“”或“” 14．若是直线上的两点，则 （填或） 15．在平面直角坐标系中，已知点、，点M在点N的右侧，且直线轴，若，则 ． 16．点在函数的图像上，则代数式的值等于 ． 17．某社团新型小车直道竞速（匀速）稳定性测试时，甲、乙均从地出发至地，甲先出发3秒后乙才出发，最终甲先到达地．如图，轴代表甲出发的时间，轴代表两人之间的距离，则甲到达地时，乙距离地还有 米． 第17题 18．如图 1，与满足，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”．如图2，在中，，点 D、E 在线段上，且，则图中“伪全等三角形”的对数为 ． 第18题 三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（本题8分）求下列各式中的值： (1)； (2)． 20．（本题6分）已知3是的平方根，是的立方根，是的整数部分， (1)求，，的值； (2)求的平方根． 21．（本题8分）如图，在中，，，是边上一点（点不与，重合），连接，过点作，且，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 22．（本题8分）已知点． (1)当，满足怎样的条件时，点在第二象限？ (2)若将点先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到点，求，的值． 23．（本题8分）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 初步尝试 （1）如图1，在中，，，P为上一点，当的长为 时，与为偏等积三角形． 理解运用 （2）请在图2的方格图中（每个小方格的边长都为1），画两个面积为2的三角形，使这两个三角形是偏等积三角形，要求所画三角形的顶点必须在格点上． （3）如图3，与为偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点C作，交的延长线于点E，求的长． 24．（本题8分）如图，在中，，延长至点，过点作，使，连接BF交CE于点D． (1)求证：； (2)若是上一点，满足，连接，请你判断和的关系，并证明你的结论． 25．（本题10分）如图，一次函数与轴、轴交于、两点，过点的直线交轴于点，且． (1)求直线的函数表达式； (2)在线段上找点，使得，求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 26．（本题10分）初二某班开展数学综合与实践活动，遇到了如下几个问题： 问题1：在中，，是中点，证明：． 老师给学生们提示解这类问题的思路：条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑“倍长”中线，或通过引平行线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （1）请利用以上思路完成该证明． 问题2：有这样一个数学故事，从前，一群海盗用船装着他们抢来的财物，来到一个荒岛上，要把这些财物埋下．因为怕时间久了会被人发现，所以他们来不及画标记位置的藏宝图了．但海盗们发现，岛上有三棵树，，，海盗头对一个水手说：“从到拉一根绳子，然后从出发，沿着垂直于绳子的方向，往岛里走一段等于这段绳子的长度．这一点叫做1号地点．“海盗头又对另一个水手说：”从到拉一根绳子，然后从出发，沿着垂直于绳子的方向，往岛里走一段等于这段绳子的长度．这一点叫做2号地点．”第二个水手也这样做了．等水手找到1号、2号地点的时候，海盗头便下令说：“伙计们，我们把财宝埋在这两点的正当中吧！”海盗们把财宝埋好了，上船走了． （2）设1号地点为点，2号地点为点，埋藏财宝的地点为点，连接、、，判断的形状，并证明． （3）过了几个月，其中一个水手想利用这笔财宝救助难民，于是就偷偷回到岛上．可树被台风刮走了，没有留下一点儿痕迹，只有另外两棵树、还在，水手非常懊恼．请你利用作图的方式，帮助他找到藏宝的地点，并简要说明理由． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $