必修第一册第一章至第四章知识点-2025-2026学年高一上学期数学人教A版

该高中数学知识清单系统梳理了集合、常用逻辑用语、不等式、函数等核心内容，涵盖概念定义、性质法则、方法步骤及拓展应用，搭建从基础认知到综合运用的递进式学习支架。 清单通过分类分点呈现知识体系，突出重难点标注如空集“解答题分类讨论易忽略”，方法步骤化如作差法“作差、变形、判号、下结论”，关联知识如复合函数“同增异减”法则，培养学生数学思维与表达能力。设计“基本不等式使用条件”“零点存在性定理条件”等应用提示，助力学生高效复习，教师可精准教学。

知识点汇总 第一章 1.集合的三个特征 无序性 、 互异性 、 确定性 2.若A∩B=A；； 3.若有限集合A中含有个元素，则集合A的子集的个数为 ，真子集的个数为 ，非空子集个数为 ，非空真子集个数为 4.空集的定义 不含有任何元素的集合 （解答题分类讨论易忽略） 5.常用数集：实数集 R 自然数集 N 正整数集 有理数集 Q 整数集Z 6.列举法：，描述法： 7.元素与集合之间用 连接，集合与集合之间用 连接。 8.若,．则A = B 9.①若pq，则p是q的 充分条件 ，q是p的 必要条件 ； ②若pq，但qp，则p是q的 充分不必要 条件，q是p的 必要不充分 条件； ③若既有pq，又有qp，记作pq，则p 是q的 充要 条件 10. AB 11. BA 12.求命题的否定 p 非p 结论 全称量词命题∀x∈M，p(x) ∃x∈M，非p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题∃x∈M，p(x) ∀x∈M，非p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 13..（1）同向可加性：a>b且c>d⇒a+c > b+d， （2）同向正数可乘：a>b>0，c>d>0⇒ac > bd，a>b>0⇒an > bn(n∈N，n≥2) 14.作差法：①作差；②变形； ③ 判号 ；④下结论 15.变形技巧：①分解因式；② ；③分子(分母)有理化 16.两个重要不等式 不等式 变形形式 等号成立的条件 a2+b2≥2ab(a，b∈R) ab≤ 当且仅当 a=b 基本不等式： ≤ (a，b>0) a+b≥2，ab≤ 当且仅当 a=b 注：调和不等式 17.算数平均数 ，几何平均数 。 18.基本不等式的使用条件 一正 、 二定 、 三相等 。 19.韦达定理 、 求根公式 对称轴： 20.一元二次不等式的解法：① 解方程 ② 作图 ③ 写答案 21.含参不等式的解法：①若参数在二次项前面需要讨论0的情况②可因式分解的需讨论两个根的大小关系 22.三类恒成立：第一类： 若二次项系数有参数时，需要讨论 系数为0 的情况。 第二类： 一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： 1、， 2、， 3、， 4、， 第三类：变换主元 23. 24. 25.. 26.函数定义域求法：①的定义域为使 的实数的集合；②的定义域为使 的实数的集合。③定义域为使被开方数 的实数的集合 27.值域常见求法：直接法、换元法、配方法、图像法、分离常数法、 判别式法 、函数单调性法 28.同一函数：若两个函数的 定义域，对应关系 相同 29.函数解析式求法：待定系数法、 换元法 、 方程组法 。 30.定义法求函数单调性步骤：取值、作差、 化简、判号 、得出结论。 31. 32.，当k>0时，f(x)递增；当k<0时，f(x)递减。，当k<0时，f(x)递增；当k>0时，f(x)递减。 33.增函数+增函数= 增函数 ；减函数+减函数= 减函数 ；增函数+减函数= 不确定 34.复合函数单调性需要结合内层函数和外层函数且有四字法则：同增异减 35.奇偶性：①定义域关于原点对称时，若则为偶函数；若则为奇函数； ②图像法： 图像关于原点对称 是奇函数； 图像关于y轴对称是偶函数。 36:奇+奇= 奇 ；偶+偶= 偶 ；奇+偶= 非奇非偶 ；奇x偶= 奇 ;奇x奇= 偶；偶x偶= 偶（乘除相同） 37.:①过定点 (1,1) ②第一象限的图像指大图高③ a>0 ，f(x)递增，a<0 f(x)递减 38.当n为奇数时，＝ a ，当n为偶数时，＝ ＝; a 39.分数指数幂：＝ ；＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)； 40.幂的运算性质：aras＝ ；(ar)s＝；(ab)r＝ ，＝ 其中a>0，b>0 41.；；； 42.y＝ax是指数函数，①；②系数是1；③其中指数是自变量， 43.指数函数的性质：(1)定义域 R ；(2)值域 ；(3)恒过定点 (0,1) ；(3)单调性 a>1 ，f(x)递增； 0<a<1 ，f(x)递减；(4)第一象限的图像底大图高；(5)底数互为倒数，图像关于y轴对称。 44.如果ax＝Nx＝logaN(a>0，且a≠1，N﹥0)其中a叫做对数的 底数 ，N叫做 真数 . 45.对数的性质： 0 1 (3)alogaN＝N ；(4)logaan＝n 46.对数的运算法则:如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝ logaM +logaN ；②loga＝ logaM - logaN ；③logabn＝ nlogab ；④logambn＝ 47.换底公式：；推论：(1)logab＝(2) 48.对数函数的性质：(1)定义域 ；(2)值域 R ；(3)恒过定点 (1,0) ；(3)单调性 a>1 ，f(x)递增； 0<a<1 ，f(x)递减；(4)底数互为倒数，图像关于x轴对称。 49.零点存在性定理：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；② ；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点 附加：一、柯西不等式二维形式的柯西不等式 当且仅当 时，等号成立.) 二、权方和不等式: 若 则 当且仅当 时取等. (注：熟练掌握这个足以应付高考中的这类型最值问题可以实现对一些问题的秒杀) 三、函数的周期性的常用结论（是不为0的常数） （1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则；（5）若，则（）； 四、函数的对称性1、函数对称性的常用结论 (2)若函数满足，则其函数图象关于直线对称 （3）若，则函数图象关于对称； 五、 六、双变量不等式与等式 一般地，已知函数， 1、不等关系 （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有成立，故． 2、相等关系 记的值域为A, 的值域为B, （1）若，，有成立，则有； （2）若，，有成立，则有； （3）若，，有成立，故； 学科网（北京）股份有限公司 $