2025-2026学年高三上学期新高考第一次模拟考试数学自编卷03

2026年高三数学第一次模拟考试自编卷03 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 某校举办校园歌手大赛，决赛中12名参赛选手的得分（满分：10分）分别为9.5，8.1，7.8，8.5，8.8，9.1，7.5，9.6，8.6，8.8，9.3，9.0，则这组数据的第75百分位数是（ ） A. 8.6 B. 8.8 C. 9.1 D. 9.2 2.已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3.若，则(    ) A. B. C. D. 4.的三个内角，，所对的边分别为，，，在边上，且，，，，则(    ) A. B. C. D. 5. 在正三棱柱中，，则“”是“异面直线与所成角的余弦值是”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.已知函数，若函数在上恰有3个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 过抛物线C：的焦点F的直线l交C于A，B两点，交直线于点P，若，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 1 8. 表示大于或者等于的最小整数，表示小于或者等于的最大整数．已知函数 ，且满足：对有，则的可能取值是（ ） A. B. 0 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列结论中正确的有（ ） A. 函数的图象关于y轴对称 B. 函数的图象关于原点对称 C. 函数存在最小值 D. 函数不存在最大值 10. 数列的通项为，它的前项和为，前项积为，则下列说法正确的是（ ） A. 数列是递减数列 B. 当或者时，有最大值 C. 当或者时，有最大值 D. 和都没有最小值 11.甲同学想用一支铅笔从如下的直三棱柱的顶点出发沿三棱柱的棱逐步完成“一笔画”，即每一步均沿着某一条棱从一个端点到达另一个端点，紧接着从上一步的终点出发随机选择下一条棱再次画出，进而达到该棱的另一端点，按此规律一直进行，其中每经过一条棱称为一次移动，并随机选择某个顶点处停止得到一条“一笔画”路径，比如“一笔画”路径C.若某“一笔画”路径中没有重复经过任何一条棱，则称该路径为完美路径，否则为不完美路径下列说法正确的有(    ) A. 若“一笔画”路径为完美路径，则甲不可能次移动后回到点 B. 经过次移动后仍在点的概率为 C. 若“一笔画”路径为完美路径，则次移动后回到点有条不同笔迹 D. 经过次移动后，到达点的条件下经过点的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________． 13. 已知函数，当时，的值域是__________，若有两个极值点，则的取值范围是__________. 14. 已知正方体的棱长为，若在该正方体的棱上恰有个点，满足，则的取值范围为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知的内角，，所对的边分别为，，，满足，且，，成等比数列. （1）求； （2）若，求.   16.（15分）如图，在四棱锥中，平面平面，是等腰直角三角形，. （1）点在棱上，若平面，求证：为的中点； （2）求与平面所成角. 17.（15分）已知椭圆C：离心率为，椭圆C的动弦过椭圆C的右焦点F，当垂直x轴时，椭圆C在A，B处的两条切线的交点为M． （1）求点M的坐标． （2）若直线的斜率为，过点M作x轴的垂线l，点N为l上一点，且点N的纵坐标为，直线与椭圆C交于P，Q两点，证明：为定值． 18.（17分）已知函数. （1）求的极值； （2）若当时，，求实数的取值范围； （3）设实数，满足，证明：. 19.（17分） 甲参加了一场智力问答游戏，每轮游戏均有两类问题（难度系数较低的类问题以及难度系数较高的类问题）供选择，且每轮游戏只回答两类问题中的其中一个问题．甲遇到每类问题的概率均为，甲遇到类问题时回答正确的概率为，回答正确记1分，否则记0分；甲遇到类问题时回答正确的概率为，回答正确记2分，否则记0分，总得分记为X分，甲回答每个问题相互独立． （1）当进行完2轮游戏时，求甲的总分X的分布列与数学期望． （2）设甲在每轮游戏中均回答正确且累计得分为n分的概率为． （ⅰ）证明：为等比数列． （ⅱ）求的最大值以及对应n的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高三数学第一次模拟考试自编卷03 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 某校举办校园歌手大赛，决赛中12名参赛选手的得分（满分：10分）分别为9.5，8.1，7.8，8.5，8.8，9.1，7.5，9.6，8.6，8.8，9.3，9.0，则这组数据的第75百分位数是（ ） A. 8.6 B. 8.8 C. 9.1 D. 9.2 【答案】D 【详解】首先将决赛中12名参赛选手的得分从小到大排列如下： 7.5，7.8，8.1，8.5，8.6，8.8，8.8，9.0，9.1，9.3，9.5，9.6， ，所以这组数据的第75百分位数是第位数和第位数的平均数， 即有. 故选：D. 2.已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】解集合， 解集合， 因为，所以， 故选：B. 3.若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【详解】解：令，则， 由题意知：， 且展开式的通项公式为 ， 令，得， 故选：． 4.的三个内角，，所对的边分别为，，，在边上，且，，，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【详解】在中，，， ，， ，又，； 又， ， ，； ，解得或不合题意，舍去， 的面积为． 故选：． 5. 在正三棱柱中，，则“”是“异面直线与所成角的余弦值是”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】如图： 设.以为基底，则， ，，. 因，， 所以. 由可得，解得或，即或. 即“异面直线与所成角的余弦值是”的充要条件是“或”. 故“”是“异面直线与所成角的余弦值是”的充分不必要条件. 故选：A 6.已知函数，若函数在上恰有3个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】令，则， 解得或， 即或， 因函数在上恰有3个零点， 所以， 第一个不等式组解得， 第二个不等式组解得 所以所求取值范围为. 故选：D. 7. 过抛物线C：的焦点F的直线l交C于A，B两点，交直线于点P，若，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【详解】抛物线C：的焦点，准线方程为， 过A，B分别作直线的垂线，垂足分别为M，N，， 由，得，即， 所以与的面积之比为. 故选：B 8. 表示大于或者等于的最小整数，表示小于或者等于的最大整数．已知函数 ，且满足：对有，则的可能取值是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【详解】由得在上单调递减， 当时，， 当时，要递减，且， 对于A，当时，，不合题意，故A错误； 对于B，当时，，不合题意，故B错误； 对于C，当时，，符合题意，故C正确； 对于D，当时，，不合题意，故D错误； 故选：C． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列结论中正确的有（ ） A. 函数的图象关于y轴对称 B. 函数的图象关于原点对称 C. 函数存在最小值 D. 函数不存在最大值 【答案】BD 【详解】已知函数，其定义域为，关于原点对称. 根据奇函数的定义可知，函数是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，故选项A错误，选项B正确. 令，则或. 由，解得；由，解得，. 当时，，的值在之间不断变化. 当时，，此时； 当时，，此时. 这说明函数既没有最大值也没有最小值，故选项C错误，选项D正确. 故选：BD. 10.数列的通项为，它的前项和为，前项积为，则下列说法正确的是（ ） A. 数列是递减数列 B. 当或者时，有最大值 C. 当或者时，有最大值 D. 和都没有最小值 【答案】ABC 【详解】因为数列的通项为，则，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，因为公差，所以数列是递减数列，故选项正确； 因为，当时，；当时，，因为，所以当或者时，有最大值，故选项正确； 由可知： ，，，所以当或者时，有最大值，故选项正确； 根据数列前30项为正数，从第31项开始为负数可知：无最小值， 因为，当时，，但零乘任何数仍得零，所以有最小值，故选项错误， 故选：. 11.甲同学想用一支铅笔从如下的直三棱柱的顶点出发沿三棱柱的棱逐步完成“一笔画”，即每一步均沿着某一条棱从一个端点到达另一个端点，紧接着从上一步的终点出发随机选择下一条棱再次画出，进而达到该棱的另一端点，按此规律一直进行，其中每经过一条棱称为一次移动，并随机选择某个顶点处停止得到一条“一笔画”路径，比如“一笔画”路径C.若某“一笔画”路径中没有重复经过任何一条棱，则称该路径为完美路径，否则为不完美路径下列说法正确的有(    ) A. 若“一笔画”路径为完美路径，则甲不可能次移动后回到点 B. 经过次移动后仍在点的概率为 C. 若“一笔画”路径为完美路径，则次移动后回到点有条不同笔迹 D. 经过次移动后，到达点的条件下经过点的概率为 【答案】BCD  【详解】解：对于选项A，沿等路线即可，故A错误 对于选项B，若存在重复路线，两次移动回到点可以第一次移动到达点，，， 第三次移动再从这些移动方式中选，共有种走法， 另外可以先移动两次再原路返回，第一次移动可能到达点，，， 每个点在第二次移动时都有两种移动方式，故有种方式 若不存在重复路线，经过点由四条棱组成的闭合回路只有和两种， 每条路都有两种经过方式，共有种方式， 概率为，故B正确 对于选项C，列举法：， ， ， ， ， 故共有条不同的笔迹，故C正确 对于选项D，先考虑重复路线： 前两条路线重复，第一次移动到达点，，共条路径 后两条路径重复即第一次移动到点同理有条路径， 其中重复，故共只有条路径 再考虑不重复路径：只有，条路径， 三次移动后到达点有条路径． 记事件从点出发，三次移动后到达点 事件从点出发，三次移动时经过点， 故，， 故，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________． 【答案】 【详解】，即． 又，所以， 所以 ． 故答案为：. 13. 已知函数，当时，的值域是__________，若有两个极值点，则的取值范围是__________. 【答案】 ①. ②. 【详解】由，则， 当时，， 易知函数在上单调递增，在上单调递减， 此时； 当时，，易知函数在上单调递减，则. 综上可得. 由题意可设函数的两个极值点分别为，且， 由二次函数在上单调递增，在上单调递减， 一次函数，当时，在上单调递减，当时，在上单调递增， 易知函数在与上单调递增，在上单调递减， 且，，可得，解得. 故答案为：；. 14. 已知正方体的棱长为，若在该正方体的棱上恰有个点，满足，则的取值范围为___________. 【答案】 【详解】当在、上时由、， 即，即； 当在、上时为等腰三角形，，即，即； 当在、、、上时的取值范围均一致，当在上时，绕翻折，使平面与平面在同一平面内， 如图所示， 则，即， 又在每条棱上运动时，所在位置与的值一一对应， 又， 所以若满足条件的点恰有个，则， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知的内角，，所对的边分别为，，，满足，且，，成等比数列. （1）求； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）由正弦定理及，得， 即， 由余弦定理得， 所以， 因为,,成等比数列，所以，所以. （2）因为，整理得， 因为，所以，所以， 代入得，则根据正弦定理有.  16.（15分）如图，在四棱锥中，平面平面，是等腰直角三角形，. （1）点在棱上，若平面，求证：为的中点； （2）求与平面所成角. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【详解】（1）在中，过点作交于点，连接， 因为，所以，所以四点共面. 因为平面，平面， 平面平面，所以. 所以四边形是平行四边形， 所以，所以为的中点. （2）过作于，连接. 因为，所以为中点， ，，所以四边形为平行四边形， 又，所以， 又因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面，所以， 所以. 如图建立空间直角坐标系. 因为， 由题意得，， 所以. 设平面的法向量为，则，即， 令，则.所以平面的一个法向量为. 设与平面所成角为， 则， 又，解得. 所以与平面所成的角为. 17.（15分）已知椭圆C：离心率为，椭圆C的动弦过椭圆C的右焦点F，当垂直x轴时，椭圆C在A，B处的两条切线的交点为M． （1）求点M的坐标． （2）若直线的斜率为，过点M作x轴的垂线l，点N为l上一点，且点N的纵坐标为，直线与椭圆C交于P，Q两点，证明：为定值． 【答案】（1） （2）证明见解析 【详解】（1）， 解得，所以椭圆方程， 又，所以右焦点， 当垂直x轴时，不妨设，根据对称性可知点在轴上， 且直线的斜率存在， 设直线的方程为， 联立， 消去得：， 则， 化简得，解得， 所以直线的方程为， 令，解得，故点的坐标为. （2）如图， 由题意可得直线的方程为，即， 设，由题可知， 所以，故直线与垂直， 联立，消去得：， 则，， 所以， 同理，， 所以， 故为定值. 18.（17分）已知函数. （1）求的极值； （2）若当时，，求实数的取值范围； （3）设实数，满足，证明：. 【答案】（1）极大值为，无极小值 （2） （3）证明见解析 【解析】（1）由题可知，令，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极大值，没有极小值. （2）设，根据题意，当时，恒成立. 又， 若，则，令，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以，不符合题意， 若，令，得或. 若，则恒成立，所以在上单调递增， 又当时，，不符合题意， 若，则，当时，，所以在上单调递增， 当时，，不符合题意 ， 若，则，当时，， 当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减， 又因为，所以在上成立， 要使在上也成立，只需，即，得， 故的取值范围是. （3）由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，且当时，. 又由（2）知当时，，故可作出，在上的大致图象如下， 除了点，的图象都在的图象的下方， 当时，直线与曲线有两个交点，横坐标分别为，， 直线与曲线有两个交点，横坐标分别为和， 由图可知 19.（17分） 甲参加了一场智力问答游戏，每轮游戏均有两类问题（难度系数较低的类问题以及难度系数较高的类问题）供选择，且每轮游戏只回答两类问题中的其中一个问题．甲遇到每类问题的概率均为，甲遇到类问题时回答正确的概率为，回答正确记1分，否则记0分；甲遇到类问题时回答正确的概率为，回答正确记2分，否则记0分，总得分记为X分，甲回答每个问题相互独立． （1）当进行完2轮游戏时，求甲的总分X的分布列与数学期望． （2）设甲在每轮游戏中均回答正确且累计得分为n分的概率为． （ⅰ）证明：为等比数列． （ⅱ）求的最大值以及对应n的值． 【答案】（1）分布列见解析，1 （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）当时，取到最大值为 【详解】（1）X可以取0，1，2，3，4， 每次回答A类问题且回答正确的概率为， 回答A类问题且回答不正确的概率为， 每次回答B类问题且回答正确概率为， 回答B类问题且回答不正确的概率为， ， ， ， ；， X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P ； （2）（ⅰ），， 由题意得甲累计得分为n分的前一轮得分只能为分或分， 故当时，， 所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列； （ⅱ）根据（ⅰ）可知，①， 易得， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以②， 令②－①可得， 所以， 经检验，时均满足上式，故， 所以， 而显然随着n的增大而减小， 故， 又因为，所以当时，取到最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $