2026年中考一轮复习方程与不等式基础巩固测试卷

2026年中考一轮复习方程与不等式基础巩固测试卷 （时间100分钟，总分120分） 一、单选题（共10题，共30分） 1．一元二次方程配方后可变形为（　　） A． B． C． D． 2．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值可以是（　　） A．4 B．5 C．2 D．3 3．下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 4．与方程解相同的是（　　） A． B． C． D． 5．某超市1月份的营业额为36万元，前3个月的营业额共110万元，设每月营业额的平均增长率都为，则平均增长率应满足的方程为 （　　） A． B． C． D． 6． 在古代建筑中，榫（）卯（）结构至关重要，它通过凸出的榫头和凹进的榫眼精密配合连接，使得建筑物连接牢固且难以松动．工匠们制作一种特定的榫卯组合，每个榫头需要耗费的木材比每个榫眼需要耗费的木材多千克．已知用30千克木材制作榫头的数量与用25千克木材制作榫眼的数量相同．设制作1个榫头需要耗费的木材为x千克，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 7．我国古代数学名著《九章算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出9元，多4元；每人出8元，少5元．问有多少人？该物品价值多少元？如果设有人，该物品值元，那么可列方程组为（　　） A． B． C． D． 8．用配方法解方程 -4x+3=0，下列配方正确的是（　　） A． =1 B． =1 C． =7 D． =4 9．图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．又依此定九章大法，治理社会，流传下来收入《尚书》中，名《洪范》．《易•系辞上》说：“河出图，洛出书，圣人则之”．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入3×3的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求出x的值应为（　　） A．或 B．1或 C．或4 D．1或4 10．随着中考结束，初三某毕业班的每一个同学都向其他同学赠送一张自己的照片留作纪念，全班共送了张照片，若该班有名同学，则根据题意可列出方程为(　　) A． B． C． D． 二、填空题（共5题，共15分） 11．已知关于x的一元二次方程的一个根是1，则a的值为　 　． 12．如图，在数轴上点、分别表示数3、，则的取值范围是　 　． 13．不等式组的解集是　 　． 14．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是，则估计盒子中大约有红球　 　个． 15．《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，行酒为y斗，则可列二元一次方程组为　 　． 三、解答题（共8题，共75分） 16．（9分）用适当的方法解下列方程： （1） （2） （3） 17．（9分）某校积极开展劳动教育，两次购买A，B两种型号的劳动用品，购买记录如下表： A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元） 第一次 20 25 1150 第二次 10 20 800 （1）求A，B两种型号劳动用品的单价； （2）若该校计划再次购买A，B两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变） 18． （9分）某书店在“读书节”之前，图书按标价销售，在“读书节”期间制定了活动计划． （1）“读书节”之前小明发现：购买5本A图书和8本B图书共花335元，购买10本A图书比购买6本B图书多花120元，请求出A、B图书的标价； （2）“读书节”期间书店计划购进A、B图书共200本，且A图书不少于40本．不多于60本，A、B两种图书进价分别为20元、18元，销售时准备A图书每本降价1.5元，B图书价格不变，设A图书进货m本，请写出m的取值范围，并用含m的式子表示书店此时的利润W（元）； （3）在（2）的条件下，书店如何进货才能使利润最大，最大是多少？ 19．（9分）如图所示，中，． （1）点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使的面积等于？ （2）点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； （3）若P点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点Q沿射线方向从C点出发以的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，的面积为？ 20．（9分）请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，得 化简，得 故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ． （2）已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； （3）已知关于的方程有两个实数根，求一个方程，使它的根分别是已知方程根的平方． 21．（10分）为丰富市民的生活，某市准备改建文化广场，甲、乙两施工队均参与了改建工程的招标．已知甲队独立完成此工程所需的天数比乙队独立完成所需天数多5天，乙队的施工效率为甲队施工效率的倍． （1）请问乙队独立完成此项工程需要多少天？ （2）为缩短工期，该市安排甲、乙两施工队一起完成改建工程．两队同时开工，同时完工，已知甲队每天的工程款比乙队每天的工程款少2000元，完工后，该市在结算时发现总工费不超过12万元，则乙施工队每天的工程款至多为多少？ 22．（10分）如图，小明用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中．请你帮助小明解决下列问题 （1）求S与x之间的函数关系式； （2）x的取值范围是 （3）该矩形菜园的面积为时，的长． 23．（10分）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于y轴对称的不同两点叫做一对“T点”．根据该约定，完成下列各题． （1）若关于x的函数y＝(m+1)x2+(m2-1)x是“T函数”，求m的值； （2）若点A（1，r）与点B（s，4）是关于x的“T函数”y＝的图象上的一对“T点”，求r，s，t的值； （3）若关于x的“T函数”y＝ax2+bx+c（a＞0，且a，b，c是常数）经过坐标原点O，且与直线l：y＝mx+n（m≠0，n＞0，且m，n是常数）交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，当x1，x2满足x1+x2＝x1x2时，直线l是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由． 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：整理得， 配方得，即， 故选：D． 【分析】根据配方法解一元二次方程的方法，先移常数项，配方，写成完全平方式即可． 2．【答案】C 【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：，故C正确． 故答案为：C． 【分析】利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）分析可得，再求解即可. 3．【答案】C 【解析】【解答】解：A.，是一元一次方程，故本选项不合题意 B.是二元一次方程，故本选项不合题意； C.是一元二次方程，故本选项符合题意； D.当时，不含二次项，故本选项不合题意； 故答案为：C 【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，据此即可求解。 4．【答案】B 【解析】【解答】解：∵ ∴x2-2x+1=3+1 ∴(x-1)2=4∴B选项中的方程与方程x2-2x=3的解相同. 故答案为：B． 【分析】由于四个选项中的方程都形如“(x-a)2=b”的形式，故将方程x2-2x=3，利用配方法变形为(x-a)2=b的形式，即可判断得出答案. 5．【答案】D 【解析】【解答】解：设每月的平均增长率为x， ∴由题意可得： 故答案为：D 【分析】此题的等量关系为：1月份的营业额+2月份的营业额+3月份的营业额=110，列方程即可. 6．【答案】A 【解析】【解答】解：由题意知每个榫眼需要耗费木材为x-0.5千克， 30千克木材制作榫头的数量为， 25千克木材制作榫眼的数量为，于是可列方程. 故答案为：A. 【分析】由题意分别表示 榫头和 榫眼的数量、，即可列出方程. 7．【答案】B 【解析】【解答】解：设有x人，该物品值元， 根据题意得： . 故答案为：B. 【分析】设有x人，该物品值元， 由“ 每人出9元，多4元”可得方程9x-4=y，由“ 每人出8元，少5元 ”可得方程8x+5=y，即得方程组. 8．【答案】A 【解析】【解答】解：方程 -4x+3=0， 移项得： -4x=-3， 配方得： -4x+4=1， 即 =1， 故答案为：A 【分析】用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方。利用此步骤可得出答案。 9．【答案】A 【解析】【解答】解∶设幻方所填数如图所示， ∴，， 由①得， 由② 由得：， 解得：，， 故选：A． 【分析】根据幻方的规则，可得出关于x的一元二次方程，再求解方程即可． 10．【答案】A 【解析】【解答】解：若该班有x名同学，那么每名学生送照片( 张，全班应该送照片 张，则可列方程为 故答案为：A. 【分析】若该班有x名同学，那么每名学生送照片张，全班应该送照片 那么根据题意可列得方程. 11．【答案】2 【解析】【解答】解：把代入，得 ， 解得， 故答案为：2． 【分析】将x=1代入方程，再解关于a的方程即可求出答案. 12．【答案】 【解析】【解答】解：由数轴知点在点的左侧， ，解得：， 故答案为：． 【分析】在数轴上M在N左侧，故，解不等式即可得出答案． 13．【答案】​​​​​​​ 【解析】【解答】解：和的公共部分为 这个不等式组的解集是 故答案为：． 【分析】找出两个不等式的解的公共部分即可求出答案. 14．【答案】12 【解析】【解答】解：设盒子里面大约有个红球 ∵口袋里面有个黄球，摸到黄球的频率是 ∴ 解得：． 经检验，是方程的解． 故答案为：． 【分析】设盒子里面大约有个红球，根据频率估计概率建立方程，解方程即可求出答案. 15．【答案】 【解析】【解答】设买美酒x斗，买普通酒y斗， 依题意得： ， 故答案是： ． 【分析】设买美酒x斗，买普通酒y斗，根据“美酒一斗的价格是50钱、买两种酒2斗共付30钱”列出方程组． 16．【答案】（1）解：， ∴， ∴或， ∴，. （2）解：， ∴或， ∴，. （3）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，. 【解析】【分析】（1）利用十字相乘法（先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数）的计算方法及步骤分析求解即可. （2）利用十字相乘法（先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数）的计算方法及步骤分析求解即可. （3）利用因式分解法（先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式将多项式和的形式变成乘积的形式）的计算方法及步骤分析求解即可. 17．【答案】（1）解：设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元， 根据题意，得， 解得：， 答：A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元； （2）解：设购买A种型号劳动用品a件，则购买B种型号劳动用品（40﹣a）件， 根据题意可得：10≤a≤25， 设购买这40件劳动用品需要W元， W＝20a+30（40-a）＝-10a+1200， ∵一次项系数k=-10＜0， ∴W随a的增大而减小， ∴当a＝25时，W取最小值，W＝-10×25+1200＝950， ∴该校购买这40件劳动用品至少需要950元． 【解析】【分析】（1）设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元，根据表格中的数据，列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出x、y的值即可； （2）设购买A种型号劳动用品a件，则购买B种型号劳动用品（40﹣a）件，根据“A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25”得a的取值范围，设购买这40件劳动用品需要W元，根据题意得W关于a的一次函数表达式，接下来利用一次函数的性质进行求解即可. 18．【答案】（1）解：设A图书标价x元，B图书标价y元. 由题意得： 解得 答：A图书标价27元，B图书标价25元； （2）解：依题意， 设购进A图书m本， B图书(200-m)本， 利润为W元. 则W=(27-20-1.5)m+(25-18)(200-m) =5.5m+7(200-m) =-1.5m+1400， ∵A图书不少于40本.不多于60本， ∴40≤m≤60； （3）解：依题意， W =-1.5m+1400(40≤m≤60)； ∵-1.5<0 ∴W随m的增大而减小， ∵40≤m≤60， ∴当m=40时， W最大值为-1.5×40+1400 =1340 (元) ， 200-40 =160 (本) ， 答：购进A图书40本，B图书160本，利润最大，且为1340元. 【解析】【分析】(1)设A图书标价x元，B图书标价y元，根据“购买5本A图书和8本B图书共花335元，购买10本A图书比购买6本B图书多花120元”列出二元一次方程组，解方程组即可得解； (2) 设购进A图书m本， B图书(200-m)本， 利润为W元.根据题意得出W关于m的关系式； (3)根据一次函数的性质即可得解. 19．【答案】（1）解：设经过x秒，的面积等于，依题意有： ， 解得：， ∴经过2秒或4秒，的面积等于； （2）解：线段不能将分成面积相等的两部分，理由如下： 设经过y秒，线段能将分成面积相等的两部分，依题意有 的面积， ， 即， ∵， ∴此方程无实数根， ∴线段不能将分成面积相等的两部分； （3）解：①设经过m秒，点P在线段上，点Q在线段上， 依题意得： ， 即， 解得，， 经检验，不符合题意，舍去， ∴此时； ②设经过n秒，点P在线段上，点Q在射线上；依题意得： ， 即， 解得， 经检验，符合题意． ③设经过k秒，点P在射线上，点Q在射线上，依题意得： ， 即， 解得，， 经检验，不符合题意，舍去， ∴； 综上所述，经过秒或5秒或秒后，的面积为． 【解析】【分析】（1）设经过x秒，的面积等于，根据三角形面积公式列出方程求解即可； （2）设经过y秒，线段能将分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解； （3）分三种情况：①点P在线段上，点Q在线段上；②点P在线段上，点Q在射线上；③点P在射线上，点Q在射线上；进行讨论即可求解． 20．【答案】（1）； （2）设所求方程的根为，则，于是 ， 把代入方程，得 ， 去分母，得 ， 若，有， 于是方程有一个根为0，不符合题意， ， 故所求方程为 ； （3）设所求方程的根为，则， 所以 ， ①当时，把代入已知方程，得 ，即； ②当时，把代入已知方程，得 ，即 ∴所求方程为或. 【解析】【解答】（1）设所求方程的根为 ，则 ， 所以． 把代入已知方程，得， ， 化简，得 ， 故答案为：； 【分析】 （1）根据材料的“换根法”设y=-x，将x=-y代入方程就可得到所求的方程. （2）根据材料的“换根法”设所求方程的根为y，可得到x= ， 将其代入方程，就可得到a+by+cy2=0，再分情况讨论：当c=0和x≠0，即可求解. （3）根据材料的“换根法”设所求方程的根为y，由已知可得到y=x2 ， 由此可得到x= ， 分别将x的值代入方程，就可得到所求的方程. 21．【答案】（1）解：设乙队独立完成此项工程需要x天，则甲需要天， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 原方程的解为：，则甲队需要天， 答：乙队独立完成此项工程需要10天 （2）解：由（1）得，乙队独立完成此项工程需要10天，则甲需要15天 两队同时开工，同时完工， 两队合作需要天完工， 设乙施工队每天的工程款为y元，则甲队为每天元， 由题意得：， 解得：， y的最大值为11000元， 因此，乙施工队每天的工程款至多11000元 【解析】【分析】（1）设乙队独立完成此项工程需要x天，则甲需要（x+5）天，根据工作总量、公式时间及工作效率三者的关系及乙队的施工效率为甲队施工效率的倍建立方程，解方程即可，注意检验； （2）首先根据工作总量、公式时间及工作效率三者的关系计算出两队合作需要的天数，设乙施工队每天的工程款为y元，则甲队为每天（y-2000）元，根据总工费不超过12万元，得到不等式，解不等式取最大值即可． 22．【答案】（1）解：设这个菜园垂直于墙的一边的长为，则， 则， ∴； （2） （3）解：由题意得：，整理得：， 解得：，， ， ∴不符合题意，取， 即的长为； 【解析】【解答】（2）解：由， 解①得：， 解②得：， ∴x的取值范围为：， 【分析】（1）设菜园垂直于墙的一边的长为，然后矩形面积公式列函数关系式即可； （2）根据平行于墙的一边不能超过墙的长度列不等式解题； （3）令，即可得到，解方程解题即可． 23．【答案】（1）解：依题意：m2-1=0，且m+1≠0，得m=1； （2）解：∵A，B关于y轴对称，∴s＝﹣1，r＝4，∴A的坐标为（1，4）， 把A（1，4）代入是关于x的“T函数”中，得：t＝4， 故答案为r＝4，s＝﹣1，t＝4； （3）解：∵y＝ax2+bx+c过原点，∴c＝0， ∵y＝ax2+bx+c是“T函数”，∴b＝0，∴y＝ax2， 联立直线l和抛物线得： ，即：ax2﹣mx﹣n＝0， ∴，， 又∵x1+x2＝x1x2，∴，即m＝﹣n， ∴y＝mx+n＝mx﹣m， 当x＝1时，y＝0， ∴直线l必过定点（1，0）． 【解析】【分析】（1）根据“T函数”的定义结合题意即可求解； （2）先根据对称得到点A的坐标，进而将点A代入关于x的“T函数”中得到t，从而即可求解； （3）先根据二次函数与坐标轴的交点问题得到c=0，进而根据“T函数”的定义得到b＝0，从而得到y＝ax2，再根据二次函数与一次函数的综合应用联立解析式，进而根据一元二次方程根与系数的关系得到，，再结合题意即可得到，从而即可求解。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $