2026年浙江省杭州市中考数学专题十四：锐角三角函数

2026年浙江省杭州市中考专题十四：锐角三角函数 1.网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA的值是（　　） A． B． C． D． 2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　） A．a＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB 3.如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，且A、B、E三点在一条直线上，连接CE，以CE为边构造正方形CPQE，PQ交AB于点M，连接CM．设∠APM＝α，∠BCM＝β．若点Q、B、F三点共线，tanα＝ntanβ，则n的值为（　　） A． B． C． D． 4.如图，游乐场有一个长240cm的跷跷板AB，O为AB的中点，它的支撑柱OH垂直于地面，垂足为点H，当AB一端A着地时，∠BAH＝α，则支撑柱OH的长可表示为（　　） A．120•sinαcm B．120•tanαcm C． D． 5.如图，已知钟摆的摆长OA为m米，当钟摆由OA位置摆动至OB位置时，钟摆摆动的角度为40°，此时摆幅AB的长可以表示为（　　）米． A．m•sin20° B．m•sin40° C．2m•cos20° D．2m•sin20° 6.如图，AC，BD为菱形ABCD的对角线，将△BOC绕点O逆时针旋转至△EOF，使得点E在线段CD上，若，则tan2∠BCO＝ 　 　 ．（用含k的代数式表示） 7.如果，则sin2A＝　 　 ． 8.如图，在▱ABCD中，点E是CD边上的一点，若AB＝5，CE＝2，将△BCE沿BE翻折得△BGE，连结AG，点A在EG的延长线上，BG恰好平分∠ABE，则AG的长为 　　 ，cos∠EAD的值为 　 ． 9.如图，点E在菱形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE折叠，使点D的对应点F恰好落在边BC上．若，则cosB 的值是 　 　 ． 10.已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连接DE，DE． （1）求EM的长； （2）求sin∠EOB的值． 11.如图，已知正方形ABCD的对角线相交于O点，CE平分∠BCA交BD于点E，DH⊥CE，交AC于点G，交BC于点H． （1）求cos∠BCA的值． （2）求证：△DOG∽△DCH． （3）求证：． 12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，CE⊥AB于点E，BC＝2，． （1）求AC的长； （2）求sin∠CDB的值． 13.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sinB，AD＝1． （1）求BC的长； （2）求tan∠DAE的值． 14.如图，在▱ABCD中，过A，B，C三点的⊙O交CD于点E，连结AE． （1）求证：△ADE是等腰三角形． （2）如图2，已知AD为⊙O的切线，连结AO并延长交BE于点G． ①求证：； ②若，求cosD的值． 15.如图1，⊙O为△ABC的外接圆，且AB＝BC，点D为圆外一动点，且满足BD＝BA，连结AD，交BC于点E，交⊙O于点F，连结BF． （1）若AD经过圆心O，AF＝5，BF＝3，求AB的长； （2）求证：BF平分∠DBC； （3）如图2，若BD∥AC，设DF：EF＝k，请用含k的代数式表示cosC． 16.如图，在矩形ABCD中，E是边CD上的点（不与C，D重合），过A，D，E三点的圆交对角线BD于点F，交AB于点G，延长EF交AB于点H，连结AF，已知∠BFH＝∠BAF． （1）求证：△ADF为等腰三角形； （2）已知AB＝12，AH＝9，求BF的长； （3）若∠ADF＝α，求证：． 17.单摆是一种能够产生往复摆动的装置．如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动（摆线的长度变化忽略不计）．如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，过点B作BD⊥OA于点D．当摆球运动至点C时，过点C作CE⊥OA于点E，（点O，A，B，C，D，E在同一平面内）． （1）若BD＝8，AD＝4，求OB的长； （2）若∠BOA＝46°，∠AOC＝28°，ED＝10cm，求OA的长．（sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53，结果精确到0.1cm） 18.如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点A到BC所在直线的距离AC＝3m，∠CAB＝60°；停止位置示意图如图3，此时测得∠CDB＝37°（点C，A，D在同一直线上，且直线CD与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变． （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，） （1）求AB的长； （2）求物体上升的高度CE（结果精确到0.1m）． 19.为方便市民绿色出行，临沂市政府推出共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD均与地面l平行，车轮半径为32cm，∠BCD＝64°，坐垫E与点B的距离BE为15cm． （1）若AM∥BE，∠BAC＝50°，求∠MAC的度数； （2）根据经验，当坐垫E到CD的距离为人体腿长的时，坐骑比较舒适．小明的腿长约80cm，BC＝62cm，求调整后EB的长度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05） 20.在学习三角函数知识后，李老师布置了一项综合实践作业，要求利用所学知识测量建筑物的高度．如图，圆圆在自家楼顶A处观测，测得对面一幢楼房顶部B处的仰角为37°，测得这幢楼房底部C处的俯角为30°．已知观测点A处距地面的高度AD为24米（图中点A，B，C，D均在同一平面内）． （1）求两幢楼房之间的水平距离CD（结果保留根号）． （2）求对面这幢楼房的高度BC（结果取整数）． （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年浙江省杭州市中考专题十四：锐角三角函数 1.网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA的值是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图，取BC的中点D，连接AD，则AD⊥BC，过点C作CE⊥AB，垂足为E， 由网格可得，AC＝AB2，BC2， 则BC边上的高AD3， 由三角形的面积公式得，BC•AD＝AB•CE， 即232•CE， ∴CE， ∴sinA， 故选：C． 2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　） A．a＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB 【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c， ∵sinB，tanB ∴b＝c•sinB，b＝a•tanB， 因此选项A不符合题意；选项B符合题意；选项C不符合题意；选项D不符合题意； 故选：B． 3.如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，且A、B、E三点在一条直线上，连接CE，以CE为边构造正方形CPQE，PQ交AB于点M，连接CM．设∠APM＝α，∠BCM＝β．若点Q、B、F三点共线，tanα＝ntanβ，则n的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：过点Q作QN⊥AB于N，连接Q、B、F，则∠QNE＝∠QNM＝90°， ∵四边形ABCD、四边形BEFG、四边形CPQE是正方形， ∴EC＝EQ，CB＝CD，∠GBE＝∠CEQ＝∠BCD＝∠PCE＝∠A＝90°， ∵点Q、B、F三点共线， ∴∠QBN＝∠EBF＝45°， ∴△EBF、△BQN都是等腰直角三角形， ∴QN＝BN， ∵∠BCE+∠BEC＝90°，∠QEN+∠BEC＝90°， ∴∠BCE＝∠QEN， 在△ENQ和△CBE中， ， ∴△ENQ≌△CBE（AAS）， ∴EN＝CB，QN＝EB， ∵QN＝BN， ∴EN＝CB＝2EB， ∴EB＝QN＝BN＝BG＝CG， 设EB＝QN＝BN＝BG＝CG＝a，则AB＝BC＝CD＝AD＝2a，AN＝2a﹣a＝a， ∵∠DCP+∠BCP＝90°，∠BCE+∠BCP＝90°， ∴∠DCP＝∠BCE， 在△CBE和△CDP中， ， ∴△CBE≌△CDP（ASA）， ∴BE＝DP＝a， ∴PA＝2a﹣a＝a， ∴PA＝QN， 在△PAM和△QNM中， ， ∴△PAM≌△QNM（AAS）， ∴， ∴， 在Rt△PAM中，， 在Rt△BCM中，， ∵tanα＝ntanβ， ∴， ∴， 故选：A． 4.如图，游乐场有一个长240cm的跷跷板AB，O为AB的中点，它的支撑柱OH垂直于地面，垂足为点H，当AB一端A着地时，∠BAH＝α，则支撑柱OH的长可表示为（　　） A．120•sinαcm B．120•tanαcm C． D． 【解答】解：∵O为AB的中点，AB＝240cm， ∴OAAB＝120（cm）， 在Rt△AOH中，∠BAH＝α， ∴OH＝OA•sinα＝120•sinα（cm）， 故选：A 5.如图，已知钟摆的摆长OA为m米，当钟摆由OA位置摆动至OB位置时，钟摆摆动的角度为40°，此时摆幅AB的长可以表示为（　　）米． A．m•sin20° B．m•sin40° C．2m•cos20° D．2m•sin20° 【解答】解：过点O作 OD⊥AB于点D． ∵OA＝OB， ∴，． 在Rt△AOD中，， ∴AD＝OA•sin∠AOD＝m•sin20°（米）． ∴AB＝2AD＝2m•sin20°（米）． 故选：D． 6.如图，AC，BD为菱形ABCD的对角线，将△BOC绕点O逆时针旋转至△EOF，使得点E在线段CD上，若，则tan2∠BCO＝ 　　 ．（用含k的代数式表示） 【解答】解：连接BE，设CE＝m， ∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O， ∴BC＝DC，AC⊥BD，OB＝OD， ∴∠DCO＝∠BCO，∠COD＝90°， ∵将△BOC绕点O逆时针旋转至△EOF，点E在线段CD上， ∴OE＝OB＝OD， ∴∠OEB＝∠OBE，∠OED＝∠ODE， ∴∠BED＝∠OEB+∠OED＝∠OBE+∠ODE， ∵∠OEB+∠OED+∠OBE+∠ODE＝2∠BED＝180°， ∴∠BED＝90°， ∵∠COD＝∠BED，∠CDO＝∠BDE， ∴△COD∽△BED， ∴∠DCO＝∠DBE， ∴∠BCO＝∠DBE， ∵k，且CE≠0，DE≠0， ∴DE＝mk，且m≠0，k≠0， ∴DE2＝m2k2，BC＝DC＝mk+m， ∵∠BEC＝90°， ∴BE2＝BC2﹣CE2＝（mk+m）2﹣m2＝m2k2+2m2k， ∴tan2∠BCO＝tan2∠DBE， 故答案为：． 7.如果，则sin2A＝　　 ． 【解答】解：如图，在Rt△ABC中，， 作△ABC关于AC对称△ADC，过点D作DH⊥AB， ∴AB＝AD，∠BAD＝2∠BAC， 设AC＝3a，则AD＝AB＝5a， ∴BC＝4a， ∴BD＝2BC＝8a， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8.如图，在▱ABCD中，点E是CD边上的一点，若AB＝5，CE＝2，将△BCE沿BE翻折得△BGE，连结AG，点A在EG的延长线上，BG恰好平分∠ABE，则AG的长为 　3　 ，cos∠EAD的值为 　　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∵将△BCE沿BE翻折得△BGE， ∴∠CBE＝∠GBE，∠CEB＝∠AEB，CE＝GE， 设∠CBE＝∠GBE＝α ∵BG恰好平分∠ABE， ∴∠ABG＝∠GBE＝∠CBE＝α ∴∠ABE＝2α， ∵AB∥CD， ∴∠CEB＝∠ABE＝2α， ∴∠AEB＝∠ABE＝2α ∴AE＝AB， 又∵CE＝GE， ∴AG＝AE﹣GE＝AB﹣CE＝5﹣2＝3； 方法一：如图所示，延长BE交AD的延长线于点F，过点B分别作AE，AF的垂线，垂足分别为H，M， ∵AB＝AE，∠AEB＝∠ABE＝2α， ∴∠BAE＝180°﹣4α， ∵BC∥AD， ∴∠F＝∠CBE＝α，∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝（180°﹣3α）﹣（180°﹣4α）＝α， ∴∠F＝∠EAF＝α， ∴EF＝EA＝5， ∵DE＝CD﹣CE＝AB﹣CE＝5﹣2＝3，AB∥DE， ∴△FED∽△FBA， ∴， ∴， ∴，则， 在Rt△ABH，Rt△BEH中， BE2﹣EH2＝AB2﹣AH2， ∴， 解得：， 则，， 在Rt△BGH中，， ∵∠BGH＝∠C＝∠BAM， ∴sin∠BGH＝sin∠BAM， ∴， ∴， 在Rt△BMF中，， ∴， 方法二：延长DE交AB延长线于F，过E作EH⊥AF于H，如图： ∵BC∥AD， ∴∠F＝∠CAE＝α，∠BAD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣2α， ∵∠ABE＝∠AEB＝2α， ∴∠BAE＝180°﹣4α， ∴∠EAF＝∠BAD﹣∠BAE＝α， ∴∠EAF＝∠F， ∴EF＝AE＝AB＝5， ∵EH⊥AF， ∴AH＝FH， ∵BC∥AD， ∴， ∴AD：DF＝2：3， 设AD＝4x，则DF＝6x，AH＝FH＝5x， ∴DH＝x， 在Rt△DEH中，EH2＝DE2﹣DH2， 在Rt△AEH中，EH2＝AE2﹣AH2， ∴DE2﹣DH2＝AE2﹣AH2， 即9﹣x2＝25﹣25x2， 解得：x， ∴cos∠EADx． 故答案为：． 9.如图，点E在菱形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE折叠，使点D的对应点F恰好落在边BC上．若，则cosB 的值是 　　 ． 【解答】解：在BC的延长线上取一点K，使得EK＝EC，过点E作EJ⊥CK于点J． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD，∠B＝∠D， ∵DE：CE＝5：2， ∴可以假设DE＝5k，EC＝2k，则DE＝EF＝5k，EC＝EK＝2k， ∴∠ECK＝∠K， ∵AB＝AF， ∴∠B＝∠AFB， ∵AB∥CD， ∴∠B＝∠ECK＝∠K， 由翻折变换的性质可知，∠D＝∠AFE＝∠B＝∠AFB， ∵∠EFK+2∠B＝180°，∠KEC+2∠B＝180°， ∴∠CEK＝∠EFK， ∵∠K＝∠K， ∴△KEC∽△KFE， ∴， ∴， ∴KF＝5k，KCk， ∵EJ⊥CK，EC＝EK， ∴CJ＝KJk， ∵∠B＝∠K， ∴cosB＝cosK． 故答案为：． 10.已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连接DE，DE． （1）求EM的长； （2）求sin∠EOB的值． 【解答】解：如图，（1）∵DC为⊙O的直径， ∴DE⊥EC（1分） ∵DC＝8，DE ∴EC 7（2分） 设EM＝x，由于M为OB的中点， ∴BM＝2，AM＝6， 由相交弦定理AM•MB＝EM•CM，（3分） 即6×2＝x（7﹣x），x2﹣7x+12＝0 解这个方程，得x1＝3，x2＝4 ∵EM＞MC ∴EM＝4；（5分） （2）∵OE＝EM＝4 ∴△OEM为等腰三角形 过E作EF⊥OM，垂足为F，则OFOM＝1 ∴EF ∴sin∠EOB．（8分） 11.如图，已知正方形ABCD的对角线相交于O点，CE平分∠BCA交BD于点E，DH⊥CE，交AC于点G，交BC于点H． （1）求cos∠BCA的值． （2）求证：△DOG∽△DCH． （3）求证：． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCA∠BCD＝45°， ∴cos∠BCA； （2）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，∠BDC＝∠OCB＝45°， ∴∠DOG＝90°， ∵DH⊥CE， ∴∠CFG＝90°， ∴∠DOG＝∠CFG， ∵∠DGO＝∠CGF， ∴∠ODG＝∠OCE， ∵CE平分∠BCA交BD于点E， ∴∠OCE∠ACB＝22.5°， ∴∠ODG＝∠OCE＝22.5°， ∴∠CDH＝∠CDO﹣∠ODG＝22.5°， ∴∠ODG＝∠CDH， ∵∠DOG＝∠DCH＝90°， ∴△DOG∽△DCH； （3）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OD＝OC， ∴∠DOG＝∠COE＝90°， ∴∠OEC+∠OCE＝90°， ∵DF⊥CE， ∴∠OEC+∠ODG＝90°， ∴∠ODG＝∠OCE， 在△DOG与△COE中， ， ∴△DOG≌△COE（ASA）， ∴OE＝OG； 过点B作BM∥AC交DH的延长线于点M， ∵CE平分∠BCO，DH⊥CE， ∴∠ECH＝∠OCE，∠CFH＝∠CFG＝90°， 在△CFG与△CFH中， ， ∴△CFG≌△CFH（ASA）， ∴∠CGF＝∠CHF， ∵BM∥AC， ∴∠M＝∠CGF， ∵∠CHF＝∠BHM， ∴∠BHM＝∠M， ∴BM＝BH， ∵四边形ABCD是正方形， ∴OB＝OD， ∵BM∥AC， ∴DG＝MG， ∴OGBM， ∴OEBH， ∴． 12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，CE⊥AB于点E，BC＝2，． （1）求AC的长； （2）求sin∠CDB的值． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线， ∴CD＝AD＝BDAB， ∴∠A＝∠ACD， ∴tan∠A＝tan∠ACD， 在Rt△ABC中，tan∠A，BC＝2， ∴AC＝2BC＝4， （2）由（1）可知：BC＝2，AC＝4， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB， ∴CD＝AD＝BDAB， ∵CE⊥AB于点E， ∴由三角形的面积公式得：S△ABCAB•CEAC•BC， ∴CE， 在Rt△CDE中，sin∠CDB． 13.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sinB，AD＝1． （1）求BC的长； （2）求tan∠DAE的值． 【解答】解：（1）在△ABC中，∵AD是BC边上的高， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°． 在△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AD＝1， ∴DC＝AD＝1． 在△ADB中，∵∠ADB＝90°，sinB，AD＝1， ∴AB3， ∴BD2， ∴BC＝BD+DC＝21； （2）∵AE是BC边上的中线， ∴CEBC， ∴DE＝CE﹣CD1， ∴tan∠DAE． 14.如图，在▱ABCD中，过A，B，C三点的⊙O交CD于点E，连结AE． （1）求证：△ADE是等腰三角形． （2）如图2，已知AD为⊙O的切线，连结AO并延长交BE于点G． ①求证：； ②若，求cosD的值． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠D＝∠B， ∵四边形AECB为圆的内接四边形， ∴∠AED＝∠B， ∴∠AED＝∠D， ∴AD＝AE， ∴△ADE是等腰三角形； （2）①证明：过点A作AH⊥DC于点H，如图， 由（1）知：AD＝AE， ∵AH⊥DC， ∴∠DAH＝∠EAHDAE． ∵AD为⊙O的切线， ∴OA⊥AD， ∴∠DAH+∠HAG＝90°． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD， ∵AH⊥DC， ∴AB⊥AH， ∴∠BAG+∠HAG＝90°， ∴∠DAH＝∠BAG， ∴∠BAGDAE； ②过点B作BF∥AE，交AG的延长线于点F，设AF交BC于点M，连接OB，如图， ∵BF∥AE， ∴△AEG∽△FBG， ∴， 设AE＝3k，则BF＝2k， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，BC＝AD， 由（1）知：AD＝AE， ∴BC＝AE＝3k． 由（2）①知：OA⊥AD， ∴OM⊥BC， ∴BM＝CMBC， ∴MFk， ∵∠BAGDAE，∠BAGBON， ∴∠BON＝∠DAE． ∵∠DAE+∠EAF＝90°， ∴∠BON+∠EOF＝90°． ∵BF∥AE， ∴∠EAF＝∠F， ∴∠BON+∠F＝90°，即∠OBF＝90°， ∵OF⊥BC， ∴△FBM∽△FOB， ∴， ∴， ∴FOk． ∴OM＝FO﹣FMk， ∴OA＝OBk， ∴AM＝OA+OMk， ∴AB3k． ∴cosB． ∵∠D＝∠B， ∴cosD． 15.如图1，⊙O为△ABC的外接圆，且AB＝BC，点D为圆外一动点，且满足BD＝BA，连结AD，交BC于点E，交⊙O于点F，连结BF． （1）若AD经过圆心O，AF＝5，BF＝3，求AB的长； （2）求证：BF平分∠DBC； （3）如图2，若BD∥AC，设DF：EF＝k，请用含k的代数式表示cosC． 【解答】（1）解：AD经过圆心O，如图， ∴AF为圆的直径， ∴∠ABF＝90°， ∵AF＝5，BF＝3， ∴AB4； （2）证明：∵AB＝BC， ∴∠BAC＝∠BCA， ∵∠BFA＝∠BCA， ∴∠BAC＝∠BFA． ∵BD＝BA， ∴∠BAD＝∠D， ∵∠FBC＝∠FAC＝∠BAC﹣∠BAD，∠FBD＝∠BFA﹣∠D， ∴∠FBC＝∠FBD， ∴BF平分∠DBC； （3）解：连接BO并延长交AC于点H，如图， 由（2）知：BF平分∠DBC， ∴k， 设BE＝a，则BD＝ka， ∴AB＝BC＝BD＝ka． ∴EC＝BC﹣BE＝（k﹣1）a， ∵BD∥AC， ∴△BDE∽△CAE， ∴k， ∴AC＝kCE＝k（k﹣1）a． ∵BA＝BC， ∴， ∴BH⊥AC，AH＝CHa， ∴cosC． 16.如图，在矩形ABCD中，E是边CD上的点（不与C，D重合），过A，D，E三点的圆交对角线BD于点F，交AB于点G，延长EF交AB于点H，连结AF，已知∠BFH＝∠BAF． （1）求证：△ADF为等腰三角形； （2）已知AB＝12，AH＝9，求BF的长； （3）若∠ADF＝α，求证：． 【解答】（1）证明：设过A，D，E三点的圆的圆心为O，连接AE， ∵四边形ABCD是矩形，点E是边CD上的点，⊙O交BD于点F， ∴∠ADE＝∠DAB＝90°， ∴AE是⊙O的直径， ∴∠AFH＝∠AFE＝90°， ∴∠AFD+∠BFH＝90°， ∵∠FAD+∠BAF＝90°，且∠BFH＝∠BAF， ∴∠AFD＝∠FAD， ∴AD＝FD， ∴△ADF为等腰三角形． （2）解：∵AB＝12，AH＝9， ∴BH＝AB﹣AH＝12﹣9＝3， ∵∠BFH＝∠BAF，∠FBH＝∠ABF， ∴△BFH∽△BAF， ∴， ∴BF6， ∴BF的长是6． （3）证明：连接FG， ∵∠DFG+∠DAG＝180°，且∠DAG＝90°， ∴∠BFG＝∠DFG＝90°， ∵∠AFH＝90°， ∴∠GFH＝∠AFD＝90°﹣∠AFG， 由（2）得△BFH∽△BAF， ∴∠BHF＝∠BFA， ∴180°﹣∠BHF＝180°﹣∠BFA， ∴∠GHF＝∠AFD， ∴∠GFH＝∠GHF， ∴HG＝FG， ∵∠BGF+∠ABD＝90°，∠ADF+∠ABD＝90°， ∴∠BGF＝∠ADF＝α， ∴cos∠BGF＝cosα， ∴， ∵BG＝BH+HG， ∴， ∴1， ∴． 17.单摆是一种能够产生往复摆动的装置．如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动（摆线的长度变化忽略不计）．如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，过点B作BD⊥OA于点D．当摆球运动至点C时，过点C作CE⊥OA于点E，（点O，A，B，C，D，E在同一平面内）． （1）若BD＝8，AD＝4，求OB的长； （2）若∠BOA＝46°，∠AOC＝28°，ED＝10cm，求OA的长．（sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53，结果精确到0.1cm） 【解答】解：（1）设OB长x，则OA＝x， ∵BD⊥OA， ∴∠BDO＝90°， ∴BD2+OD2＝OB2， ∴82+（x﹣4）2＝x2， 解得：x＝10． 答：OB的长为10； （2）设OA长rcm，则OB＝OC＝rcm， ∵CE⊥OA， ∴∠CEO＝90°， ∵∠AOC＝28°， ∴OE＝r•cos28°≈0.88rcm， 同理可得OD＝r•cos46°≈0.69rcm， ∵ED＝10cm， ∴0.88r﹣0.69r＝10， 解得：r≈52.6， ∴OA＝52.6（cm）． 答：OA的长约为52.6cm． 18.如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点A到BC所在直线的距离AC＝3m，∠CAB＝60°；停止位置示意图如图3，此时测得∠CDB＝37°（点C，A，D在同一直线上，且直线CD与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变． （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，） （1）求AB的长； （2）求物体上升的高度CE（结果精确到0.1m）． 【解答】解：（1）由题意得：∠BCA＝90°， ∵AC＝3m，∠CAB＝60°， 在Rt△ABC中，由cos∠A， 得：cos60°， ∴AB＝6m； （2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC3（m）， 在Rt△BCD中，sin∠CDB， ∴sin37°0.6， ∴BD＝5m， 由题意得，BC+AB＝BE+BD， ∴BE＝BC+AB﹣BD＝36﹣56﹣2（m）， ∴CE＝BC﹣BE＝3（6﹣2）＝56≈2.7（m）， 答：物体上升的高度约为2.7m． 19.为方便市民绿色出行，临沂市政府推出共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD均与地面l平行，车轮半径为32cm，∠BCD＝64°，坐垫E与点B的距离BE为15cm． （1）若AM∥BE，∠BAC＝50°，求∠MAC的度数； （2）根据经验，当坐垫E到CD的距离为人体腿长的时，坐骑比较舒适．小明的腿长约80cm，BC＝62cm，求调整后EB的长度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05） 【解答】解：（1）∵AB∥CD， ∴∠ABC＝∠BCD＝64°， 在△ABC中，∠ABC＝64°，∠BAC＝50°， ∴∠ACB＝180°﹣64°﹣50°＝66°， ∵AM∥BE， ∴∠MAC＝∠ACB＝66°， ∴∠MAC＝66°； （2）过点E作EF⊥CD，垂足为F，交直线AB于点G， 由题意得，CE＝BE+BC＝（BE+62）cm， 当坐骑比较舒适时，EF＝8064（cm）， ∵sin64°，即0.90， ∴EB9.1． 20.在学习三角函数知识后，李老师布置了一项综合实践作业，要求利用所学知识测量建筑物的高度．如图，圆圆在自家楼顶A处观测，测得对面一幢楼房顶部B处的仰角为37°，测得这幢楼房底部C处的俯角为30°．已知观测点A处距地面的高度AD为24米（图中点A，B，C，D均在同一平面内）． （1）求两幢楼房之间的水平距离CD（结果保留根号）． （2）求对面这幢楼房的高度BC（结果取整数）． （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，） 【解答】解：（1）过点A作AE⊥BC，垂足为E， 由题意得：EC＝AD＝24米，CD＝AE， 在Rt△AEC中，∠EAC＝30°， ∴AE24（米）， ∴AE＝CD＝24米， ∴两幢楼房之间的水平距离CD为24米； （2）在Rt△ABE中，∠BAE＝37°，AE＝24米， ∴BE＝AE•tan37°≈240.75＝18（米）， ∵CE＝24米， ∴CB＝BE+CE＝1824≈55（米）， ∴对面这幢楼房的高度BC约为55米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $