专题04一元一次不等式（组）10大压轴题型-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（浙教版）

专题04 一元一次不等式（组） 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 5 类型一、一元一次不等式错解问题 5 类型二、与一元一次不等式（组）有关的新定义型问题 8 类型三、绝对值型不等式（组） 14 类型四、分式方程与一元一次不等式（组）结合求参数问题 20 类型五、整式方程与不等式结合求参数问题 23 类型六、根据一元一次不等式（组）解集求参数 26 类型七、一元一次不等式解决实际问题 28 类型八、一元一次不等式组解决实际问题 33 类型九、整式方程与不等式（组）解决实际问题 36 类型十、分式方程与不等式（组）解决实际问题 43 压轴能力测评（10题） 48 1.不等式的定义 （1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． （2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 2.不等式的性质 （1）不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±m＞b±m； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜； （2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． 【规律方法】 1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c． 3.不等式的解集 （1）不等式的解的定义： 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． （2）不等式的解集： 能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集． （3）解不等式的定义： 求不等式的解集的过程叫做解不等式． （4）不等式的解和解集的区别和联系 不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内． 4.在数轴上表示不等式的解集 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”： 一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点； 二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【规律方法】不等式解集的验证方法 某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立． 5.一元一次不等式的定义 （1）一元一次不等式的定义： 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． （2）概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 6.解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 7.一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 8.由实际问题抽象出一元一次不等式 用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． 因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系． 9.一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 10.一元一次不等式组的定义 （1）一元一次不等式组的定义： 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． （2）概念解析 形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个． 11.解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 12.一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 13.由实际问题抽象出一元一次不等式组 由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目． 14.一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 类型一、一元一次不等式错解问题 例1．下面是小明解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得……第一步 去括号，得……第二步 移项，得……第三步 合并同类项，得……第四步 两边都除以5，得……第五步 (1)小明的解答过程是从第 步开始出错的，这一步正确的结果为 ，此步骤的依据是 ． (2)请你写出此题正确的解答过程，并将解表示在数轴上． 变式1-1．学习了“解一元一次不等式”后，杭杭同学解不等式的过程如下： 解：去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 两边都除以得： 杭杭的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程，并把解表示在数轴上． 变式1-2．下面是航航解不等式的过程： ，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 先阅读以上解题过程，然后解答下列问题 (1)航航的解题过程从第 步开始出现错误； (2)请你写出这个不等式的正确解法，并将解集在数轴上表示出来． 变式1-3．下列是某不等式组的部分求解过程，请认真阅读并解答： 解：解不等式①， 去括号，得.…………………第一步 移向，得.…………………第二步 合并同类项，得.……………………第三步 系数化为1，得.………………………第四步 (1)以上解不等式①的过程中，从第 步开始出现错误，直接写出正确的计算结果是 ，这一步的依据是 ； (2)将不等式①和不等式②的解集在如图的数轴上表示出来； (3)原不等式组的解集为 ； (4)此不等式组的最小整数解为 ． 类型二、与一元一次不等式（组）有关的新定义型问题 例2．定义一种新运算： ①若，则或； ②若，则； ③若，则的最小值为14； ④若关于的二元一次方程组的解为，则关于的方程组 的解满足：． 以上说法正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2-1．如果一个不等式（组）的解集中包含一个方程（组）的解，那么就称这个不等式（组）的解集为这个方程（组）的“船山范围”，例如：不等式的解集是，它包含了方程的解，因此是的“船山范围”． (1)下列不等式___________（填序号）的解集是方程的“船山范围”： ①；②；③． (2)若不等式组的解集是方程的“船山范围”，且方程的解为整数，求的值． (3)已知是方程的解，不等式组的解集是方程的“船山范围”，求的最小值． 变式2-2．我们把关于的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”． (1)请判断组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由； (2)若关于的组合是“有缘组合”，求的取值范围； (3)若关于的组合是“无缘组合”，求的取值范围． 变式2-3．若一个四位自然数P各个数位上的数字互不相同且均不为0，满足百位数字比千位数字大3，十位数字比个位数字大3，那么称这个四位数P为“举一反三数”，记P各个数位上的数字之和为． (1)最大的“举一反三数”为_______，最小的“举一反三数”为___________； (2)一个“举一反三数”A的千位数字为a，个位数字为b，另一个“举一反三数”B的千位数字为c，个位数字为d，若被9除余6，且是2的倍数，求的最小值． 类型三、绝对值型不等式（组） 例3．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离，因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． （1）发现问题：代数式的最小值是多少？ （2）探究问题：如图①，点，，分别表示数，2，，． 的几何意义是线段与的长度之和， 当点在线段上时，；当点在点的左侧或点的右侧时，， 的最小值是3． 解决问题： ①利用上述思想方法及图②解不等式：． ②当为何值时，代数式的最小值是2？ ③当为何值时，图①中的有最大值？最大值为多少？ 变式3-1．解决含有绝对值符号的问题，通常根据绝对值符号里所含式子的正负性，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值符号的问题再解答．例如：解不等式．解： ①当，即时，原式化为：，解得，此时，不等式的解集为；②当，即时，原式化为：，解得，此时，不等式的解集为；综上可知，原不等式的解集为或． (1)请用以上方法解不等式关于的不等式：； (2)已知关于的二元一次方程组的解满足，求整数的和； (3)已知关于的方程组满足方程组的未知数的值为整数，系数也为整数且．求满足条件的和的值． 变式3-2．在数学学习过程中，自学是一种非常重要的学习方式，通过自学不仅可以获得新知，而且可以培养和锻炼我们的思维品质．请你通过自学解答下面的问题：解决含有绝对值符号的问题，通常根据绝对值符号里所含式子的正负性，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值符号的问题再解答．例如：解不等式．解：①当，即时，原式化为：，解得，此时，不等式的解集为；②当，即时，原式化为：，解得，此时，不等式的解集为；综上可知，原不等式的解集为或． (1)请用以上方法解不等式关于的不等式： (2)已知关于、的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求值； (3)已知关于、的方程组满足方程组的未知数x的值为整数，系数也为整数且．求满足条件的和的值． 变式3-3．阅读下列材料并回答问题： 我们知道，绝对值的几何意义是表示在数轴上一个数对应的点与另一个特定点的距离．例如，可以解释为数轴上对应的点与对应的点之间的距离．基于这一概念，我们可以解决一系列与绝对值相关的数学问题，如方程和不等式的求解． 例1：解方程．从绝对值的几何意义出发，我们寻找数轴上与原点距离为5的点．显然，这些点对应的数为5和，因为它们到原点的距离都是5．因此，该方程的解为或． 例2：解不等式，如图1，在数轴上找出的解，即到数1对应的点的距离为2的点对应的数为，3，则的解集为或． 例3：解方程．由绝对值的几何意义知，该方程表示在数轴上与数1和数对应的点的距离之和为5的点对应的的值．在数轴上，1和的距离为3，满足方程的对应的点在1的右边或的左边，若对应的点在1的右边，由图2可以看出，同理，若对应的点在-2的左边，可得，故原方程的解是或．    回答问题： (1)解方程：； (2)解不等式：； (3)解方程：； (4)若对任意的都成立，求的取值范围． 类型四、分式方程与一元一次不等式（组）结合求参数问题 例4．若关于x的一元一次不等式组恰好有3个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（    ） A．6 B．9 C． D．2 变式4-1．已知关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值的和是 ． 变式4-2．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为 ． 变式4-3．关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是多少？ 类型五、整式方程与不等式结合求参数问题 例5．已知的解集是，则的解集为（    ） A． B． C． D． 变式5-1．已知关于x的方程的解为非负数，则m的范围为 ． 变式5-2． 关于x的方程的方程 的解满足． (1)求a的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解为．求整数a的值． 变式5-3．已知关于，的方程组的解满足，，求实数的取值范围． 类型六、根据一元一次不等式（组）解集求参数 例6．已知关于的不等式组的解集中恰好有两个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式6-1．若关于x的不等式组的所有整数解的和为12，则整数a的值为 ． 变式6-2．已知不等式组的整数解是，，，，确定字母的取值范围． 变式6-3．已知不等式组 (1)若该不等式组的解集为，求 a的值； (2)若该不等式组无解，求 a的取值范围． 类型七、一元一次不等式解决实际问题 例7．又到年末，某公司决定采购整箱的苹果、脐橙和柚子来奖励员工以及回馈客户，其中每箱苹果元，每箱脐橙元，每箱柚子元．公司采购的所有水果的箱数之和不超过箱，购买的苹果不低于箱，且购买脐橙的费用是购买苹果费用的倍，购买柚子的费用是购买苹果费用的倍．公司把采购的所有水果均用于奖励员工和回馈客户，最后发现奖励给员工与回馈给客户的同种类型的水果的数量之差不超过箱，且奖励给员工的所有水果的总费用与回馈给客户的所有水果的总费用相同，则公司奖励员工的所有水果的箱数总和最多为 箱． 变式7-1．某商家在甲、乙、丙三处批发市场购进A，B，C三种商品，已知同种商品在不同批发市场的批发价均相同，6件B的总价与9件C的总价相同．已知在甲处购买30个A，20个B，20个C，在乙处购买A，B，C三种商品的数量分别为在甲处购买的数量的基础上增加，同时，在乙处购买A，B，C三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多，在丙处购买三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多．已知在丙处购买每种商品的数量不低于50，但不超过150，则商家在丙处购买三种商品的数量和最少是 ． 变式7-2．我市某水果生产基地，用名工人进行采摘或加工水果，每名工人只能做其中一项工作．采摘的工人每人可以采摘水果千克；加工罐头的工人每人可加工千克．加工水果数量不能多于采摘数量．设有名工人进行水果采摘．水果的销售方式有两种：一种是可以直接出售；另一种是可以将采摘的水果加工成罐头出售．直接出售每吨获利元；加工成罐头出售每吨获利元． (1)①加工罐头的工人为 人，可以加工罐头 千克；（用含的式子表示） ②采摘水果的工人至少多少人？ (2)直接出售和加工成罐头出售的利润如表所示： 销售方式 直接出售 加工成罐头销售 利润（元/千克） 要使直接出售所获利润不超过总利润的，请问应如何分配工人？所获最大利润是多少？ 变式7-3．用列方程（组）或不等式解决下列问题： 受“新冠病毒”的影响，医院的呼吸机严重紧缺．为了战胜“疫情”，某公司抓紧制造、两种机械设备生产呼吸机，每台种设备的成本比每台种设备的成本多2万元，公司若投入50万元可生产、两种设备各5台．请解答下列问题： (1)、两种设备每台的成本分别是多少万元？ (2)若、两种设备每台的售价分别是6万元、9万元，公司决定生产两种设备共50台，计划销售后获利不低于103万元 ①求最多可生产种设备多少台； ②由于受到资金等因素影响，公司生产种设备的产量不低于34台．销售前，公司决定从这批设备中拿出一部分，赠送给非洲某贫困国家，剩余设备全部售出，公司仍获利30万元，赠送的设备采用水路运输和航空运输两种方式，共运输4次，水路运输每次运4台种设备，航空运输每次运2台种设备（运输过程中产生的费用由该国承担）．请求出水路运输的次数． 类型八、一元一次不等式组解决实际问题 例8．某校七年级有三个班组织数学竞赛、英语竞赛和作文竞赛，各项竞赛均取前三名（每项竞赛的每一名次都只有一人），第一名可得5分，第二名可得3分，第三名可得1分．已知七（1）班和七（2）班总分相等，并列第一名，且七（2）班进入前三名的人数是七（1）班的两倍，那么七（3）班的总分是 分． 变式8-1．小明沿街心公园的环形跑道从起点出发按逆时针方向跑步，他用软件记录了跑步的轨迹，他每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．已知该环形跑道一圈的周长大于．    （1）小明恰好跑3圈时，路程是否超过了？答： （填“是”或“否”）； （2）小明共跑了且恰好回到起点，那么他共跑了 圈． 变式8-2．为了进一步落实“双减”工作，某中学准备从商场一次性购买一批足球和篮球共50个用于开展课后服务训练，每个篮球300元，每个足球200元，要求总费用不超过12800元，现有甲、乙两商店以同样价格出售，同时又各自推出不同的优惠方案：在甲店购买篮球按原价收费，足球不优惠；在乙店购买篮球不优惠，但购买足球按原价收费；则学校到哪家商店购买篮球和足球花费少？ 变式8-3．某体育拓展中心的门票每张10元，一次性使用考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的顾客，该拓展中心除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”（个人年票从购买日起，可供持票者使用一年）的售票方法．年票分A、B两类：A类年票每张120元，持票者可不限次进入中心，且无需再购买门票；B类年票每张60元，持票者进入中心时，需再购买门票，每次2元． （1）小丽计划在一年中花费80元在该中心的门票上，如果只能选择一种购买门票的方式，她怎样购票比较合算？ （2）小亮每年进入该中心的次数约20次，他采取哪种购票方式比较合算？ （3）小明根据自己进入拓展中心的次数，购买了A类年票，请问他一年中进入该中心不低于多少次？ 类型九、整式方程与不等式（组）解决实际问题 例9．九月公园购进A、B、C三种绿植进行栽种，A、C每棵进价之比为，A、B购买数量之比为，A、B、C购买成本之比为．十月公园管理者发现，B、C每棵进价分别下降，A每棵进价不变，于是公园按最新进价又采购一批A、B、C三种绿植，相比九月，十月A、C增加的数量之比为，B的数量有所增加但增加不超过10棵，十月B的数量占当月采购总数量的．若九月、十月绿植购买的总成本之比为，则这两个月C购买的总数量为 棵． 变式9-1．三峡之巅·诗橙奉节，奉节脐橙是重庆市奉节县特产，中国地理标志产品，营养丰富，橙香味浓．每年12月是奉节脐橙大批量上市的时候，奉节脐橙品种较多，主要包含纽荷尔脐橙、福本脐橙、奉园脐橙．某超市准备购进纽荷尔脐橙、福本脐橙、奉园脐橙，三种品种的橙子共1000件（每件均为同一品种的脐橙），其中奉园脐橙每件12个，福本脐橙每件8个，纽荷尔脐橙每件6个．为了推广，超市还计划将三个品种的脐橙各取出来，拆开后重新组合包装，制成甲、乙两种套装进行特价销售：甲套装为每件奉园脐橙4个、福本脐橙4个；乙套装为每件奉园72-1脐橙4个、纽荷尔脐橙2个，取出的件数和套装的件数均为正整数，若纽荷尔脐橙的进货量（件）不低于总进货量（件）的，则福本脐橙最多购进多少件？ 变式9-2．用若干张规格为的大纸板剪裁成图①所示的型长方形纸板和型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒．已知一张大纸板可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板． (1)制作一个横式纸盒需要型长方形纸板 张，制作一个竖式纸盒需要型长方形纸板 张． (2)若用8张大纸板裁成型长方形纸板，用3张大纸板剪裁型正方形纸板，且裁成的、两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？ (3)如果制作横式纸盒和竖式纸盒均为个，若可用于剪裁的大纸板不超过18张，求的最大值． (4)如果一张大纸板既可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板，也可以同时裁出若干张型长方形纸板和型正方形纸板．若要用20张大纸板，剪裁后再制作成横式纸盒，在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒 个． 变式9-3．根据素材，完成任务． 如何设计雪花模型材料采购方案？ 素 材 一 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型．已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为与． 素 材 二 某商店的店内广告牌如右所示．5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根． 1．短管子售价：a元/根，长管子售价：元/根 2．6月1日起，购买3根长管子赠送1根短管子． 3．本店库存数量有限，长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，先到先得！ 素 材 三 6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任 务 一 分析雪花模型结构 求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？ 任 务 二 确定采购费用 试求a的值并求出假如6月只制作一个甲款雪花模型的材料采购费． 任 务 三 拟定采购方案 求出所有满足条件的采购方案，并指出哪种方案得到的雪花总数最多． 类型十、分式方程与不等式（组）解决实际问题 例10．阳光合作社在党委政府的精心指导下，大力发展生态水果蓝莓，助推乡村经济发展．在蓝莓上市期间，某水果店第一次用元购进蓝莓销售；由于蓝莓深受人们喜欢，第一次购进的蓝莓很快售完．该水果店又用元购进这种蓝莓，所购数量与第一次购进数量相同，但每千克的价格比第一次购进的贵了元． (1)该水果店第一次购进蓝莓的进价为多少元/千克？ (2)假设该水果店两次购进的蓝莓按相同的售价全部售完，要使总利润不低于元，则每千克蓝莓的售价至少是多少元？ 变式10-1．为迎接春节，某商场计划购进甲、乙两种品牌的恤衫共100件．已知乙品牌每件的进价比甲品牌每件的进价贵30元，且用6000元购买甲品牌的件数恰好是用6000元购买乙品牌件数的2倍． (1)甲、乙两种品牌每件的进价分别是多少元？ (2)商场决定购进甲、乙两种品牌恤衫的资金不少于3600元，且购进甲品牌恤衫至少78件，求该商场有哪几种进货方案； (3)在（2）的条件下，商场决定甲品牌恤衫以每件50元出售，乙品牌恤衫以每件100元出售，若该商场推出促销活动：顾客购买一件恤衫持购物票据可抽奖一次，每人限购一件，一等奖共有1个，所购恤衫按标价返款100%；二等奖共有3个，所购恤衫按标价返款50%．该商场将这100件恤衫全部售出后共获利2220元，直接写出抽到的二等奖中，购买的乙种品牌恤衫有多少件． 变式10-2．为了防疫，师大一中需购买甲、乙两种品牌的温度枪，已知甲品牌温度枪的单价比乙品牌温度枪的单价低40元，且用元购买甲品牌温度枪的数量是用元购买乙品牌温度枪的数量的倍． (1)求甲、乙两种品牌温度枪的单价． (2)若学校计划购买甲、乙两种品牌的温度枪共个，且乙品牌温度枪的数量不小于甲品牌温度枪数量的2倍，购买两种品牌温度枪的总费用不超过元．设购买甲品牌温度枪m个，则该校共有几种购买方案？ (3)在（2）条件下，采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少？ 变式10-3．下面是嘉淇学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并解决相应的问题． 题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元． 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系：甲商品数量=乙商品数量 解法二 设…… 等量关系：甲商品进价-乙商品进价 (1)解法一所列方程中的表示_____（填序号），解法二所列方程中的表示_____（填序号）； ①甲种商品每件进价元；②乙种商品每件进价元；③甲种商品购进件 (2)请你选择其中的一种解法，解方程并解决题目中提出的问题． (3)商店计划用不超过1440元的资金购进甲、乙两种商品共40件，则至多购进甲种商品多少件？ 1．若关于的方程的解为自然数，且关于的不等式组无解，则符合条件的整数的值的和为 （   ） A．5 B．2 C．4 D．6 2．若关于的不等式组有且只有4个整数解，关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的和为 ． 3．解不等式； 4．化简，再在不等式的非负整数解中选取一个合适的解作为的取值，代入求值． 5．若不等式的解集与关于的不等式的解集相同，求的值． 6．我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”______；“整点”为______； (2)若不等式组的“长度”，求a的取值范围； (3)若不等式组的“长度”，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 7．若关于x、y的方程组的解满足，求m的取值范围． 8．2024年4月在北京师大二附中西城实验学校举办的跳蚤市场活动中，初一7班的小何同学购进2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和残奥会吉祥物“雪容融”作为本次活动的卖品进行销售，售卖所得将进行爱心捐赠，帮助贫困山区的孩子．第一天小何同学将所带的1个“冰墩墩”和3个“雪容融”全部售出，销售总额为96元，其中“冰墩墩”的售价比“雪容融”售价高8元． (1)求每个“冰墩墩”和“雪容融”的售价； (2)看到很多同学都非常喜欢“冰墩墩”和“雪容融”，为了捐赠更多，第二天小何同学又带了这两种吉祥物进行售卖，共卖出10个，若这次销售总额不少于268元，求“冰墩墩”至少销售了多少个？ 9．某家具店经销A、B两种品牌的儿童床，已知A品牌儿童床的售价为4200元，利润率为，B品牌儿童床的成本价为4200元，而每张B品牌儿童床的售价在成本的基础上增长了． (1)该店销售记录显示，四月份销售两种儿童床共20张，且销售A品牌儿童床的总利润与B品牌儿童床总利润相同，求该店四月份售出两种品牌的儿童床的数量； (2)根据市场调研，该店五月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌儿童床张数不低于A品牌儿童床张数的，而用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元，请通过计算设计所有可能的进货方案： (3)在（2）的条件下，该店打算将五月份按计划购进的30张儿童床全部售出后，所获得利润的用于购买甲、乙两款教学仪器捐赠给某希望小学．已知购买甲款仪器每台300元，购买乙款仪器每台130元，且所捐的钱恰好用完，求该店捐赠甲，乙两款仪器的数量． 10．冰城某店欲购进和两种品牌的雪地胎，已知种的进价比种进价每条少元，经计算，用万元购进的种雪地胎的数量与万元购进的种雪地胎的数量相同，请解答下列问题： (1)这两种雪地胎每个进价多少元？ (2)若该店欲购进两种品牌雪地胎共个，投入的总资金不超过元，且种品牌雪地胎不超过个（假设每辆车一次换个雪地胎），则该店有哪几种进货方案？ (3)在()条件下，若和两种雪地胎的售价分别是每个元和元，该店从这个雪地胎中拿出个两种雪地胎奖励优秀员工，其余雪地胎全部售出后仍获利元，请直接写出这个雪地胎中种雪地胎的个数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一元一次不等式（组） 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 5 类型一、一元一次不等式错解问题 5 类型二、与一元一次不等式（组）有关的新定义型问题 8 类型三、绝对值型不等式（组） 14 类型四、分式方程与一元一次不等式（组）结合求参数问题 20 类型五、整式方程与不等式结合求参数问题 23 类型六、根据一元一次不等式（组）解集求参数 26 类型七、一元一次不等式解决实际问题 28 类型八、一元一次不等式组解决实际问题 33 类型九、整式方程与不等式（组）解决实际问题 36 类型十、分式方程与不等式（组）解决实际问题 43 压轴能力测评（10题） 48 1.不等式的定义 （1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． （2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 2.不等式的性质 （1）不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±m＞b±m； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜； （2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． 【规律方法】 1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c． 3.不等式的解集 （1）不等式的解的定义： 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． （2）不等式的解集： 能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集． （3）解不等式的定义： 求不等式的解集的过程叫做解不等式． （4）不等式的解和解集的区别和联系 不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内． 4.在数轴上表示不等式的解集 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”： 一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点； 二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【规律方法】不等式解集的验证方法 某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立． 5.一元一次不等式的定义 （1）一元一次不等式的定义： 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． （2）概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 6.解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 7.一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 8.由实际问题抽象出一元一次不等式 用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． 因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系． 9.一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 10.一元一次不等式组的定义 （1）一元一次不等式组的定义： 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． （2）概念解析 形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个． 11.解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 12.一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 13.由实际问题抽象出一元一次不等式组 由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目． 14.一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 类型一、一元一次不等式错解问题 例1．下面是小明解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得……第一步 去括号，得……第二步 移项，得……第三步 合并同类项，得……第四步 两边都除以5，得……第五步 (1)小明的解答过程是从第 步开始出错的，这一步正确的结果为 ，此步骤的依据是 ． (2)请你写出此题正确的解答过程，并将解表示在数轴上． 【答案】(1)一；；不等式的性质2 (2)过程见解析，数轴见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集： （1）根据解一元一次不等式的基本步骤解答即可； （2）求出不等式的解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】（1）解：去分母时，常数项漏乘最小公倍数，故小明的解答过程是从第一步开始出错的，这一步正确的结果为，此步骤的依据是不等式的性质2， 故答案为：一；；不等式的性质2； （2） ， ， ， ， ， 在数轴上表示为： ． 变式1-1．学习了“解一元一次不等式”后，杭杭同学解不等式的过程如下： 解：去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 两边都除以得： 杭杭的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程，并把解表示在数轴上． 【答案】小明的解答过程错误，见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，掌握解一元一次不等式的步骤是解题关键．根据解一元一次不等式的步骤“去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1”求解，再将解集在数轴上表示即可． 【详解】解：有错误， ， 去分母：， 去括号：， 移项、合并：， 系数化为1：， 把解集表示在数轴上如下． 变式1-2．下面是航航解不等式的过程： ，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 先阅读以上解题过程，然后解答下列问题 (1)航航的解题过程从第 步开始出现错误； (2)请你写出这个不等式的正确解法，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)一 (2)，数轴表示见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集： （1）第一步去分母时等式右边的数字3没有乘以6，据此可得答案； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，航航的解题过程从第一步开始出现错误的，原因是去分母时不等式左边的数字3没有乘以6， 故答案为：一； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 数轴表示如下所示： 变式1-3．下列是某不等式组的部分求解过程，请认真阅读并解答： 解：解不等式①， 去括号，得.…………………第一步 移向，得.…………………第二步 合并同类项，得.……………………第三步 系数化为1，得.………………………第四步 (1)以上解不等式①的过程中，从第 步开始出现错误，直接写出正确的计算结果是 ，这一步的依据是 ； (2)将不等式①和不等式②的解集在如图的数轴上表示出来； (3)原不等式组的解集为 ； (4)此不等式组的最小整数解为 ． 【答案】(1)第四；；不等式的性质 (2)见解析 (3) (4)0 【分析】本题考查了解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． （1）根据不等式的基本性质，即可解答； （2）将不等式①和不等式②的解集在如图的数轴上表示出来即可； （3）根据在数轴上表示出来解集，求出不等式组的解集即可； （4）求出不等式组的最小整数解即可． 【详解】（1）以上解不等式①的过程中，从第第四步开始出现错误，直接写出正确的计算结果是，这一步的依据是不等式的性质； 故答案为：第四；；不等式的性质； （2）解不等式②得：， 解集表示在数轴上为： （3）原不等式组的解集为， 故答案为：； （4）此不等式组的最小整数解为0． 故答案为：0 类型二、与一元一次不等式（组）有关的新定义型问题 例2．定义一种新运算： ①若，则或； ②若，则； ③若，则的最小值为14； ④若关于的二元一次方程组的解为，则关于的方程组 的解满足：． 以上说法正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】①分类讨论当时和当时，结合新定义的运算法则计算即可判断；②由绝对值的非负性可知．再分类讨论当时和当时，化简绝对值求解即可；③解不等式得：，即得出，，，结合新定义的运算法则可求出 ．再分类讨论当时，即时和当时，即时，化简绝对值求解即可；④由二元一次方程组的解的定义可求出a和b的值，结合完全平方公式可将原方程组改为，再根据平方的非负性结合新定义的运算法则计算即可． 【详解】解：①当时，即， ∴， 解得：； 当时，即， ∴， 解得：，不符合题意， 综上可知若，则，故①错误； ②∵， ∴， ∴． 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：， 综上可知若，则或，故②错误； ③∵， ∴，或，， 解得：． ∴，，， ∴， ∴． 当时，即时，， ∴此时当时有最小值，为； 当时，即时，． 综上可知若，则的最小值为14，故③正确； ④将代入，得：， ∴原方程组为， ∴． ∵，，，，，，， ∴， ， ， ， ∴原方程为， 解得：， ∴，故④错误． 综上可知正确的只有③． 故选A． 【点睛】本题考查新定义运算，化简绝对值，解不等式和不等式组，二元一次方程组的解和解二元一次方程组，完全平方公式的应用，分类讨论思想的运用．理解题意，掌握新定义的运算法则是解题关键． 变式2-1．如果一个不等式（组）的解集中包含一个方程（组）的解，那么就称这个不等式（组）的解集为这个方程（组）的“船山范围”，例如：不等式的解集是，它包含了方程的解，因此是的“船山范围”． (1)下列不等式___________（填序号）的解集是方程的“船山范围”： ①；②；③． (2)若不等式组的解集是方程的“船山范围”，且方程的解为整数，求的值． (3)已知是方程的解，不等式组的解集是方程的“船山范围”，求的最小值． 【答案】(1)① (2) (3)3 【分析】本题主要考查了二元一次方程，一元一次方程和不等式组， （1）分别解不等式和解一元一次方程，再根据“船山范围”的定义即可判断； （2）解不等式组得出，再根据题意得到方程的解为，求出方程的解得到，进而求解即可； （3）解不等式组得出，再根据“船山范围”的定义得出，由可知，代入得，结合的取值可得答案． 【详解】（1）由题意，方程的解为：， ①不等式的解集为：， ②不等式的解集为：， ③不等式的解集为：， 不等式①的解集是方程的“船山范围”； （2）由题意，解不等式组得： ∵不等式组的解集是方程的“船山范围”，且方程的解为整数， ∴方程的解为 解方程得， ∴ 解得； （3）由题意，解不等式组得：． 是方程的解，不等式组的解集是方程的“船山范围”， ， ∵， ， ， ， ， ∴， 当时，有最小值为3． 变式2-2．我们把关于的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”． (1)请判断组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由； (2)若关于的组合是“有缘组合”，求的取值范围； (3)若关于的组合是“无缘组合”，求的取值范围． 【答案】(1)是“无缘组合”，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）分别解方程和不等式，判定是否符合定义； （2）分别解方程和不等式，根据方程的解在不等式的解集范围内确定的取值范围； （3）分别解方程和不等式，根据方程的解不在不等式的解集范围内确定的取值范围. 【详解】（1）解方程，得， 解不等式，得， 不在范围内， 组合是“无缘组合”． （2）解方程，得， 解不等式，得， 关于的组合是“有缘组合， 在范围内， （3）解方程，得， 解不等式，得， 关于的组合是“无缘组合”， ， 解得． 变式2-3．若一个四位自然数P各个数位上的数字互不相同且均不为0，满足百位数字比千位数字大3，十位数字比个位数字大3，那么称这个四位数P为“举一反三数”，记P各个数位上的数字之和为． (1)最大的“举一反三数”为_______，最小的“举一反三数”为___________； (2)一个“举一反三数”A的千位数字为a，个位数字为b，另一个“举一反三数”B的千位数字为c，个位数字为d，若被9除余6，且是2的倍数，求的最小值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查整式的加减，列代数式，解不等式组； （1）设““举一反三数”的千位数字为，个位数字为，则百位数字为，十位数字为，表示出这个数，再结合“举一反三数”的定义求出，，再求最大值和最小值即可； （2）分别表示出，，，，根据被9除余6，得到，根据是2的倍数，得到，最后计算，当当最小，最大时有最小值，据此求解即可． 【详解】（1）解：设“举一反三数”的千位数字为，个位数字为，则百位数字为，十位数字为， ∴这个“举一反三数”为， ∵四位自然数P各个数位上的数字互不相同且均不为0， ∴，，，， 解得，， ∴当，时有最大的“举一反三数”，为； 当，时有最小的“举一反三数”，为； 故答案为：，； （2）解：一个“举一反三数”A的千位数字为a，个位数字为b，则百位数字为，十位数字为，，，，， 另一个“举一反三数”B的千位数字为c，个位数字为d，则百位数字为，十位数字为，，，，， ∵被9除余6， ∴是的倍数， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∵是2的倍数， ∴， ∴， 解得，即， ∴ ， ∴当最小，最大时的最小值， ∵，，， ∴，解得， 同理求得， ∴当，时有最小值，此时． 类型三、绝对值型不等式（组） 例3．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离，因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． （1）发现问题：代数式的最小值是多少？ （2）探究问题：如图①，点，，分别表示数，2，，． 的几何意义是线段与的长度之和， 当点在线段上时，；当点在点的左侧或点的右侧时，， 的最小值是3． 解决问题： ①利用上述思想方法及图②解不等式：． ②当为何值时，代数式的最小值是2？ ③当为何值时，图①中的有最大值？最大值为多少？ 【答案】①x取值范围为或；②当a为或时，代数式的最小值是2；③当时，有最大值，最大值为3 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，一元一次方程的应用，数轴，绝对值等知识点， ①根据已知方法即可确定不等式的解集范围； ②根据绝对值几何意义即可确定a的值； ③通过分析点P在数轴上位置来确定的最大值即可． 熟练掌握通过数轴上点之间的距离来分析问题是解决此题的关键． 【详解】①如图所示， 当满足，表示到和1距离之和大于4的范围， ∵， ∴当x在和1之间时，距离之和为4，不满足题意， ∴当x在的左边时，， ∴， 当x在1的右边时，， ∴ ∴x的取值范围为或； ②∵ 表示x到的距离和x到的距离之和， ∴， ∴或 ∴或 当a为或时，代数式的最小值是2； ③如图，点A，B，P分别表示数，2，，， 由题意知，， 当点在线段上（即）时，，其值在到3之间； 当点在点的左侧或和点A重合（即）时，， 当点在点的右侧或和点B重合（即）时，， ∴当时，有最大值，最大值为3． 变式3-1．解决含有绝对值符号的问题，通常根据绝对值符号里所含式子的正负性，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值符号的问题再解答．例如：解不等式．解： ①当，即时，原式化为：，解得，此时，不等式的解集为；②当，即时，原式化为：，解得，此时，不等式的解集为；综上可知，原不等式的解集为或． (1)请用以上方法解不等式关于的不等式：； (2)已知关于的二元一次方程组的解满足，求整数的和； (3)已知关于的方程组满足方程组的未知数的值为整数，系数也为整数且．求满足条件的和的值． 【答案】(1)或 (2) (3)或， 【分析】本题主要考查了绝对值方程的解法，绝对值的性质，解一元一次不等式与二元一次方程组． （1）仿照例题，分情况讨论，分别解一元一次不等式，即可求解； （2）根据方程组的特征得出，根据题意可得，进而按照（1）的方法解不等式，即可得到m的取值范围，进而即可解答； （3）将方程组中两方程相减，进而用表示，再结合未知数的值为整数，系数也为整数且，便可得出结果． 【详解】（1）解：①当时，即时， 原式化为：， 解得：，此时，不等式的解集为； ②当时，即时， 原式化为： 解得：，此时，不等式的解集为； 综上可知，原不等式的解集为或 （2）解： 得， ∵， ∴， ①当时，即时， 原式化为：， 解得：，此时，不等式的解集为； ②当时，即时， 原式化为： 解得：，此时，不等式的解集为； 综上可知，原不等式的解集为， ∵为整数， ∴，，，，1， 它们的和为． （3）解： ， 得，， ∴， ∴， ∵未知数的值为整数，系数也为整数且， ∴，， ∴或，． 变式3-2．在数学学习过程中，自学是一种非常重要的学习方式，通过自学不仅可以获得新知，而且可以培养和锻炼我们的思维品质．请你通过自学解答下面的问题：解决含有绝对值符号的问题，通常根据绝对值符号里所含式子的正负性，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值符号的问题再解答．例如：解不等式．解：①当，即时，原式化为：，解得，此时，不等式的解集为；②当，即时，原式化为：，解得，此时，不等式的解集为；综上可知，原不等式的解集为或． (1)请用以上方法解不等式关于的不等式： (2)已知关于、的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求值； (3)已知关于、的方程组满足方程组的未知数x的值为整数，系数也为整数且．求满足条件的和的值． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或， 【分析】本题主要考查了绝对值方程的解法，绝对值的性质，解一元一次不等式，二元一次方程组； （1）仿照例题，分情况讨论，分别解一元一次不等式，即可求解； （2）根据方程组的特征得出，根据题意可得，进而按照（1）的方法解不等式，即可求解． （3）将方程组中两方程相减，进而用表示，再结合未知数的值为整数，系数也为整数且，便可得出结果； 【详解】（1）解：①当时，即时， 原式化为：， 解得：，此时，不等式的解集为； ②当时，即时， 原式化为： 解得：，此时，不等式的解集为； 综上可知，原不等式的解集为或 （2） ①+②得， ∴ ∵， ∴， ①当时，即时， 原式化为：， 解得：，此时，不等式的解集为； ②当时，即m时， 原式化为： 解得：，此时，不等式的解集为； 综上可知，原不等式的解集为， ∵为正整数， ∴或 （3）解： 得， ∴ ∴ ∵未知数的值为整数，系数也为整数且， ∴， ∴或， 变式3-3．阅读下列材料并回答问题： 我们知道，绝对值的几何意义是表示在数轴上一个数对应的点与另一个特定点的距离．例如，可以解释为数轴上对应的点与对应的点之间的距离．基于这一概念，我们可以解决一系列与绝对值相关的数学问题，如方程和不等式的求解． 例1：解方程．从绝对值的几何意义出发，我们寻找数轴上与原点距离为5的点．显然，这些点对应的数为5和，因为它们到原点的距离都是5．因此，该方程的解为或． 例2：解不等式，如图1，在数轴上找出的解，即到数1对应的点的距离为2的点对应的数为，3，则的解集为或． 例3：解方程．由绝对值的几何意义知，该方程表示在数轴上与数1和数对应的点的距离之和为5的点对应的的值．在数轴上，1和的距离为3，满足方程的对应的点在1的右边或的左边，若对应的点在1的右边，由图2可以看出，同理，若对应的点在-2的左边，可得，故原方程的解是或．    回答问题： (1)解方程：； (2)解不等式：； (3)解方程：； (4)若对任意的都成立，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 (4) 【分析】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）根据题意可以求得方程的解； （2）根据题意可以求得不等式得解集； （3）讨论的不同取值范围可以求得方程的解． （4）原问题转化为：大于或等于最大值，据此求解． 【详解】（1）解：解方程，容易看出，在数轴上与距离为7的点的对应数为，3，即该方程的解为或； （2）解：解不等式， 如图3，在数轴上找出的解，即到3的距离为4的点对应的数为，7，则的解集为或．    （3）解：， 当时， ， 解得； 当时， ， 在时，不能使得成立； 当时， ， 解得， 故的解是或． （4）解：原问题转化为大于或等于的最大值． 当时，应该恒等于； 当时，随的增大而减小， 即小于4大于； 当时，， 即应该恒等于4． 综上所述，的最大值为4， 故． 类型四、分式方程与一元一次不等式（组）结合求参数问题 例4．若关于x的一元一次不等式组恰好有3个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（    ） A．6 B．9 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组，解分式方程是解题的关键．先解一元一次不等式组，根据不等式组的解集恰好有3个负整数解，求出的范围，再解分式方程，根据分式方程有非负整数解，确定的值即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：， 不等式组的解集恰好有3个整数解， ， ， ， ， 解得：， 分式方程有非负整数解， ，为整数且， 符合条件的所有整数的值为：，7， 符合条件的所有整数的和为：6， 故选：A． 变式4-1．已知关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程、一元一次不等式组，先分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集得到；再解分式方程，根据分式方程有非负整数解得到且，进而确定符合题意的m的值即可得到答案． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式得， ∵关于x的不等式组的解集为， ∴，解得， 关于y的分式方程，去分母得：， 去括号得：， 解得：， ∵关于的分式方程有非负整数解， ∴且， ∴且， ∴且， ∴在且范围内，且使是非负整数的的值可以为，，，， ∴所有满足条件的整数的值的和是． 故答案为：． 变式4-2．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】根据不等式组无解确定a的取值范围，再根据分式方程的整数解确定a的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论．本题考查了不等式组的无解、分式方程的整数解，解决本题的关键是根据不等式组的无解及分式方程的整数解确定a的取值范围． 【详解】解：∵ ， 解不等式①得：； 解不等式②得， ∵不等式组无解， ∴， 解得； ∵， 去分母得：， 整理，得， ∵方程有整数解， ∴，，， 解得，，， ∵， ∴符合题意的整数a的值为， ∵是增根， 此时， 解得， ∴符合条件的所有整数a为，它们的和是， 故答案为：． 变式4-3．关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解一元一次不等式组，把分式方程与一元一次不等式的解分别求出，再根据题意求的范围，最后确定的整数解，再相加即可． 【详解】解：关于的分式方程化为整式方程是：， 解得：， 关于的分式方程的解为正数， ， ， 关于的分式方程可能会产生增根2， ， ， 解关于的一元一次不等式组得：， 关于的一元一次不等式组有解， ， ， 综上，且， 为整数， 或或0或1或2， 满足条件的整数的值之和是：． 类型五、整式方程与不等式结合求参数问题 例5．已知的解集是，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式组与方程组综合．熟练掌握解不等式组，不等式组解集定义，解方程组，是解决问题的关键． 根据的解集是，求出a，b的值，把a的值代入，解不等式，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵的解集是， ∴， ∴， 解得，， ∴， 解得，． 故选：D． 变式5-1．已知关于x的方程的解为非负数，则m的范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，解题的关键是正确解出一元一次方程、根据题意得到一元一次不等式并正确解出不等式．解出关于x的方程，根据题意列出关于m的一元一次不等式，解不等式得到答案． 【详解】解： ， 关于x的方程的解为非负数， ， ， ， 故答案为：． 变式5-2． 关于x的方程的方程 的解满足． (1)求a的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解为．求整数a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，一元一次方程的解等知识点， （1）先解方程可得：，然后把x的值代入中进行计算，即可解答； （2）根据不等式的性质可得：，从而可得，然后利用（1）的结论可得：，从而可得：，即可解答； 准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴； （2）， ， ∵不等式的解为， ∴， ∴， 由（1）可得：， ∴， ∵a是整数， ∴． 变式5-3．已知关于，的方程组的解满足，，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解二元一次方程组和不等式组的方法，属于中考常考题型． 解方程组求出x，y，再结合，，得到关于m的不等式组，解不等式组可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：． ∴实数的取值范围为． 类型六、根据一元一次不等式（组）解集求参数 例6．已知关于的不等式组的解集中恰好有两个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，先根据不等式的性质求出两个不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后根据不等式组仅有2个整数解求出m的范围即可． 【详解】：解不等式，得， ∴不等式组的解集是， ∵不等式组的解集中恰好有两个整数， ∴设相邻的两个整数分别为n和， ∴， 整理得， ∴当时，不等式组有解， 解得， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 变式6-1．若关于x的不等式组的所有整数解的和为12，则整数a的值为 ． 【答案】3或 【分析】此题考查的是一元一次不等式的解法，求不等式组的解集，首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，然后根据整数解的和为12，确定整数解，即可求得整数a的值． 【详解】解：解得， 解得． ∴不等式组的解集为， ∵所有整数解的和为12， ∴整数解是3，4，5或，，0，1，2，3，4，5． 当整数解是3，4，5时，，整数， 当整数解是，，0，1，2，3，4，5时，，整数， ∴整数a的值为3或． 故答案为：3或． 变式6-2．已知不等式组的整数解是，，，，确定字母的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了由一元一次不等式组的解集求参数，解题的关键是掌握不等式组的解法．先分别求出每个不等式的解集，再根据不等式组的整数解是，，，，求解即可． 【详解】解：， 解不等式①得： ， ， ， ， 解不等式②得： ， ， 不等式组的整数解是，，，， 不等式组的解集是， ， 解得：． 变式6-3．已知不等式组 (1)若该不等式组的解集为，求 a的值； (2)若该不等式组无解，求 a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）解不等式组中两个不等式后根据不等式组的解集可得关于a的方程，解之可得； （2）根据“大小小大无解了”可确定关于a的不等式，解之可得． 【详解】（1）解： 解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组的解集是， ∴， 解得：； （2）解：∵不等式组无解， ∴， 解得：． 类型七、一元一次不等式解决实际问题 例7．又到年末，某公司决定采购整箱的苹果、脐橙和柚子来奖励员工以及回馈客户，其中每箱苹果元，每箱脐橙元，每箱柚子元．公司采购的所有水果的箱数之和不超过箱，购买的苹果不低于箱，且购买脐橙的费用是购买苹果费用的倍，购买柚子的费用是购买苹果费用的倍．公司把采购的所有水果均用于奖励员工和回馈客户，最后发现奖励给员工与回馈给客户的同种类型的水果的数量之差不超过箱，且奖励给员工的所有水果的总费用与回馈给客户的所有水果的总费用相同，则公司奖励员工的所有水果的箱数总和最多为 箱． 【答案】 【分析】设购买苹果的箱数为，根据题意可得脐橙的箱数为，柚子的箱数为，根据总箱数不超过箱，确定的值，设公司奖励员工的苹果、脐橙和柚子分别为箱，根据题意列不等式，求解即可． 【详解】解：设购买苹果的箱数为，苹果的费用为元， 则脐橙和柚子的费用分别为、元， 则脐橙和柚子的箱数分别为，， 由题意可得：，， 解得 又∵，，为整数 ∴为的倍数， ∴ 脐橙和柚子的箱数分别为，， 设公司奖励员工的苹果、脐橙和柚子分别为箱，则回馈给客户的苹果、脐橙和柚子分别为、、箱， 由题意可得： 化简可得： 由题意可得：，， ∴，， 又∵为整数 ∴或或，或或，或或或 根据可得：，，或，， 或，，或，， 的值为或 最大值为 故答案为： 【点睛】此题考查了一元一次不等式的求解，解题的关键是理解题意，找到题中的每个量之间的关系，列出等式和不等式进行求解． 变式7-1．某商家在甲、乙、丙三处批发市场购进A，B，C三种商品，已知同种商品在不同批发市场的批发价均相同，6件B的总价与9件C的总价相同．已知在甲处购买30个A，20个B，20个C，在乙处购买A，B，C三种商品的数量分别为在甲处购买的数量的基础上增加，同时，在乙处购买A，B，C三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多，在丙处购买三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多．已知在丙处购买每种商品的数量不低于50，但不超过150，则商家在丙处购买三种商品的数量和最少是 ． 【答案】164 【分析】本题主要考查了不等式的应用，关键是根据题意正确列出不等式，难度大，需要超强的解题能力． 设A、B、C三种商品的单价分别为a元、b元、c元，在丙处购买A、B、C三种商品的数量分别为x个、y个、z个，根据在乙处购买A，B，C三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多，列出方程并整理得，再根据6件B的总价与9件C的总价相同，得，进而得，再根据在丙处购买三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多．列出方程，把代入并整理得，根据在丙处购买每种商品的数量不低于50，但不超过150，得，，要商家在丙处购买三种商品的数量和最少，则首先满足选A商品的数量尽量多，再满足选B商品的数量尽量多，最后再决定选C商品的数量，结合，便可求得结果． 【详解】解：设A、B、C三种商品的单价分别为a元、b元、c元，在丙处购买A、B、C三种商品的数量分别为x个、y个、z个， ∵在乙处购买A，B，C三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多， ∴， 整理得， ∵6件B的总价与9件C的总价相同， ∴，即， ∴， ∵在丙处购买三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多． ∴， 把代入上式并整理得， ∴， ∵在丙处购买每种商品的数量不低于50，但不超过150， ∴， 又∵，即， ∴要商家在丙处购买三种商品的数量和最少，则首先满足选A商品的数量尽量多，再满足选B商品的数量尽量多，最后再决定选C商品的数量， ∵， ∴， 解得， ∴x的最大值为， 则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴y的最大值为， 则， ∴， ∴商家在丙处购买三种商品的数量和最少为：， 故答案为：164． 变式7-2．我市某水果生产基地，用名工人进行采摘或加工水果，每名工人只能做其中一项工作．采摘的工人每人可以采摘水果千克；加工罐头的工人每人可加工千克．加工水果数量不能多于采摘数量．设有名工人进行水果采摘．水果的销售方式有两种：一种是可以直接出售；另一种是可以将采摘的水果加工成罐头出售．直接出售每吨获利元；加工成罐头出售每吨获利元． (1)①加工罐头的工人为 人，可以加工罐头 千克；（用含的式子表示） ②采摘水果的工人至少多少人？ (2)直接出售和加工成罐头出售的利润如表所示： 销售方式 直接出售 加工成罐头销售 利润（元/千克） 要使直接出售所获利润不超过总利润的，请问应如何分配工人？所获最大利润是多少？ 【答案】(1)①，；②人； (2)名工人进行水果采摘，名工人加工罐头；最大利润为元． 【分析】本题考查了列代数式、一元一次不等式的应用，根据题意正确列出不等式是解题的关键． （）①根据题意列式即可求解；②根据题意列出不等式即可求解； （）根据题意，列出不等式即可求解； 【详解】（1）解：①由题意得，加工罐头的工人为人，可以加工罐头千克， 故答案为：，； ②由题意可得，， 解得， ∵为整数， ∴采摘水果的工人至少人； （2）解：由题意得，， 解得， 要使直接出售所获利润不超过总利润的，应该有名工人进行水果采摘，名工人加工罐头， 所获最大利润为元． 变式7-3．用列方程（组）或不等式解决下列问题： 受“新冠病毒”的影响，医院的呼吸机严重紧缺．为了战胜“疫情”，某公司抓紧制造、两种机械设备生产呼吸机，每台种设备的成本比每台种设备的成本多2万元，公司若投入50万元可生产、两种设备各5台．请解答下列问题： (1)、两种设备每台的成本分别是多少万元？ (2)若、两种设备每台的售价分别是6万元、9万元，公司决定生产两种设备共50台，计划销售后获利不低于103万元 ①求最多可生产种设备多少台； ②由于受到资金等因素影响，公司生产种设备的产量不低于34台．销售前，公司决定从这批设备中拿出一部分，赠送给非洲某贫困国家，剩余设备全部售出，公司仍获利30万元，赠送的设备采用水路运输和航空运输两种方式，共运输4次，水路运输每次运4台种设备，航空运输每次运2台种设备（运输过程中产生的费用由该国承担）．请求出水路运输的次数． 【答案】(1)设备每台成本万元，B设备每台成本万元 (2)①最多可生产设备台  ②水路运输次 【分析】（1）设设备成本为万元,根据“每台种设备的成本比每台种设备的成本多2万元，公司若投入50万元可生产、两种设备各5台”列出方程解题即可； （2）①设生产设备台,根据“生产两种设备共50台，计划销售后获利不低于103万元”列不等式解题即可； ②分情况，列出方程解题即可． 【详解】（1）设设备成本为万元, 则设备成本为万元． 依据题意可得: ， 解得， ∴设备每台成本为万元，设备每台成本为万元． （2）①设生产设备台, 则生产设备台． 依据题意可得:, 化简得:, ∴最多可生产设备台． ②假设水路运输次，航空运输次．则表示公司捐赠台设备，台设备． 设生产设备台 , 则生产设备台． 利润为:, 化简得, 不符合的取值范围, 舍去． 假设水路运输次，航空运输次．则表示公司捐赠台设备，台设备． 设生产设备台 , 则生产设备台． 利润为: , 化简得, 不符合的取值范围, 舍去． 假设水路运输次，航空运输次．则表示公司捐赠台设备，台设备． 设生产设备台 , 则生产设备台． 利润为: , 化简得, 不符合的取值范围, 舍去． 假设水路运输次，航空运输次．则表示公司捐赠台设备，台设备． 设生产设备台 , 则生产设备台． 利润为: , 化简得, 符合的取值范围, 假设水路运输次，航空运输次．则表示公司捐赠台设备，台设备． 设生产设备台 , 则生产设备台． 利润为: , 化简得, 不符合范围, 舍去． 综合分析可得，仅有水路运输次，航空运输次时，可满足题意要求． 【点睛】本题主要考查列方程及不等式的求解．在进行问题的求解时，要注意：不等号是否改变方向：学会分析问题中可能存在的各种情况(水路和航空的运输次数)，注意设备的取值范围才可以正确解题． 类型八、一元一次不等式组解决实际问题 例8．某校七年级有三个班组织数学竞赛、英语竞赛和作文竞赛，各项竞赛均取前三名（每项竞赛的每一名次都只有一人），第一名可得5分，第二名可得3分，第三名可得1分．已知七（1）班和七（2）班总分相等，并列第一名，且七（2）班进入前三名的人数是七（1）班的两倍，那么七（3）班的总分是 分． 【答案】7 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键，设七（2）班进入前三名有x人，根据题意可列不等式组并解得，由（1）班、（2）班分数相等，并且比（3）班分数高，可知（1）班、（2）班的得分都高于平均分9分，故，再分和两种情况分别分析推理即可得到答案． 【详解】解：设七（2）班进入前三名有x人，则七（1）班进入前三名有人，七（3）班进入前三名有人， 由题意得， 解得， 因为三个竞赛项目的总分是（5+3+1）×3=27（分），（1）班、（2）班分数一样，并且比（3）班分数高，所以（1）班、（2）班的得分都高于平均分9分， ， 即（1）班最少有2个人进入前三名，则（2）班最少有4人进入前三名， 当时，（1）班有3人进入前三名，那么（2）班就有6人进入前三名，（3）班就没人进入前三名，则27分由（1）班、（2）班平分，但27不能被2整除，不合题意，舍去； 当时，（1）班、（2）班进入前三名的人数分别为2人、4人．因为他们的得分必须大于9分，所以（1）班得分是（分），（2）班也是得10分，所以（3）班得7分； 综上所述，七（3）班的总分是7分． 故答案为7． 变式8-1．小明沿街心公园的环形跑道从起点出发按逆时针方向跑步，他用软件记录了跑步的轨迹，他每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．已知该环形跑道一圈的周长大于．    （1）小明恰好跑3圈时，路程是否超过了？答： （填“是”或“否”）； （2）小明共跑了且恰好回到起点，那么他共跑了 圈． 【答案】 否 10 【分析】（1）设环形跑道的周长为L，小明总计跑了x圈，结合图形即可作答； （2）利用环形道的周长与里程数的关系建立不等式求出周长的范围，再结合跑回原点的长度建立方程即可求解． 【详解】（1）设环形跑道的周长为L，小明总计跑了x（x为整数）圈， 结合图形，根据题意有：， 即小明恰好跑3圈时，路程没有超过； （2）结合图形，根据题意有：， 解得：， 根据题意还有：，可得：， ∵， ∴， ∴， ∵x为整数， ∴为整数， ∴， 即，即小明共跑了10圈， 故答案为：否，10． 【点睛】本题考查了不等式的应用，根据题意结合图形得出不等式组，是解答本题的关键． 变式8-2．为了进一步落实“双减”工作，某中学准备从商场一次性购买一批足球和篮球共50个用于开展课后服务训练，每个篮球300元，每个足球200元，要求总费用不超过12800元，现有甲、乙两商店以同样价格出售，同时又各自推出不同的优惠方案：在甲店购买篮球按原价收费，足球不优惠；在乙店购买篮球不优惠，但购买足球按原价收费；则学校到哪家商店购买篮球和足球花费少？ 【答案】见解析． 【分析】设购买足球的个数为个，则购买篮球的个数为个，设甲乙两商店的费用分别为、元，求得、，比较即可． 【详解】解：设购买足球的个数为个，则购买篮球的个数为个，设甲乙两店的费用分别为、元， 由题意可得：，解得， 令即 解得 则当购买足球的数量大于等于小于30时，甲商店费用低； 当购买足球的数量等于30时，甲、乙两商店的费用相同； 当购买足球的数量大于30小于等于50时，乙商店的费用低． 【点睛】此题考查了一元一次不等式（组）的求解，解题的关键是正确表示出甲乙两商店的费用． 变式8-3．某体育拓展中心的门票每张10元，一次性使用考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的顾客，该拓展中心除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”（个人年票从购买日起，可供持票者使用一年）的售票方法．年票分A、B两类：A类年票每张120元，持票者可不限次进入中心，且无需再购买门票；B类年票每张60元，持票者进入中心时，需再购买门票，每次2元． （1）小丽计划在一年中花费80元在该中心的门票上，如果只能选择一种购买门票的方式，她怎样购票比较合算？ （2）小亮每年进入该中心的次数约20次，他采取哪种购票方式比较合算？ （3）小明根据自己进入拓展中心的次数，购买了A类年票，请问他一年中进入该中心不低于多少次？ 【答案】（1）应该购买B类年票，理由见解析；（2）应该购买B类年票，理由见解析；（3）小明一年中进入拓展中心不低于30次 【分析】（1）因为80元小于120元，故无法购买A类年票，继而分别讨论直接购票与购买B类年票，这两种方式何者次数更多即可． （2）本题根据进入中心的次数，分别计算小亮直接购票、购买A类年票、购买B类年票所消费的总金额，最后比较总花费大小即可． （3）小明选择购买A类年票，说明A类年票更为划算，故需满足直接购票与购买B类年票所花费的金额不低于120元，最后列不等式求解即可． 【详解】（1）由于预算限制，小丽不可能买A类年票；若直接购票，可以进中心次；若购买B类年票，可进中心次，所以应该购买 B 类年票． （2）若直接购买门票，需花费元；若购买A类年票，需花费120元；若购买B类年票，需花费元；所以应该购买B类年票． （3）设小明每年进拓展中心约x次，根据题意列出不等式组： ，解得，故． 所以小明一年中进入拓展中心不低于30次． 【点睛】本题考查实际问题以及不等式，解题关键在于对题目的理解，此类型题目需要分类讨论做对比，其次需要从实际问题背景抽离数学关系，最后注意计算仔细即可． 类型九、整式方程与不等式（组）解决实际问题 例9．九月公园购进A、B、C三种绿植进行栽种，A、C每棵进价之比为，A、B购买数量之比为，A、B、C购买成本之比为．十月公园管理者发现，B、C每棵进价分别下降，A每棵进价不变，于是公园按最新进价又采购一批A、B、C三种绿植，相比九月，十月A、C增加的数量之比为，B的数量有所增加但增加不超过10棵，十月B的数量占当月采购总数量的．若九月、十月绿植购买的总成本之比为，则这两个月C购买的总数量为 棵． 【答案】1954 【分析】根据题意设置适当的未知数，用未知数分别表示出九月购买绿植的进价、购买数量、购买成本；十月购买绿植的进价、购买数量、购买成本；然后根据“九月、十月绿植购买的总成本之比为”列出方程，并根据B的数量有所增加但增加不超过10棵列出不等式，通过解方程和解不等式即可得出答案． 【详解】解：九月： ∵A、C每棵进价之比为，A、B购买数量之比为， ∴设A、C的进价分别为；A、B购买数量分别； ∴A的购买成本为， ∵A、B、C购买成本之比为， ∴A、B、C的购买成本分别为； ∴B的购买数量为，B的购买成本为，C的进价为，C的购买成本， 又∵进价×购买数量=购买成本， ∴B的进价为，C的购买数量为， 则可以得到如下表： 绿植类型 A B C 进价 a 购买数量 b 购买成本 ∴九月的总成本为：， 十月： ∵A、C增加的数量之比为， ∴设A、C增加的数量分别为，B的增加数量为d， ∵B的数量有所增加但增加不超过10棵， ∴，且为正整数， ∵B，C每棵进价分别下降， ∴B，C每棵进价分别分别为：， 则可以得到下表： 绿植类型 A B C 进价 a 购买数量 购买成本 ∴十月采购的总数量为：， ∵十月B的数量占当月采购总数量的， ∴，， 解得：， ∴，， ∴十月的总成本为： ， ∵九月、十月绿植购买的总成本之比为， ∴， 整理得：， ∴， 又，且为正整数， ∴， ∴符合题意， ∴， ∴这两个月C购买的总数量为：（棵）． 答：这两个月C购买的总数量1954棵． 故答案为：1954． 【点睛】此题考查了列代数式，一次方程和一次不等式的应用，解答此题的关键是读懂题意，层层分析，设置适当的未知数，用代数式分别表示出九月、十月绿植购买的总成本，这也是解答此题的难点之一． 变式9-1．三峡之巅·诗橙奉节，奉节脐橙是重庆市奉节县特产，中国地理标志产品，营养丰富，橙香味浓．每年12月是奉节脐橙大批量上市的时候，奉节脐橙品种较多，主要包含纽荷尔脐橙、福本脐橙、奉园脐橙．某超市准备购进纽荷尔脐橙、福本脐橙、奉园脐橙，三种品种的橙子共1000件（每件均为同一品种的脐橙），其中奉园脐橙每件12个，福本脐橙每件8个，纽荷尔脐橙每件6个．为了推广，超市还计划将三个品种的脐橙各取出来，拆开后重新组合包装，制成甲、乙两种套装进行特价销售：甲套装为每件奉园脐橙4个、福本脐橙4个；乙套装为每件奉园72-1脐橙4个、纽荷尔脐橙2个，取出的件数和套装的件数均为正整数，若纽荷尔脐橙的进货量（件）不低于总进货量（件）的，则福本脐橙最多购进多少件？ 【答案】360件 【分析】本题考查了二元一次不定方程的应用，根据各数量之间的关系，找出关于的一元一次不等式是解题的关键． 设购进纽荷尔脐橙件，福本脐橙件，则购进奉园脐橙件，根据三种品种的橙子共购进1000件，即可得出关于的二元一次方程，解之可得出，结合纽荷尔脐橙的进货量（件）不低于总进货量（件）的，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，由取出的件数和套装的件数均为正整数，可得出为3的倍数，结合的取值范围，即可找出的最大值，进而可得出福本脐橙最多购进的数量． 【详解】解：设购进纽荷尔脐橙件，福本脐橙件， ∵将三个品种的脐橙各取出来，拆开后重新组合包装，制成甲、乙两种套装进行特价销售：甲套装为每件奉园脐橙4个、福本脐橙4个；乙套装为每件奉园脐橙4个、纽荷尔脐橙2个， ∴购进奉园脐橙件． 依题意得：， ， 又， ， 解得：． 又∵取出的件数和套装的件数均为正整数， ∴为3的倍数， ∴的最大值为18， ∴福本脐橙最多购进件． 变式9-2．用若干张规格为的大纸板剪裁成图①所示的型长方形纸板和型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒．已知一张大纸板可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板． (1)制作一个横式纸盒需要型长方形纸板 张，制作一个竖式纸盒需要型长方形纸板 张． (2)若用8张大纸板裁成型长方形纸板，用3张大纸板剪裁型正方形纸板，且裁成的、两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？ (3)如果制作横式纸盒和竖式纸盒均为个，若可用于剪裁的大纸板不超过18张，求的最大值． (4)如果一张大纸板既可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板，也可以同时裁出若干张型长方形纸板和型正方形纸板．若要用20张大纸板，剪裁后再制作成横式纸盒，在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒 个． 【答案】(1)3，4 (2)制作横式纸盒12个，竖式纸盒3个 (3)12 (4)27 【分析】本题考查二元一次方程和不等式的应用，找准数量关系，列等式或不等式解题即可； （1）根据无盖纸盒的图示可以得到结果； （2）设制作横式纸盒个，竖式纸盒个，根据所需纸板的数量列方程组解题即可； （3）根据题意得到所需纸板的数量，然后根据大纸板的数量不超过18张列不等式计算最大整数接即可； （4）设可以制作横式纸盒个，根据横式纸盒所需的型长方形和型正方形纸板的数量计算出所需大纸板的数量，根据题意列不等式，求最大值即可． 【详解】（1）由题意可得， 1个横式无盖长方体纸盒需要3张型和2张型，1个竖式无盖长方体纸盒需要4张型和1张型， 故答案为：3，4； （2）设制作横式纸盒个，竖式纸盒个，根据题意得， ，解得， 答：制作横式纸盒12个，竖式纸盒3个； （3）解：根据题意，得． 解得． 为非负整数， 的最大值为12； （4）设可以制作横式纸盒个． 个横式无盖长方体纸盒需要3张型和2张型， 需要张型和张型， ，解得， 在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒27个． 故答案为：27． 变式9-3．根据素材，完成任务． 如何设计雪花模型材料采购方案？ 素 材 一 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型．已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为与． 素 材 二 某商店的店内广告牌如右所示．5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根． 1．短管子售价：a元/根，长管子售价：元/根 2．6月1日起，购买3根长管子赠送1根短管子． 3．本店库存数量有限，长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，先到先得！ 素 材 三 6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任 务 一 分析雪花模型结构 求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？ 任 务 二 确定采购费用 试求a的值并求出假如6月只制作一个甲款雪花模型的材料采购费． 任 务 三 拟定采购方案 求出所有满足条件的采购方案，并指出哪种方案得到的雪花总数最多． 【答案】任务一：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则短管子根；任务二：；制作一个甲款雪花模型需要13元；任务三：购买258根长管子，2130根短管子；购买261根长管子，2125根短管子；购买264根长管子，2120根短管子；购买267根长管子，2115根短管子；当购买267根长管子，2115根短管子时，制作的雪花模型最多 【分析】本题主要考查了二元一次方程组、分式方程和不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系和不等关系列出方程或不等式． 任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子x根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子y根，则短管子根，根据用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型，列出方程组，解方程组即可； 任务二：根据题意列出关于a的方程，解方程即可，根据6月份的优惠方案求出制作一个甲款雪花模型需要的费用即可； 任务三：设学校中采购了m根长管子，n根短管子，根据总费用1280元列出方程，得出，根据商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，列出不等式组，求出，根据m必须能被3整除，得出，，264，267，从而得出购买方案，根据制作一个甲款雪花模型和制作一个乙款雪花模型，都需要3根长管子，得出长管子数越多制作的雪花模型越多，当购买267根长管子，2115根短管子时，制作的雪花模型最多． 【详解】解：任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子x根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子y根，则短管子根，根据题意得： ， 解得：， ，， 答：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则短管子根； 任务二：∵5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根， ∴， 解得：， 经检验是原方程的根； ∵制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，且6月1日起购买3根长管子赠送一根短管子， ∴制作一个甲款雪花模型需要的费用为： （元）； 任务三：设学校中采购了m根长管子，n根短管子，根据题意得： ， 解得：， ∵商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根， ∴， 解得：， ∵m必须能被3整除， ∴，，264，267， 当时，， ∵， ∴能制作甲、乙两款雪花模型共86个，需要的短管子最少为（根），最多为：（根）， ∵， ∴此时短管子可以用完， ∴可以购买258根长管子，2130根短管子； 当时，， ∵， ∴能制作甲、乙两款雪花模型共87个，需要的短管子最少为（根），最多为：（根）， ∵， ∴此时短管子可以用完， ∴可以购买261根长管子，2125根短管子； 当时，， ∵， ∴能制作甲、乙两款雪花模型共88个，需要的短管子最少为（根），最多为：（根）， ∵， ∴此时短管子可以用完， ∴购买264根长管子，2120根短管子； 当时，， ∵， ∴能制作甲、乙两款雪花模型共89个，需要的短管子最少为（根），最多为：（根）， ∵， ∴此时短管子可以用完， ∴可以购买267根长管子，2115根短管子； ∵制作一个甲款雪花模型和制作一个乙款雪花模型，都需要3根长管子， ∴长管子数越多制作的雪花模型越多， ∴当购买267根长管子，2115根短管子时，制作的雪花模型最多． 类型十、分式方程与不等式（组）解决实际问题 例10．阳光合作社在党委政府的精心指导下，大力发展生态水果蓝莓，助推乡村经济发展．在蓝莓上市期间，某水果店第一次用元购进蓝莓销售；由于蓝莓深受人们喜欢，第一次购进的蓝莓很快售完．该水果店又用元购进这种蓝莓，所购数量与第一次购进数量相同，但每千克的价格比第一次购进的贵了元． (1)该水果店第一次购进蓝莓的进价为多少元/千克？ (2)假设该水果店两次购进的蓝莓按相同的售价全部售完，要使总利润不低于元，则每千克蓝莓的售价至少是多少元？ 【答案】(1)元/千克 (2)元 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）设该水果店第一次购进蓝莓每千克元，则该水果店第二次购进蓝莓每千克元，利用数量＝总价÷单价，结合两次购进蓝莓的数量相同，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． （2）设每千克蓝莓的售价是元，利用利润＝销售单价×销售数量－进货总价，结合利润不低于元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该水果店第一次购进蓝莓每千克元，则该水果店第二次购进蓝莓每千克元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：水果店第一次购进蓝莓的进价为元/千克． （2）设每千克蓝莓的售价是元， 根据题意得：， 解得：， 即y的最小值为． 答：要使总利润不低于元，则每千克蓝莓的售价至少是元． 变式10-1．为迎接春节，某商场计划购进甲、乙两种品牌的恤衫共100件．已知乙品牌每件的进价比甲品牌每件的进价贵30元，且用6000元购买甲品牌的件数恰好是用6000元购买乙品牌件数的2倍． (1)甲、乙两种品牌每件的进价分别是多少元？ (2)商场决定购进甲、乙两种品牌恤衫的资金不少于3600元，且购进甲品牌恤衫至少78件，求该商场有哪几种进货方案； (3)在（2）的条件下，商场决定甲品牌恤衫以每件50元出售，乙品牌恤衫以每件100元出售，若该商场推出促销活动：顾客购买一件恤衫持购物票据可抽奖一次，每人限购一件，一等奖共有1个，所购恤衫按标价返款100%；二等奖共有3个，所购恤衫按标价返款50%．该商场将这100件恤衫全部售出后共获利2220元，直接写出抽到的二等奖中，购买的乙种品牌恤衫有多少件． 【答案】(1)甲品牌每件的进价为30元，乙品牌每件的进价为60元； (2)商场共有三种进货方案：①购进甲品牌恤衫78件，购进乙品牌恤衫22件；②购进甲品牌恤衫79件，购进乙品牌恤衫21件；③购进甲品牌恤衫80件，购进乙品牌恤衫20件； (3)抽到的二等奖中，购买乙种品牌恤衫有1件或3件． 【分析】（1）根据乙品牌每件的进价比甲品牌每件的进价贵30元，且用6000元购买甲品牌的件数恰好是用6000元购买乙品牌件数的2倍，可以列出相应的分式方程，从而可求得甲、乙两种品牌每件的进价分别是多少元； （2）购进甲、乙两种品牌恤衫的资金不少于3600元，且购进甲品牌恤衫至少78件，可以列出相应的不等式组，从而求出的取值，分别列出进货方案即可； （3）根据（2）中共有3种方案，分三种情况进行讨论：设二等奖中购买乙品牌的有件，甲品牌的有件，当购进甲品牌恤衫78件，购进乙品牌恤衫22件时，一等奖为甲品牌时，根据该商场将这100件恤衫全部售出后共获利2220元可列出方程解得不是整数即可舍去；当购进甲品牌恤衫78件，购进乙品牌恤衫22件时，一等奖为乙品牌时，根据该商场将这100件恤衫全部售出后共获利2220元可列出方程解得不是整数即可舍去；以此例推分别进行讨论即可，若为小于等于3的整数，则可满足题意． 【详解】（1）解：设甲品牌恤衫每件的进价为元，则乙品牌恤衫每件的进价为元． 由题意得： 解得： 经检验是原分式方程的解，且符合题意． ， 答：甲品牌恤衫每件的进价为30元．乙品牌恤衫每件的进价为60元． （2）设该商场购进甲品牌恤衫a件，则购进乙品牌恤衫件． 根据题意得： 的整数值为78，79，80． 商场共有三种进货方案． 方案一：购进甲品牌恤衫78件，购进乙品牌恤衫22件； 方案二：购进甲品牌恤衫79件，购进乙品牌恤衫21件； 方案三：购进甲品牌恤衫80件，购进乙品牌恤衫20件． （3）设二等奖中购买乙品牌的有件，甲品牌的有件， ①购进甲品牌恤衫78件，购进乙品牌恤衫22件，一等奖为甲品牌， 解得：（舍）． 购进甲品牌恤衫78件，购进乙品牌恤衫22件，一等奖为乙品牌， 解得：（舍）． ②购进甲品牌恤衫79件，购进乙品牌恤衫21件，一等奖为甲品牌， 解得：． 购进甲品牌恤衫79件，购进乙品牌恤衫21件，一等奖为乙品牌， 解得：． ③购进甲品牌恤衫80件，购进乙品牌恤衫20件，一等奖为甲品牌， 解得：（舍）． 购进甲品牌恤衫80件，购进乙品牌恤衫20件，一等奖为乙品牌， 解得：（舍）． 因此，抽到的二等奖中，购买乙品牌有1件或3件． 【点睛】本题考查了分式方程的应用问题以及不等式组的应用解决方案问题，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程或不等式解决问题，利用分类讨论思想不遗漏情况进行讨论问题，注意分式方程需要检验． 变式10-2．为了防疫，师大一中需购买甲、乙两种品牌的温度枪，已知甲品牌温度枪的单价比乙品牌温度枪的单价低40元，且用元购买甲品牌温度枪的数量是用元购买乙品牌温度枪的数量的倍． (1)求甲、乙两种品牌温度枪的单价． (2)若学校计划购买甲、乙两种品牌的温度枪共个，且乙品牌温度枪的数量不小于甲品牌温度枪数量的2倍，购买两种品牌温度枪的总费用不超过元．设购买甲品牌温度枪m个，则该校共有几种购买方案？ (3)在（2）条件下，采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少？ 【答案】(1)甲、乙两种品牌温度枪的单价分别为：元，元； (2)该校共有两种购买方案：方案一：购买甲种个，乙种个；方案二：购买甲种个，乙种个； (3)购买甲种个，乙种个费用最低，最低为元． 【分析】（1）设甲品牌温度枪的单价为x元，则乙品牌温度枪的单价为元，根据用元购买甲品牌温度枪的数量是用元购买乙品牌温度枪的数量的倍列方程即可得到答案； （2）根据总费用不超过15000元及乙品牌温度枪的数量不小于甲品牌温度枪数量的2倍列不等式组求解即可得到答案； （3）根据（2）代入求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲品牌温度枪的单价为x元，则乙品牌温度枪的单价为元，由题意可得， ， 解得：， 经检验是原方程的解， 则， 答：甲、乙两种品牌温度枪的单价分别为：元，元； （2）解：由题意可得， 且m为整数， 解得：，且m为整数， ∴m为：或， ∴该校共有两种购买方案， 方案一：购买甲种个，乙种个； 方案二：购买甲种个，乙种个； （3）解：由（2）得， 方案一费用为：（元）， 方案二费用为： （元）， ∵， ∴方案二：购买甲种个，乙种个费用最低，最低为元． 【点睛】本题考查分式方程解决应用题，不等式组择优方案选取问题，解题的关键是根据题意找到等量关系式及不等关系式． 变式10-3．下面是嘉淇学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并解决相应的问题． 题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元． 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系：甲商品数量=乙商品数量 解法二 设…… 等量关系：甲商品进价-乙商品进价 (1)解法一所列方程中的表示_____（填序号），解法二所列方程中的表示_____（填序号）； ①甲种商品每件进价元；②乙种商品每件进价元；③甲种商品购进件 (2)请你选择其中的一种解法，解方程并解决题目中提出的问题． (3)商店计划用不超过1440元的资金购进甲、乙两种商品共40件，则至多购进甲种商品多少件？ 【答案】(1)①，③ (2)甲种商品每件的进价为50元，乙种商品每件的进价为30元 (3)至多购进甲种商品12件 【分析】本题考查的是分式方程的应用，分式方程的解法，一元一次不等式的应用，理解题意，确定相等关系与不等关系是解本题的关键． （1）根据等量关系中代数式的含义可得答案； （2）选择解法一，设甲种商品每件进价为x元，则乙种商品每件进价为元，根据用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同．列出分式方程，解方程即可；选择解法二：设甲种商品购进x件，则乙种商品购进x件，甲种商品每件进价为元，乙种商品每件进价为元，根据甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，列出方发出，解方程即可； （3）设甲商品购进a件，则乙商品购进件，利用商店计划用不超过1440元的资金购进甲、乙两种商品，求解a的范围，可得答案． 【详解】（1）解：由甲商品数量=乙商品数量，可得：中的x表示甲种商品每件进价x元， 由甲商品进价-乙商品进价=20可得：中的x表示甲种商品购进x件； 故答案为：①，③； （2）解：如下两种解答中选择其中一种即可． 若选择“解法一”，过程如下： 解：设甲种商品每件进价为x元，则乙种商品每件进价为元， 由题意得：， 方程两边同乘， 得， 整理得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲种商品每件的进价为50元，乙种商品每件的进价为30元； 若选择“解法二”，过程如下： 解：设甲种商品购进x件，则乙种商品购进x件， 由题意得： ， 方程两边同乘， 得， 整理得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ，， 答：甲种商品每件的进价为50元，乙种商品每件的进价为30元； （3）解：设甲种商品购进件，则乙种商品购进件， 由题意，得， 解得， 答：至多购进甲种商品12件． 1．若关于的方程的解为自然数，且关于的不等式组无解，则符合条件的整数的值的和为 （   ） A．5 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的整数解、一元一次不等式组的解集，熟练掌握解一元一次方程，学会根据不等式组的解的情况求参数是解题的关键．先求出的解为，从而推出，再整理不等式组为，结合不等式组无解得到，最后利用整数的值以及是自然数的条件即可解答． 【详解】解：由，解得， 方程的解为自然数， ， 解得：， 把整理得：， 不等式组无解， ， ，即整数， 是自然数， 或， 则符合条件的整数的值的和为． 故选：C． 2．若关于的不等式组有且只有4个整数解，关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解分式方程，根据不等式组的解集以及整数解的个数，确定a的取值范围，再根据分式方程的根和增根进一步确定a的取值范围，再求出符合条件的整式的和即可． 【详解】解：解不等式组，得， ∵不等式组有且只有四个整数解， ， 解得， 解分式方程，得， ∵， ∴， ∵关于y的方程的解为整数， ∴为偶数， ∴满足条件的a的值为，， ∴满足条件的整数a的值之和是． 故答案为：． 3．解不等式； 【答案】 【分析】本题主要考查了解不等式组，绝对值等知识点，分和两种情况分类讨论即可得解，理解题目的含义，进行分类讨论是解决此题的关键． 【详解】解：①当即， 解集为， ②当，即， 解集为， 综上可知，原不等式的解集为． 4．化简，再在不等式的非负整数解中选取一个合适的解作为的取值，代入求值． 【答案】，1 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的加、减、乘、除运算，一元一次不等式的解法，分式有意义的条件是解决本题的关键．根据分式的运算法则先化简，再解一元一次不等式，找到不等式的非负整数解，将符合分式的整数解代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 解不等式得， ， ， 不等式的非负整数解为， 当时， 原式． 5．若不等式的解集与关于的不等式的解集相同，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查不等式的解集，掌握解不等式的方法是解题的关键． 根据不等式的解集与关于的不等式的解集相同，然后根据题意建立一个关于的不等式，从而确定的范围即可． 【详解】解：不等式， 解得． 关于的不等式， 不等式的解集与关于的不等式的解集相同， 解得． 6．我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”______；“整点”为______； (2)若不等式组的“长度”，求a的取值范围； (3)若不等式组的“长度”，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；， (2) (3)存在， 【分析】本题考查解一元一次不等式组及求不等式组的整数解，正确理解“长度”与“整点”的定义，并分类讨论是解题关键． （1）先解不等式组，求出不等式组的解集，根据及“整点”的定义即可得答案； （2）先整理不等式得出，分和两种情况，根据及列不等式完成不等式的解集即可得答案； （3）分情况，根据得出值，得出不等式组，用表示不等式组的解集，根据恰有4个“整点”列不等式组求出解集即可得答案． 【详解】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴，整点为， 故答案为：；，； （2）解： 解不等式得：， 当时，即时，， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 当时，即时，， ∵，，， ∴， 解得，, ∴ 当时，方程组解为：， 满足题意， 综上所述：的取值范围． （3）解：存在，理由如下： 当时，不等式的解集为， ∴，不符合， 当时，不等式的解集为， ∵， ∴， 解得：， 当时，不等式的解集为， ∴， 解得：， 当，不等式的解集为， ∴， 解得：，当时，，不符合， 当或，方程组无解， 综上所述：， ∴为， 解不等式组得：， ∵关于y的不等式组恰有4个“整点”， ∴， 解得：． 7．若关于x、y的方程组的解满足，求m的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了加减消元法求二元一次方程组，求解一元一次不等式，利用加减消元法求出，，代入，求出m的取值范围即可． 【详解】解：， 由，得， 将代入①求得：， ， ， 解得：． 8．2024年4月在北京师大二附中西城实验学校举办的跳蚤市场活动中，初一7班的小何同学购进2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和残奥会吉祥物“雪容融”作为本次活动的卖品进行销售，售卖所得将进行爱心捐赠，帮助贫困山区的孩子．第一天小何同学将所带的1个“冰墩墩”和3个“雪容融”全部售出，销售总额为96元，其中“冰墩墩”的售价比“雪容融”售价高8元． (1)求每个“冰墩墩”和“雪容融”的售价； (2)看到很多同学都非常喜欢“冰墩墩”和“雪容融”，为了捐赠更多，第二天小何同学又带了这两种吉祥物进行售卖，共卖出10个，若这次销售总额不少于268元，求“冰墩墩”至少销售了多少个？ 【答案】(1)每个冰墩墩售价是30元；每个雪容融的售价是22元 (2)6个 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用等知识点．找准等量关系正确列出一元一次方程，根据各数量之间的关系正确列出一元一次不等式是解题的关键． （1）设每个雪容融的售价是x元，则每个冰墩墩的售价是元，根据“1个“冰墩墩”和3个“雪容融”销售总额为96元”，可列出关于x的一元一次方程，解之即可． （2）设销售冰墩墩m个，则销售雪容融个，根据“销售总额不少于268元”，可列出关于m的一元一次不等式，解之即可． 【详解】（1）解：设每个雪容融的售价是x元，则每个冰墩墩的售价是元． 根据题意得：， 解得：． 因此，冰墩墩售价为（元） 答：每个冰墩墩售价是30元，每个雪容融的售价是22元． （2）设销售冰墩墩m个，则销售雪容融个， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最小值为6． 答：冰墩墩至少销售了6个． 9．某家具店经销A、B两种品牌的儿童床，已知A品牌儿童床的售价为4200元，利润率为，B品牌儿童床的成本价为4200元，而每张B品牌儿童床的售价在成本的基础上增长了． (1)该店销售记录显示，四月份销售两种儿童床共20张，且销售A品牌儿童床的总利润与B品牌儿童床总利润相同，求该店四月份售出两种品牌的儿童床的数量； (2)根据市场调研，该店五月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌儿童床张数不低于A品牌儿童床张数的，而用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元，请通过计算设计所有可能的进货方案： (3)在（2）的条件下，该店打算将五月份按计划购进的30张儿童床全部售出后，所获得利润的用于购买甲、乙两款教学仪器捐赠给某希望小学．已知购买甲款仪器每台300元，购买乙款仪器每台130元，且所捐的钱恰好用完，求该店捐赠甲，乙两款仪器的数量． 【答案】(1)该店四月份售出品牌儿童床为张，品牌儿童床为张 (2)该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张；该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张； (3)该店捐甲、乙两款机器的数量分别为3台、13台． 【分析】（1）设该店四月份售出品牌儿童床为张，品牌儿童床为张，根据四月份销售两种儿童床共20张和销售A品牌儿童床的总利润与B品牌儿童床总利润相同，可得二元一次方程组，解方程即可； （2）设该店四月份售出品牌儿童床为张，则品牌儿童床为张，根据购进B品牌儿童床张数不低于A品牌儿童床张数的和两种儿童床的资金不超过115000元，可列一元一次不等式组，解不等式组即可解答； （3）在（2）的条件下，设该店捐甲、乙两款机器的数量分别为台，分类讨论，求的正整数解，从而得出结论． 【详解】（1）解：设该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张， 根据题意可得方程， 解得， 该店四月份售出品牌儿童床为张，品牌儿童床为张； （2）解：设该店四月份售出品牌儿童床为张，则品牌儿童床为张， 由题意可得， 解得， 是正整数， 或17， 或13， 故所有可能的进货方案由两种，分别为：该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张；该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张； （3）解：在（2）的条件下，设该店捐甲、乙两款机器的数量分别为台， ①当购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张时， 售出后的利润为（元）， ， 即， 是正整数， ， ②当购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张时， 售出后的利润为（元）， ， 即， 是正整数， 无解， 综上所述，该店捐甲、乙两款机器的数量分别为3台、13台． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为数学方程或不等式组． 10．冰城某店欲购进和两种品牌的雪地胎，已知种的进价比种进价每条少元，经计算，用万元购进的种雪地胎的数量与万元购进的种雪地胎的数量相同，请解答下列问题： (1)这两种雪地胎每个进价多少元？ (2)若该店欲购进两种品牌雪地胎共个，投入的总资金不超过元，且种品牌雪地胎不超过个（假设每辆车一次换个雪地胎），则该店有哪几种进货方案？ (3)在()条件下，若和两种雪地胎的售价分别是每个元和元，该店从这个雪地胎中拿出个两种雪地胎奖励优秀员工，其余雪地胎全部售出后仍获利元，请直接写出这个雪地胎中种雪地胎的个数． 【答案】(1)品牌的雪地胎每条的进价为元，品牌的雪地胎每条的进价为元 (2)共有三种进货方案．方案一：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个；方案二：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个；方案三：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个； (3)． 【分析】（）设种雪地胎每个进价元，则种雪地胎每个进价元，根据题意列出方程即可求解； （）设购进种雪地胎个，则购进种雪地胎个，根据题意列出不等式组求出的取值范围，再根据每辆车一次换个雪地胎得到为的倍数，即得的值，据此即可求解； （）设从种雪地胎拿出个奖励优秀员工，则从种雪地胎拿出个奖励优秀员工，根据（）中的方案分别计算即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设种雪地胎每个进价元，则种雪地胎每个进价元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意； ∴， 答：种雪地胎每个进价元，则种雪地胎每个进价元； （2）解：设购进种雪地胎个，则购进种雪地胎个， 由题意得， 解得， ∵每辆车一次换个雪地胎， ∴为的倍数， ∴或或， ∴共有三种进货方案．方案一：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个；方案二：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个；方案三：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个； （3）解：设从种雪地胎拿出个奖励优秀员工，则从种雪地胎拿出个奖励优秀员工， 当购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个时， 由题意得，， 整理得，， 解得，不合题意，舍去； 当购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个时， 由题意得，， 整理得，， 解得； 当购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个时， 由题意得， 整理得，， 解得，不合题意，舍去； 综上，的值为， 答：这个雪地胎中种雪地胎的个数为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$