第02讲 二次根式的运算（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年浙教版八年级数学下册《知识解读·题型专练》

本讲义聚焦二次根式的运算核心知识点，从乘除法则切入，通过最简二次根式化简、同类二次根式合并，逐步过渡到加减与混合运算，结合分母有理化和实际应用，构建从基础到综合的递进式学习支架。 该资料以“典例+变式”题型设计强化运算能力与推理意识，通过矩形面积计算等实际问题培养用数学语言表达现实世界的能力，课中助力教师分层教学，课后帮助学生通过多样练习查漏补缺，有效提升数学思维与应用意识。

第02讲 二次根式的运算 考点1：二次根式的乘除运算 考点2：二次根式的加减运算 考点3：二次根式性质的混合运算 考点4： 考点5：同类二次根式 考点6：分母有理化 考点7：二次根式的实际应用 重点： （1）二次根式加减、乘除运算法则的熟练运用，能规范、准确完成各类基础运算。 （2）最简二次根式的化简方法，同类二次根式的判断与合并技巧。 （3）二次根式核心性质的应用，能运用性质快速化简二次根式。 难点： （1）二次根式混合运算中，运算顺序的把握，以及符号的判断。 （2）复杂二次根式的化简、同类二次根式的判断。 （3）运用二次根式运算解决实际问题，能将文字信息转化为数学运算，梳理数量关系 知识点1：二次根式的乘法法则 1. 二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广 （1） （2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。 3.二次根式的乘法法则的逆用 （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 4.二次根式的乘法法则的逆用的推广 【题型1 二次根式的乘法运算】 【典例1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】计算：； 【变式2】计算： (1)． (2) (3)． (4)． 【变式3】计算 （1）     （2） 知识点2：二次根式的除法法则 1.二次根式的除法法则 （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 2.二次根式的除法法则的推广 注意： （1） a≥0，b＞0时，才有意义； （2） 如果被开方数时带分数，应先化成假分数 【题型2 二次根式的除法运算】 【典例2】计算： (1)． (2)． 【变式1】化去下列各式分母中的根号： (1) (2) (3) (4) 【变式2】计算： (1)； (2)． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)． 【题型3 二次根式的乘除法运算】 【典例3】计算： (1)． (2)． 【变式1】计算： (1)． (2)． 【变式2】计算： 【变式3】计算： 知识点3：最简二次根式 1. 最简二次根式的概念 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式 2. 化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） 3.分母有理化 （1） 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 【题型4 最简二次根式的判定】 【典例4】下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 【变式2】下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥，其中最简二次根式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型5 化为最简的二次根式】 【典例5】化简： (1)； (2) (3)； (4)． 【变式1】化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】化简： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式3】化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点4：同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 【题型6 同类二次根式】 【典例6】下列各式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】若最简二次根式与能合并，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】已知最简二次根式与可以进行加减运算，则m的值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．8 知识点5：二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 【题型7 二次根式的加减运算】 【典例7】计算下列各式： (1)； (2)． 【变式1】计算：． 【变式2】（2025·浙江台州·二模）计算：． 【变式3】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) (4) 知识点6：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【题型8 二次根式的混合运算】 【典例8】计算 (1)； (2)； (3)． 【变式1】计算： (1)； (2)； 【变式2】计算： (1)； (2)． 【变式3】计算： (1)； (2)． 【题型9 分母有理化】 【典例9】在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：． ． 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．请用分母有理化解答下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 【变式1】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)第个等式：______． (2)根据以上规律，计算的值． 【变式2】阅读下列运算过程，并完成各小题： ；．数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”．如果分母不是一个无理数，而是两个无理数的和或差，此时也可以进行分母有理化，如： ； ； 模仿上例完成下列各小题： (1)____________； (2)____________； (3)请根据你得到的规律计算：． 【变式3】阅读材料：在二次根式中，当分母为无理数的二次根式时，我们通过运算，把该分母化为有理数的过程，称其为分母有理化或有理化分母． 例：①； ②； (1)分母有理化：； (2)观察上面运算过程，对下列式子进行分母有理化：； (3)请尝试对下列式子进行分母有理化：． 【题型10 已知字母的值，化简求值】 【典例10】先化简，再求值：． 【变式1】先化简，再求值：，其中． 【变式2】已知，，求下列各式的值： (1) (2)． 【变式3】先化简，再求值：，其中． 如图是小亮和小芳的解答过程． (1)_____________的解答过程是错误的； (2)错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质：_____________； (3)先化简，再求值： ，其中． 【题型11 比较二次根式的大小】 【典例11】比较大小： ．（选填“>”“<”或“=”） 【变式1】比较大小： （填“”“ ”“”） 【变式2】比较大小 ． 【变式3】若，则关于的大小，以下说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【题型12 二次根式的应用】 【典例12】如图，长方形空地的长为，宽为，现准备在空地中划出长为，宽为的小长方形（图中阴影部分）作为花卉实验田． (1)求长方形空地的周长（结果化为最简）； (2)求长方形花卉实验田的面积（结果化为最简）． 【变式1】如图，有一块矩形木板，木工沿虚线在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)求原矩形木板的面积； (2)求剩余木料的周长． 【变式2】古今中外的不少学者对三角形面积的计算做出了诸多思考，尤其值得一提的是古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶均提出了类似的计算办法：若三角形三边长分别为a、b、c，记，则三角形的面积为，因此后人将他们的发现合称为海伦-秦九韶公式，请你利用海伦-秦九韶公式计算以下的面积为 ． 【变式3】如图，将一个长为，宽为的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形，求纸片剩余部分的面积． 1．计算的结果是（    ） A． B． C．14 D． 2．下列式子中，属于最简二次根式的是（  ） A． B． C． D． 3．与最简二次根式是同类二次根式，则（  ） A．2 B．3 C．6 D．11 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 6．已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 7．已知，则的值为（　　） A． B． C．12 D．18 8．计算的结果为 ． 9．若计算的结果为，则这个数落在了数轴上的 段． 10．计算的结果是 ． 11．若，则 ． 12．如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形后剩余部分（阴影部分）的面积为 ． 13．计算： (1)； (2)． 14．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 15．有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)截出的两块正方形木料的边长分别为 ， ； (2)求剩余木料的面积； (3)如果木工想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出 块这样的木条． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 二次根式的运算 考点1：二次根式的乘除运算 考点2：二次根式的加减运算 考点3：二次根式性质的混合运算 考点4： 考点5：同类二次根式 考点6：分母有理化 考点7：二次根式的实际应用 重点： （1）二次根式加减、乘除运算法则的熟练运用，能规范、准确完成各类基础运算。 （2）最简二次根式的化简方法，同类二次根式的判断与合并技巧。 （3）二次根式核心性质的应用，能运用性质快速化简二次根式。 难点： （1）二次根式混合运算中，运算顺序的把握，以及符号的判断。 （2）复杂二次根式的化简、同类二次根式的判断。 （3）运用二次根式运算解决实际问题，能将文字信息转化为数学运算，梳理数量关系 知识点1：二次根式的乘法法则 1. 二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广 （1） （2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。 3.二次根式的乘法法则的逆用 （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 4.二次根式的乘法法则的逆用的推广 【题型1 二次根式的乘法运算】 【典例1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)3 (3) (4)8 【分析】（1）把被开方数相乘即可， （2）先把被开方数相乘，再把结果化成最简形式即可， （3）把被开方数相乘即可， （4）先把被开方数相乘，再把结果化成最简形式即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） 【点睛】本题考查的是二次根式的乘法，熟知二次根式的乘法法则是解答此题的关键． 【变式1】计算：； 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，先计算乘法，再化简，即可求解． 【详解】解： ． 【变式2】计算： (1)． (2) (3)． (4)． 【答案】(1)6 (2)10 (3)1 (4) 【分析】（1）根据二次根式的乘法法则进行计算，再化为最简二次根式即可； （2）根据二次根式的乘法法则进行计算，再化为最简二次根式即可； （3）根据二次根式的乘法法则进行计算即可； （4）根据二次根式的乘法法则进行计算，再化为最简二次根式即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法法则，解题的关键是熟练掌握二次的乘法法则：． 【变式3】计算 （1）     （2） 【答案】（1）45；（2） 【分析】（1）先化简二次根式，然后进行乘法运算，即可求解； （2）先利用二次根式的乘法法则进行乘法运算，再化简，即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘法运算法则——，其中 ， ，还要注意结果要化为最简二次根式． 知识点2：二次根式的除法法则 1.二次根式的除法法则 （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 2.二次根式的除法法则的推广 注意： （1） a≥0，b＞0时，才有意义； （2） 如果被开方数时带分数，应先化成假分数 【题型2 二次根式的除法运算】 【典例2】计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了二次根式的除法运算． （1）先根据二次根式的性质化简，再计算二次根式的除法即可； （2）根据二次根式的除法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】化去下列各式分母中的根号： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的除法运算，利用二次根式的性质化简，熟练掌握除法法则和二次根式的性质是解题的关键： （1）运用除法法则和二次根式的性质化简即可； （2）运用除法法则和二次根式的性质化简即可； （3）运用除法法则和二次根式的性质化简即可； （4）运用除法法则和二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的除法运算，熟记运算法则是解本题的关键； （1）根据二次根式的除法法则进行计算即可； （2）根据二次根式的除法法则进行计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的除法，熟记运算法则是关键. （1）根据二次根式的除法法则计算即可， （2）根据二次根式的除法法则计算即可， （3）根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； 【题型3 二次根式的乘除法运算】 【典例3】计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法的运算法则是解题的关键． （1）（2）直接利用二次根式的乘除法运算法则计算即可得出答案． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式1】计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法的运算法则是解题的关键． （1）（2）直接利用二次根式的乘除法运算法则计算即可得出答案． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式2】计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 先根据二次根式的性质进行化简，再根据二次根式的乘除混合运算计算即可得解． 【详解】解： ． 【变式3】计算： 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件判断a的符号，然后根据二次根式的乘除混合运算，根号里面和外面分别计算，最后再化简二次根式即可求解．本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，， ∵， ∴， ∴ ． 知识点3：最简二次根式 1. 最简二次根式的概念 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式 2. 化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） 3.分母有理化 （1） 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 【题型4 最简二次根式的判定】 【典例4】下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简二次根式， 最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，逐一分析各选项解答即可． 【详解】解：∵ A：被开方数含分母，不是最简； B:，可开方，不是最简； C:，被开方数含平方因数，不是最简； D:被开方数无分母且无平方因数，是最简． 故选：D． 【变式1】下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式的判断，掌握好最简二次根式的定义是关键． 根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数，同时选项必须是二次根式，逐一判断即可． 【详解】解：对于A，，可化简为有理数，不是最简二次根式； 对于B，，可化简，不是最简二次根式； 对于C，，被开方数5是质数，无平方因子，且不含分母，是最简二次根式； 对于D，是立方根，不是二次根式，不符合题意． 故选：C． 【变式2】下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．，不是最简二次根式，不符合题意； B． ，不是最简二次根式，不符合题意； C． ，不是最简二次根式，不符合题意； D．是最简二次根式，符合题意． 故选：D． 【变式3】下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥，其中最简二次根式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式的识别，根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且不含能开方的因数或因式），逐一判断各二次根式是否符合条件． 【详解】解： ① 是三次根式，不是二次根式，故不是最简二次根式； ② 被开方数含分母，故不是最简二次根式； ③ 被开方数9能开方（），故不是最简二次根式； ④ 即 ，被开方数含分母，故不是最简二次根式； ⑤ 被开方数 无分母且不能因式分解为完全平方形式（在实数范围内），故是最简二次根式； ⑥ 即 ，被开方数含能开得尽方的因式 ，故不是最简二次根式； ∴ 只有⑤是最简二次根式，共1个， 故选：A． 【题型5 化为最简的二次根式】 【典例5】化简： (1)； (2) (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是根据二次根式的性质把二次根式化为最简二次根式． 把二次根式中能开得尽方的因数开出来，即可得到最简二次根式； 把二次根式分母有理化，即可得到最简二次根式； 把根号下的化为分数，再进行分母有理化； 把二次根式分母有理化． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式1】化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解题的关键；因此此题可根据二次根式的性质及化简进行求解（1）（2）（3）（4）小题即可． 【详解】（1）解：； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【变式2】化简： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查的是二次根式的化简． （1）把原式化为，再进一步化简即可． （2）把原式化为，再进一步化简即可． （3）把原式化为，再进一步化简即可． （4）把原式化为，再进一步化简即可． （5）把原式化为，再进一步化简即可． （6）把原式化为，再进一步化简即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． （5）解：． （6）解：． 【变式3】化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）把12写成，然后化简； （2）把75写成，然后化简； （3）将分母直接开方化简． （4）将写成，然后直接化简． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： （4）解： 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 知识点4：同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 【题型6 同类二次根式】 【典例6】下列各式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义． 同类二次根式需化简后根号内的数相同，比较各选项化简后与的根号内的数是否一致． 【详解】解：A：，根号内3，与不是同类二次根式； B：，无根号，与不是同类二次根式； C：，根号内2，与不是同类二次根式； D：，根号内5，与是同类二次根式； 故选：D． 【变式1】下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：、不能与合并，不符合题意； 、，不能与合并，不符合题意； 、，能与合并，符合题意； 、，不能与合并，不符合题意； 故选：C． 【变式2】若最简二次根式与能合并，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式、同类二次根式、二次根式的化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解题关键．先化简二次根式可得，再得出最简二次根式与是同类二次根式，则可得，由此即可得． 【详解】解：， ∵最简二次根式与能合并， ∴最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故选：A． 【变式3】已知最简二次根式与可以进行加减运算，则m的值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式加减运算，先化简，被开方数为2，然后根据二次根式能进行加减运算得出，即可得出． 【详解】解：∵， ∴其被开方数为2， ∵与可进行加减运算， ∴它们为同类二次根式，故 化简后被开方数也应为2， 又∵为最简二次根式， ∴， 解得：． 故选：B． 知识点5：二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 【题型7 二次根式的加减运算】 【典例7】计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的加减， 对于（1），先将二次根式化成最简二次根式，再计算即可； 对于（2），先将二次根式化成最简二次根式，再去括号，然后计算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1】计算：． 【答案】0 【分析】先根据二次根式的性质化简，再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键． 【变式2】（2025·浙江台州·二模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，零指数幂，熟练掌握运算性质是解题的关键．根据二次根式的性质化简，计算零指数幂，然后计算加减即可． 【详解】解：原式 【变式3】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的加减运算，熟练掌握加减运算法则，是解题的关键： （1）直接合并即可； （2）先化简，再合并即可； （3）先化简，再合并即可； （4）先化简，再合并即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 知识点6：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【题型8 二次根式的混合运算】 【典例8】计算 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再运算加减法，即可作答． （2）先结合完全平方公式展开以及运算除法，最后运算加减法，即可作答． （3）先根据二次根式的性质化简，再运算括号内的减法，以及结合二次根式的乘法法则计算，然后运算除法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式1】计算： (1)； (2)； 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，正确掌握二次根式混合运算的计算法则及运算顺序是解题的关键． （1）先化简二次根式，再计算加减法； （2）先根据完全平方公式及平方差公式计算，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，二次根式的混合运算，熟知二次根式的相关运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减运算法则求解即可； （2）先计算二次根式乘法，再利用完全平方公式去括号，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． （）先进行乘法运算，再利用二次根式的性质化简，最后进行减法运算即可； （）先进行乘除运算，再进行加减运算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型9 分母有理化】 【典例9】在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：． ． 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．请用分母有理化解答下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分母有理数化简即可； （2）根据分母有理数化简即可． 【详解】（1）解：原式=； （2）解：原式= =． 【点睛】本题考查分母有理化，正确计算是解题的关键． 【变式1】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)第个等式：______． (2)根据以上规律，计算的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数字类规律探索，分母有理化，二次根式的混合运算，掌握相关知识是解题的关键． （1）找出规律后，根据运算法则进行运算即可； （2）根据（1）中的规律把原式变形为，即可求解． 【详解】（1）解：第个等式：； 故答案为： （2）解： 【变式2】阅读下列运算过程，并完成各小题： ；．数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”．如果分母不是一个无理数，而是两个无理数的和或差，此时也可以进行分母有理化，如： ； ； 模仿上例完成下列各小题： (1)____________； (2)____________； (3)请根据你得到的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的加减运算，掌握分母有理化的法则是解本题的关键． （1）分子分母都乘以，即可得到答案； （2）分子，分母都乘以，即可得到答案； （3）根据题干提示的规律，把每个分母中的二次根号去掉，化为有理数，再合并即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． （3）解： ． 【变式3】阅读材料：在二次根式中，当分母为无理数的二次根式时，我们通过运算，把该分母化为有理数的过程，称其为分母有理化或有理化分母． 例：①； ②； (1)分母有理化：； (2)观察上面运算过程，对下列式子进行分母有理化：； (3)请尝试对下列式子进行分母有理化：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的分母有理化，解题的关键是掌握分母有理化的法则． （1）利用平方差公式进行分母有理化即可； （2）利用平方差公式进行分母有理化即可； （3）利用平方差公式进行分母有理化即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【题型10 已知字母的值，化简求值】 【典例10】先化简，再求值：． 【答案】； 【分析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可． 【详解】解：原式         当时，原式 ， ． 【点睛】此题考查了整式的混合运算和求值的应用，主要考查学生的计算和化简能力． 【变式1】先化简，再求值：，其中． 【答案】1－a；． 【分析】先将分式化简，再把的值代入求解即可 【详解】解： ＝1－a 当时，原式 【点睛】本题考查了分式的化简，实数的运算，利用因式分解化简是解题的关键． 【变式2】已知，，求下列各式的值： (1) (2)． 【答案】(1)16 (2)． 【分析】（1）根据完全平方公式写成，把x、y的值代入计算即可； （2）根据平方差公式写成(x+y)(x-y)，把x、y的值代入计算即可． 【详解】（1）解：，， ∴ ； （2）解：，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查利用乘法公式进行二次根式的化简，熟记乘法公式是解题的关键． 【变式3】先化简，再求值：，其中． 如图是小亮和小芳的解答过程． (1)_____________的解答过程是错误的； (2)错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质：_____________； (3)先化简，再求值： ，其中． 【答案】(1)小亮 (2)（或） (3) 【分析】（1）根据二次根式的性质，判断出小亮的计算是错误的； （2）错误原因是：二次根式的性质的应用错误； （3）先根据配方法把被开方数配成完全平方，然后根据二次根式的性质化简，再代入计算即可． 【详解】（1）根据二次根式的性质，判断出小亮的计算是错误的， 故答案为：小亮； （2）二次根式的性质为：（或）， 故答案为：（或）； （3）解：原式， ， ， 原式 ． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，要熟练掌握二次根式的性质：． 【题型11 比较二次根式的大小】 【典例11】比较大小： ．（选填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查比较二次根式的大小．通过平方将无理数比较转化为有理数比较，根据平方后的结果判断原数大小即可． 【详解】解：∵，，又， ∴． 故答案为：． 【变式1】比较大小： （填“”“ ”“”） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较． 通过比较两个数的平方值来判断大小即可． 【详解】解： ， ， 由于， 所以． 故答案为：． 【变式2】比较大小 ． 【答案】< 【分析】本题考查了二次根式大小比较，求解此类问题常用的方法有：①取倒数比较；②分母有理化；③局部放缩比较；④取平方比较；⑤数形结合比较，熟练掌握相关方法是解决本题的关键．两边同时求倒数，比较倒数的大小，然后即可求得答案． 【详解】解：左边求倒数为， 右边求倒数为， ， ． 故答案为：< 【变式3】若，则关于的大小，以下说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比较二次根式的大小，分别求出，进而即可判断求解，掌握二次根式的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ， ， 故选：． 【题型12 二次根式的应用】 【典例12】如图，长方形空地的长为，宽为，现准备在空地中划出长为，宽为的小长方形（图中阴影部分）作为花卉实验田． (1)求长方形空地的周长（结果化为最简）； (2)求长方形花卉实验田的面积（结果化为最简）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的应用，最简二次根式： （1）根据矩形的周长=（长+宽）计算即可； （2）先求出通道的面积，再算钱数即可． 【详解】（1）解：长方形空地的周长 （2）解：长方形花卉实验田的面积 【变式1】如图，有一块矩形木板，木工沿虚线在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)求原矩形木板的面积； (2)求剩余木料的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的应用，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，再求出原矩形木板的长为，宽为，进而根据矩形的面积得到答案； （2）求出剩余木料的长为，宽为，进而可得出答案． 【详解】（1）解：（1）∵两个正方形的面积分别为和， ∴这两个正方形的边长分别为，， ∴原矩形木板的长为，宽为， ∴原矩形木板的面积为； （2）解：剩余木料的长为，宽为， ∴剩余木料的周长为． 【变式2】古今中外的不少学者对三角形面积的计算做出了诸多思考，尤其值得一提的是古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶均提出了类似的计算办法：若三角形三边长分别为a、b、c，记，则三角形的面积为，因此后人将他们的发现合称为海伦-秦九韶公式，请你利用海伦-秦九韶公式计算以下的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的意义，先根据题意求出，再根据公式代值计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴ ， 故答案为：． 【变式3】如图，将一个长为，宽为的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形，求纸片剩余部分的面积． 【答案】384 【分析】本题考查了二次根式的应用，长方形的面积、正方形的面积，根据题意，首先算出长方形的面积，然后再算出剪去的四个小正方形的面积，再相减即可得出剩余部分的面积． 【详解】解：长方形的面积：， 减去的四个小正方形的面积和：， 所以剩余部分的面积为：． 1．计算的结果是（    ） A． B． C．14 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的乘法，正确计算是解题关键． 直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】解：， 故选：D 2．下列式子中，属于最简二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 3．与最简二次根式是同类二次根式，则（  ） A．2 B．3 C．6 D．11 【答案】A 【分析】此题主要考查了同类二次根式，正确把握同类二次根式的定义是解题关键． 直接化简二次根式，进而利用同类二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解： 与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得：． 故选：A． 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据二次根式的运算法则计算即可得到答案． 【详解】，故A错； ，故B错； ，C正确； ，故D错． 故选：C． 【点睛】此题考查的是二次根式的运算和化简，掌握其运算法则是解决此题关键． 5．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的化简以及乘除运算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．先将各项根式化为最简二次根式，再根据二次根式的乘除运算法则进行计算． 【详解】解： 故选：B 6．已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式及二次根式的化简求值的知识．将二次三项式变形为的形式后，再整体代入已知条件即可得到答案． 【详解】解：，， ， 故选：B． 7．已知，则的值为（　　） A． B． C．12 D．18 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数是非负数是解题的关键．根据非负性求出的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得， ， ， ， 故选B． 8．计算的结果为 ． 【答案】 【分析】利用平方差公式计算后再加减即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则及平方差公式是解题的关键． 9．若计算的结果为，则这个数落在了数轴上的 段． 【答案】④ 【分析】本题考查二次根式的计算，解题的关键是掌握二次根式的乘法，二次根式的估算，先计算，根据，进行解答，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴这个数落在了数轴上的④段． 故答案为：④． 10．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案． 【详解】 ． 故答案为． 【点睛】考查了二次根式的性质，正确化简二次根式是解题关键． 11．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，先根据二次根式有意义的条件得到，由此化简绝对值推出，进而可得． 【详解】解；∵要有意义， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形后剩余部分（阴影部分）的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据题意求出阴影部分的面积进而得出答案． 【详解】解：如图所示： 由题意可得：，， 故两个阴影部分面积和为：， 故答案为：． 13．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）根据二次根式的性质、二次根式的除法进行计算，再合并同类二次根式，即可求解； （2）根据二次根式乘除法进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： 14．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的化简求值，涉及平方差公式应用，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键． （1）先求出，，然后将变形，再整体代入求值即可； （2）先将变形，然后再代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ∴ ； （2）解：∵，， ∴， ∴ ． 15．有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)截出的两块正方形木料的边长分别为 ， ； (2)求剩余木料的面积； (3)如果木工想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出 块这样的木条． 【答案】(1)，； (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，二次根式的乘法运算，加减运算，二次根式的大小比较，理解题意，熟记运算法则是解本题的关键． （1）根据算术平方根的含义可得答案； （2）利用长方形的面积减去两个正方形的面积即可得到答案； （3）先计算剩余木条的长为，宽为，再利用，，从而可得答案． 【详解】（1）解：，， （2）矩形的长为，宽为， ∴剩余木料的面积； （3）剩余木条的长为，宽为， ∵，， ∴能截出个木条． 学科网（北京）股份有限公司 $