第3章 圆锥曲线与方程模拟测试卷-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

第3章　圆锥曲线与方程 （时间：120分钟 总分：150分） 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.抛物线y=4x2的焦点坐标是(　　) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,) D.(0,) 2.(2025新高考Ⅰ)若双曲线C的虚轴长为实轴长的倍,则C的离心率为(　　) A. B.2 C. D.2 3.在下列双曲线中,以(2,0)为一个焦点,以(1,0)为一个顶点的双曲线方程是(　　) A.-y2=1 B.-y2=1 C.x2-=1 D.x2-y2=1 4.若方程=1表示焦点在x轴的椭圆,则t的取值范围是(　　) A.(1,4) B.(1,)∪(,4) C.(1,) D.(,4) 5.(2025新高考Ⅱ)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在C上,过A作C的准线的垂线,垂足为B.若直线BF的方程为y=-2x+2,则|AF|=(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 6.已知椭圆C:=1(0<b<3)的左、右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆C上一点,若|PF2|=|F1F2|且cos∠F1PF2=,则b=(　　) A. B. C.2 D. 7.已知A(m,2),B(n,3),C是抛物线M:x2=4y上的三个点,F为焦点,D(4,3),点C到x轴的距离为d,则|AF|+|BF|+|CD|+d的最小值为(　　) A.10 B.6+2 C.11 D.7+2 8.已知双曲线C:-y2=1的左、右两个顶点分别为A,B,点M1,M2,…,Mn为双曲线右支上的n个点,N1,N2,…,Nn分别与M1,M2,…,Mn关于原点对称,则直线AM1,AM2,…,AMn,AN1,AN2,…,ANn这2n条直线的斜率乘积为(　　) A.()n B.()n C.-3n D.-2n 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知双曲线C过点(3,),且其渐近线的方程为y=±x,则下列结论正确的是(　　) A.双曲线C的方程为-y2=1 B.双曲线C的离心率为 C.直线y=与双曲线C只有一个公共点 D.直线x-y-1=0与双曲线C有两个公共点 10.设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l.P是抛物线上异于O的一点,过点P作PQ⊥l,相交于点Q,则线段FQ的垂直平分线(　　) A.不经过点O B.经过点P C.平行于直线OP D.垂直于直线OP 11.设F1,F2分别为椭圆C:=1的左、右焦点,P为椭圆上任意一点,则(　　) A.存在四个点P,使得PF1⊥PF2 B.若点P不在x轴上,直线PF1的斜率是直线PF2的斜率的-3倍,则点P的横坐标为- C.存在点P,使得=1 D.的最小值为14 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.若顶点在原点的抛物线经过点(-2,1),(1,2),(4,4)中的2个,则符合条件的抛物线的标准方程为　　　　　　　　.  13.若椭圆=1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y=x的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率为　　　　.  14.已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线上的一点,I为△PF1F2的内心,且+2=2,则C的离心率为　　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知圆x2+y2+2x=0的圆心F是抛物线C的焦点. (1)求抛物线C的方程; (2)若直线l交抛物线C于A,B两点,且点P(-2,-1)是弦AB的中点,求直线l的方程. 16.(15分)已知双曲线C:=1(a>0,b>0),第一象限内的点P在C上,双曲线的左、右焦点分别记为F1,F2,且PF1=2PF2,=0,O为坐标原点. (1)求双曲线C的离心率; (2)若△OF2P的面积为2,求点P的坐标. 17.(15分)已知椭圆E:=1(a>b>0)的离心率为,点A(1,)在椭圆E上. (1)求椭圆E的方程; (2)已知椭圆E的右顶点为B,过B作直线l与椭圆E交于另一点C,且|BC|=|AB|,求直线l的方程. 18.(17分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的焦距为2,点在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程. (2)点P为椭圆C上异于顶点的任意一点,点M,N分别与点P关于原点、y轴对称.连接MN,与x轴交于点E,延长PE交椭圆C于点Q.试问:kMP·kMQ是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由. 19.(17分)在平面直角坐标系xOy内,已知抛物线y=x2的焦点为F,P为平面直角坐标系内的点,若抛物线 y=x2上存在点A,使得AF⊥AP,则称A为P的一个“垂足点”. (1)若点P有两个“垂足点”M和N,求点P的坐标. (2)是否存在点P,使得点P有且仅有三个不同的“垂足点”,且点P也是双曲线=1上的点?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 参考答案 1.D　2.D　3.C　4.C 5.C　解析 由直线BF的方程:y=-2x+2知F(1,0),所以=1,p=2,所以抛物线方程为y2=4x,准线方程为x=-1,所以B(-1,4),所以yA=4,代入抛物线方程得A(4,4),所以|AF|=|AB|=+xA=1+4=5,故选C. 6.D　解析 由题意,知该椭圆的焦点在x轴上,如图,得|PF2|=|F1F2|=2c,|PF1|+|PF2|=2a=6,所以|PF1|=6-2c. 由余弦定理,得cos∠F1PF2=,即, 解得c=2或c=3(舍去). 由a2-b2=c2,所以b2=5⇒b=. 7.B　解析 因为M的准线方程为y=-1,所以由抛物线焦半径公式,得|AF|=2+1=3,|BF|=3+1=4,d+1=|CF|,故d=|CF|-1,所以|AF|+|BF|+|CD|+d=3+4+|CF|-1+|CD|=6+|CD|+|CF|≥6+|DF|=6+=6+2,当且仅当C,D,F三点共线且C在线段DF上时,等号成立,所以|AF|+|BF|+|CD|+d的最小值为6+2. 8.A　解析 设M1(m,n). 由题意,得N1(-m,-n).又A(-,0),于是. 又点M1(m,n)在双曲线上,故-n2=1. 于是,将2n条直线两两分组,AM1,AN1;AM2,AN2;…;AMn,ANn, 类似上面的步骤,这n组直线中的两条直线斜率之积均是,于是这2n条直线的斜率乘积为()n. 9.AC　解析 渐近线方程为y=±x=±x.设双曲线C的方程为-y2=λ,代入(3,)得-2=1=λ,所以双曲线的方程为-y2=1,故A选项正确;a=,b=1,c==2,离心率为e=,故B选项错误;直线y=(x-2)与双曲线的渐近线y=x平行,所以与双曲线只有一个公共点,故C选项正确;由消去x并化简,得=0,所以即直线x-y-1=0与双曲线只有一个公共点,故D选项错误.故选AC. 10.AB 11.BC　解析 由椭圆C:=1,可得a2=4,b2=2,所以a=2,b=,c=. 对于A,若PF1⊥PF2,则P在以F1F2为直径的圆上. 因为b=,c=,所以在椭圆上存在2个点P,使得PF1⊥PF2,故A错误; 对于B,设P(m,n),若存在点P使直线PF1的斜率是直线PF2的斜率的-3倍,则=-3×,解得m=-. 又-2<m<2,所以存在这样的点P,故B正确; 对于C,设P(m,n)(-≤n≤),=(--m)(-m)+(-n)(-n)=m2+n2-2=2-n2. 当n=1时,=1,所以存在点P,使得=1,故C正确; 对于D,≥2=14, 当且仅当,即|PF1|=7|PF2|时等号成立. 又|PF1|+|PF2|=4,则|PF2|=<2-,故等号不成立,故D错误. 12.y2=4x(答案不唯一)　解析 ①当抛物线焦点在x轴上时,可设其方程为y2=2px,若点(-2,1)在抛物线上,则-4p=1,解得p=-, ∴y2=-x,此时点(1,2),(4,4)不满足y2=-x,不合题意; 若点(1,2)在抛物线上,则2p=4,解得p=2,∴y2=4x,此时点(-2,1)不在抛物线上,点(4,4)在抛物线上,满足题意; ②当抛物线焦点在y轴上时,可设其方程为x2=2ty. 若点(-2,1)在抛物线上,则2t=4,解得t=2, ∴x2=4y,此时点(1,2)不在抛物线上,点(4,4)在抛物线上,满足题意; 若点(1,2)在抛物线上,则4t=1,解得t=, ∴x2=y,此时点(-2,1),(4,4)不满足x2=y,不合题意. 综上所述,抛物线的标准方程为y2=4x或x2=4y. 13.　解析 设F(c,0)关于直线y=x的对称点Q(m,n),则有解得m,n=,所以Q()在椭圆上,即有=1,解得a2=2c2,所以离心率e=. 14.2　解析 如图,延长IP到A且|IP|=|PA|,延长IF2到B且|IF2|=|F2B|,所以+2=2,即=0,故I是△ABF1的重心,即=S△AIB. 又=2=2,S△AIB=4, 所以=2,而I是△PF1F2的内心,则|PF1|=|F1F2|=2|PF2|. 由|PF1|-|PF2|=2a,|F1F2|=2c,则|PF2|=2a,故2c=4a,即e==2. 15.解 (1)圆x2+y2+2x=0的方程可化为(x+1)2+y2=1,故圆心的坐标为F(-1,0). 设抛物线C的方程为y2=-2px(p>0),所以-=-1,所以p=2, 所以抛物线C的方程为y2=-4x. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减,得=-4(x1-x2),即(y1+y2)(y1-y2)=-4(x1-x2),所以直线l的斜率k=. 因为点P(-2,-1)是AB的中点,所以y1+y2=-2,所以k==2. 所以直线l的方程为y+1=2(x+2),即2x-y+3=0. 16.解 (1)因为PF1=2PF2,PF1-PF2=2a,所以PF1=4a,PF2=2a.因为=0,所以PF1⊥PF2,所以(2c)2=(4a)2+(2a)2,化为c2=5a2,所以e2=5,则e=,即双曲线C的离心率为. (2)如图,由题意得=×2a×4a=2×2, c·|yP|=2,又c2=5a2,解得a=1,c=,yP=,所以b2=4,双曲线的方程为x2-=1.把yP=代入双曲线的方程,得=1,又xP>0,解得xP=,所以P(). 17.解 (1)由题可知,其中c2=a2-b2,所以b=a. 又点A(1,)在椭圆E上,所以=1,即=1,解得a2=4,b2=1, 所以椭圆E的方程为+y2=1. (2)由椭圆E的方程+y2=1,得B(2,0),所以|AB|=. 设C(x0,y0),其中x0∈[-2,2),y0∈[-1,1]. 因为|BC|=|AB|=1,所以(x0-2)2+=1. 又点C(x0,y0)在椭圆E:+y2=1上,所以=1. 联立方程组得3-16x0+16=0,解得x0=或x0=4(舍). 当x0=时,y0=±,即C()或C(,-). 所以当点C的坐标为()时,直线l的方程为x+2y-2=0; 当点C的坐标为(,-)时,直线l的方程为x-2y-2=0. 综上,直线l的方程为x+2y-2=0或x-2y-2=0. 18.解 (1)由已知得2c=2,c=1, 又点在椭圆上, 所以 解得 故椭圆C的方程为=1. (2)是.设P(x0,y0),x0y0≠0,则M(-x0,-y0),N(-x0,y0),所以E(-x0,0),3+4=12,所以直线PE的方程为y=(x+x0),代入椭圆方程,得(3=0,显然x0是此方程的一个解,另一解为xQ=,而yQ=(xQ+x0),xQ,yQ即为点Q的横、纵坐标,kMQ=)=) =)=-,所以kMQ·kMP=-=-. 故kMP·kMQ为定值-. 19.解 (1)设P(s,t),由于抛物线y=x2的焦点为F(0,),且M(1,1)和N(2,4)是点P的“垂足点”,所以MF⊥MP且NF⊥NP. 又=(1,),=(s-1,t-1),=(2,),=(s-2,t-4), 所以 解得 所以点P的坐标为(-). (2)假设存在P(s,t)满足条件,设其中的一个“垂足点”为A(x0,). 由于AF⊥AP,且=(x0,),=(x0-s,-t), 所以x0(x0-s)+()(-t)=0,即+(-t)-x0s+t=0. 若点P有三个“垂足点”,则关于x的方程x4+(-t)x2-sx+t=0有三个不相等的实数根, 所以方程x4+(-t)x2-sx+t=0可化为(x-m)2(x2+ax+b)=0,且 因为(x-m)2(x2+ax+b)=x4+(a-2m)x3+(m2+b-2ma)x2+(am2-2mb)x+m2b=0, 所以 解得 若点P在双曲线=1上,则a4-=1,化简,得4a6-33a4+36a2+128=0,即(a2-4)(4a4-17a2-32)=0,解得a=±2或a=±,此时m=±1或m=±,且满足 故存在点P,使得点P有且仅有三个不同的“垂足点”,其坐标为(-,3)或(,3)或()或(-). 8 学科网（北京）股份有限公司 $